大学数学(高数微积分)第五章二次型第一节(课堂讲义)

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二次型讲义

如二次型,经过正交变换后可以化为标准型,所以f 的图形是一个旋转单页双曲面。

由此可知，任意一个n 元二次型代表n 维空间上的图形。

1、二次型的定义含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式（即每次都是二次的多项式：∑==n j i ji ij n x x a x x f 1,1),,( ，ji ij a a =称为n 元二次型，令T n x x x X ),,,(21 =，A=（ij a ），则二次型可用矩阵表示为：AX X x x x a a a a a a a a a x x x x x x f T n nn n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 212122221112112121),,,(),,,( 其中A 是n 阶实对称矩阵（A T =A ），称A 为二次型),,(1n x x f 的矩阵，矩阵A 的秩即为二次型f 的秩。

二次型与非零对称矩阵一一对应.即,给定一个二次型,则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵;反之,给定一个非零的对称矩阵,则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵. 二次型从本质上来说仍然是一个关于n 个变量的函数，只不过是一个比较特殊的二次其次函数，在表达式中除了平方项就是交叉项，没有一次项或常数项，只是希望利用矩阵的理论来研究二次型时才将二次型写为。

注: 一个二次型的矩阵之所以要求是对称矩阵,原因之一是使得二次型矩阵是唯一确定的.2、研究问题对于二次型，我们讨论的主要问题就是寻求可逆的线性变换使二次型只含有平方项。

用矩阵形式可写为CY X =,使得2222211r r y k y k y k f +++=这种只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，若标准型的系数只在1,0，-1三个数中取值，那我们称这种标准型为二次型的规范型。

3、化二次型为标准型的方法（1）坐标变换很显然，当所选的坐标不同时，二次型的标准型也不同。

第5章(二次型)线性代数及其应用.ppt

x2 ,
x3
)

x1 ,
x2
,
x3

1

0
1 2 3

0 3 2

x1 x2 x3

1
2
1 0 0 x1
(2)
f
(
x1
,
x2
,
x3
)

x1
,
x2
,
x3

0
1
0

x2

0 0 4 x3
问题：如何将一个二次型经过可逆（满秩）的线

令 Q (q1, q2 , q3 ) 0
0 1

1 2
1 2
0
则正交变换x＝Qy将二次型化为标准形
f 0 y12 2 y22 2 y32 .
正交变换是线性变换中的特殊一类，它具有保持向量的内积、长度不变等优点，即若x＝Qy为正交变换，则
[Qx1,Qx2 ] (Qx1)T Qx2 x1TQTQx2 x1T x2 [ x1, x2 ]
1 1
(iii)将所求特征向量正交化、单位化
因1 分别与2，3正交,故只需将 2，3 正交化.
正交化
取1 1 , 2 2
3

3

3
,

2
,

2

2

2

1
1 1

2 2
1 0 1

线性代数ppt 第五章二次型

a11 a 21 a n1
a12 a 22 an2
a1n a2n , a nn
x =
x1 x2 , xn
则二次型可记作 f = xT Ax, 其中 A为对称矩阵 .
(3)
此时A 此时A称为二次型 f 的矩阵, f 称为对称矩阵A 的矩阵, 称为对称矩阵A 对应的二次型. 对应的二次型. 对矩阵A的秩叫做二次型的秩二次型f的秩二次型的秩. f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2 )=3x +3x +2x
k1 0 TAP = P … 0
0 k2 … 0
… … … …
0 0 … kn
第五章二次型
§5.1 二次型及其矩阵表示
三. 矩阵的合同可逆矩阵P, 使得PTAP = B. 记为: A B. 可逆矩阵使得P 矩阵P 记为: 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. 矩阵间的合同关系也是一种等价关系. An与Bn合同(congruent): 合同(congruent):
(1) 反身性: A A; 反身性: A; (2) 对称性: A B B A; 对称性: (3) 传递性: A B, B C A C. 传递性:
定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同. 定理5.1. 实对称矩阵与对角矩阵合同.
作业 P151 1. (B) 1(1), (3); 2
本章主要内容 (1) 二次型矩阵表示 (2) 标准二次型,规范二次型标准二次型, 二次型 (3) 将二次型化为标准形 (4)二次型的正定型的判定—主要是利用顺序 (4)二次型的正定型的判定主要是利用顺序二次型的正定型的判定— 主子式判定主子式判定作业: 作业: P152 7(1); 20(1)

