微积分(经管类)第五章答案
文科 经管类 微积分 第五章
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dF( x) F ( x) C
•原函数的概念：F (x)f(x) 例3.
f x dx F x C
设函数 f x 在 , 内连续且满足
解：
f x dx x sin 2 x x 2 C.
可以符号化地写为：
3 x dx x C
2
3
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•原函数的概念：F (x)f(x)
f x dx F x C
例1 因为sin x 是cos x 的原函数 所以
cos xdx sin x C
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cos udu sin u C
xx xx (4) e dx e C (4) e dx e C
x a C (5) a x dx ln a
(6) cos xdx sin x C (7) sin xdx cos x C
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1 2 dx sec xdx tan x C (8) 2 cos x 1 2 dx csc xdx cot x C (9) 2 sin x 1 dx arctan x C (10) 2 1 x 1 dx arcsin x C (11) 1 x2 (12) sec x tan xdx sec x C
微积分(经管类第四版)习题1-3答案
1、⎩⎨⎧>-+≤≤=50)50(25.05.750015.0)(x x x x x f ，， 2、46.779%)71(700%)71(3005=+++=p （元） 3、s d q q =市场均衡时，20534032025===-=-s d q q p p p ，，所以 4、（1），数，所以设产量为因为成本函数是线性函x 1001003100310040001004001001000，其中固定成本为故，时，；当时，当又为常数），（其中则+=⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧+⨯=+⨯=∴====+=x y b a b a b a y x y x b a b ax y（2） 3.52007007001002003200===+⨯==，平均成本时，当y x 5、q q q p q R q p p q 2005)(2005510002+-=⨯=+-=∴-=，故， 320002002005200)200(2002=⨯+-==R q 时，当 6、，，销售量为设销售收入为x y⎩⎨⎧≤<-≤≤=∴-=≤<=≤≤1520x 100025001200100001200x 250012001520x 10001200xy 10000，，，当，，当x x y x y x 7、040400000====Q P Q P 时，；当时，当100040)100040(1000401000400001000400004000400002Q Q Q Q Q P R Q P PQ b a b a b a -=⨯-=⨯=-=-=⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧⨯+=⨯+=，故，所以代入得8、（1）设收入为R ，有题意得R=12q ，保本点时C=R ，即81+3q=12q ，所以q=9（2）设利润为L ，则L=R-C=12q-(81+3q)=9q-81，981-109L 01=⨯==时，当q（3）当定价为2元/件时，L=2q-(81+3q)=-q-81，因为q>0，所以L 恒小于0。
微积分 北京大学出版社 第5章 定积分--答案
1
−1
∫ ( x + x )e
−1
−x
dx =
1 1 1 −x 1 0 1 1
解法 1：原式=
0
∫
1
xe dx + ∫ xe dx = 2∫ xe dx + 0 = −2∫ xde = −2 x e
−x −x −x −x −1 0 0
+ 2∫ e− x dx = −2e−1 − 2 e− x = 2 −
1 1 8（07） ∫ 3 e x dx = x 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x 2 = e2 解原式= − ∫ de = − e + ∫ e d = − e + 1 + e x x x 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
2
9（02）设 F ( x) =
x2 f ( t )dt ，其中 f ( x) 为连续函数，则 lim F ( x) = （ x →a x−a ∫ a
2
π
2
; x = 0, t = 0
π
2
π
2
1 + cos 2t ⎛1 1 ⎞2 π 原式= ∫ cos t cos tdt = ∫ dt = ⎜ t + sin 2t ⎟ = 4 2 ⎝2 4 ⎠0 0 0
(注：该题利用几何意义积分比变量替换积分简单)
