高等数学微积分总结
高等数学常用微积分公式
高等数学常用微积分公式一、极限1.无穷大与无穷小：当x→∞时，若极限值L=0，则称函数f(x)是无穷小。
常见无穷小有：x→0时的无穷小o(x)、无穷次可导的无穷小O(x^n)；当x→∞时，若极限值L≠0或不存在，则称函数f(x)是无穷大；2.函数极限：若函数f(x)当x→a时的极限存在稳定的常数L，则称L为f(x)当x→a时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L；3.等价无穷小：若 f(x) 和 g(x) 都是x→a 时的无穷小，并且lim(x→a)(f(x)/g(x))=1，则称 f(x) 和 g(x) 是x→a 时的等价无穷小。
二、导数1.导数的定义：若函数f(x)在点x处的函数值可近似表示为f(x+Δx)≈f(x)+f'(x)Δx，其中f'(x)为f(x)在点x处的导数，则称f'(x)是函数f(x)在点x处的导数。
2.常见函数的导数：(1)和差法则：(u±v)'=u'±v'；(2)乘法法则：(u*v)'=u'*v+u*v'；(3)除法法则：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^2，其中v≠0；(4) 链式法则：若 y=f(u)，u=g(x) ，则 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx = f'(u)*g'(x)。
3.高阶导数：函数f(x)的导数f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记为f''(x)。
可以依此类推，得到函数f(x)的n阶导数f^(n)(x)。
三、微分1.微分的定义：函数 f(x) 在点 x 处的微分记为 dx，根据导数的定义，有 df(x) = f'(x)dx。
2.微分的性质：(1)常数微分：d(c)=0，其中c为常数；(2) 取单项微分：d(x^n) = nx^(n-1)dx，其中 n 为实数，x 为变量；(3) 和差微分：d(u ± v) = du ± dv；(4) 乘法微分：d(uv) = u*dv + v*du；(5) 除法微分：d(u/v) = (v*du - u*dv)/v^2，其中v ≠ 0；(6) 复合函数微分：若 y=f(u)，u=g(x)，则 dy = f'(u)du =f'(g(x))g'(x)dx。
大一高等数学知识点微积分
大一高等数学知识点微积分在数学领域中，微积分是一门重要且基础的学科。
它是研究函数变化规律的数学分支，旨在通过导数和积分来解决实际问题。
在大一的高等数学课程中，学生们将接触到微积分的初步概念和应用。
本文将对大一高等数学中的微积分知识点进行介绍。
一、函数的极限与连续性函数的极限是微积分研究的基础，它描述了函数在某一点附近的行为。
在大一的高等数学中，学生们学习了函数的极限定义、左右极限及无穷极限等概念，掌握了函数极限的计算方法。
此外，连续性也是微积分的重要概念，它描述了函数在某一点处的连续性特征。
通过对函数的极限和连续性的研究，我们可以更好地理解函数的性质。
二、导数与微分导数是微积分研究中的另一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在大一的高等数学中，学生们学习了导数的定义、导数的基本性质和求导法则等知识。
通过求导，我们可以计算函数的切线斜率，进而研究函数的变化趋势和最值等问题。
此外，微分也是导数的一个重要应用，它描述了函数在某一点处的局部线性近似。
三、积分与不定积分积分是微积分的另一个核心内容，它描述了函数在某一区间上的累积效应。
在大一的高等数学中，学生们学习了积分的定义、基本性质和求积法则等知识。
通过求积分，我们可以计算函数的面积、曲线长度、旋转体体积等问题。
同时，不定积分也是积分的一个重要应用，它求解了函数的原函数，帮助我们进一步研究函数的性质和求解相关问题。
四、微分方程微分方程是微积分的一个重要应用领域，它描述了函数关于自变量的导数与函数自身的关系。
在大一的高等数学中，学生们将接触到一阶和二阶微分方程的基本概念和解法。
通过解微分方程，我们可以研究动力系统、电路问题、自然科学中的变化过程等实际问题。
总结起来，大一高等数学中的微积分知识点主要包括函数的极限与连续性、导数与微分、积分与不定积分以及微分方程。
通过学习这些知识，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，进而应用于实际问题的求解和分析中。
高等数学微积分求极限的方法整理
一，求极限的方法横向总结：
1带根式的分式或简单根式加减法求极限：1）根式相加减或只有分子带根式：用平方差公式，凑平方（有分式又同时出现未知数的不同次幂：将未知数全部化到分子或分母的位置上）
2）分子分母都带根式：将分母分子同时乘以不同的对应分式凑成完全平方式（常用到
2分子分母都是有界变量与无穷大量加和求极限：分子与分母同时除以该无穷大量凑出无穷小量与有界变量的乘积结果还是无穷小量。
3等差数列与等比数列和求极限：用求和公式。
4分母是乘积分子是相同常数的n项的和求极限：列项求和
5分子分母都是未知数的不同次幂求极限：看未知数的幂数，分子大为无穷大，分子小为无穷小或须先通分。
6运用重要极限求极限（基本）。
7乘除法中用等价无穷小量求极限。
8函数在一点处连续时，函数的极限等于极限的函数。
9常数比0型求极限：先求倒数的极限。
10根号套根号型：约分，注意别约错了。
11三角函数的加减求极限：用三角函数公式，将sin化cos
二，求极限的方法纵向总结：
1未知数趋近于一个常数求极限：分子分母凑出（x-常数）的形式，然后约分（因为x不等于该常数所以可以约分）最后将该常数带入其他式子。
2未知数趋近于0或无穷：1）将x放在相同的位置
2）用无穷小量与有界变量的乘积
3）2个重要极限
4）分式解法（上述）。
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总
高等数学中所涉及到的微积分公式汇总微积分是高等数学中的一门重要学科，涉及到很多重要的公式和定理。
