微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第五章

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《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第2章

而 , 使当n N时，有
xn a xn a
由数列极限的定义得考察数列
即
xn a
lim xn a
n
n n
xn (1) n ，知 lim xn 不存在，而 xn 1 ， lim xn 1 ，
n
xn 0
由数列极限的定义可得 4. 利用夹逼定理证明：
即 xn
即 xn 0
lim xn 0
n
1
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微积分复旦大学出版社曹定华主编课后答案
微积分复旦大学出版社曹定华主编课后答案
又所以
xn 1 xn xn ( 2 xn ) ，而 xn 0 , xn 2 ， xn 1 xn 0
即
xn 1 xn ，
即数列是单调递增数列。综上所述，数列 xn 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。（3）由数列 xn 单调递增， yn 单调递减得 xn x1 ， yn y1 。又由 lim( xn yn ) 0 知数列 xn yn 有界，于是存在 M >0，使 xn yn M ,
即xn 1 xn
所以 xn 为单调递减有下界的数列，故 xn 有极限。（2）因为 x1
2 2 ，不妨设 xk 2 ，则
xk 1 2 xk 22 2
故有对于任意正整数 n，有 xn 2 ，即数列 xn 有上界，
2
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lim
2n 0 n n !

微积分第二版课后习题答案

微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。

16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。

20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。

微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社__第六章

(x)
=
max{1,
x2}
=
⎪ ⎨
1
⎪ ⎩
x2
−2 ≤ x < −1 −1 ≤ x < 1 ,于是 1≤ x≤ 2
∫ ∫ ∫ ∫ 2 max{1, x2}dx = −2
−1 x2dx +
−2
1 1dx +
−1
2 1
x2dx
=
1 3
x3
−1 −2
+
x
1 −1
+
1 3
x3
2 1
=
20 3
∫ ∫ 6.
已知 f(x)连续，且 f(2)=3,求 lim x→2
a i)2
+1,
于是
∑ ∑ n
i=1
f (ξi )Δxi
=
n [(a + b − a i)2 +1] b − a
i=1
n
n
∑ =
(b
−
a)
n i=1
[a2
+
(b
−
a)2
i2 n2
+
2 a(b
−
a)
i n
+1]
1 n
= (b − a)[na2 + (b − a)2 ⋅ 1 ⋅ 1 n(n +1)(2n +1) + 2(b − a)a⋅ 1 ⋅ n(n + 1) + n]⋅ 1
x⎡ 2 ⎢⎣
2 t
f
(u)du
⎤ ⎥⎦
dt
(x − 2)2
.
解
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ lim
x→2
x⎡ 2⎣

《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第四章

f (0) 0 ,依题意知 f ( x0 ) 0 .即有 f (0) f ( x0 ) .由罗尓定理,至少存在一点 (0, x0 ) ,使
得 f ( ) 0 成立,即
a0 n n 1 a1 (n 1) n 2 … an 1 0
成立,这就说明是方程 a0 nx n 1 a1 (n 1) x n 2 an 1 0 的一个小于 x0 的正根. 7. 设 f(a) = f(c) = f(b),且 a＜c＜b, f ″(x)在［a,b］上存在，证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使 f ″(ξ) = 0. 证: 显然 f ( x ) 分别在 a , c 和 c, b 上满足罗尓定理的条件 , 从而至少存在
x x x
由 e 在 , 上连续,可导, f ( x) 在 a, b 上连续,在 a, b 内可导,知 F ( x) 在 a, b 上连
x
续,在 a, b 内可导,而且 F ( a ) e f ( a ) 0, F (b) e f (b) 0, 即F ( a ) F (b) ,
(4) lim
(a x) x a x ,(a＞0)； x 0 x2
(6) lim sin x ln x ;
x 0
1 ln(1 ) x ; (7) lim x arc cot x
(9) lim(1 sin x) x ;
x 0
1
(8) lim(
x 0
ex 1 ); x ex 1
x 0