大一高数第五章知识点笔记

大一高数第五章知识点笔记在大一高数课程中，第五章是一个非常重要且充满挑战的章节。

本章主要讲解了一元函数的微分学和积分学，涵盖了导数和积分的基本概念、性质和应用。

在这篇文章中，我将为大家总结并梳理第五章的知识点，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一章节的内容。

一、导数的定义和性质导数是微分学的基本概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。

在第五章中，我们学习了导数的定义和性质，并学会了如何计算函数的导数。

导数的定义如下：设函数$f(x)$在点$x_0$的某一邻域内有定义，当极限$$\lim_{{\Delta x}\to{0}}\frac{{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}}{{\Delta x}}$$存在时，称此极限为函数$f(x)$在点$x_0$处的导数，记作$f'(x_0)$。

导数具有以下性质：1. 可加性：$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$2. 可乘性：$(cf)'(x)=cf'(x)$，其中c为常数3. 乘法法则：$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$4. 商法法则：$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ （其中$g(x)\neq0$）二、常用函数的导数公式在计算具体函数的导数时，我们需要掌握一些常用函数的导数公式。

以下是一些常见函数的导数：1. 常数函数：$f(x)=C$，导数为$f'(x)=0$，其中C为常数。

2. 幂函数：$f(x)=x^n$，导数为$f'(x)=nx^{n-1}$，其中n为正整数。

3. 指数函数：$f(x)=e^x$，导数为$f'(x)=e^x$。

4. 对数函数：$f(x)=\log_a{x}$，导数为$f'(x)=\frac{1}{x\ln{a}}$，其中$a>0$，且$a\neq1$。

高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.4

从而 A CC C 2 0.
注意
反之不然. 即实对称矩阵A，且 A 0, A未必正定.
如
A
1 0
0 1
,
A 10
但X AX x12 x22不是正定二次型.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
4、顺序主子式、主子式、
设矩阵 A (aij ) Rnn
a11 1) A(1,2, ,k)
因此有 X (kA)X kX AX 0. 故，kA正定.
2020/9/20§5. 4 正定二次型
（3）A正定，则存在可逆矩阵C，使 A CC ，于是 A CC C 2 0
又A* A A，1 由（1）（2）即得 A* 正定.
（4）由于 A 正定，知 Am为 n 阶可逆对称矩阵，当 m＝2k 时， Am A2k Ak Ak ( Ak )EAk , 即，Am 与单位矩阵E合同，所以 Am正定.
一组不全为零的实数 c1,c2 , ,cn 都有
f (c1,c2 , ,cn ) 0
则称f 为正定二次型.
n
如，二次型 f ( x1, x2, , xn ) xi2 是正定的；
i 1 n1
f ( x1, x2, , xn ) xi2
i 1
2020/9/20§5. 4 正定二次型
2、正定性的判定
2 1
解： f ( x1, x2 ,
, xn )的矩阵
A
2
1
2
1
1
1
2 2
A的第k阶顺序主子式Pk
2020/9/20§5. 4 正定二次型
11
1
11 1
2 1 Pk 2 1
2 1 2
1 k1 2
2

线性代数第5章课件：二次型

且有 f 9 y12 18 y22 18 y32 .
例3 求一个正交变换x Py,把二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
化为标准形.
解
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1
,
1 1 1 0
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线
性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0
(i j),则先作可逆线性变换
xi xj
yi yi
yj yj
k 1,2,,n且k i, j
xk yk 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方
法配方.
例1 化二次型
0 0 1
例2 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成标准形, 并求所用的变换矩阵.
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn an1 xn x1 an2 xn x2 ann xn2
x1(a11 x1 a12 x2 a1n xn )
第5章二次型
5.1 二次型的概念 5.2 化二次型为标准形 5.3 正定二次型
5.1 二次型的概念
一、二次型的定义
定义1 含有n个变量x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
f x1 , x2 ,, xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.