下面是一些微积分中常用的公式的汇总：1.导数公式：- 函数f(x)在点x处的导数：f'(x) = lim (f(x+h)-f(x))/h,其中h -> 0- 常见函数的导数公式：常数函数导数为0，幂函数导数为nx^(n-1)，三角函数的导数等-乘法法则：(f*g)'(x)=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)-商法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.积分公式：- 不定积分和定积分的基本定理：若F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C- 基本不定积分：∫x^n dx = (1/n+1)*x^(n+1) + C （其中n不等于-1）- 定积分的性质：∫(a to b) f(x) dx = -∫(b to a) f(x) dx，∫(a to b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a to b) f(x) dx ± ∫(a to b)g(x) dx3.微分学的基本定理：- 导数的基本定理：如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a to b) f(x) dx = F(b) - F(a)- 牛顿-莱布尼茨公式：若F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫(a tob) f(x) dx = F(x)，_(a to b) = F(b) - F(a)4.极限定理：- 极限的四则运算定理：设lim (x -> a) f(x) = L，lim (x -> a) g(x) = M，则lim (x -> a) [f(x)±g(x)] = L±M，lim (x -> a)[f(x)*g(x)] = L*M，lim (x -> a) [f(x)/g(x)] = L/M （其中M不等于0）- L'Hospital法则：设lim (x -> a) f(x) = 0，lim (x -> a) g(x) = 0，并且lim (x -> a) f'(x)/g'(x) 存在，则lim (x -> a) f(x)/g(x) = lim (x -> a) f'(x)/g'(x)- 夹逼定理：如果数列{a_n}、{b_n}、{c_n}满足a_n <= b_n <=c_n，并且lim (n -> ∞) a_n = lim (n -> ∞) c_n = L，则lim (n -> ∞) b_n = L5.泰勒级数：-函数f(x)的泰勒级数展开：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)*(x-a)^2/2!+...+f^n(a)*(x-a)^n/n!+...，其中f^n(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数以上仅是微积分中涉及到的一些公式，实际上微积分的公式和定理非常丰富，还有更多的公式可以在相关的教材和文献中找到。
高等数学微积分
高等数学微积分
高等数学微积分是数学中的一门重要学科，也是各个工科、理科中的必修课程之一。
微积分的基本概念是无穷小和极限，其研究对象是变化中的量和量的变化率。
微积分主要涉及到导数、积分、微分方程等知识。
一、导数
导数是微积分最基本的概念之一。
导数表示函数在某一
点上的变化率，可以理解为切线的斜率。
导数的求法主要有极限法和微商法两种方法。
其中，极限法是通过求出某一点的左侧或右侧的斜率来得到导数；微商法则是通过对函数进行微小增量的变化来推算导数。
二、积分
积分是导数的逆运算，是微积分中的另一个基本概念。
积分可以理解为曲线下的面积，也可以看作是一个变量在一定范围内的累加。
积分的求法主要有不定积分和定积分两种方法。
其中，不定积分是指求导数的逆运算，求出的结果为原函数；定积分则是对函数在一定范围内的积分，求出的结果为该变量在该范围内的累加。
三、微分方程
微分方程是微积分中的另一个重要概念，是描述自然现
象和工程问题的数学模型。
微分方程主要涉及到解微分方程和应用微分方程两个方面。
解微分方程是指找出满足某些条件的函数，而应用微分方程则是将微分方程应用到实际问题中，通过解法得到实际问题的解。
总之，微积分是一门深奥的学科，涉及到很多复杂的概念和理论。
只有通过多次练习和深入学习，才能对微积分有更深刻的理解和掌握。
高数微积分公式大全3篇
高数微积分公式大全第一篇：高数微积分公式大全（上）微积分是数学中的重要分支，也是物理、工程、经济等领域中不可或缺的工具。
下面将介绍一些高等数学中常用的微积分公式，包括极限、导数、微分等，供读者参考。
1. 极限极限是微积分中的基本概念，它描述的是函数在某一点附近的取值趋近于某个常数的情况。
极限公式如下：（1）左极限$$\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=A$$（2）右极限$$\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=A$$（3）无穷远处的极限$$\lim_{x\to \infty}f(x)=A$$（4）无穷小量$$\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=0$$2. 导数导数是微积分中的重要概念，它描述的是函数在某一点处的变化率。
导数公式如下：（1）切线的斜率$$k=\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} $$（2）函数的导数$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$3. 微分微分是微积分中的基本运算，它可以帮助我们研究函数的变化趋势。
微分公式如下：$$df=f'(x)dx$$其中，$dx$表示自变量$x$的微小变化量，$df$表示因变量$y$的微小变化量。
4. 泰勒公式泰勒公式是微积分中的重要定理，它可以帮助我们将一个函数表示为一系列多项式的和，从而简化函数的计算。
泰勒公式如下：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n} $$其中，$f^{(n)}(x)$表示函数$f(x)$的$n$阶导数。
5. 柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程是复分析中的重要定理，它描述了复函数的导数和复共轭函数的关系。
柯西-黎曼方程如下：$$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partialv}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$$其中，$u(x,y)$和$v(x,y)$分别表示复函数$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$的实部和虚部。
高等数学积分公式和微积分公式大全