f ( x) 在 0,π 上不连续,
显然 f ( x) 在
0, π

《微积分》课后习题答案五

习题五（A ）1．求函数)(x f ，使)3)(2()(x x x f --='，且0)1(=f .解：6x 5x )(f 2++-='xC x x x x f +++-=⇒62531)(236230625310)1(=⇒=+++-⇒=C C f 62362531)(23+++-=x x x x f2．一曲线)(x f y =过点（0，2），且其上任意点的斜率为x x e 321+，求)(x f .解：x e x x f 321)(+=C e x x f x ++=⇒341)(21232)0(-=⇒=+⇒=C C f1341)(2-+=⇒x e x x f3．已知)(x f 的一个原函数为2e x ，求⎰'x x f d )(.解：222)()(x x xe e x f ='=⎰+=+='C xe C x f dx x f x 22)()(4．一质点作直线运动，如果已知其速度为t t dtdxsin 32-=，初始位移为20=s ，求s 和t 的函数关系.解：t t t S sin 3)(2-=C t t t S ++=⇒cos )(31212)0(=⇒=+⇒=C C S1cos )(3++=⇒t t t S5．设[]211)(ln x x f +='，求)(x f .解：[]12arctan )(ln 11)(ln C x x f xx f +=⇒+=')0()(arctan arctan 1>==⇒+C Ce e x f x C x6．求函数)(x f ，使5e 1111)(22+--++='x x xx f 且0)0(=f .解：C x e x x x f e x x x f x x ++-++=⇒--++=+521arcsin 1ln )(1111)(252 21002100)0(=⇒=++-+=C C f 21521arcsin 1ln )(2++-++=⇒x e x x x f x7．求下列函数的不定积分（1）⎰-x xx x d 2（2）⎰-)1(t a dt（3）⎰mn x x d （4）⎰+-x xx d 112（5）⎰++x xx d 1124 （6）⎰++x xx xd cos sin 2sin 1（7）⎰+x x x x d cos sin 2cos （8）⎰++x xxd 2cos 1cos 12（9）⎰x x x xd cos sin 2cos 22（10）x x x d sin 2cos 22⎰⎪⎭⎫⎝⎛+（11）⎰-x xx x d cos sin12cos 22（12）⎰+-x xx d 1e 1e 2 （13）⎰⨯-⨯x xx d 85382 （14）x x x d 105211⎰-+-（15）⎰-x x x -x x d )e (e （16）⎰++x x x x d )31)(2e (（17）x x xx x d 1111⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+ （18）⎰----x x x x x x d 151)1(222 （19）x xx d 1142⎰-+ （20）⎰-+-x xx xd sincos 1cos 1222（21）⎰+-+x x x x x d )1(1223 （22）⎰+-x xx x d 1224解：（1）=⎰+-=-C x x dxx x 252323215232)( （2）=⎰+-=--C tatt d a212)1(2)1()1(.1（3）=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=-=+=≠-≠++=⎰⎰⎰+0 0 , m C x dx n m C x In dx x m n m C x m n m dx x m n m m n m n（4）=⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-C x x dx x arctan 2 1212 （5）=C x x x dx x x x x ++-=++-+⎰arctan 2311)1(32222（6）=⎰⎰++=+++dx xx x x dx xx xx x x cos sin )cos (sin cos sin cos sin 2cos sin 222=⎰+-=+C x x dx x x cos sin )cos (sin （7）=⎰⎰-=+-dx x x dx xx xx )sin (cos cos sin sin cos 22=C x x ++cos sin （8）=⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+C x x dx x dx xx2tan 21 1cos 121cos 2cos 1222 （9）=⎰⎰+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-C x x dx x x dx x x xx tan cot cos 1sin 1cos sin sin cos 222222 （10）=⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++dx x x dx x x 122cos 2cos 22cos 121cos =C x x x +-+2sin 41sin 21（11）=⎰⎰+-=-=---C x dx x dx xx xx x x tan 2cos 12cos sin sin cos sin cos 2222222（12）=()⎰+-=-C x e dx e x x 1（13）=⎰⎰+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-C x dx dx xx85ln 85328532（14）=⎰⎰++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--C dx dx x x xx22ln 5155ln 22151512（15）=⎰+-=⎪⎭⎫⎝⎛-C x e dx x e x x ln 1（16）=[]⎰+++++=+++C e e dx e e xx x xxxxx6ln 63ln l )3(2ln 2)3(26（17）=⎰⎰+=-=--++C x dx xdx xx x arcsin 211211122（18）=⎰+--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---C x x x dx x xx arcsin 5ln 21151222 （19）=⎰+=-C x dx xarcsin 112（20）=⎰⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-C x x dx x dx xx2tan 211cos 121cos2cos 1222 （21）=⎰⎰+++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+-+C x x x dx x x x dx x x x x arctan 1ln 1111)1(1)1(22222 （22）=⎰⎰++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=+++--C x x x dx x x dx x x x arctan 22312212)1(13222248．用换元积分法计算下列各题. （1）⎰+-x x x d 24 （2）⎰-x x d )23(8（3）x xxd e3e 42⎰+ （4）⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+32cos d 2πx x（5）⎰-x xx d 432 （6）⎰+-52xd 2x x（7）⎰+xe ed （8）⎰-xe ed（9）⎰-1tan cos d 2x xx （10）⎰)ln -(1d x x x（11）⎰-xx x2ln 1d （12）⎰-x xx d e9e 2（13）⎰+x xxx d sin2cos sin 2（14）⎰-x x x d 212（15）x x x x d 1arctan 2⎰++ （16）⎰+xxe1d（17）x x x d 11arctan2⎰+ （18）⎰+--x x x x d e )1(422（19）⎰+x xx d 1335（20）⎰+x xxx d ln 2ln（21）⎰+x xx d sin 1sin 2 （22）⎰+-x x xx d 2sin 1cos sin（23）⎰+2)cos 2(sin d x x x（24）⎰x xx xd cos sin tan ln（25）⎰+xx x22cos 3sin d （26）⎰-++1212d x x s（27）⎰+++3)1(1d x x x （28）⎰++52d 24x xxx（29）⎰+x x x x d )ln 1( （30）x x x x d 12⎰-+（31）⎰+)1(ln ln d 2x x x x（32）x x x xd )1(arcsin ⎰- （33）⎰x x x x cos sin d （34）x x x d )1(x arctan ⎰+（35）⎰+x xxd cos1cos 2（36）⎰xdx x 3cos 2sin（37）x x x x ⎰-d 2cos )sin (cos （38）x xxx d sin1cos sin 4⎰+ （39）⎰x xd sin14（40）⎰xdx 3tan解：（1）=C x x x d x x dx x x ++-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-+⎰⎰2123)2(12)2(32)2(262262（2）=⎰+-=--C x x d x 98)23(271)23()23(31 （3）=()()⎰+=+C e e e d x xx3arctan3213212222（4）=C x x x d +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰32tan 2132cos 32212πππ（5）=⎰⎰+--=---=-C x x x d x x d 333334324)4(314)(31（6）=C x x x d +-=+--⎰21arctan 214)1()1(2（7）=⎰+=+C e ee d x xx arctan 1)(2（8）=C e e e e d xx x x ++-=-⎰11ln 211)(2（9）=⎰+-=--C x x x d 21)1(tan 21tan )1(tan（10）=C xx d +--=---⎰lnx 1ln ln 1)ln 1(（11）=⎰+=-C x x x d ln arcsin ln 1)(ln 2（12）=C e e e d x x x +=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰3arcsin2922222（13）=C x xx d x x xd ++=++=+⎰⎰22sin 2ln 21sin 2)sin 2(21sin 2)(sin sin （14）=C x x x d +--=---⎰222212121)21(41（15）=C x x x d x x x d +++=+++⎰⎰23222)(arctan 32)1ln(21)(arctan arctan 1)1(21（16）=⎰⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=++-=+=+C