微积分第五章第六章习题答案
微积分练习题(含答案)
练习题第六章 定积分1．1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调增加区间为_____. 1(,)4+∞2． 函数0()xt F x te dt -=⎰在点x =____处有极值. 03．设sin 201()sin ,()sin 2x f x t dt g x x x ==-⎰，则当0x →时有( A ). (A) ()~()f x g x (B) ()f x 与()g x 同阶，但()f x 不等价于()g x (C) ()(())f x o g x = (D) ()(())g x o f x =4．计算3523220sin sin 2sin cos . []3515x x x xdx ππ⋅-=⎰5．计算21e ⎰1)6.求函数dt t t x x I )ln 1(1)(-=⎰在],1[e 上的最大值与最小值. 最大值()3412-e ，最小值07.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥=<<-+01 2cos 110 )(2x xx xe x f x ，计算⎰-41)2(dx x f .()11tan 214-+e 8.2sin ()xt dt tπ'=⎰( C ) (其中2x π>).(A)sin x x (B)sin xC x+ (C)sin 2x x π- (D) sin 2x C x π-+ 9. 设()f x 是连续函数,且3()x f t dt x =⎰,则(8)f =_____.11210. xdt t x x cos 1)sin 1ln(lim-+⎰→=___1__ ；)1ln(cos lim202x tdtx x +⎰→=__1__ .11. 设()()()bad d I f x dx f x dx f x dx dx dx '=+-⎰⎰⎰存在,则(C ). (A) ()I f x = (B) ()I f x C =+ (C) I C = (D) 0I =12. 已知1(2),(2)02f f '==，及20()1f x dx =⎰，则120(2)x f x dx ''⎰ = 0__ .13. 若sin 0()cos xf t dt x x =+⎰(0)2x π<<，则()f x ___.第五章 不定积分1. 若()()F u f u '=,则(sin )cos f x xdx =⎰__ _. (sin )F x C +2. 若()sin 2,f x dx x C =+⎰则()f x =__ _. 2cos 2x3.2()1xf x dx C x =+-⎰,则sin (cos )xf x dx =⎰_ __. 2cos sin x C x-+ 4. 若()()f u du F u C =+⎰.则211()f dx x x⋅=⎰__ _. 1()F C x -+5.求sin cos sin cos x xdx x x -=+⎰_____. ln sin cos x x C -++6. 求ln(ln )x dx x ⎰. ln (ln ln 1)x x C -+7. 已知()f x 的一个原函数为xe -,求(2)xf x dx '⎰. 211()22x e x C--++8.计算⎰+dx xx2cos 12. tan ln cos x x x C ++9.求dx ex⎰-11. ln 1xx e C --+10.计算⎰+dx x xe x2)1(. 1xx xe e C x -+++ 11.计算 ⎰++dx x xx )1(21222. 1arctan x C x-++ 12.求⎰dx x x 2sin 2cos 2. 12sin 2Cx -+13.求ln(x x C -+第四章 导数应用1.计算极限 （1）0ln lim ln sin x xx+→=___1___. （2） cot20lim(1)xx x →+ =___2e ___(3) 01lim(ln )xx x +→=___1___ (4) sin 0lim(cot)x x +→ =__1__(5) +1ln(1)lim arccot x x x →∞+=___1___2. 函数()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----的二阶导函数有_____个零点. 33. 下列极限计算中,不能使用罗必塔法则的是( B ). (A) 111lim xx x-→ (B)201sinlimsin x x x x→(C) limx lim ln x x ax x a→+∞-+4. 设()y f x =满足方程sin 0xy y e'''+-=,且0()0f x '=,则()f x 在( A ).(A) 0x 处取得极小值 (B) 0x 处取得极大值 (C) 0x 的某个邻域内单调增加 (D) 0x 的某个邻域内单调减少 5. 若()f x 与()g x 可导，lim ()lim ()0x ax af xg x →→==，且()lim()x af x Ag x →=，则( C ). (A)必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B = (B) 必有()lim()x af x Bg x →'='存在，且A B ≠ (C) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，则A B = (D) 如果()lim()x af x Bg x →'='存在，不一定有A B = 6. 设偶函数()f x 具有连续的二阶导数，且()0f x ''≠，则0x =( B ). (A) 不是函数()f x 的驻点(B) 一定是函数()f x 的极值点(C) 一定不是函数()f x 的极值点 (D) 是否为函数()f x 的极值点还不能确定7.求曲线22x y -=的单调区间、极值、拐点并研究图形的凹向.8.求函数32)1()4()(+⋅-=x x x f 的极值和拐点并讨论函数图形的单调性与凹向.9. 证明不等式：13(0)x x≥->.10. 证明方程5510x x -+=在(0,1)内有且仅有一个实根. (提示：设5()51f x x x =-+,利用零点存在定理和罗尔中值定理.) 11. 证明不等式：ln(1)1xx x x<+<+ (0x >). (提示：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上使用拉格朗日中值定理.)第三章 导数1．设函数()f x 依次是,,sin x ne x x ,则()()n fx =____ ,!,sin()2x ne n x π+.2．若直线12y x b =+是抛物线2y x =在某点处的法线,则b =_____.32 3．设)(x f 是可导函数，则220()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆( D ).(A) 0 (B) 2()f x (C) 2()f x ' (D) 2()()f x f x '4．若0()sin 20ax e x f x b x x ⎧<=⎨+≥⎩ 在0x = 处可导,则,a b 值应为( A ).(A) 2,1a b == (B) 1,2a b == (C) 2,1a b =-= (D) 1,2a b ==- 5.设函数()y f x =有01()3f x '=,则0x ∆→ 时,该函数在0x x =的微分dy 是( B ).(A) 与x ∆等价的无穷小(B) 与x ∆同价的无穷小,但不是等价无穷小 (C) 比x ∆低阶的无穷小 (D) 比x ∆高阶的无穷小6.曲线21y ax =+在点1x =处的切线与直线112y x =+垂直,则a =__ _. -1 7.设()2xf x =,则0()(0)limx f x f x→''-=____. 2ln 28.)(x f =21sin00x x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩ 在点x=0处 D .A.连续且可导B.连续，不可导C.