常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +⎰＝1ln ax bC b x +-+6．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x+-++ 7．2d ()xx ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x+-++10．x ＝C11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x⎰＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -++ 15．(0)(0)C b C b ⎧+><16．2a bx b -- 17．x＝b + 18．2d x x ⎰＝2a + （三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a +⎰=1arctan x C a a+ 20．22d ()n xx a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d x x a -⎰=1ln 2x a C a x a-++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b +⎰＝(0)(0)C b C b ⎧+>+<23．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++24．22d x x ax b +⎰＝2d x b xa a axb -+⎰ 25．2d ()xx ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++26．22d ()xx ax b +⎰＝21d a x bx b ax b --+⎰27．32d ()xx ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx+-+ 28．22d ()xax b +⎰＝221d 2()2x x b ax b b ax b +++⎰（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac C b ac +<+> 30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分31．＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．C +33．xC34．x＝C +35．2x 2ln(2a x C ++36．2x ⎰＝ln(x C +++37．1C a38．C +39．x ＝2ln(2a x C +40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C +++41．x ⎰＝C42．xx ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +++43．d x x⎰a C +44．x ＝ln(x C ++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C ++50．2x ⎰＝ln x C +++51．1arccos aC a x+52．2C a x +53．x 2ln 2a x C ++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰＝C56．xx ⎰＝422(2ln 88x a x a x C --++57．d x x⎰arccos a a C x -+58．2d x x ⎰＝ln x C x-+++(0)a >的积分 59．＝arcsinxC a+ 60．C +61．x ＝C62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x ⎰arcsinxC a-+65．1C a +66．2C a x -+67．x 2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a -+69．x ⎰＝C70．xx ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-+71．x lna a C x +72．x ＝arcsin xC a-+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x2n 2a x b c C++++75．xn 2a x b c C-+++ 76．＝C +77．x 2C +78．x ＝C +79．x ＝((x b b a C --+80．x ＝((x b b a C --81．C +()a b <82．x 2()4b a C - ()a b < （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C + 87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+ 91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰99．cos sin d m n x x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m nm x x x x x m n m n -+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰＝tan xa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰＝C+22()a b <105．d cos xa b x +⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a++114．arcsin d xx x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d xx x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a ++116．arccos d x x a ⎰＝arccosxx C a-117．arccos d xx x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a --118．2arccos d xx x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+119．arctand x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+121．2arctan d xx x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ （十三）含有指数函数的积分122．d xa x ⎰＝1ln xa C a + 123．e d axx ⎰＝1e ax C a +124．e d ax x x ⎰＝21(1)e axax C a-+125．e d n axx x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a--⎰126．