e e e e d e e d e e e d dx e e e x x xx xx xxx xxx1ln 1)1()()1()()1( （17）=C x d x xx d x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-⎰⎰2221arctan 211arctan 1arctan 111arctan （18）=⎰+=+-+-+-C e x x d e x x x x 422422221)42(21 （19）=)(131)(131333333t d tttx x d xx ⎰⎰+=+令⎰⎰⎰⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+-+=-)()1()()1(31)(1113131323t d t t d t t d t t C x x C t t ++-+=++-+=3233533235)1(21)1(51)1(21)1(51 （20）⎰⎰+=+=tt td txx xd 2)(ln ln 2)(ln ln 令⎰⎰⎰++-++=+-+=tt d t d t tt d t 2)2(2)2()2(2)(2221C x x C t t ++-+=++-+=21232123)ln 2(4)ln 2(32)2(4)2(32（21）⎰+-=--=C x xx d 2cos arcsincos 2)(cos 2（22）C x x x x x x d ++=++-=-⎰12)cos (sin )cos (sin )cos (sin（23）C x x x d ++-=++=-⎰12)2(tan )2(tan )2(tan（24）⎰⎰+===C x x xd x d x x 2)tan (ln 21)tan (ln tan ln )(tan tan tan ln （25）⎰⎰+=+=+=C x x x d xx d )tan 3tan(31)tan 3(1)tan 3(31tan31)(tan 22（26）C x x dx x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=--+=⎰2323)12(32)12(324121212C x x +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=2323)12()12(61（27）⎰⎰+=+++++=dt tt tt x x x x d 3321)1(1)1(令 ⎰++=+=+=C x C t dt t1arctan 2arctan 21122（28）⎰++=+++=C x xx d 21arctan 414)1()1(212222 （29）()⎰⎰+=+==+=C x C e e d dx x e x x x x x x x ln ln ln l )ln 1( （30）⎰⎰⎰++-=++-=+-=C x x x d x dx x dx x x x 23232222)1(3131)1(121)1(（31）⎰⎰+=+=)1()(ln 令)1(ln ln )(ln 22tt t d tx x x d⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=C t t t t d t t d 1ln 211)1()(21222222 C x x C x x ++-=++=)1ln(ln 21ln ln 1ln ln ln 21222（32）t x ==arcsin 令，则tdt t dt cos sin 2=⎰⎰+=+==C x C t dt t tdt t tt t 232322)(arcsin 34342cos sin 2cos sin（33）⎰⎰+===C x xx d xx x d tan ln 2tan )(tan cos sin)(2（34）⎰⎰+==+=C x x d x x d x x22)(arctan arctan arctan 2)(1arctan 2 （35）⎰+-+=-=C xx xx d sin 2sin 2ln221sin2)(sin 2（36）⎰⎰+-=-==C x x xd xdx x x 543cos 52cos cos 2cos cos sin 2 （37）⎰⎰---=+-=)sin (cos )sin (cos )sin (cos )sin (cos 22x x d x x dx x x x xC x x +--=3)sin (cos 31（38）⎰+=+=C x x x d 242sin arctan 21sin 1)(sin 21（39）⎰⎰⎰+--=+-=-==C x x x d x xx d dx xx cot cot 31)(cot )1(cot sin )(cot sinsin 132222 （40）⎰⎰⎰+-=-=-=C x x xdx x xd xdx x cos ln )(tan 21tan tan tan tan )1(sec 229．求下列函数的不定积分（1）⎰+)1(d 7x x x（2）⎰-x x xd 12（3）⎰+-x x d 3211 （4）⎰+x x x-1)(1d（5）⎰+3d xx x （6）⎰-+x x xx d 21 （7）x x xd 11632⎰++（8）x x d e 1⎰+（9）⎰+-+x x x x d 4222（10）x x x d )1(323⎰-解：（1）⎰⎰++-=+=+=C x x x x dx dx x x x 77777761ln 71ln )1(71)1( （2）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 16-=-=⎰⎰+++-=+--=--=C t t t dt t t t dt t t t )315271(2)2(2)2()1(3572462（3）令t x =-21，则tdt dx t x -=-= , 212⎰⎰++-+--=+++-=+---+=C x C t t dt t dt t t 321ln 3213ln 3)331()(31 （4）令t x =-1，则tdt dx t x 2 , 12-=-=⎰⎰+---+-=+-+-=-=--=C xx C tt tdtdt tt t1212ln221.222ln221.222).2(222（5）令t x =6，则dt t dx t x 566 , ==⎰⎰⎰+-+-=+=+=dt t t t dt t t dt tt t 11)1(616623235C t t t t ++-+-=)1ln 2131(623 C t t t t ++-+-=1ln 663223（6）令t x =-2，则tdt dx t x 2 , 22=+=⎰⎰++=++=++=C t t dt t tdt tt 2arctan22)211(22.23222C x x +-+-=22arctan222（7）令t x =+312)1(，则dt t xds 232=⎰⎰+++-=++-=+=C t t t dt t t dt t t )1ln 21(9111919222C x x x +++++-+=1)1(ln )1()1(29312312322 （8）令t e x =+1，则12 , )1ln(22-=-=t tdt dx t x⎰++++-++=++-+=-=C e e e C t t t dt t t x x x)1111ln 211(2)11ln 21(21222（9）令t x =-1，则dt dx t x =+= , 1⎰⎰⎰+++++=+++=++=C t t tdt t dt t t dt t t 3ln 3)3(333332212223C x x x x x++-+-++-=421ln 3)42(2212（10）令t x =2，则t x =⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=-+--=-=dt t t dt t t dt t t3233)1(1)1(121)1(1121)1(21 C t t C t t +-+-=+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----=22)1(141)1(21)1(1211121 C x x C x x +--=+-+-=222222)1(412)1(141)1(2110．设⎰⎰+=+=x xb x a xx x xb x a xx F d cos sin cos )G( ， d cos sin sin )(求)()(x bG x aF +；)()(x bF x aG -；)(x F ；)(x G .解：⎰+=++=+C x dx xb x a xb x a x bG x aF cos sin cos sin )()(⎰⎰++=++=+-=-C x b x a dx xb x a x b x a d dx xb x a xb x a x bF x aG cos sin ln cos sin )cos sin (sin sin sin cos )()(C bx x b x a a b a x G +++-=⇒)cos sin ln (1)(22C ax x b x a b b a x F +++--=)cos sin ln (1)(11．用三角代换求下列不定积分. （1）⎰-221xd x x（2）⎰32)-(1d x x（3）⎰-x x x d 122（4）⎰-x xa x d 22 （5）⎰-322)1(d x xx（6）x x x d )1(2101298⎰-解：（1）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dx⎰⎰+--=+-=+-===C x x C x C t t dtdt tt t2221)cot(arcsin cot sin cos sincos（2）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dxC xx C x C t tdtdt tt+-=+=+===⎰⎰2231)tan(arcsin tan cos cos cos（3）令t x sin =，则)2t ( cos π<=tdt dxC t t dt t tdt dt t t t +-=-===⎰⎰⎰2sin 412122cos 1sin cos cos sin 22 C x x x C x x +--=+-=2141arcsin 21)(arcsin 2sin 41arcsin 21 （4）令t a x sec =，则t a dx tan sec =，)20(π<<t⎰⎰⎰+-=-===C t a dt t a tdt a dt ta tt a t a )1(tan )1(sec tan sec tan sec .tan 22C saa a x C xaa a x a +--=+--=arccos )arccos (2222（5）令t x sin =，则tdt dx cos = 2π<t⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-===dt t t dt t t dt tt dt tt t22222232cos 1cos 11cos )cos 1(1cos sin1cos sincosC xx x x C t t +---=++-=2211tan cot （6）令t x sin =，则tdt dx cos = 2π<t⎰⎰⎰+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+====C x x C td dt t dt tt t 992999810098101981991tan 991tan tan cos sin cos cos sin12．