+∞
π
7（00）
∫e
1
x
1 dx = + e 2− x
6.（00）
⎛1⎞ f⎜ ⎟ ⎝ x⎠
∫
0
1
2 x − x 2 dx =
微积分(经管类)第五章答案
微积分（经管类）第五章答案 5.1 定积分的概念与性质一、1、∑=→∆ni iixf 1)(limξλ；2、被积函数,积分区间,积分变量；3、介于曲线)(x f y =,x 轴,直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和；4、⎰ba dx ；5、⎰⎰+bc cadx x f dx x f )()(；6、b a a b M dx x f a b m ba<-≤≤-⎰,)()()(；7、⎰badx x f )( ⎰-=a bdx x f )(；8、)(ξf 与a b -为邻边的矩形面积；二、略. 三、⎰-231cos xdx .四、略。
五、(1)+； (2)-； (3)+. 六、(1)<; (2)<. 七、略。
5.2. 微积分基本定理一、1、0；2、)()(a f x f -；3、)1ln(23+x x ；4、65； 5、(1)ππ,；(2)0,0；6、(1)0； (2)0。
7、;6145 8、6π； 9、1. 二、1、1sin cos -x x ；2、)sin cos()cos (sin 2x x x π⋅-； 3、2-.三、 1、852； 2、3π； 3、14+π； 4、4.四、1、0； 2、101.五、略。
六、335π, 0. 七、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-<=ππφx x x x x ,10,)cos 1(210,0)(.5.3. 定积分的换元积分法与分部积分法一、1、0； 2、34-π； 3、2π； 4、323π； 5、0.6、e 21-； 7、)1(412+e ； 8、23ln 21)9341(+-π. 二、1、41； 2、3322-； 3、1-2ln 2； 4、34；5、22；6、8π；7、417；8、2ln 21； 9、1-e .10、211cos 1sin +-e e ； 11、)11(2e-； 12、212ln -；13、2ln 33-π； 14、22+π；15、3ln 24-；16、2+)2ln 3(ln 21-。
微积分答案
第一章 函数与极限1.2-1.3 数列和函数的极限一、 根据数列或函数极限的定义证明下列极限:1. 0)1(lim 2=-∞→n n n ； 2.521532lim =+-∞→n n n ； 3. 224lim 42x x x →--=-+； 4. 0cos lim =+∞→x x x ；5. 证明11lim=-+∞→x x x ，并求正数X ，使得当x X >时，就有01.0|11|<--x x.（X 2=101）二、设}{n x 为一数列.1. 证明：若ax n n =∞→lim ，则||||lim a x n n =∞→；2. 问：(1)的逆命题“若||||lim a x n n =∞→，则ax n n =∞→lim ”是否成立？若成立，证明之；若不成立，举出反例. （逆命题不成立。
反例：(1)nn x =-。
）三、判断下列命题的正误：1. 若数列}{n x 和}{n y 都收敛，则数列}{n n y x +必收敛； （正确）2. 若数列}{n x 和}{n y 都发散，则数列}{n n y x +必发散； （错误）3. 若数列}{n x 收敛，而数列}{n y 发散，则数列}{n n y x +必发散。
（正确） 四、证明：对任一数列}{n x ，若ax k k =-∞→12lim 且ax k k =∞→2lim ，则ax n n =∞→lim . 五、证明：A x f x =∞→)(lim 的充分必要条件是Ax f x =-∞→)(lim 且Ax f x =+∞→)(lim .六、根据函数的图形写出下列极限（如果极限存在）：1. lim arctan x x π→-∞=-2，lim arctan x x π→+∞=2和lim arctan x x→∞不存在2. lim sgn 1x x →-∞=-，1lim sgn x x →+∞=和lim sgn x x→∞不存在3.lim x x e →-∞=，lim x x e →+∞=+∞和lim xx e →∞不存在七、证明：若)(lim 0x f x x →存在，则函数)(x f 在0x 的某个去心邻域内有界.八、证明：函数)(x f 当0x x →时的极限存在的充分必要条件是左极限，右极限均存在并且相等，即)(lim )(lim )(lim 0x f A x f A x f x x x x x x +-→→→==⇔=.九、设||)(x x f =，求0lim ()0x f x -→=，0lim ()0x f x +→=和0im ()0l x f x →=.十、设x x f sgn )(=，求0lim (1)x f x -→=-，0lim ()1x f x +→=和0lim ()x f x →不存在1.4 无穷小与无穷大一、填空题1. 当x →∞时，11-x 是无穷小；当1x →时，11-x 是无穷大.2. 