不连续D .可导，但导函数不连续9.设()f x ''存在，求函数()f x y e-=的二阶导数. ()2[(())()]f x y ef x f x -'''''=-10.2ln(1)x y e =+，求dy . 2222ln(1)1x xx e x dy e dx dx e⋅'=+=+.11.arctanyxe =确定y 是x 的函数，求导数x y '.第一、二章 函数极限与连续1. )(x f 定义域是[2，3]，则)9(2x f -的定义域是___. ]5,5[-2. 设x x g -=2)(，当1≠x 时，[]1)(-=x xx g f ，则=)23(f _ _. -13. 设函数)(x f 和)(x g ，其中一个是偶函数，一个是奇函数，则必有( D ). (A))()()()(x g x f x g x f -=-+- (B) )()()()(x g x f x g x f +-=-+-(C) )()()()(x g x f x g x f ⋅=-⋅- (D) )()()()(x g x f x g x f ⋅-=-⋅-4．()()()10201521213lim16x x x x →∞+++. 53()25．()()111lim 13352121n n n →∞⎛⎫+++⎪ ⎪••-+⎝⎭. 12 6. 231sin 53limxx x x -∞→. 37. 设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin01)1()(1x e x x x x x x f x ，求)(lim 0x f x →. e8. 0x →512。
微积分(B) 第六章练习题参考答案
2013-2014(2) 大学数学(B) 练习题第六章参考答案一、选择题1. B ；2. D ；3. D ；4. B ； 二、填空题1.Cxe y =； 2.0=y ； 3.C x x y ++=232151； 4. t e t C C s 2521)(+=.三、解答题1.解 原方程为分离变量的微分方程，分离变量可得x d x ydy2=， 两边积分：⎰⎰=xdx y dy 2，得12ln C x y +=，其中1C 为任意常数， 整理有：2x Ce y =，其中C 为任意常数. 2.解： （1）该方程的通解为 ]s i n [11C dx e xx ey dxx dxx +⎰⎰=⎰-=]sin [ln ln C dx e x x ey x x +=⎰-=)sin (1⎰+C xdx x =)cos (1C x x+-， 又1)(=πy ，得1-=πC ，故满足条件1)(=πy 的特解为)1cos (1-+-=πx x y . （2）4121])([222++-=⎰⎰-+=-⎰x e Ce e dx e x e C y x x dx dx x， 将45)0(=y 代人，得2=C ，故所求特解为412122++-=x e e y xx ．3. 解：对所给方程接连积分三次得，12sin 21C x e y x+-=''，22cos 41C Cx x e y x +++='，)2( sin 81132212C C C x C x C x e y x =++++=.4. 解：原方程可变形为y dx dy38-=，分离变量可得dx ydy =-38，两边积分：1383ln C x y +-=-，其中1C 为任意常数，所以383+=-xCey ， 代入初始条件20==x y 有：32-=C ，则满足条件的特解为32833x y e -=-+. 5. 解：原方程所对应的齐次方程为04=-''y y ，其特征方程为042=-λ，解得特征根为2±=λ，所以方程04=-''y y 的通解为x x e C e C 2221+=-γ. 又x e x f 2)(=，由于2=λ是特征单根，于是可设原方程的特解为x axe y 2*=. x e x a y 2)21()*(+='，x e x a y 2)1(4)*(+=''.代入原方程 x x x e a x e e x a 2224)1(4=-+， x x e ae 224=，于是41=a ， 所以xxe y 241*=，于是原方程的通解为x x x xe e C e C y y 2222141*++=+=-γ.6. 解：原方程所对应的齐次方程为065=+'-''y y y ，其特征方程为0652=+-λλ，解得特征根为32或=λ，所以方程065=+'-''y y y 的通解为x x e C e C 3221+=γ. 又x xe x f 2)(=，由于2=λ是特征单根，可设原方程的特解为x e b ax x y 2)(*+=.把它代入原方程，得 x b a ax =-+-22，比较等式两边同次幂的系数，得⎩⎨⎧=-=-0212b a a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=121b a ，因此求得一个特解为xe x x y 2)121(*--=， 从而所求的通解为x xxe x x eC eC y y 223221)2(*+-+=+=γ.7. 解 对函数)()1(2x u x y +=求导，得)()1()()1(22x u x x u x y '+++='，将其与y 一起代入所给的微分方程，得32)1()()1(2)()1()()1(2+=+-'+++x x u x x u x x u x ，x x u +='1)(，故C x x u ++=2)1(21)(． 8. 解 （1）方程两边同时除以32y x ，并整理得22211)1(x yx y =⋅-'，由一阶微分方程的求解公式，有 32221][1x Cx C dx e x e yx dxx dx+=+⎰⎰=-⎰．（2）方程两边同时除以2y ，并整理得11)1(1)1(=⋅++'yx y ，由一阶微分方程的求解公式，有 211][111x x C e dx e C y x dxx dx+++=⎰⎰+=+-+⎰． 10. 解 方程不显含设y ，令p y ='，则p y '=''，原方程即12=+'p p ，分离变量，得dx p dp=-21，两边积分，得C x p p +=-+2|11|ln ．将0)0(='y 代人，得0=C ，故x pp2|11|ln =-+，或1122+-=x x e e p ，故)1ln(112122x xx e x C dx e e y ++-=+-=⎰．将0)0(=y 代入，得2ln 1-=C ．故所求初值问题的解为chx e x y x ln )1ln(2ln 2=++--=．11. 解 方程不显含设y ，令p y ='，则p y '=''，原方程即12=+'xp p x ，即211xp x dx dp =+，由一阶微分方程的求解公式，有 )(ln 1]1[12C x x C dx e xep x dxxdx +=+⎰⎰=⎰-．即 )(ln 1]1[12C x x C dx e xey x dxxdx+=+⎰⎰='⎰-，两边积分，得2121ln ln 21)(ln 1C x C x dx C x x y ++=+=⎰．12. 解 （1）该二阶常系数线性齐次方程的特征方程为0542=--λλ，得两个不相等的实特征根1-和5，于是该方程的通解为x xe C eC y 521+=-．（2）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为042=-λλ，得两个不相等的实特征根0和4，故其对应齐次方程的通解为xe C C y 421+=．为了求得该方程的一个特解，设Ax y =*代人原方程，得054=--A ，45-=A ，于是该方程的通解为x e C C y x45421-+=．（3）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为0442=+-λλ，得两个相等的实特征根2，故其对应齐次方程的通解为x e x C C y 221)(+=．为了求得该方程的一个特解，设x e C Bx Ax x y 222)(*++=代人原方程，得121=A ，0=B ，0=C ，该方程的通解为xxe x e x C C y 24221121)(++=． （4）这是二阶常系数线性非齐次方程，其对应齐次方程的特征方程为022=-+λλ，得两个不相等的实特征根2-和1，故其对应齐次方程的通解为x x e C e C y 221-+=．为了求得该方程的一个特解，设x B x A y 2sin 2cos *+=代人原方程，得 52-=A ，56-=B ，于是该方程的通解为 x x e C e C y x x 2sin 562cos 52221--+=-．。