用分部积分法计算下列积分.（1）⎰++x x x x d e )31(2 （2）⎰--x x x d e 1 （3）⎰-x x x x d )sin (cos e （4）⎰x x x d cos （5）⎰x x d arcsin （6）⎰+x x d )4ln(2 （7）⎰x x x x d cos sin 4 （8）x x d l arctan 2⎰- （9）⎰x xx d )ln(ln （10）⎰x x x d sec 22 （11）⎰x xx d arctan 2（12）x x d )(arccos 2 （13）⎰+-x x xx d 44ln 2（14）⎰+x x xx d arctan 122（15）⎰+x x x x d arctan )1(632 （16）⎰x x xd cos tan ln 2（17）⎰∙x x x d sin sec ln （18）⎰∙x x x d tan ln 2sin（19）x x x x d ln 32ln 22⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （20）⎰x x x d arctan 2解：（1）⎰⎰+-++=++=dx x e e x x de x x x x x )32()31()31(22⎰++-++=dx e x e e x x x x x 2)32()31(2（2）C ex C dx e xe xde e x x x x ++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=+----⎰⎰)1()1(311 （3）⎰⎰⎰⎰-=-=xdx e xde xdx e xdx e x x x x sin cos sin cos⎰⎰+=-+=C x e xdx e xdx e x e x x x x cos sin sin cos（4）⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x sd cos sin sin sin sin（5）⎰⎰--+=--=2221)1(21arcsin 1arcsin xx d x x xx x xC x x x +-+=21arcsin（6）⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=+-+=+=dx x x x dx x x x x dx x 2222224412)4ln(42)4ln()4ln( C xx x x ++-+=2arctan 42)4ln(2（7）⎰⎰+--=+-=-=C x x x xdx x x x xd 2sin 212cos 2cos cos 2cos（8）⎰⎰---=-+---=dx x x s dx x xx x x x 111arctan )1(121121.1arctan 222222C x x x x +-+--=1ln 1arctan 22（9）⎰⎰+-====C t t t tdt e x t x x d x tln ln ln )(ln )ln(lnCx x C x x x +-=+-=)1)(ln(ln ln ln )ln(ln .ln（10）⎰⎰++=-==C x x x xdx x x x xd cos ln 2tan 2tan 2tan 2)(tan 2 （11）⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=++-=-=dx x x x xxdx x x x x xxd 2211arctan 111arctan )1(arctanC x x x x ++-+-=)1ln(21ln arctan 2 （12）⎰⎰-=--===tdt t t t tdt t tdtdx tx .cos 2cos sin sin arccos 22⎰⎰+--=--=-=C t t t t t tdt t t t t t td t t cos 2sin 2cos )sin sin (2cos sin 2cos 222C x x x x x +---=21arccos 2arccos 2（13）⎰⎰⎰-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--=-=dx x x x x x xd dx x x21.121.ln 21ln )2(ln 2 C xx x x dx x x x x +-+--=⎪⎭⎫⎝⎛--+--=⎰2ln 212ln 121212ln （14）⎰⎰⎰+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=xdx x xdx xdx x arctan 11arctan arctan 11122 ⎰⎰-+-=)(arctan arctan 1arctan 2x xd dx x xx xC x x x x +-+-=22arctan 21)1ln(21arctan（15）()()()dx x x x x x xd 223232311.1arctan 11arctan ++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰()⎰+++-+=dx x x x x x112arctan 123623()⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--+=dx x x x x x x x 1212arctan 122423()()C x x x x x x x +++--+-+=1ln 3151arctan 1223523 （16）⎰==t x x xd tan )(tan tan ln 令⎰+-=+-==C x x x C t t t tdt tan tan ln .tan ln ln（17）()⎰⎰+-=-=xdx xx x x x x xd tan .cos 1.cos .cos cos .sec ln cos sec ln ⎰+--=+-=C x xdx x x cos sec ln .cos sin cos .sec ln()C e x x ++=22121（18）()⎰⎰-==dx xx xx x x xd cos sin 1sin tan ln .sin sin tan ln 222⎰++=-=C x x x xdx x x cos ln tan ln .sin tan tan ln .sin 22（19）()⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x x x x x x x x d x x 1321.ln 231ln 32ln 31ln 32ln 3132332 ⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x xdx x x x x 222392ln 32ln 32ln 31 ()⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x x xd x x 232392ln 92ln 32ln 31 ⎰⎰-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx x dx x x x x x 2232392.ln 92ln 32ln 31 C x x x x x x x +=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=23323ln 31.ln 92ln 32ln 31 （20）()⎰⎰+-==dx x xx x x x d x 233.21.1131arctan 31arctan 31 ⎰⎰⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++--=+-=dx x x x x x x x dx x x x x 1161arctan 31161arctan 312121233253 C x x x x x x ++-+-=arctan 313191151arctan 31212325313．计算下列有理函数的不定积分. （1）⎰+x x x d )31(1 （2）⎰---)32)(1)((d x x x x（3）x x x x x d )2()1(122---- （4）⎰-++x x xx d 32322（5）⎰-1d 4xx（6）⎰++++x x x xx d 2541232 （7）⎰-+-x x x xxd 123（8）⎰+---x x xx x d )1)(1(122（9）⎰+++x x x xx d 14 （10）⎰+---x x x x x d )2()1(18332解：（1）C xC x x dx x x++=++-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎰311ln31ln ln 311313 （2）C x x x dx x x x +---=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--+-=⎰2)2()3)(1(ln 21)3(2121)1(21 （3）C x x dx x x +---=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+-=⎰112ln 21)2(12（4）C x x dx x x +--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⎰1ln 453ln 43)1(45)3(43（5）⎰+--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=C x x x dx x x arctan 2111ln 4111112122 （6）C x x x dx x x x ++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++++-=⎰2ln 51ln 41225)1(2142 （7）⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-++-=dx x x x x dx x xx)1(2111121)1(21)1(21222()C x x x +-+++-=1ln 21arctan 211ln 412 （8）⎰⎰⎰⎰+-++----=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-=dx x xdx x x x dx x dx x x x x 1123121111211C x x x x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++---=312arctan 31ln 211ln 2 （9）()()()()⎰⎰⎰++++-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-=dx x dx x x x x dx x x x 121121211111222 ()⎰⎰++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=1ln 2111211141212222x dx x x x d x x ()C x x x x x +++-++-=arctan 211ln 411ln 212122（10）()()⎰⎰⎰+--+-=--+-+--=C x x x dx x dx x dx x 21ln 1121111223（B ）1．