当0x -→时，x e 1是无穷小；当0x +→时，xe 1是无穷大.3. 当1x →时，x ln 是无穷小；当0x +→时，x ln 是负无穷大；当x →+∞时，x ln 是正无穷大. 二、选择题当0→x 时，函数x x1cos1是（D ） （A ）无穷小； （B ）无穷大；（C ）有界的，但不是无穷小； （D ）无界的，但不是无穷大.三、证明函数x x x f sin )(=在)0(∞+，内无界，但当+∞→x 时，)(x f 不是无穷大. 四、判断下列命题的正确性：1. 两个无穷小的和也是无穷小. （正确）2. 两个无穷大的和也是无穷大. （错误）3. 无穷小与无穷大的和一定是无穷大. （正确）4. 无穷小与无穷大的积一定是无穷大. （错误）5. 无穷小与无穷大的积一定是无穷大. （错误）6. 无穷大与无穷大的积也是无穷大. （正确） 五、举例说明：1. 两个无穷小的商不一定是无穷小；2. 无限个无穷小的和不一定是无穷小. 六、根据定义证明：1. 当0→x 时，x x x f 1sin)(=为无穷小；2. 当+→0x 时，xe xf 1)(=为无穷大；3. 当-∞→x 时，xe xf =)(为无穷小.1.5 极限运算法则一、计算下列极限:1.22lim(31224)x x x →-+=2. 22131im 21l x x x x →-+=-3. 224im 4l 2x x x →-=-4. 11lim 1n x x n x →-=-（n 是正整数）5. 3131lim()111x x x →-=--6. 0233()lim 3h x h x x h →+-=二、计算下列极限：1. 211lim(3)6)(2x x x →∞-+=2. 2231lim 4134x x x x →∞+=+- 3. 2321lim 510x x x x x →∞++=-+4. 235lim 101x x x x →∞+-=+∞5.2221211lim 2(...)n n n n n →∞-+++=6. 221...lim (||1||1)1.1..1n nn a a a a b b b b b a →∞++++-<<=++++-， 7. 1123lim 2313n n n n n ++→∞+=+ 三、若0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，求b a ,的值. （1,1a b ==-）四、若23)11(lim 21=---→x x x a x ，求a 的值. （2a =）五、计算下列极限：1. 2211lim 2x x x x x →++=+-∞2.2lim(543)x x x →∞--=∞3. 32251lim 465x x x x x →∞-+=++∞.六、计算下列极限： 1.211lim(1)cos10x x x →-=-2.301lim s ni x x x →=3. 2(1)arcta 0n lim x x x x →∞+=. 七、设2,1()5,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，分别求函数)(x f 在1-=x 与1=x 的左极限、右极限和极限.（4,1--，不存在）八、设11lim )(22+-=∞→nn n x x x f ，试求)(x f 的表达式. （1,1()0,11,1x f x x x ⎧-<⎪==⎨⎪>⎩）1.6 极限存在的两个准则两个重要极限一、利用夹逼定理求下列极限： 1. 222111lim(...)120n n n n n →∞+++=+++2.222111lim(...)120n n n n n n n n →∞+++=++++++3. 21lim (arctan )0x x x →∞=二、证明：332lim =+∞→n n n n .三、设12max{...}m a a a a =，，，(01,2,...,)k a k m >=，，证明：n a=.四、设1>a ，证明0lim=∞→nn a n五、利用数列的单调有界准则证明下列数列收敛，并求出极限：1. 12,n x x x ===...；（l i m 2n n x →∞=）2. 11121111111n n n x x x x x x x --==+=+++，，...，，....（lim n n x →∞=） 六、设11x a y b ==，(0)a b <<，n n n y x x =+1，21nn n y x y +=+. 1. 证明数列}{n x 单调增加，数列}{n y 单调减少且满足(1,2,...)n n x y n <=； 2. 证明数列}{n x 和}{n y 都收敛，并且有相同的极限.七、计算下列极限:1.0sin 33lim44x x x →=2. 0sin lim (,0)sin x x x ααββαβ→≠=3.lim sinx x xππ→∞=4. sin m1li x xx ππ→=-5.01cos lim arctan 12x x x x →-=6. 0lim x +→=7. 1lim 2s n 30i n n n →∞=.八、计算下列极限:1. 1lim(1)1nn n e→∞+=+2. 