微积分习题答案第五章 多元函数微积分(1)
练习5.11.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状? (1) )(4222椭圆抛物面z y x =+ (2)圆锥面）(4222z y x =+(3) 椭球面）(19164222=++z y x (4) 圆柱面）(122=+z x 2.求下列函数的定义域: (1)y x z --= (2) y x e z yx -+=+3解：⎩⎨⎧≥-≥00y x y 解：0≥-y x 即⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥y x x y 200 {}0|),(≥-∴y x y x 函数的定义域为∴ 函数的定义域为{}y x y x y x ≥≥≥2,0,0|),((3). ()y x f ,对于函数=yx yx +-,证明不存在),(lim 0y x f x →分析：由二元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径)0,0(0p p →时，所得极限值不同即可。
证明：①0(,)0,0)(0,0)p x y x x y p ≠=当沿轴(此时趋于时，1),(lim ,1)0,(),(00===→→y x f x f y x f y x②当）时，，趋于（沿直线00)0(),(≠=x kx y y x p)0(111),(≠≠+-=+-=k kkkx x kx x y x f综合①②可知函数极限不存在，证毕。
练习5.21． 求下列函数的偏导数 ①;,,33yz x z xy y x z ∂∂∂∂-=求解：23323,3xy x yz y y x x z -=∂∂-=∂∂ ②;,,)ln(yzx z xy z ∂∂∂∂=求解：[])ln(21.1.)ln(2121xy x y xy xy x z ==∂∂-[])ln(21.1.)ln(2121xy y x xy xy y z ==∂∂-③yx x z y x x z z ∂∂∂∂∂+=222,),ln(求解：yx x y x x z +++=∂∂1.)ln( 2222)(2)(1))(ln()(y x y x y x x y x y x y x x y x x xz x x z ++=+-+++=+++∂∂=∂∂∂∂=∂∂222)()(01)ln()(y x yy x x y x y x x y x y x z y y x z +=+-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂④;,3zy x ue u xyz∂∂∂∂=求解；2,()xyz xyz xyz z xyz u u yze ze yzxze z xyz e x x y∂∂==+=+∂∂∂ xyzxyz xyz z xye xyz z e xyz z e xyz z zy x u z z y x u )()2()()(2223+++=+∂∂=∂∂∂∂∂=∂∂∂∂=)31()21(222222z y x xyz e z y x xyz xyz e xyz xyz ++=+++2．设yf y f ey x f y xy ∆-∆+=→∆)1,2()1,2(lim,),(02则解：22(1)00(2,1)(2,1)0lim lim ()0y y y f y f e y y +∆∆→∆→+∆-=∆∆未定式22(1)0(2)10lim 1y y e y +∆∆→+∆⋅-= =4 2e3．设z y x u u u z y x u +++++=）处求，，在点（111),1ln(32解：3211z y x u x +++=3212zy x yu y +++=32213zy x z u z +++= 23434241|)1,1,1(=++=++∴z y x u u u 4．设02,2=∂∂+∂∂=yz y x z xez y x求证 证明：22221xxy y z e y e x y-∂=⋅=∂Q22331(2)2x xy y z e x xy e y y-∂=⋅⋅-=-∂Q 22222323122(2)22x x x xy y y y z z x y xy e ye x xy e y xy e x y y---∂∂∴+=+⋅⋅-=-⋅+∂∂=0 证毕 练习5.31． 求下列函数的全微分（1）求z=xy 在点（2，3）处，当时的全增量与全微分与2.01.0-=∆=∆y x 解：全增量12.068.21.2)3,2()2.03,1.02(-=-⨯=--+=∆f f z30.12(0.2)0.1x y dz z x z y y x x y =∆+∆=∆+∆=⨯+⨯-=-（2）求时的全微分当2,1),1ln(22==++=y x y x z解：dy yx y dx x z dz 2212+++∂∂=dy dx dy dx dz323141144112)2,1(+=+++++=（3）,u xy yz zx du =++求 解：()()udu dx x z dy x y dz x∂=++++∂ dz y x dy z x dx z y )()()(+++++=2．计算下列各式的近似值（分析运用公式01000()(,)f x x y y f x y f xx f y y ''+∆+∆≈+∆+∆） （1）03.2)1.10(解：令03.0,2,1.0,10,),(00=∆==∆==y y x x x y x f y取 y y f x x f y x f y y x x f ∆'+∆'+≈∆+∆+=),()()1.10(0001003.2 01.0ln 1.010)2,10()2,10(12⋅+⋅+=-x x yx y y9.10810ln 32100≈++= (2) )198.003.1ln(43-+ 解:令)1ln(),(43-+=y x y x f 取 02.0,1,03.0,100-=∆==∆=y y x x 原式23(1,1)(10.03,10.02)11)|(0.02)f x -=+-≈+-+- =0+005.002.04103.031=⨯-⨯ (3) 0046tan 29sin解：令y x y x f tan sin ),(= 取 180,4,180,30000πππ=∆=-=∆=y y x x则 原式=)1804,1806(ππππ+-f(,)()64180180x y f f f ππππ''≈+-+ =2(,)(,)646411cos tan |()sin sec |2180180x y x y ππππππ⨯+-+⋅=11)2180180x x ππ+-+⋅ =0.5023练习5.41. 求下列函数的导数或偏导数。
微积分第六章习题解答
y ex
解 A (e e ) dx
x x 0
1
1 e 2. e
y e x
19
P40 习题6.6 1.求由下列各曲线所围成的图形的面积： 1 (7) y x 与直线 x 2, y 2 ； y x
1 解 A ( x 2) dx 1 x
2
2
f ( x)
x 采用分部积分的方法 ,
1
其中 f ( x ) dx ，
x
1
x
e dt .
1 2 x
t 2
f ( x ) e
I
f ( x) x
0
dx 2 f ( x ) d x
0
1 1 0 0
1
2 f ( x ) x 2
x df ( x )
2 f (1) 0 2
22
P40 习题6.6 3 y x , x 2, y 0 所围成的图形,分别绕 x 轴及 y 轴 5. 由
旋转, 计算所得两个旋转体的体积.
y
128 6 , 解 Vx x dx 0 7
2
8
V y 2 2 8 y dy
0
8
2 3
y
y f ( x)
e2 1 I ,
1 2 I (e 1) . 2
14
P28 习题6.5 10.