填空题（1）设x x f 21)(ln +='，则)(x f = . （2）设函数)(x f 满足下列条件 ①2)0(=f ，0)2(=-f ；②)(x f 在1-=x ，5=x 处有极值；③)(x f 的导数是x 的二次函数，则)(x f = . （3）若C x x x xf x +=⎰e d )(2，则⎰x x f xd )(e = . （4）设2ln)1(222-=-x x x f ，且[]x x f ln )(=ϕ，则=⎰x x d )(ϕ .（5）设x x f ln )(=，则='⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰-x f x x xx d )e (e -2e e 43 . （6）='⎰x x f xx f d )(ln )(ln .（7）设)(x f 的一个原函数为xxsin ，则='⎰x x f x d )2( . （8）若⎰⎰-=x x f x f x x x f d )(cos )(sin d )(sin ，则=)(x f .解：(1)()C e x x f x ++=2()()()C e x x f e x f e x x f x x x ++=⇒+='⇒+=+='2212121ln ln(2)215623+--x x x由已知可设d cx bx ax x f +++=23)( 有()C bx ax x f ++='232()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++==+-=-'=+-+-=-==⇒2156101075502310248220d c b a c b a f c b a f d c b a f d f()215623+--=⇒x x x x f（3）C x ++2ln()()()x x x x xxe e x f e x xe x xf C ex dx x xf +=⇒+=⇒+=⎰2222 ⎰⎰++=+=⇒C x dx xdx x f e x2ln 21)( （4）C x x +++1ln 21)(1)(ln 11ln)(1111ln2ln)1(22222-+⇒-+=⇒--+-=-=-x x x x x f x x x x x f ϕϕ ⎰⎰⎰+-+=-+=-+=⇒-+=⇒C x x dx x dx x x dx x x x x 1ln 2)121(11)(11)(ϕϕ （5）C e e e x x x ++-+--22ln 24121222⎰⎰++-+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---C e e e dx e e e dx ee e e x x x x x x x x x x 22ln 2412121.222242243原式（6）C xf +)(ln 2C x f x f x f d +==⎰)(ln 2)(ln ))(ln (原式（7）C xxx +-42sin 42cos ⎰-=⇒+=sin cos )(sin )(x xx x c f C x x dx x f C x xx x x x x x x x dx x f x xf x f xd +-=--=-==⎰⎰42sin 42cos 22sin 4142sin 2cos 2.21)2(41)2(21))2((212原式（8）x ln⎰⎰'-=dx x f x f x x f x dx x g )()(cos )(sin )(sinC x x f xx f +=⇒='∴ln )(1)(，取x x f ln )(=2．选择题（1）设x x f 2cos )(sin ='，则⎰=dx x f )(（ B ） A ．C x x +-331 B ．1421212C Cx x x ++- C ．C x x ++421212 C ．C x x ++421212（2）设)()( , )(1)()( , )(1)()(2x g x F x f x f x g x f x f x F ='+=-=，且14=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则=)(x f （ A ） A ．x tan B ．x cot C ．x arctan D ．x arc cot （3）若⎰+=C x x x f 2sin d )(，则⎰=--dx x x xf 12)12(22（ B ）A ．C x +22sin 41B ．C x +-)12sin(212 C ．C x +-)12(sin 2122 D ．C x +-)12sin(412（4）设⎰⎰+∙=xdx x f x g dx xx f 22cot )()(sin)(，则)(x f ，)(x g 分别是（ D ）A ．x x f cos ln )(=，x x g tan )(=B ．x x f cos ln )(=，x x g cot )(-=C ．x x f sin ln )(=，x x g tan )(=D ．x x f sin ln )(=，x x g cot )(-= 解：（1）BC +-=⇒-='⇒-=='322x 31x )x (f x 1)x (f x sin 1x cos )x (sin f⎰++-=⇒142C x x 1212x f(x)dx C（2）A根据1)4f(=π，首先排除C 、D ，再将选项A 、B 分别代入原条件中，得A（3）B)1x 2sin(1x 2212x f 2xsinx f(x)2222--=-⇒= ⎰⎰+--=--=-=⇒C )1x 2sin(21)1d(2x )1x 2sin(2.41dx )1xsin(2x 22222原式，得B （4）D⎰⎰-=cotx)f(x)d(dx x sin f(x)2取cotx g(x)-=则⎰+=xdf(x)cot f(x)g(x)上式与条件比较，得cotxg(x) ,lnsinx f(x)cotx df(x)-==⇒=，得D3．计算下列不定积分（1）x xx x d 11ln 112-+-⎰（2）x x x x d cos 1)sin 1(e ⎰++（3）⎰+)e1(e d x（4）x xx d cos sin1⎰（5）⎰x x x x d cos e （6）⎰+++x x x x d 112（7）⎰xx4cos d （8）⎰++x aax x xd 22（9）⎰-+293d x x （10）⎰-xx1 （提示令t x 2sin =）（11）x x x d 283⎰++ （12）⎰-x xxxd 1arcsin 22（提示令t x =arcsin ，t x sin =，再用分部积分法）（13）⎰x x x d )(arctan 2 （14）x xxx d e 1arctan arctan 2⎰+（15）⎰+x xxx d )3(ln 22（16）x x x d )sin(ln 3⎰（提示经过两次分部积分，又出现原积分形式，移项后便可得到所要结果）解：（1）C xxx x d x x ++-=+-+-=⎰11ln 41)11(ln 11ln 212 （2）dx x tg x tg e dx x xx e x x )2221(212cos )2cos 2(sin222++=+=⎰⎰⎰⎰++=dx e x tg dx e x tg e x x x 2212212 ⎰⎰+=++-+=C x tg e dx e x tg dx x tg e e x tg e x x x x x 2221)12(2122122 （3）⎰⎰+-=+=x xxxxxde eee ede )111()1(2222C e e x x +--=-arctan（4）C x x dx x+--==⎰cot cot 31sin 13C x x C x x x d x +--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰2cot 382cot 82cot 2cot 31822sin 18313 （5）=[]c x x x x e x++-cos sin )1(21 （6）⎰⎰⎰+++++++=++-+=dx x x x x x d dx x x x 22222)23()21(1211)1(2112121C x x x x x C x x x x x ++++++++=++++++++=121ln 211121ln 2112.212222 （7）⎰⎰++=+==C x x x d x x d x322tan 31tan tan )tan 1()(tan cos 1（8）⎰⎰⎰++-+++++=++-+=dx aax x a aax x a ax x d dx a ax x aa x 222222221)2()(2122C a ax x ax a a ax x +++++-++=22222ln 2（9）t x sin 3==令，20π<<t 则⎰⎰⎰+-=+=+dt tdt t t dt t t )cos 111(cos 1cos cos 33cos 3⎰+-=-C tt t d t 2arctan )2(2cos 12C x x x C xx+-+-=+-=2933arcsin 23arcsintan3arcsin（10）t x 2sin ==令，20π<<t ，则⎰⎰⎰+==dt ttdt tdt t t t 22cos 12cos 2cos sin 2sin cos 2 C x x x t t dt t +-+=+=+=⎰2arcsin 2sin 21)2cos 1(（11）C x x x dx x x dx x x x ++-=++=++++=⎰⎰4342)42(2)42)(22(232（12）t x =arcsin 令，t x sin =，则⎰⎰⎰⎰+-=-===tdt t t t td dt tttdt tt tcot cot )cot (sincos cos sin22C x x xx C t t t ++--=++-=ln arcsin 1sin ln cot 2（13）xdx x x x x x d x arctan 1)(arctan 21)()(arctan 21222222⎰⎰+-==⎰⎰++-=xdx x xdx x x arctan 11arctan )(arctan 21222 C x x x x x x ++++-=2222)(arctan 21)1ln(21arctan )(arctan 21 （14）⎰⎰==dt te t x x d xe t x arctan )(arctan arctan arctan 令⎰⎰+-=+-=-==C e x C e t de te tde x t t t t arctan )1(arctan )1(（15）⎰⎰⎰+++-=+-=++=dx xx x x x xd x d x x )3(1213ln 21)31(ln 21)3()3(ln 21222222C x x x x dx x x x x ++-++-=+-++-=⎰)3ln(121ln 613ln 21)311(613ln 212222 （16）⎰⎰+-=-=dx xx x x x d x 322ln cos 21)sin(ln 21)1()sin(ln 21 dx x xx xx x⎰---=322ln sin 41ln cos 41)sin(ln 21[]C x x x ++-=⇒ln cos ln sin 2512原式。