高等代数课件(北大版)第五章二次型§5.2

2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院再令Fra bibliotekz1 z2
y1 y2
y3
或
y1 y2
z1 z2
z3
z3 y3
y3 z3
即,
y1 1
y2 y3
0 0
0 1 0
1 z1
0 1
z2 z3
则 f ( x1, x2 , , xn ) 2z12 2z22 2z32 8z2z3
1 0
1 0
0 1
2 0 2 情形1)
2020/9/20§5.2
0 2 标2准形4
04 数学与计算科学学院
1 0 1
令
C2
0 0
1 0
0 1
,
1 0 0 2 0 2 1 0 1
A2
C2 A1C2
0 1
1 0
0 1
0 2
2 4
4 0
0 0
1 0
0 1
2 0 0
0 0
2 4
4 2
情形1)
1 0 0
2020/9/20§5.2 标准形
数学与计算科学学院
二、合同的变换法
1. 定义：合同变换是指下列三种变换
（1）互换矩阵的 i, j 两行，再互换矩阵的 i, j 两列; i （2）以数 k（k 0 ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘
z3
c32
y2
c33
y3
zn
cn2 y2
cn3 y3
c2n yn c3n yn cnn yn
使它变成平方和 d2z22 d3z32
dnzn2
于是，非退化线性替换
z1 y1

第五章二次型讲2周

B CAC
定义 2 数域P上的n×n矩阵A,B称为合同的，如果有数域P上可逆的n×n矩阵C，
使 B CAC
1）反身性；2）对称性；3）传递性。
因之，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的。因此我们将二次型的标准化变为矩阵的标准化问题。
在变换二次型时，我们总是要求所作的线性替换X=CY是非退化的。因为非退化的变换可以将所得的二次型经逆变换
为计算 C' AC ,可令
1
1
a22 a2n
a
(a ,, a ), A
12
1n
1

.
an2 ann
于是A和C1可写成分块矩阵
A

a11 a'
a
A 1

,
C1

1 0

a a 1 11
En1

,
这里a' 为a 的转置,En-1为n-1级单位矩阵.
2a1n x1xn a22 x22 2a2n x2 xn
ann xn2
（3）
称为属于P上的一个n元二次型，或者简称二次型。
如 x12 x1x2 3x1x3 2x22 4x2 x3 3x32 定义1 设 x1, x2 ,, xn ；y1, y2 ,, yn
2a12 (z1 z2 )(z1 z2 )

2a12
z2 1

2a12
z2 2

这时上式右端是 z1, z2 ,, zn 的二次型, 且
z2 1
的系数不为零,属于第一种情况,定理成立.
3)

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cn1
c22
cn2

c2n
cnn

y2
yn

,
或者
X = CY .

(
x1
,
x2
,,
xn
)
a21x1 an1x1

a22 x2 an2 x2
a2n ann
xn xn

nn

aij xi x j .
i1 j 1
所以二次型可表示成
f (x1 , x2 , … , xn ) = XTAX .
这即为二次型的矩阵表示形式. 应该看到，二次型的矩阵 A 的元素，当 i j
第一节二次型及其矩阵表示
主要容
问题的提出二次型的定义及矩阵表示线性替换合同矩阵
一、问题的提出
在解析几何中, 为了便于研究二次曲线
ax2 + 2bxy + cy2 = f
(1)
的几何性质, 我们可以选择适当的角度，作转轴
(反时针方向转轴)
x xcos ysin ,
y xsin ycos ,