计算下列定积分：
2
0
ln 2
x3 ex
x 2 t 1 ln 2 t t e dt dx 2 0
ln 2 0
1 ln 2 1 t t t de t e 2 0 2
1 ln 2 t e dt 2 0
(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x xf cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)1()34(lim 22x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。
5、=-∞→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。
9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。
10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。
11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。
12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。
13、____________22lim22=--++∞→x x n 。
14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。
15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。
二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。
（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。
（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。
微积分 北京大学出版社 第5章 定积分--答案
1
−1
∫ ( x + x )e
−1
−x
dx =
1 1 1 −x 1 0 1 1
解法 1：原式=
0
∫
1
xe dx + ∫ xe dx = 2∫ xe dx + 0 = −2∫ xde = −2 x e
−x −x −x −x −1 0 0
+ 2∫ e− x dx = −2e−1 − 2 e− x = 2 −
1 1 8（07） ∫ 3 e x dx = x 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x 2 = e2 解原式= − ∫ de = − e + ∫ e d = − e + 1 + e x x x 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
2
9（02）设 F ( x) =
x2 f ( t )dt ，其中 f ( x) 为连续函数，则 lim F ( x) = （ x →a x−a ∫ a
2
π
2
; x = 0, t = 0
π
2
π
2
1 + cos 2t ⎛1 1 ⎞2 π 原式= ∫ cos t cos tdt = ∫ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ = 4 2 ⎝2 4 ⎠0 0 0
(注：该题利用几何意义积分比变量替换积分简单)
+∞
π
7（00）
∫e
1
x
1 dx = + e 2− x
6.（00）
⎛1⎞ f⎜ ⎟ ⎝ x⎠
∫
0
1
2 x − x 2 dx =
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第六章习题详解
第六章习题6-11. 利用定积分定义计算由直线y =x +1,直线x =a ，x =b （a<b ）及x 轴所围成的图形的面积. 解 因y =x 2+1在[a,b ]上连续,所以x 2+1在[a,b ]上可积,从而可特殊地将[a,b ]n 等分,并取2,,()()1Δi i i b a b a b a a i x f a i n n nξξ---=+==++, 于是21122221222()[()1]1()[()2()1]111(1)1()[()(1)(21)2()]62Δ nni i i i ni b a b a f x a i n ni i b a a b a a b a n n n n n b a na b a n n n b a a n n n nξ===--=++=-+-+-++=-+-⋅⋅+++-⋅⋅+⋅∑∑∑ 故面积 22211(1)l i m ()()[()()1]3d Δnbi i a n i S x x f x b a a b a a b a ξ→∞==+==-+-+-+∑⎰ 331()()3b a b a =-+- 2. 利用定积分的几何意义求定积分： (1)12d x x ⎰;(2)x ⎰（a ＞0）.解 (1)根据定积分的几何意义知, 102d x x ⎰表示由直线y =2x ,x =0,x =1及x 轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以12d x x ⎰=1.(2)根据定积分的几何意义知,0x ⎰表示由曲线0,y x x a ===及x轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以2014πx a =⎰.3. 根据定积分的性质，比较积分值的大小： (1)12d x x ⎰与13d x x ⎰； (2)1e d xx ⎰与1(1)d x x +⎰.解 (1)∵当[0,1]x ∈时,232(1)0x x x x -=-≥,即23x x ≥,又2x3x ,所以11230d d x x x x >⎰⎰.(2)令()1,()1e e x xf x x f x '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>,从而()(0)0f x f ≥=,说明1e xx ≥+,又ex1+x .所以11(1)e d d xx x x >+⎰⎰.4. 估计下列各积分值的范围：(1)421(1)d x x +⎰；(2) arctan d x x ;(3)2e d ax ax --⎰（a ＞0)； (4)22e d x x x -⎰.解 (1)在区间[1,4]上,函数2()1f x x =+是增函数,故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4212(41)(1)17(41)d x x -≤+≤-⎰, 即 4216(1)51d x x ≤+≤⎰.(2)令()arctan f x x x =,则2()arctan 1x f x x x '=++,当x ∈时,()0f x '>,从而()f x在上是增函数,从而f (x )在上的最大值M f ==,最小值m f ==,所以2arctan 93ππd x x =≤≤=即2arctan 93ππd x x ≤≤. (3)令2()e x f x -=,则2()2e x f x x -'=-,令()0f x '=得驻点x =0,又(0)1f =，2()()e a f a f a -=-=,a >0时, 21e a -<,故()f x 在[-a,a ]上的最大值M =1,最小值 2e a m -=,所以2222e e d aa x aa x a ---≤≤⎰.(4)令2()ex xf x -=,则2()(21)e xxf x x -'=-,令()0f x '=得驻点12x =,又(0)1,f = 1241(),(2)2e ef f -==,从而()f x 在[0,2]上的最大值2e M =,最小值14e m -=,所以 212242ee d e x x x --≤≤⎰,而2222ed e d x xx x x x --=-⎰⎰,故 21024222e ed ex xx ---≤≤-⎰.习题6-21. 求下列导数：(1)20d d x t x ⎰; (2) 53ln 2d e d d x t t t x -⎰； (3) cos 2sin cos()d xxt t '⎡⎤π⎢⎥⎣⎦⎰; (4) 22dsin d d x t t x tπ⎰ (x ＞0). 解220(1)()d d x t x x'⋅=⎰5353ln 2(2)d e d e d x tx t t x x --=⎰cos cos sin 222sin 00cos sin 220022222(3)cos()cos()cos()cos()cos()cos(cos )(cos )cos(sin )(sin )cos(cos )sin cos(sin )cos cos(sin )sin πd πd πd πd πd πππππx x xx xx t t t t t t t t t tx x x x x x x x x x ''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦''=⋅-⋅=--=-⎰⎰⎰⎰⎰22cos(sin )cos (sin cos )cos(sin )ππx x x x x =-2222sin sin sin (4)cos sin sin cos .ππd d d d d d d d d d xx t t x t t xt x x x t x x x x x x x x x⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--=-=⎰⎰ 2. 