微积分II课程习题五答案详解

习题5.1 选择题（1）答案D ，令y=0,z=0得a=1,令x=0,z=0得b=2,令x=0,y=0得c= 12-. (2) 答案C ，由y=0，则点)3,0,4(在xOz 平面上.（3）答案B ，关于原点对称则相应的坐标值变为相反数，所以点)1,2,3(-关于原点的对称点是)1,2,3(--.（4）答案C ，把x=0,y=e 带入函数中，得),0(e f =ln(0)1e +=. (5) 答案D ，只有当00(,)(,)lim x x y y f x y f x y →→=时),(y x f 在点),(00y x 处连续.(6) 答案A ，求对函数求关于x 偏导,'(,)1x f x y y =+-,所以)1,('x f x =1.或者，求解x x f =)1,(，因而有1)1,(='x f x ，类似的题型可以考虑这一方法，解题简便不少.(7) 答案D ，求偏导有(1)xy zxy e x∂=+∂. (8) 答案A ，由222(,)()f xy x y x y xy x y xy +=++=+-，令xy u =，x y v +=得2(,)f x y y x=-，所以'(,)1x f x y =-，'(,)2y f x y y = （9）答案A ，由链式求导法则dx dz =dz du du dx +dz dv dvdx =ln sin x u v x e v-+=x x x sin cos - （10）答案D ，有微分公式直接求得有dz =21xdx dy x y y xy-++，则在点)1,1(处，dz =)(21dy dx -.（11）答案C ，分别令),('y x f x 与),('y x f y 为零，有'(,)4220x f x y x y =--=,'(,)220y f x y x y =-+=解得1,1x y ==，有唯一驻点.(12) 答案C ，令'2(,)0x a f x y y x=-=，'2(,)0y b f x y x y =-=，将5,2x y ==代入得50,20==b a .5.2填空题(1)充分;必要 (2) 必要;充分 (3)充分; (4)充分5.3 解当220x y +=时，0,0x y ==.按定义(0,0)(0,0)0lim x f f x x x ∆→∂+∆==∂∆ 当220x y +≠时，有3'2222(,)()xxy f x y x y =+.所以 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,0,0,)(2),(22222223'y x y x y x xy y x f x同理可求得⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0,0,0,)()(),(2222222222'y x y x y x y x x y x f y 5.4解(1),)()(2,)(2,)(1,2,122222222222222y x y x y z y x y y x z y x x z y x y y z y x x z +-=∂∂+-=∂∂∂+-=∂∂+=∂∂+=∂∂(2)212222122,ln ,(1),(1ln ),(ln )y yy y y z z z yx x x y y x x y x z z x y x x x x y y---∂∂∂===-∂∂∂∂∂=+=∂∂∂5.5 证明由于22223/20,((,)(0,0))()x y x y x y ≤→→+ 所以22223/2(,)(0,0)(,)(0,0)(,)0(0,0)()lim lim x y x y x y f x y f x y →→===+即),(y x f 在点)0,0(处连续.220(0,0)0,(0,0)0x y x y f f ∆→∆→====所以函数),(y x f 在点)0,0(处可偏导. 但23222(0,0)(0,0)[(0,0)(0,0)]()(,)()x y f x y f f x f y x y f x y x y +∆+∆--∆+∆∆∆=∆∆=∆+∆222lim()()()x y x y ρρ→→∆⋅∆=∆+∆极限不存在，函数在点)0,0(处不可微. 5.6 解z z u z v u v v u x u x v x x x∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 令(,)cos uF x u x e v =-，由隐函数求导法则uv x u u x e vF F x v e v F F x u ---=-=∂∂=-=∂∂sin 1,cos 1 所以()cos sin u z v u e x v v-∂=-∂ 同理求解()cos sin u z u v e y v v-∂=+∂ 5.7 解 (1) 2222z z x ydz dx dy dx dy x y x y x y∂∂=+=+∂∂++ (2)cos()cos()dz y xy dx x xy dy =+(3)令11ln()ln ,x x x u y x y==则1ln()(,,)xuy x f x y z e e ==111222111(ln )(),()x x f x x f xx x y x y y y y-∂∂=-+=-∂∂ 代入数据得dy dx df -=)1,1( (4)由ln(1)21(1,1)(,),(1)[ln(1)]1(1)(1,1)(1,1)2ln 21,1|(2ln 21)x xy x x f xyf x y e xy xy x xyfx xy y f f x y dz dx dy+-∂==+++∂+∂=+∂∂∂=+=∂∂=++5.8解对角线L =m y m x m y m x 1.0,05.0,8,600-=∆=∆==myL x L L y x 05.0)1.0(10805.0106)8,6()8,6(-=-⋅+⋅=∆'+∆'≈∆5.9解 (1)两边同时对x 求导zz ze yz xy x x∂∂⋅=+∂∂，得zz yz x e xy ∂=∂- 同理得z z xzy e xy∂=∂-; (2) 令xyz z y x z y x F 22),,(-++='''''121x y z x zF F F F zz x F y ===-∂∂∴=-==∂∂5.10解 ''''0242,42,20x xyy z x z x z y y z ⎧==⎧⎪=-=--⎨⎨=-=⎩⎪⎩令解得'''2,2,0xx yy xy z z z =-=-=由多元函数极值的充分条件20,0AC B A -><，函数有极大值代入为8. 5.11解此题为条件极值可以化为无条件极值来求，或者利用拉格朗日函数求令22(1)20,20,10x y L x y a bL L L x y x y x a y b a b λλλλ=+++-∂∂∂=+==+==+-=∂∂∂得22222222222,,a b ab ba x y a b a b a b λ=-==+++很显然z 有极大值，代入得极大值2222),(222222|b a b a Z ba b a b a ab +=++ 5.12解此题可以采用构造拉格朗日函数求解，这里采用直接代入法求解设采购甲原材料xkg ，乙原材料ykg.依题意可得0.50.9x y +=，代入产量函数中得2230.01(0.90.5)0.90.005Q y y y y =-=-21.80.0150Qx y y y∂=-=∂对求导，令解得 x=30kg, y=120kg而实际问题必有最大值，所以最大值Q=4320kg . 5.13 证明因为2)11(2)11(1,1ye yz xe xz yx yx ⋅=∂∂⋅=∂∂+-+-所以z ee yz y x z x yx yx 2)11()11(22=+=∂∂⋅+∂∂⋅+-+-5.14 证明xyz xy u xF xy yF xy yF u xF xy yz y x z x F x y zF x y u F y x z u u u u +=++='++'-+=∂∂⋅+∂∂⋅'+=∂∂'⋅-+=∂∂)()(,)( 5.15 解（1）对等式22()x y z x y z ϕ+-=++两端求微分得'22()xdx ydy dz dx dy dz ϕ+-=⋅++得 ''''2211x y dz dx dy ϕϕϕϕ--=+++ （2）由于ϕ'+=∂∂12x x z ，ϕ'+=∂∂12y y z代入得ϕ'+=12),(y x u 所以 32)1()12(2)1()1(2ϕϕϕϕ'+''+-=''∂∂+'+-=∂∂x x zx u5.16 解设（1999数三，20分）设12112212(,,)(122)F x x p x p x x x αβλλ=++-令1112120F p x x x αβλα-∂=-=∂ ①1212220F p x x x αβλβ-∂=-=∂ ② 121220F x x αβλ∂=-=∂ ③由①和②得2112p x p x βα= 2121p x x p αβ= 将1x 带入③中得 1226()p x p αβα= 从而2116()p x p βαβ= 因驻点唯一，且实际问题有最小值，故2116()p x p βαβ=，1226()p x p αβα=时，投入总费用最小. 5.17 解原式=22222222()(,)(0,0)sin[(1)()](1)()lim (1)()1y y y x y x y e x x y e x x y e x x y e +→++++⋅++- =2222()(,)(0,0)(1)lim1yxy x y x y e x e +→++⋅- （令222u y x =+）=220lim1u u u e →-=22lim2u u u ue→=1。