522lim(1)x x x e +→∞+=3.1x e →=4. 21lim()211x x x e x →∞-=+5. 2cot 2lim(1tan )x x x e →+=6.21lim(11)nn n →∞-=.九、已知2)1(lim 1=+→xx ax ，求a 的值. （ln 2a =）十、设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<=0cos 102sin )(2x x x x xxx f ，，，求(0)(0)f f -+，和)(lim 0x f x →. （2,2,2）十一、设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=00tan )(2x x x x xaxx f ，，，已知)(lim 0x f x →存在，求a 的值. （0a =）1.7 无穷小的比较一、比较下列各对无穷小：1. 221,(1)(1)x x x --→ （后者高阶） 2. 321,1(1)x x x --→ （同阶）3.21cos ,(0)x x x -→ （同阶） 4. 2tan sin ,(0)x x x x -→ （前者高阶） 二、证明：当0→x 时，有以下等价无穷小成立：1. arcsin x x ；2.3tan sin 2x x x -. 三、利用等价无穷小代换计算下列极限：1. 20arctan lim sin 1x x x x →=2. 21lim s n 0i x x x →∞=3.lim 12x +→=四、当0x →时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小?A.2x B.1cos x -1 D.tan x x - （D ）五、证明：若α是β的高阶无穷小，则αββ+ 。
微积分 中国商业出版社经管类 课后习题答案九
微积分中国商业出版社经管类课后习题答案九微积分中国商业出版社经管类课后习题答案九[微积分](中国商业出版社经管类)课后习题答案九《微积分》(中国商业出版社经管类)课后习题答案1．确定下列微分方程的阶数；（1）dy2xy3y5；（2）(y'')25(y')4x70；dx（3）y'''2(y')22y2x5ex sinx.求解：（1）一阶（2）二阶（3）三阶2．验证下列函数是相应微分方程的解，并指出是特解还是通解.其中c,c1,c2是任意常数,1,2是常数；（1）y sin2x,y''4y0；（2）y c1cos x c2sin x,y''2y0；（3）y c1e1x c2e2x,y''(12)y'12y0，（12）；（4）y c1e x c2xe x,y''2y'2y0；（5）y ce3x,y''9y0；（6）y3e2x(2x)ex,y''3y'2y ex.解：（1）特解（2）通解（3）通解（4）通解（5）通解（6）特解3．谋以下微分方程的求解：dy1y23.(1)；（2）xy2y3xyy；2dxy(1x)22（3）xdy ydx0；（4）(x2y)dx(2x3y)dx0；2xdy2ydx(3x5y)dx(4x6y)dy0；（5）（6）求解：1.dy1y2dxxy(1x2)x24y2dx(x0).1ydy2dx2x（1x）1xdy（-）dxx1x1y11ln（1y2）lnx-ln（1x2）lnc22y（-1y2）（1x2） c.x22.dy1y2ydydxcx23121y y lny lnx cdxxy(1x2)221y2(1x2)1x2 3．x2dy y22dx0dyy21x2dx arcsiny ln(xx21)c4．(x2y)dx(2x3y)dy0p q2挑x00,y00y x则u(x,y)(x,y)(0,0)(x2y)dx(2x3y)dy123x4x y2c2213通解为:x24xy y2c22y353x5ydy5．y4x6ydx46xydydu令ux.则u xxdxdx35u4u6u2du323u x(lnx c)2du46udx22u3u1则方程可化为u xdu35u dx46u35u4u6u2du323u x(lnx c)2du46udx22u3u16.2xdy2ydx x24y2dx(x0)dyy1y()2dxx4xy u.y ux.y'u u'.xx令u u'x u1u24经计算可得14cy c2x204．求列下微分方程初值问题的直和：（1）dx4dy0,y(4)2;（2）xdx ye-xdy0,y(0)1；yxx2y2)dx xdy0(x0),y(1)02（3）(y解：（1）xdx4ydy则2y2x2cy(4)2直和1121y(x1)ex则c16直和2y2x21622212y2（2）xexdx ydy则(1x)ex cy(0)1c11直和：y2(x1)ex12ydudyy y（3）令u则u x u u2xdxdxx xu2du1dx即ln u u2lnx cx22y x y y10c0特解：ln0x25．