aij xi x j .
i1 j 1
把上式的系数排成一个 n n 矩阵
a11 a12 a1n
A

a21
an1
a22
an2

a2n
ann

,
它就称为二次型的矩阵. 因为 aij = aji , i , j = 1, 2,
…, n , 所以
二、二次型的定义及矩阵表示
1. 定义
定义1 设 P 是一数域，一个系数在数域 P 中
的 x1 , x2 , … , xn 二次齐次多项式 f(x1 , x2 , … , xn ) = a11x12 + a22x22 +…+annxn2
+ 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2an-1,nxn-1xn
xi xj = xj xi , 所以二次型可以写成
f(x1 , x2 , … , xn ) = a11x12 + a12x1x2 + … + a1nx1xn
+ a21x2x1 + a22x22 + … + a2nx2xn …………
+ an1xnx1 + an2xnx2 + … + annxn2
nn

x2

c21 y1
c22 y2
c2n
yn
,
(4)
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
称为由 x1 , x2 , … , xn 到 y1 , y2 , … , yn 的一个线性
替换，或简称线性替换.
如果系数行列式
| cij | 0 ,
时 aij = aji 正是它的 xixj 项的系数的一半，而 aii 是 xi2 项的系数，因此二次型和它的矩阵是相互唯一决定的. 由此还能得到，若二次型
f (x1 , x2 , … , xn ) = XTAX = XTBX 且 AT = A，BT = B，则 A = B .
例 1 已知二次型 f (x,y) x2 4xy y2 ,
A = AT .
我们把这样的矩阵称为对称矩阵，因此，二次型
的矩阵都是对称矩阵.
令
x1
X

x2
xn

,
因为
a11 a12 a1n x1
X
T
AX

( x1 ,
x2 ,,
xn
)
a21
an1
a22
an2

a2n x2
解设 f = XTAX , 则
1 1 2 3
A

1 2 3
3 4 2
4 1 0
042 .
三、线性替换
1. 定义
定义 2 设 x1 , x2 , … , xn ； y1 , y2 , … , yn 是
两组文字，系数在数域 P 中的一组关系式
x1 c11y1 c12 y2 c1n yn ,
那么称线性替换为非退化的.
例如，前面我们讲过的坐标旋转公式
x xcos ysin ,

y

x
sin

y c
os
是一个线性替换，且
cos sin
1 0,
sin cos
所以它是非退化的.
2. 线性替换的矩阵形式
令
c11 c12 c1n
y1
写出二次型的矩阵 A.
解设 f = XTAX , 则
A

1 2
12
,
X

x y

.
例 2 已知二次型
f (x1,x2,x3,x4 ) x12 3x22 x32 4x42
2x1x2 4x1x3 6x1x4
写出二次型的矩阵 A.
8x2 x3 4x2 x4,
ann

xn

a11 a12 a1n x1
X
T
AX

( x1 ,
x2 ,,
xn
)
a21
an1
a22
an2

a2n x2
ann

xn

a11x1 a12 x2 a1n xn
C

c21

cn1
c22
cn2

c2n
cnn

,
Y

y2
yn

.

于是线性替换 (4) 可以写成
x1 c11 c12 c1n y1

x2
xn

c21
(3)
称为数域 P 上的一个 n 元二次型，简称二次
型.
2. 二次型的矩阵表示
设有二次型 f(x1 , x2 , … , xn ) = a11x12 + a22x22 +…+annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + … + 2an-1,nxn-1xn . 令
aij = aji , i < j . 由于
(2)
把方程化为标准形
mx2 ny2 1.
(1) 式的左边是一个二次多项式, 从代数学的观点看, 化标准的过程就是通过变量的线性替换(2) 化简一个二次齐次多项式, 使它只含有平方项. 这样一个问题, 在许多理论问题或实际问题中常会遇到. 现在我们把这类问题一般化, 讨论 n 个变量的二次齐次多项式的化简问题.