求下列极限：(1) 02arctan d limxx t t x →⎰; (2) 2020sin 3d lim e d x xx tt t t t→-⎰⎰; (3)()22220e d lime d xt xx t t t t→⎰⎰.解 ()022000021a r c t a n a r c t a n a r c t a n11(1)l i m l i ml i m l i m 222d d x xx x xxt t t t x x x xx →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'⎰⎰ 2220030003300222200sin 3sin 3sin 32(2)lim lim lim 2sin 3sin 3lim lim 663d d e e d e d e e x x x x x x x t x t x xx x t t t t x x x t t t t x x x x-→→→--→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦=='⎡⎤⎣⎦=⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰()()[]222222222222222200002000022000200022(3)lim lim lim lim 222lim lim lim 2122e d e d e d e e d e e e d e d e d e e e e xxx x t t t x tx x x x x x x t x t x t x x x x x x x t t t t x x t tt t t x x x x →→→→→→→'⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦==='⎡⎤⎣⎦'⎡⎤⎣⎦====+'+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3. 求由方程e d cos d 0yxtt t t +=⎰⎰所确定的隐函数y =y (x )的导数.解 方程两边对x 求导数得:cos 0e y y x '⋅+=, cos e yxy '∴=-. 又由已知方程有000sin e y xtt +=,即1sin sin 00e y x -+-=即1sin e yx =-,于是有cos cos sin 1e yx xy x '=-=-. 4. 当x 为何值时，I (x )=2e d xt t t -⎰有极值?解 2()e x I x x -'=,令()0I x '=得驻点0x =,又22()(12),(0)10e x I x x I -''''=-=>, 所以当x =0时,I (x )有极小值,且极小值为I (0)=0.5. 计算下列定积分：(1)3x ⎰; (2)221d x x x --⎰;(3)()d f x x π⎰,其中,0,2()sin ,2x x f x x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨π⎪≤≤π;⎪⎩ (4) {}222max 1,d x x -⎰.解433322233222(1)(43)(8333x x ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰201222221101(2)()()()d d d d x x x x x x x x x x x x --=-+-+--⎰⎰⎰⎰012322332101111111116322332x x x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22220022(3)()sin 1cos 82ππππππππd d d xf x x x x x x x =+=+=+-⎰⎰⎰(4)由于22221()max{1,}11112x x f x x x x x ⎧-≤<-⎪==-≤<⎨⎪≤≤⎩,于是 21121212223312122111120max{1,}333d d 1d d x x x x x x x x x x -------=++=++=⎰⎰⎰⎰ 6. 已知f (x )连续，且f (2)=3,求2222()d d lim(2)xt x f u u tx →⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎰⎰.解 []222222222222()()()()limlim lim lim (2)2(2)2(2)(2)d d d d d d x xx x t t x x x x t f u u t f u u f u u f u u x x x x →→→→''⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦===--''-⎡⎤-⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22()113lim lim ()(2)2222x x f x f x f →→-==-=-=-.习题6-31. 计算下列积分： (1)3sin()d x x πππ+3⎰; (2) 32d (115)xx 1-+⎰;(3)1x -⎰; (4) 320sin cos d ϕϕϕπ⎰;(5)22cos d u u ππ6⎰;(6)2e 1⎰;(7)1;(8)x ;(9)ln 3ln 2d e ex xx--⎰; (10) 322d 2xx x +-⎰;(11)21x ⎰;(12) 22x ππ-⎰.解 333(1)sin()d sin()d()[cos()]x x x x x ππππππππππ+=++=-+3333⎰⎰42coscos 033ππ=-+= 12332221d 1d(511)151(2)(511)(115)5(511)10512x x x x x 11---+==-=+++⎰⎰1111(3)4)14x x--=-==⎰⎰2334220011(4)sin cos d cos dcos cos44ϕϕϕϕϕϕπππ=-==-⎰⎰22222π2π61cos211(5)cos d d d cos2d22241πππ1sin226264uu u u u u uuππππππππ6666+==+⎛⎫=+=-⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰222e e11(6)1)===⎰⎰(7)令x=tan t,则d x=sec2t d t,当x=1时,π4t=;当x=,π3t=,于是ππ33π21π44cos1dsin sinttt t==-=⎰(8)令x t,则d dx t t=,当x=0时,t=0;当x=,π2t=,于是πππ222200π12cos d(1cos2)d(sin2)22x t t t t t t==+==+⎰⎰.(9)令e x t=,则1ln,d dx t x tt==,当ln2x=时,2t=;当ln3x=时,3t=,于是3ln3332ln2222d d1113111d ln lne e12222111x xx t ttt t t t--⎛⎫====-⎪---++⎝⎭⎰⎰⎰.3 333222222d d11111(10)()d ln19231232()241211(ln ln)ln2ln53543x x xxx x x x xx-==-=+--+++-=-=-⎰⎰⎰(11)t=,则65,d6dx t x t t==,当x=1时,t=1;当x=2,t于是2111611d6()d1x t tt t t t==-++⎰6(ln ln(7ln26ln(1t t=-+=-220202(12)d sin )d sin d x x x x x x x x xπ-π-π-==-+=-⎰⎰⎰33022202224cos cos 333x x ππ-=-= 2. 利用被积函数的奇偶性计算下列积分值：(1)ln(aa x x -+⎰(a 为正常数)；(2) 325425sin d 21x xx x x -++⎰; (3) 4224cos d θθππ-⎰.解((1)()l n f x x =+是奇函数.(ln 0d aax x -∴=+⎰.3242sin (2)()21x xf x x x =++ 是奇函数.325425sin 021d x x x x x -∴=++⎰4(3)()cos f θθ= 是偶函数.4422222022202020222004cos 24cos 2(1cos )2(12cos 2cos 2)312(2cos 2cos 4)22(34cos 2cos 4)1332sin 2sin 442ππππππππππd d d d d d θθθθθθθθθθθθθθθθθθ-∴==+=++=++=++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰π3. 证明下列等式： (1)2321()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正整数)；(2)证明：11221d d 11xx x x x x =++⎰⎰ (x ＞0)；(3) 设f (x )是定义在(-∞，+∞)上的周期为T 的连续函数，则对任意a ∈［－∞，＋∞），有()d ()d a TTaf x x f x x +=⎰⎰.