d xxa x ⎰＝21ln (ln )x xx a a C a a -+ 127．d nxx a x ⎰＝11d ln ln n x n xn x a x a x a a --⎰ 128．e sin d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++ 129．e cos d ax bx x ⎰＝221e (sin cos )axb bx a bx C a b+++130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e s i n d a x n n n b b x x a b n--++⎰ 131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e c o s d a x n n n b b x x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分 132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+133．d ln xx x ⎰＝ln ln x C +134．ln d nx x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n nx x n x x --⎰136．(ln )d m nx x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰ （十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝ln ch x C +140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++（十六）定积分 142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m nm n≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m nm n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩147． n I ＝20sin d nx x π⎰＝20cos d n x x π⎰n I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅- （n 为正偶数），0I ＝2π一、 （系数不为0的情况）00101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m--→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩二、重要公式（1）0sin lim 1x xx →=（2）()1lim 1xx x e→+= （3）lim )1n a o →∞>=（4）lim 1n →∞= （5）lim arctan 2x x π→∞=（6）lim tan 2x arc x π→-∞=-（7）lim arc cot 0x x →∞= （8）lim arc cot x x π→-∞= （9）lim 0x x e →-∞=（10）lim x x e →+∞=∞（11）0lim 1x x x +→=三、下列常用等价无穷小关系（0x →）sin x x t a n x x a r c s i n x x a r c t a n x x211c o s 2x x -()ln 1x x+ 1x e x - 1l n xa x a -()11x x∂+-∂四、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()u v u v uv '''=+2u u v u vv v '''-⎛⎫=⎪⎝⎭五、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()s i n c o sx x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2t a n s e c x x'= ⑹()2c o t c s c x x'=-⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()c s c c s c c o tx x x '=-⋅⑼()xxe e '= ⑽()ln xx a a a'= ⑾()1ln x x '=⑿()1log ln x a x a '=⒀()a r c s i n x '=⒁()a r c c o s x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21a r c c o t 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=六、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦（2）()()()()n n cu x cux =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()nn n k kk nk u x v x c ux v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑七、基本初等函数的n 阶导数公式 （1）()()!n n x n = （2）()()n ax b n ax be a e ++=⋅ (3)()()ln n x x n a a a=(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (5)()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7)()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+八、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x d xμμμ-= ⑶()s i n c o s d x x d x=⑷()cos sin d x xdx=- ⑸()2t a n s e c d x x d x= ⑹()2c o t c s cd x x d x=-⑺()sec sec tan d x x xdx=⋅ ⑻()c s c c s c c o t d x x x d x=-⋅⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx= ⑾()1ln d x dx x =⑿()1log ln xa d dxx a = ⒀()arcsin d x =⒁()a r