《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第三章

第三章习题3-11．设s =12gt ２，求2d d t s t =．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g ds s t s dt t t t →→=-⨯-==--21lim (2)22t g t g →=+=2．设f (x )=1x，求f '(x 0)(x 0≠0)．解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠3．试求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程。

解：设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为002x x y x ='=，切线方程为0002()y y x x x -=-。

由已知直线过点(3,8),得00082(3)y x x -=-(1)又点00(,)x y 在曲线2y x =上，故200y x =(2)由(1),(2)式可解得002,4x y ==或004,16x y ==，故所求直线方程为44(2)y x -=-或168(4)y x -=-。

也即440x y --=或8160x y --=。

4．下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1)0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2)f (x 0)=0,0limx x →0()f x x x-＝A ；(3)0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x xx →-→--+--'=-=-- 0()A f x '∴=-(2)000000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=--- 0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+-- 00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →-→+-+--=+-000()()2()f x f x f x '''=+=02()A f x '∴=5．求下列函数的导数：(1)y；(2)y；(3)y2．解：(1)12y x==11221()2y x x -''∴===(2)23y x-=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y x x xx-==15661()6y x x -''∴===6．讨论函数y在x =0点处的连续性和可导性．解：00(0)x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→--===∞-∴函数y =在0x =点处连续但不可导。

微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第十章[1]

1 y 2 ec1 ( x2 1) ,记 c ec1 有 y 2 c( x 2 1) 1.
(4) 分离变量得,
1 dy sin x c dx ,两边积分得, tan y 2 2 cos x cos y c.
x 1 y 3
作变换
x u 1 ,原方程化为 y v 3
dv v u du u v
这是一个齐次方程,按齐次方程的解法: 令
v 1 du , 方程可化为 d 2 u 1 u
5
两边积分可得,整理可得, 2arctan ln u 2 (1 2 ) c 将
x y dx dy 0, y x 0 1 ； 1 y 1 x
y(1)0;
(6) yy′xey0, (7) y′e2xy，
y x 0 0 ．
dy dx 1 y 1 x (1 y 0) ,两边积分得
解: (1) 原方程分离变量得
2
ln 1 y ln 1 x c1
y 2x
y
(7) 分离变量得 e dy e dx , 两边积分得 e
1 2x e c , 由 y 2
x 0
0 得
3
c
1 1 2x y ,所以,原方程满足初始条件的特解为 e (e 1) . 2 2
2．物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为 T0 的物体放在保持常温为的室内，求温度 T 与时间 t 的关系. 解: 设 t 时刻物体的温度为 T,由题意有
(5) 原方程可化为: y(1 y)dy x(1 x)dx ,两边积分得由 y
y 2 y3 x 2 x3 c 2 3 2 3