谋以下微分方程的吉龙德或满足用户取值初始条件的直和：22ydy x1;（1）x y x1ex;（2）y'x1dx5（3）3x y'8y ex3x9;（4）y'2y xe x;（5）xy'2y sinx,y求解：（1）xdydyy y x1ex令0dxdxx1;（6）xy'y x1,y1.39则lny lnx c即y cxPR320齐次方程的吉龙德为y c x x则x c x c'x x c x x x1ex则c'xy x x x1ex2x1x1exxdx c x1x1dx c x x lnx c x22y x1中（2）y'x1522q x x1p x x15通解为：y c ec e x1dx e x1dx x12e x1dxdx2ln x12252 2ln x1e x1252e2ln x1dx c x12x12x1d x122x1c x1237（3）x2dy y2dx0y2dx x22两端分数可以得：arcsiny ln x x c(4)x2y dx2x3y dy0y12dy2y x dx3y2x3y2x令y u,y ux,dy u'x ux2u13u2存有u'x u2u13u22uu'x3u2du3u24u11dx3u2x求出u与x的方程,再将u y代入.x24xy3y2c(5)3x5y dx4x6y dy0dy3x5y y dx4x6y46x35令yx u,y ux,y'u'x udy35u u'x u dx46u35u4u6u21u'46ux6u29u316u4x求出u与x的方程,再将u y代入x y2x2y c（6）2x2y2dx•2xy3y2dy0dy2x2y2dx2xy3y2y2x22y y23x x令yx u,y ux,y'u'x u u'x u2u22u3u2求出u与x的方程,再将u y代入2x33xy23y3c6．曲线l是一条平面曲线，其上任意一点p(x,y)(x0)到坐标原点的距离恒等于曲线l在该点切线在y轴上的dT，且l经过点,0.12（1）试求曲线l的方程；（2）谋l坐落于第一象限部分的一条切线，而因切线与l以及两坐标轴所围图形的面积最轻.解：（1）x2y2y y'xx2（2）y'y令u yxdu u x u1u2dx11du dx2x uarcsiny1ln cxx1y xsin ln c x7．设l:y y(x)在点(x,y)处切线的斜率k121求解：y'y13x2y1，且曲线l过点（1，0）.试求曲线l的方x令dy2y0则lny2lnx cdx3x则y则设立吉龙德为y c x1112xy x x1edx c3x22x12x8．物体在加热的过程中温度t(t)的变化率t(t)与物体本身的温度和环境温度之差成正比，比例系数为常数k0.现在(t0)把一个温度为50度的物体放到温度始终保持恒温20度的房间内，谋此物体温度随其时间的变化规律.解：t(t)kt20k1d t20kdtt20ln t20kt ct050c ln30规律：t30e kt209．设立,1,2,,就是虚常数，且0,12，证明以下函数组是(,)上线性毫无关系：（1）e x,xe x；（2）cos x,sin x；（3）eaxcos x,eaxsin x；（4）e1x,e2x,xe2x（2）1常数线性无关xxxee xcos x ctg x常数线性无关sin x（3）eexcosβxeexsinβx ctgβx常数线性无关（4）三者线性毫无关系。
微积分上学期答案
1微积分答案 第一章 函数一、1.Ｂ； 2.Ｄ； 3.Ａ； 4.Ｃ； 5.Ｄ二、１.1cos -x 或22sin2x ；２.100010-<⎧⎪=⎨⎪>⎩x x x 或()f x ； ３.４，-1；４.y =[0,1]；５.1(1)2y x =-. 三、１. (1)[1,2)(2,4)D =⋃； (2)[3,2][3,4]D =--⋃. ２．(1)102,1y u u x ==+ ；(2)1,sin ,u y e u v v x===；(3) 2arctan ,ln ,1y u u v v x===+.3. 211,12,()12400,44ab C C x x x ====++ ()1400124c x C x x x==++.4. （１）90010090(100)0.011001600751600x P x x x <≤⎧⎪=--⋅<<⎨⎪≥⎩；（３）Ｌ＝21000（元）. (2)2300100(60)310.011001600151600x x L P x x xx x x ≤≤⎧⎪=-=-<<⎨⎪≥⎩；四、略.第二章 极限与连续(一)一、1.C ； 2. D ； 3.C ； 4.B ； 5.C 二、1. -2； 2. 不存在； 3. 14； 4. 1； 5.ab e .三、 1、（1）4； （2）25； （3）1； （4）5； （5）2.2、（1）3； （2）0； （3）2； （4）5e -； （5）2e-.3、11,2=-=-αβ 4、利用夹逼定理：11←<<→四、略。
第二章 极限与连续（二）一、1. D ； 2. C ； 3. B ； 4. C ； 5. B 二、１、0； 2、-2； 3、0； 4、2； 5、0,1x x ==-．2三、１、（1）1=x 是可去间断点；2=x 是连续点.（2）=xk π是第二类间断点（无穷间断点）； 2=+x k ππ是可去间断点.（3）0=x 是可去间断点. （4）1x =是跳跃间断点.2、1()011⎧<⎪==⎨⎪->⎩x x f x x x x ，1=±x是跳跃间断点.3、（1）0；（2）cos α；（3）1； （4）0；（5）12．四、略。