c c o s d x d x=⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21a r c c o t 1d x d x x =-+九、微分运算法则⑴()d u v du dv±=±⑵()d cu cdu=⑶()d uv vdu udv=+⑷2u vdu udvdv v-⎛⎫=⎪⎝⎭十、基本积分公式⑴kdx kx c=+⎰⑵11xx d x cμμμ+=++⎰⑶lndxx cx=+⎰⑷lnxxaa dx ca=+⎰⑸x xe dx e c=+⎰⑹c o s s i nx d x x c=+⎰⑺sin cosxdx x c=-+⎰⑻221s e c t a nc o sd x x d x x cx==+⎰⎰⑼221csc cotsinxdx x cx==-+⎰⎰⑽21a r c t a n1d x x cx=++⎰⑾arcsin x c =+十一、下列常用凑微分公式十二、补充下面几个积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ c o t l n s i n x d x x c=+⎰sec ln sec tan xdx x x c =++⎰c s c l n c s c c o t xd x x x c=-+⎰2211arctan x dx c a x a a =++⎰2211ln 2x adx c x a a x a -=+-+⎰arcsinxc a =+ln x c=+十三、分部积分法公式⑴形如n axx e dx⎰，令n u x =，ax dv e dx = 形如sin nx xdx⎰令n ux =，sin dv xdx = 形如cos n x xdx⎰令n ux =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx⎰，令arctan u x =，n dv x dx =形如ln n x xdx⎰，令ln u x =，n dv x dx =⑶形如sin ax e xdx ⎰，cos ax e xdx ⎰令,sin ,cos ax u e x x =均可。
高等数学微积分知识点总结
函数的概念与性质●定义函数及函数的自变量和因变量：函数是一个将一个自变量集合映射到一个因变量集合的规律，自变量可以是实数、向量、矩阵等，因变量也可以是实数、向量、矩阵等。
●常见函数类型：多项式、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
这些函数都有自己的定义域和值域。
●函数的图像：单调性、奇偶性、周期性等性质，是描述函数图像的重要性质。
极限与连续●极限的概念与性质：左极限、右极限、无穷大极限等，都是用来描述函数在某一点处的趋势性质。
●极限的计算：夹逼定理、无穷小量、洛必达法则等，是计算极限的重要方法，这些方法可以简化极限的计算。
●连续的概念与性质：间断点、可导性等。
连续是描述函数在某一点上的“无缝连接”的性质，间断点则是描述函数在某一点上不连续的性质。
●连续函数的性质：介值定理、零点定理、最大值最小值定理等。
这些定理描述了连续函数的一些重要性质，可以用来解决实际问题。
导数与微分●导数的概念与几何意义：切线斜率、曲线的局部特征等。
导数是描述函数在某一点处的变化率的重要工具，也是描述函数在某一点处的局部特征的工具。
●导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算、高阶导数等。
这些方法可以用来计算函数的导数。
●微分的概念与应用：线性近似、误差估计等。
微分是一种近似方法，可以用来计算函数在某一点的变化量，也可以用来计算函数值的误差估计。
函数的应用●求极值问题：求函数最大值最小值的方法及应用。
这些方法可以用来解决优化问题，如最大利润、最短路径等问题。
●曲线的几何性质：拐点、渐近线、弧长、曲率等。
这些性质可以用来描述曲线的特征，如拐点是曲线局部拐点是曲线的转折点，曲率是描述曲线弯曲程度的重要概念，渐近线是曲线在无穷远处的趋势线。
●泰勒公式与泰勒展开：将函数在某一点展开为幂级数的方法。
泰勒公式可以用来计算函数在某一点的近似值，泰勒展开可以用来表示函数在某一点的局部性质。
●常微分方程：描述物理、化学、生物等领域中的变化规律的重要工具。
高等数学上册(微积分)必背公式总结
高等数学上册(微积分)必背公式总结以下仅是个人总结仅供参考(不包含微分方程模块)常用三角函数公式积化和差公式\begin{aligned} \sin \alpha \cos\beta&=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \sin \beta&=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \cos \beta&=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \\ \sin \alpha \sin \beta&=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]\end{aligned}和差化积公式\begin{aligned}\sin\alpha+\sin\beta&=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\ frac{\alpha-\beta}{2} \\ \sin\alpha-\sin\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha -\beta}{2} \\\cos\alpha+\cos\beta&=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\ frac{\alpha-\beta}{2} \\ \cos\alpha-\cos\beta&=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \tan\alpha+\tan\beta&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cdot\cos \beta}\end{aligned}归一化公式\begin{aligned} \label{gyhgs} \sin^2 x+\cos^2x&=1\\\sec^2 x-\tan^2x&=1\\\cosh^2x-\sinh^2x&=1\end{aligned}倍(半)角公式降(升)幂公式\begin{aligned} \sin^2x&=\frac{1}{2}(1-\cos 2x)\\\cos^2x&=\frac{1}{2}(1+\cos 2x) \\ \tan^2x&=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x} \\ \sinx&=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \\ \cosx&=2\cos^2\frac{x}{2}-1=1-2\sin^2\frac{x}{2}=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2} \\ \tan x&=\frac{2\tan(x/2)}{1-\tan^2(x/2)}\end{aligned}万能公式令 u=\tan\dfrac{x}{2} 则\begin{aligned} \sin x=\frac{2u}{1+u^2}\\ \cosx=\frac{1-u^2}{1+u^2}\end{aligned}常用的佩亚诺型余项泰勒公式有泰勒公式 \begin{aligned}f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o[(x-x_0)^n]\notag\\f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\small{ (\xi \mbox{在}x_0 \mbox{与}x\mbox{之间})} \notag\end{aligned}\begin{aligned}\mathrm{e}^{x}&=1+x+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x^{3}+ \cdots+\frac{1}{n!}x^{n}+o(x^{n})\\ \ln(x+1)&=x-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}x^{n}+o(x^{n})\end{aligned}令 n=2m 有,\begin{aligned} \sin x&=x-\frac{1}{6}x^{3}+\frac{1}{120}x^{5}+\cdots+(-1)^{m-1}\frac{1}{(2m-1)!}x^{2m-1}+o(x^{2m}) \\ \cos x&=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4-\cdots+(-1)^m\frac{1}{(2m)!}x^{2m}+o(x^{2m+1}) \\ \tanx&=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+ \cdots+o(x^{2m-1})\end{aligned} \begin{aligned}\arcsinx&=x+\frac{1}{6}x^3+\frac{3}{40}x^{5}+\cdots+o(x^{2m}) \end{aligned}常用于近似计算的泰勒公式\begin{aligned} \frac{1}{1-x}&=1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+o(x^n) \\(1+x)^{\alpha}&=\sum_{i=0}^{n}\frac{\prod_{j=0}^{i-1}{(\alpha-j})}{i!}x^n+o(x^n)\notag \\ &=1+\alphax+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+\cdots+o(x^n) \\\alpha^x&=\sum_{i=0}^{n}\frac{\ln^n\alpha}{n!}x^n+o(x^n)\notag \\ &=1+x\ln\alpha+\frac{\ln^2 \alpha}{2}x^2+\cdots+\frac{\ln^n \alpha}{n!}x^n+o(x^n)\end{aligned}基本求导公式\begin{equation} \left( C\right)'=0 \\\left( x^{\mu}\right)'=\mu x^{\mu-1} \\ \left( \sinx\right)'=\cos x \\ \left( \cos x\right)'=-\sin x \\ \left( \tan x\right)'=\sec^2 x\\ \left( \cotx\right)'=-\csc^2 x \\ \left( \sec x\right)'=\secx\cdot\tan x \\ \left( \csc x\right)'=-\csc x\cdot\cot x \\ \left( a^x\right)'=a^x\ln a\ (a>0,a\neq1)\\\left( \log_{a}x\right)'=\frac{1}{x\cdot\ln a}\(a>0,a\neq1) \\ \left( \arcsinx\right)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \left( \arccosx\right)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ \left( \arctanx\right)'=\frac{1}{1+x^2} \\ \left( \mathrm{arccot}\, x\right)'=-\frac{1}{1+x^2} \\ \end{equation}函数图形描述中涉及到的重要公式常用曲率计算公式曲率的定义式K=\displaystyle\left|\frac{\mathrm{d}\alpha}{\mathrm{d}s}\right|由定义式我们可以推得1.直角坐标系中的曲线 y=y(x) 有曲率表达式K=\frac{\left|y''\right|}{\left( 1+y^{'2}\right)^{3/2}}\mbox{;}2.参数方程表示的曲线 x=\varphi(t),y=\psi(t) 有曲率表达式 K=\frac{\left|\varphi'(t)\psi''(t)-\varphi''(t)\psi'(t)\right|}{\left[ \varphi^{'2}(t) +\psi^{'2}(t) \right]^{3/2}}\mbox{;}3.极坐标表示的的曲线 y=y(x) 有曲率表达式K=\frac{\left|r^2+2r^{'2}-r\cdotr''\right|}{\left(r^2+r^{'2}\right)^{3/2}}\mbox{;}曲线在对应点 M(x,y) 的曲率中心 D(\alpha,\beta) 的坐标为\begin{cases} \alpha=x-\displaystyle\frac{y'(1+y^{'2})}{y^{''2}} \\\beta=y+\displaystyle\frac{1+y^{'2}}{y''} \end{cases} 曲线的渐近线1.若 \lim\limits_{ x\rightarrow \infty }f(x)=b ,则称 y=b 为曲线 f(x) 的水平渐近线;2.