证 (1)令x 2=t ,则d x x t ==,当x =0时,t =0;当x =a 时,t =a 2, 于是2223200011()()()()22d d d aa a a x f x x t t tf t t xf x x ===⎰⎰⎰⎰即2321()()2d d aa x f x x xf x x =⎰⎰.(2)令1x t=则21d d x t t -=,1111111222231111111111111d d d d d t xx t tx t t t x x t t x t t⎛⎫=⋅=-⋅==- ⎪++++⎝⎭+⎰⎰⎰⎰⎰ 即 1122111d d xx x x x x =++⎰⎰. 4. 若f (t )是连续函数且为奇函数，证明0()d xf t t ⎰是偶函数；若f (t )是连续函数且为偶函数，证明()d xf t t ⎰是奇函数.证 令0()()d xF x f t t =⎰.若f (t )为奇函数,则f (-t )=- f (t ),从而()()()()()d d d xxxF x f t tt u f u u f u u F x -==---==⎰⎰⎰,所以0()()d xF x f t t =⎰是偶函数.若f (t )为偶函数,则f (-t )=f (t ),从而()()()()()d d d xxxF x f t tt u f u u f u u F x --==---=-=-⎰⎰⎰,所以0()()d xF x f t t =⎰是奇函数.5※. 设f (x )在(-∞，+∞)内连续，且F (x )= 0(2)()d xx -t f t t ⎰,试证：若f (x )单调不减，则F (x )单调不增.证 00()()()2()()2()d d d x xxF x f t t xf x xf x xf t t tf t x '⎡⎤'==+--⎣⎦⎰⎰⎰()()()()[()()]d xf t t xf x f x xf x x f f x ξξ=-=-=-⎰,其中ξ在x 与0之间.当x >0时,x >ξ,由f (x )单调不减有()()0f f x ξ-≤,即()0F x '≤;当x <0时,ξ> x ,由f (x )单调不减有()()0f f x ξ-≥,即()0F x '≤;综上所述知F (x )单调不增.习题6-41. 计算下列定积分： (1)10e d xx x -⎰; (2)e1ln d x x x ⎰;(3)41x ⎰; (4) 324d sin xx x ππ⎰; (5) 220e cos d x x x π⎰; (6)221log d x x x ⎰;(7)π20(sin )d x x x ⎰; (8)e1sin(ln )d x x ⎰；(9)230e d x x ; (10)1201lnd 1xx x x+-⎰. 解 (1)1111000e d de e e d x x x xx x x x x ----=-=-+⎰⎰⎰ 111012e e e e e 1ex----=--=--+=-.e e e 22222ee 11111111111(2)ln d ln d ln d e (e 1)222244x x x x x x x x x x ==-=-=+⎰⎰⎰444441111(3)2ln 28ln 28ln 24x x x x ==-=-=-⎰⎰⎰33332444434(4)d dcot cot cot d sin π131πln πlnsin 492249xx x x x x x xx x ππππππππππ=-=-+⎛=-+=+- ⎝⎭⎰⎰⎰22222222000π2π222220π220(5)e cos d e dsin e sin 2e sin d e 2e dcos e 2e cos 4e cos d e 24e cos d xxxx xxx x x x x xx xx x x x x xππππππππ==-=+=+-=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰故2π201e cos d (e 2)5x x x π=-⎰.()2222222111111(6)log d ln d ln d 2ln 22ln 2133(4ln 2)22ln 224ln 2x x x x x x x x x ==-=-=-⎰⎰⎰πππ2232π000033ππ2π0003ππ0033π01111(7)(sin )d (1cos 2)d (dsin2)2232π1π1(sin 22sin2d )dcos26464π1(cos 2cos d )64ππ1ππsin 264864x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x =-=-=--=-=--=-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ee e111ee11e1(8)sin(ln )d sin(ln )cos(ln )d esin1cos(ln )sin(ln )d esin1ecos11sin(ln )d x x x x x x x x x x x x=-=--=-+-⎰⎰⎰⎰故e11sin(ln )d (esin1ecos11)2x x =-+⎰. 222222322000011(9)e d de e e d 22111ln 2ln 2e ln 2222x x x x x x x x x x==-=-=-=-1112122222220000111222200012011111(10)ln d ln d ln d 121211111111ln 3(1)d ln 3()d 818211111131ln 3ln ln 3822281x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++==+----=++=++---+-=++=-+⎰⎰⎰⎰⎰2. 已知f (2)= 12,f ′(2)=0, 2()d 1f x x =⎰,求220()d x f x x ''⎰.解222222200()d d ()()2()d x f x x x f x x f x xf x x '''''==-⎰⎰⎰222004(2)2d ()2()2()d 14(2)21420.2f x f x xf x f x xf '=-=-+=-+⨯=-⨯+=⎰⎰3※. 利用分部积分公式证明：()()()d ()d d xxuf u x u u f x x u -=⎰⎰⎰.证 令0()()d uF u f x x =⎰则()()F u F u '=,则(())()()()d d d d xu x xx f x x u f u u uF u uF u u '==-⎰⎰⎰⎰()()()()()()()()()()d d d d d d d d x x xx x x xxxF x uf u u x f x x uf u ux f u u uf u u xf u u uf u u x u f u u=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰即等式成立.习题6-51. 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) y =e x 与直线x =0及y =e; (2) y =x 3与y =2x ;(3) y =x 2,4y =x 3; (4) y =x 2与直线y =x 及y =2x ; (5) y =1x,x 轴与直线y =x 及x =2; (6) y =(x -1)(x -2)与x 轴； (7) y =e x ,y =e -x 与直线x =1; (8) y =ln x ,y 轴与直线y =ln a ,y =ln b , (0)a b <<. 解 (1)可求得y =e x 与y =e 的交点坐标(1,e), y =e x 与x =0的交点为(0,1),它们所围成的图形如图6-1中阴影部分,其面积eee111d ln d (ln )1S x y y y y y y ===-=⎰⎰图6-1 图6-2(2)解方程组32y x y x ⎧=⎨=⎩得0,0x x x y y y ⎧⎧===⎧⎪⎪⎨⎨⎨==-=⎩⎪⎪⎩⎩即三次抛物线3y x =和直线2y x =的交点坐标分别为(0,0),(-,它们所围成的图形的面积3342240112)d )d ()(244S x x x x x x x x x x =-+-=-+-=⎰.(3)解方程234y xy x⎧=⎪⎨=⎪⎩得两曲线的交点为(0,0),(4,16),所求面积为 4233440011116()d ()43163S x x x x x =-=-=⎰.图6-3 图6-4(4)可求得2y x =与y x =的交点为(0,0),(1,1);2y x =与2y x =的交点为(0,0),(2,4); y =x 与y =2x 的交点为(0,0),它们所围图形如图6-4中阴影所示,其面积为:121122012231201(2)d (2)d d (2)d 117()236S x x x x x x x x x x xx x x =-+-=+-=+-=⎰⎰⎰⎰(5) 1y x =与y x =的交点为(1,1),1y x=,x 轴与直线x =1,及x =2所围成的图形如图6-5阴影所示,其面积:2121201111d d ln ln 222x S x x x xx =+=+=+⎰⎰.