微积分第五章第六章习题答案
习题5.11.（1）（书本题目有问题。
考察内容为求导与积分互逆的知识点） ；sin xx3sin x （2）无穷多 ；常数（3）所有原函数（4）平行2. ；23x 6x3.（1）（2）（3）3223x C --+323sin 3xx e x C +-+3132221(1565(2))15xx x x C-++-+（4 （5）（6）2103)x x C -++4cos 3ln x x C -++323x x x eC+-+（7）（8）sin 22x xC -+5cos x x C --+4. 3113y x =+5. ；32()0.0000020.0034100C x x x x =-++(500)1600;(400)(200)552C C C =-=习题5.21.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）1a1711012-112122-15-12-2. （1） （2）（3）（4）515t e C +41(32)8x C --+1ln 122x C --+231(23)2x C--+（5）（6）（7）（8）C -+ln ln ln x C +111tan 11x C +212x e C --+（9）（10）（11）ln cos ln sin x x C -++ln cos-3sec sec 3xx C-++（12）（13）（14）C+43ln 14x C --+2sec 2x C +（15 （16）12arcsin 23x C +229ln(9)22x xC-++（17 （18）C ln 2ln 133x x C -+-+（19） （20）2()sin(2())4t t C ϕωϕωω++++3cos ()3t C ϕωω+-+（21）（22）（23）cos 1cos5210x x C -+13sinsin 232x xC ++11sin 2sin12424x x C -+习题5.31.（1） （2）arcsin ,,u x dv dx v x ===,sin ,cos u x dv xdx v x===-（3）（4）231ln ,,3u x dv x dx v x ===,cos ,sin x u e dv xdx v x -===（5）231arctan ,,3u x dv x dx v x===2. （1）（2）（3）cos sin x x x C ++(1)xe x C ---+11cos 2sin 224x x x C-++（4）（5）（6）21((1)arctan )2x x x C -+++ln(1)ln(1)x x x x C -+++++（7（8）41(4ln 1)16x x C -+arcsin x x C +21((2)2(1)ln(1))2x x x x C --+-++习题5.41.（1） （2）arctan x C +232ln 18ln 4ln 123x x x x x x C+++-+--+（3）（4）2sin2cos sin 22xx C x x -++1(ln cos ln sin tan 2222x x xC-+-+（5）（6）（7）211(arctan )21x x C x -+++6ln 11x C x+-+-略（8）11ln 2cossin ln cos 2sin 522522x x x x C --+++（9）（10）2111ln cos ln sin sec tan 2222422x x x xC -++++ln 1sin x C ++复习题五1.（1）（2）（3）（4）2x2cos 2x ln 1x +2x e dx -（5）（6）（7）sin x C +1(23)2F x C -+21(1)2F x C--+（8）（9）（10）2sin 23-+0122. 1.（1）A （2）A （3）A （4）A （5）C （6）D3. （1） （2）（3）322cos 3ln 3x x x C --++111(12)22x C --+1cos Cx+习题6.11.5032. （1） （2）1214a π3. （1） （2）4.略5.220(2)(1)02,12(2)(1)0x x x x x x x x x --≥-+≥→--+≥ 证明：须证根据积分区间，知故成立。
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微积分（经管类）第五章答案 5.1 定积分的概念与性质
一、1、∑=→∆n
i i
i
x
f 1
)(lim
ξλ；
2、被积函数,积分区间,积分变量；
3、介于曲线)(x f y =,x 轴,直线b x a x ==,之间各部分面积的代数和；
4、⎰
b
a dx ；
5、
⎰⎰
+b
c c
a
dx x f dx x f )()(；
6、b a a b M dx x f a b m b
a
<-≤≤-⎰
,)()()(；
7、
⎰
b
a
dx x f )( ⎰-=a b
dx x f )(；
8、)(ξf 与a b -为邻边的矩形面积；二、略. 三、
⎰
-231
cos xdx .