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于是
∫ f (x)dx = ∫ (− cos x + C )dx = − sin x +C1x +C2 .
其中 C1,C2 为任意常数,取 C1 = C2 = 0 ,得 f (x) 的一个原函数为 − sin x .
注意此题答案不唯一.如若取 C1 = 1,C2 = 0 得 f (x) 的一个原函数为 −sin x − x .
=
1 22
∫
1 d( 2x −1
2x
−
1)
−
2
1 2
∫
1 d( 2x +1) 2x +1
1 = ln
22
1
2x +1 − 2
ln 2
2x
+1
+
C
=
1 22
ln
2x −1 +C 2x +1
(18)∫
(x
+
dx 1)(x
(4)由 Q′(P) = −1000(1)P ln 3 得 3
∫ ∫ Q(P) =
[−1000(1)P ln 3]dx = −1000 ⋅ ln 3
(
1 )
P dx
=
1000
⋅
(
1)P
+
C.
3
3
3
将 P=0 时,Q=1000 代入上式得 C=0
所以需求量与价格的函数关系是 Q(P) = 1000(1)P . 3
2 1− x2
1− x2
1− x2
(11)∵
d
(arctan
3
x)
=
1
3 +9
x
2
dx
dx ∴1+ 9x2
=
1 d(arctan 3x) 3
(12)∵d(arctan 2x) = 2 dx 1+ 2x2
dx 1
∴
= (arctan 2x)
1+ 2x2 2
(13)∵d(2x − x3 ) = (2 − 3x2 )dx = −(3x2 − 2)dx ∴(3x2 − 2)dx = −d(2 x − x3)
= ∫ csc2 xdx − ∫ sec2 xdx = − cot x − tan x + C
2. 解答下列各题： (1) 一平面曲线经过点(1，0)，且曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为 2x-2,求该曲线方程；
∫ (2) 设 sinx 为 f(x)的一个原函数，求 f ′(x) dx；
(3) 已知 f(x)的导数是 sinx，求 f(x)的一个原函数； (4) 某商品的需求量 Q 是价格 P 的函数，该商品的最大需求量为 1000(即 P=0 时，Q=1000),
(2
2
− 3x)3
+C
=
−
1
2
(2 − 3x)3
+C
3 2 − 3x 3
32
2
(5)∫ sin t t dt = 2∫ sin
t
⋅
1 2
t
dt
=
2∫
sin
t ⋅d(
t ) = −2cos
t +C
(6)∫
x ln
dx x ln
ln
x
=
∫
1 ln ln
x
⋅
1 x ln
dx x
=
∫
1 ln ln
x
d(ln ln
x −
d(1+ e 2 );
dx
(9)
=
1− x2
d(1-arcsinx);
dx
(8) =
x
d(5ln｜x｜);
xdx
(10)
=
1− x2
d 1− x2 ;
2
dx
(11)
=
1+ 9x2
d(arctan3x);
dx
(12)
=
1+ 2x2
(13) (3 x2 -2)dx=
d(2x- x3 )；
2x
(14) cos( -1)dx=
f (x) = x2 − 2x +1.
(2)由题意有 (sin x)′ = f (x) ,即 f (x) = cos x ,
故
f ′(x) = − sin x ,
所以
∫ f ′(x)dx = ∫ − sin xdx = −∫ sin xdx = cos x + C .
∫ (3)由题意有 f ′(x) = sin x ,则 f (x) = sin xdx = − cos x + C1
第五章
1.求下列不定积分：
∫ (1) x (x2 − 5) dx; ∫ (3) 3x ex dx； ∫ (5) 2 ⋅ 3x − 5⋅ 2x dx；
3x
习题 5-1
(1− x)2
∫ (2)
dx;
x
∫ (4) cos2 x dx；
2
∫ (6)
cos 2x dx .
cos2 x sin2 x
∫ ∫ ∫ ∫ 解 (1)
5
5
5
4
∫ ∫ (2) (3 − 2x)3dx = − 1 (3 − 2x)3d(3 − 2x) = − 1 (3 − 2x)4
2
8
(3)∫
dx 1− 2x
=
−
1 2
∫
1 1− 2x
d(1 −
2x)
=
−
1 2
ln
1−
2x
+C
∫ ∫ (4)
dx
1 =−
(2
−
−
3x)
1 3
d(2
−
3x)
=
(−
1 )
3
x (x2 − 5)dx =
5
1
(x2 − 52 )dx =
5
x2dx − 5
1
x2dx
=
2
7
x2
10 −
3
x2
+
C
73
∫ ∫ ∫ (2)
(1− x)2 dx =
1− 2x + x2 dx =
−1
(x 2
−
1
2x2
+
3
x2
)dx
x
x
∫ ∫ ∫ =
−
x
1 2
dx
−
2
1
x2dx +
3
x2dx
=2
x
−
4
3
cos x sin x
1+ ln x
∫ (28)
dx ;
(x ln x)2
x2
∫ (29)
dx, a > 0 ;
a2 − x2
dx
∫ (30)
;
(x2 +1)3
x2 − 9
∫ (31)
dx ;
x
dx
∫ (32)
;
x + 1− x2
dx
∫ (33)
;
1+ 1− x2
(34) ∫
a + xdx, a > 0 ; a−x
t
dt
;
∫ (7) tan10 x sec2 xdx ;
dx
(6) ∫ x ln x ln ln x ; ∫ (8) x e−x2 dx ;
3
dx
(9) ∫ sin x cos x ;
∫ (10) tan 1+ x2 ⋅ xdx ;
1+ x2
dx
∫ (11)
;
ex + e−x
∫ (12)
x dx ;9x源自dx=(x
−
9
9x +x
2
)d x
∫ ∫ = xdx − 9 1 d(9 + x2 ) = 1 x2 − 9 ln(9 + x2 ) + C
2 9 + x2
22
dx 1
(17)∫ 2x2 −1 = 2 ∫ (
1 −
2x −1
1 2x
+
)dx 1
=
1 2
∫
1 2x
−
dx 1
−
1 2
∫
1 dx 2x + 1
∫ (20) cos2 (ωt + ϕ)sin(ωt + ϕ)dt ;
x
∫ (22) cosx cos dx ;
2
∫ (24) tan3 x sec xdx ;
arctan x
∫ (25)
dx ;
x(1+ x)
dx
∫ (26)
;
(arcsin x)2 1− x2
∫ (27) ln tan x dx ;
x2
+
2
5
x2
+
C
35
∫ ∫ (3) 3x exdx = (3e)xdx = 1 (3e)x + C = 3xex + C
ln(3e)
1+ ln 3
(4)∫
cos2
x 2
dx
=
∫
1+
cos 2
x
dx
=
1 2
∫
dx
+
1 2
∫
cos
xdx
=
1 2
x
+
1 2
sin
x
+
C
(5)∫
2
⋅
3x
− 3x
5⋅