图6-5 图6-6(6) 231(1)(2)()24y x x x =--=--,顶点坐标为31(,)24-,与x 轴所围成的图形如图6-6中阴影所示,由231()24y x =--得32x =所求面积0143021433d 2222112364S y y y --⎡⎤⎛⎛=-=⎢⎥ ⎝⎝⎣⎦⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭⎰⎰(7)可求得曲线e x y =与e x y -=的交点(0,1),曲线e x y =,e x y -=与x =1所围成的图形如图6-7阴影所示,其面积:10)() 2.101(e e d e e e ex x x x S x --=-=+=+-⎰图6-7 图6-8(8)曲线ln ,y x y =轴与直线ln ,ln y a y b ==所围成的图形如图6-8阴影所示,其面积:ln ln ln ln ln ln .d e d e bby yb aaaS x y y b a ====-⎰⎰2. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转而成的旋转体的体积：(1) y =e x ,x =0,y =0,x =1,绕y 轴； (2) y =x 3,x =2,x 轴，分别绕x 轴与y 轴； (3) y =x 2,x =y 2，绕y 轴； (4) y 2=2px ,y =0,x =a (p ＞0,a ＞0),绕x 轴； (5) (x -2)2+y 2≤1,绕y 轴.解 (1)如图6-9所求旋转体的体积为矩形OABD ,与曲边梯形CBD 绕y 轴旋转所成的几何体体积之差,可求得y =e x 与x =1的交点为(1,e), y =e x 与y 轴的交点为(0,1),所以,所求旋转体的体积.222111(ln )(ln )2(ln )22(1)2(ln )eee11ee1πe πd πe πd πe πe ππe e π.d y V y y y y y y y y y ⎡⎤=⋅⋅-=--⎣⎦⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦⎰⎰⎰722262000128(2)7ππd πd π7x x V y x x x ===⋅=⎰⎰25882283336428323255πππd ππd ππy V x y y y y =⨯⨯-=-=-⋅⋅=⎰⎰.图6-9 图6-10(3)解方程组22y xx y⎧=⎪⎨=⎪⎩得交点(0,0),(1,1),所求旋转体的体积2511410031025πdπdππxx xV x x x x⎛⎫=-=⋅=-⎪⎝⎭⎰⎰.图6-11 图6-1222300(4)2πdπdππa aaxV y x px x p x pa===⋅=⎰⎰.(5)所求旋转体的体积是由右半圆2x=2x=x轴旋转生成的旋转体的体积之差,即((122122281641dπππyV yy yπ-⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦===⎰⎰⎰图6-133. 已知曲线y=(a＞0)与y(x0,y0)处有公共切线，求：(1) 常数a及切点(x0,y0);(2) 两曲线与x轴围成的平面图形的面积S.解(1)由题意有点00(,)x y在已知曲线上,且在点00(,)x y处两函数的导数相等.即有00x xyy==⎧=⎪⎪==即12yyx⎧=⎪⎪=⎨=解得211eexya⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩.(2)由(1)知两曲线的交点为2(,1)e,又在区间(0,1)上,曲线y=y=方,它们与x轴所围成的平面图形的面积122231221111()6223d ee ee e yyS y yy⎛⎫===-⎡⎤-- ⎪⎣⎦⎝⎭⎰.(由ey==得2()x ey=,由y=得2e yx=).4※. 设2()lim1e nxnxf xx→+∞=+-,试求曲线y=f(x),直线y=12x及x=1所围图形的面积.解2200()lim101nxnxxf x xx e xx→∞≥⎧⎪==⎨+-<⎪+⎩解方程2121y xxyx⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪+⎩得交点为11,2⎛⎫--⎪⎝⎭,且易知当(1,0)x∈-时,12y x=位于21xyx=+的上方.所围图形如阴影部分所示,其面积2221111111111ln2ln(1)22422142dxS xx x xx--⎛⎫⎡⎤=+⨯⨯=+=--+⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭⎰.5. 一抛物线y=ax2+bx+c通过点(0，0)、(1，2)两点，且a＜0，试确定a,b,c的值，使抛物线与x轴所围图形的面积最小.解由抛物线过(0,0),(1,2)点,有c=0,a+b=2,又由抛物线方程2y ax bx=+得与x轴的两交点为(0,0), ,0ba⎛⎫-⎪⎝⎭,抛物线与x轴所围图形的面积.2220()6d b ab S ax bx x a-=+=⎰,由2a b +=得2b a =-,代入上式有32(2)6a S a -=, 23(2)(4)6a a S a--+'=,令0S '=得2a =或4a =-, 由已知0a <得4a =-,从而26b a =-=, 所以4,6,0a b c =-==.6. 已知某产品产量的变化率是时间t (单位：月)的函数f (t )=2t +5,t ≥0,问：第一个5月和第二个5月的总产量各是多少?解 设产品产量为()Q t ,则()()Q t f t '=,第一个5月的总产量552510()(25)(5)50.d d Q f t t t t t t ==+=+=⎰⎰ 第2个5月的总产量为10252055()(25)(5)100.d d tQ f t t t t t t ==+=+=⎰⎰ 7. 某厂生产某产品Q (百台)的总成本C (万元)的变化率为C ′(Q )=2(设固定成本为零)，总收入R (万元)的变化率为产量Q (百台)的函数R ′(Q )=7-2Q .问： (1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?(2) 在利润最大的基础上又生产了50台，总利润减少了多少? 解 (1)总利润()()()L Q R Q C Q =-当()0L Q '=即()()0R Q C Q ''-=即7220Q --=, Q =2.5百台时,总利润最大,此时的总成本2.5 2.52.50()225d d C C Q Q Q Q'====⎰⎰总利润11.255 6.25L R C =-=-=(万元).即当产量为2.5百台时,总利润最大,最大利润是6.25万元.(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,总成本3300()26d d C C Q Q Q '===⎰⎰,总收入3323000()(72)(7)12d d R R Q Q Q Q Q Q '==-=-=⎰⎰, 总利润为1266L R C =-=-=(万元).减少了6.25-6=0.25万元.即在利润最大的基础上又生产了50台时,总利润减少了0.25万元.8. 某项目的投资成本为100万元，在10年中每年可获收益25万元，年利率为5％，试求这10年中该投资的纯收入的现值. 解 投资后T 年中总收入的现值(1)e rt ay r-=-,由题意知 25,5%0.05,10.a r T ====所以0.051025(1)196.730.05e y -⨯=-= 纯收入的现值为196.73-100=96.73.即这10年中该投资的纯收入的现值为96.73万元.习题6-61. 判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值： (1)41d xx +∞⎰; (2)1+∞⎰; (3)0e d axx +∞-⎰ (a ＞0); (4)0cos d x x +∞⎰;(5)0e sin d x x x +∞⎰; (6)2d 22xx x +∞-∞++⎰; (7)21⎰; (8)10ln d x x ⎰;(9)e1⎰(10)22d (1)xx -⎰;(11)1⎰解 (1)1431d 1133x x x +∞+∞=-=⎰,此广义积分收敛.(2)1+∞==+∞⎰,此广义积分发散. (3)111e d e ax axx aa+∞--+∞=-=⎰,此广义积分收敛. (4)1cos d sin lim sin sin 0lim sin x x x x xx x +∞+∞→+∞→+∞==-=⎰不存在,所以,此广义积分发散.00(5)e sin d e d cos e cos e cos d e cos e dsin e cos e sin e sin d 11e sin d (e sin e cos )e (sin cos )22e sin d lim e sin d lim x x x x x x x x x x x x x b x x b b x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x +∞→+∞→=-=-+=-+=-+-∴=-=-∴==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 01e (sin cos )211 lim e (sin cos )22x b b b x x b b +∞→+∞⎧⎫⎡⎤-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦不存在,此广义积分发散.22d d(1)(6)arctan(1)π22(1)1xx x x x x +∞+∞+∞-∞-∞-∞+==+=++++⎰⎰,收敛.23222110013202(7)lim lim (1)3222lim 2,.2333收敛x x εεεεεε++++→→+→⎡==-+⎢⎣⎛==-- ⎝⎰⎰111011eee1111222220100(8)ln d ln d ln 1 ln d lim ln d lim (ln 1)1,.