四、略。
五、(1)+； (2)-； (3)+. 六、(1)<; (2)<. 七、略。
5.2. 微积分基本定理
一、1、0；
2、)()(a f x f -；
3、
)1ln(23
+x x ；
4、
6
5
； 5、(1)ππ,；
(2)0,0；
6、(1)0； (2)0。
7、;6
145 8、
6
π
； 9、1. 二、1、
1
sin cos -x x ；2、)sin cos()cos (sin 2
x x x π⋅-； 3、2-.
三、 1、852； 2、3
π； 3、14+π
； 4、4.
四、1、0； 2、10
1
.
五、略。
六、
3
35π
, 0. 七、⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧>≤≤-<=π
πφx x x x x ,10,)cos 1(210,0)(.
5.3. 定积分的换元积分法与分部积分法
一、1、0； 2、34
-π； 3、2
π； 4、323π； 5、0.
6、e 21-
； 7、)1(4
12
+e ； 8、23ln 21)9341(+-π. 二、1、
41； 2、3322-； 3、1-2ln 2； 4、3
4
；
5、22；
6、
8
π；7、417；8、2ln 21； 9、1-e .
10、211cos 1sin +-e e ； 11、)11(2e
-； 12、21
2ln -；
13、
2ln 33-π； 14、22+π；15、3ln 24-；16、2+)2ln 3(ln 2
1
-。
三、 )1ln(1
-+e . 六、2.
八、8.
5.5 反常积分
一、1、1,1≤>p p ；2、1,1≥<q q ； 3、1,1≤>k k ；
4、发散， 1；
5、过点x 平行于y 轴的直 线左边,曲线)(x f y =和x 轴所围图形的面积 .
二、1、
1
2
-p p
； 2、π； 3、!n ； 4、发散；
5、3
22
； 6、0； 7、!)1(n n
-. 三、当1<k 时收敛于k a b k
---1)(11
； 当1≥k 时发散.
四、
⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧<-≤<≤<∞-=⎰
∞
-x
x x x x dt t f x
2,120,410,0)(2.
5.6定积分的几何应用
一、1、1； 2、3
32； 3、2； 4、y ； 5、21-+e e ； 6、21
；
7、⎰
b
a
dx x f )(2π
,⎰b a
dx x xf )(2π； 8、已知平行截面面积的； 9、2
02ax π。
二、1、
2ln 2
3-； 2、67；
三、49. 四、2e
. 五、23
8a .
5.7 定积分在经济上的应用
1、5002.032)(2
--=q q q L ；80. 2、ct bt at t F ++=2
1
31)(3。
3、300. 4、85-
；4；1481)(2++=x x x C ；18
5
5)(--=x x x L . 5、334/3。
6、（1）4；（2）-2.
定积分综合训练题 一、1、C ； 2、A ； 3、C ； 4、D ； 5、C ； 6、D ； 7、B ； 8、A ； 9、C ； 10、D. 三、1、
8
12
21213x x x x +-
+； 2、2sin 22
x e
y -±.
四、1、34ln
2； 2、4π； 3、)1(21-e ； 4、371； 5、22π
-； 6、5π； 7、π.
五、11、111
3
1。