π(9)arcsin(ln ),.211d d d (10)lim (1)(1)(1)收敛收敛x x x x x x x x x x x x x x x x εεσεεεεεεεεεεεε+++→→-+→=-=--∴==--=-===⎛⎫+= ⎪---⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰120100112 lim lim ,211xxεεεεε++-+→→⎛⎫⎛⎫===+∞+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭此广义积分发散.)211-00001(11)lim lim 2lim 1,1εεεεε+++-→→→==-=-=⎰⎰此广义积分收敛. 2. 当k 为何值时，广义积分+2d (ln )kxx x ∞⎰收敛?当k 为何值时，这广义积分发散?又当k 为何值时，这广义积分取得最小值? 解 当k =1时,++222d dln ln(ln )ln ln x x x x x x∞∞+∞===+∞⎰⎰,发散.当1k ≠时,1++122211d (ln )(1)(ln 2)(ln )dln (ln)11kk kk k x x k x x x kk -∞∞--+∞⎧>⎪-==⎨-⎪+∞<⎩⎰⎰所以,当k >1时,此广义积分收敛,当k ≤1时,此广义积分发散.记1()(1)(ln 2),k f k k -=-11()(ln 2)(1)(ln 2)lnln 2k k f k k --'=+-.令()0f k '=得11ln ln 2k =-. 又 1()(ln 2)lnln 2[2(1)lnln 2]k f k k -''=+-,且 1ln ln 21(1)(ln 2)ln ln 20ln ln 2f -''-=<, 故()f k 在11ln ln 2k =-有极大值,而()f k 只有一个驻点,所以当11ln ln 2k =-时()f k 取得最大值,因而11ln ln 2k =-时,这个广义积分取得最小值.3. 利用递推公式计算反常积分+0e d n x n I x x ∞-=⎰.解 ++110de e e d n x n xn x n n I x x n x x nI ∞∞----+∞-=-=-+=⎰⎰又 +10de e e 1x x xI x x ∞---+∞+∞=-=--=⎰故 121(1)(1)2!n n n I nI n n I n n I n --==-=-= 4. 求120(1)d n n I x x =-⎰(n 0,1,2,…).解 设x =sin t ,则d x =cosd t ,π2120cos d n n I t t +=⎰而 ππ2200(21)!!π2(2)!!2sin d cos d (2)!!21(21)!!n n k n kk x x x x k n k k -⎧⋅=⎪⎪==⎨⎪=+⎪+⎩⎰⎰所以 π221220(2)!!(!)cosd 2 (0,1,2,)(21)!!(21)!n nn n n I t t n n n +====++⎰.6. 用Γ函数表示下列积分：(1)e d nx x +∞-⎰ (n ＞0)； (2)101(ln )d x x α⎰ (α＞-1)； (3) 0e d n m x x x +∞-⎰1(>0)m n +; (4)220e d n x x x +∞-⎰ （12n >-）.解 (1)令nx t =,则1111,d d nn x t x t t n-==,于是1111+++001111ed e d e d ()nx tt n n x t t t t n n n n --∞∞∞---=⋅==Γ⎰⎰⎰.(2)令1lnt x =,则e ,d e d .t t x x t --==- 于是 10+(1)1001(ln )d e d e d (1).a a t a tx t t tt a x∞-+--+∞=-==Γ+⎰⎰⎰ (3)令nx t =,则1111,d d nn x t x t t n-==,于是1111+++001111ed ()e d e d ()nm m x m tt n n n m x x t t t t t n n n n+-∞∞∞---+=⋅⋅=⋅=Γ⎰⎰⎰.(4)令2x t =,则x x t ==,于是21+++2220011+201ed e e d 2111e d ()222n n x ntt n t x x t t tt t n ∞∞∞----⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭=⋅===Γ+⎰⎰⎰⎰。
微积分第五章第六章习题答案
习题5.11.（1）sin x x（书本题目有问题。
考察内容为求导与积分互逆的知识点） ；3sin x （2）无穷多 ；常数（3）所有原函数（4）平行2. 23x ；6x3.（1）3223x C --+（2）323sin 3x x e x C +-+（3）3132221(1565(2))15x x x x C -++-+ （42103)x x C -++ （5）4cos 3ln x x C -++（6）323x x x e C +-+ （7）sin 22x x C -+（8）5cos x x C --+ 4. 3113y x =+ 5. 32()0.0000020.0034100C x x x x =-++；(500)1600;(400)(200)552C C C =-= 习题5.21.（1）1a （2）17（3）110（4）12-（5）112（6）12（7）2-（8）15（9）-（10）12- 2. （1）515t e C + （2）41(32)8x C --+（3）1ln 122x C --+（4）231(23)2x C --+ （5）C -（6）ln ln ln x C +（7）111tan 11x C +（8）212x e C --+ （9）ln cos ln sin x x C -++（10）ln C -+（11）3sec sec 3x x C -++ （12）C （13）43ln 14x C --+（14）2sec 2x C + （1512arcsin 23x C + （16）229ln(9)22x x C -++ （17C （18）ln 2ln 133x x C -+-+ （19）2()sin(2())4t t C ϕωϕωω++++ （20）3cos ()3t C ϕωω+-+ （21）cos 1cos5210x x C -+ （22）13sin sin 232x x C ++（23）11sin 2sin12424x x C -+ 习题5.31.（1）arcsin ,,u x dv dx v x === （2）,sin ,cos u x dv xdx v x ===-（3）231ln ,,3u x dv x dx v x ===（4）,cos ,sin x u e dv xdx v x -=== （5）231arctan ,,3u x dv x dx v x === 2. （1）cos sin x x x C ++（2）(1)x e x C ---+（3）11cos 2sin 224x x x C -++ （4）21((1)arctan )2x x x C -+++（5）ln(1)ln(1)x x x x C -+++++（6）41(4ln 1)16x x C -+（7arcsin x x C +（8）21((2)2(1)ln(1))2x x x x C --+-++习题5.41.（1）arctan x C + （2）232ln 18ln 4ln 123x x x x x x C +++-+--+ （3）2sin 2cos sin 22x x C x x -++（4）1(ln cos ln sin tan )2222x x x C -+-+ （5）211(arctan )21x x C x -+++（6）6ln 11x C x +-+-（7）略 （8）11ln 2cos sin ln cos 2sin 522522x x x x C --+++ （9）2111ln cos ln sin sec tan 2222422x x x x C -++++（10）ln 1sin x C ++ 复习题五1.（1）2x（2）2cos 2x （3）ln 1x +（4）2x e dx - （5）sin x C +（6）1(23)2F x C -+（7）21(1)2F x C --+ （8）2sin 23-+（9）0（10）12 2. 1.（1）A （2）A （3）A （4）A （5）C （6）D3. （1）322cos 3ln 3x x x C --++ （2）111(12)22x C --+（3）1cos C x +习题6.1 1. 5032. （1）1 （2）214a π3. （1） （2）4.略5. 220(2)(1)02,12(2)(1)0x x x x x x x x x --≥-+≥→--+≥ 证明：须证根据积分区间，知故成立。