若 \lim\limits_{ x\rightarrow x_0 }f(x)=\infty ,则称 x=x_0 为曲线 f(x) 的垂直渐近线;3.若 \lim\limits_{ x\rightarrow \infty }[f(x)-(ax+b)]=0 ,其中 \begin{cases} a=\displaystyle\lim\limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x} \\b=\displaystyle \lim\limits_{x\to \infty}[f(x)-ax] \end{cases} 则称 y=ax+b 为曲线 f(x) 的斜渐近线.基本积分公式\begin{aligned} &\int k \,\mathrm{d}x=kx+C \ \mbox{(其中}k\mbox{为常数)} \\ &\intx^\mu\,\mathrm{d}x=\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1}+C\(\mu\neq-1) \\ &\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C \\ &\int\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\arctan x+C \\&\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C_1=-\arccos x+C_2 \\ &\int \sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C\\ &\int\cos x \,\mathrm{d}x=\sin x +C \\ &\int\tanx\,\mathrm{d}x=-\ln |\cos x|+C \\ &\int\cotx\,\mathrm{d}x=\ln |\sin x|+C \\ &\int\cscx\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\sin{x}}\,\mathrm{d}x=\fra c{1}{2} \ln{\left|\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\right|}+C=\ln{\left|\tan{\frac{x}{ 2}}\right|}+C=\ln{\left|\csc{x}-\cot{x}\right|}+C \\ &\int\secx\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{\cos{x}}\,\mathrm{d}x=\fra c{1}{2} \ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{1-\sin{x}}\right|}+C=\ln{\left|\sec{x}+\tan{x}\right|}+C \\ &\int\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x +C \\ &\int\csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x +C \\ &\int \secx\cdot\tan x \,\mathrm{d}x=\sec x+C \\ &\int\csc x\cdot\cot x \,\mathrm{d}x=-\csc x+C \\ &\int\mathrm{e}^x \,\mathrm{d}x=\mathrm{e}^x+C \\ &\inta^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C \\ &\int \sinhx\,\mathrm{d}x=\cosh x+C \\ &\int \coshx\,\mathrm{d}x=\sinh x+C \\ &\int\frac{1}{a^2+x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan\frac {x}{a}+C \\ &\int \frac{1}{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C \\ &\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin\frac{x}{a}+C \\ &\int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,\mathrm{d}x=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C \end{aligned}基本积分方法第一类换元法1.一般地,对于 \sin^{2k+1}x\cos^n x 或 \sin^n x\cos^{2k+1}x (其中 k\in\mathbb{N} )型函数的积分,总可依次作变换 u=\cos x 或 u=\sin x ,从而求得结果;2.一般地,对于 \sin^{2k}x\cos^{2l}x 或 (其中 k,l\in\mathbb{N} )型函数的积分,总是利用降幂公式\sin^2=\dfrac{1}{2}(1-\cos 2x),\cos^2=\dfrac{1}{2}(1+\cos 2x) 化成 \cos 2x 的多项式,从而求得结果;3.一般地,对于 \tan^{n}x\sec^{2k} x 或 \tan^{2k-1} x\sec^{n}x (其中 n,k\in\mathbb{N}_{+} )型函数的积分,总可依次作变换 u=\tan x 或 u=\sec x ,从而求得结果;\begin{aligned} &\int {f( ax + b){\rm{d}}x= }\frac{1}{a}\int {f(ax+b){\mathrm{d}}(ax + b)\;(a\neq 0)} \\ &\int {f(a{x^{m + 1}} + b){x^m}{\rm{d}}x} = \frac{1}{{a(m + 1)}}\int {f(a{x^{m + 1}} +b){\rm{d}}(a{x^{m + 1}} + b)} \\ &\int{f\left( \frac{1}{x}\right)\frac{{{\rm{d}}x}}{{{x^2}}}\;} = - \int{f\left( \frac{1}{x}\right){\rm{d}}\left( \frac{{\rm{1}}}{x}\right) \;} \\ &\int {f(\ln x)\frac{1}{x}} {\rm{d}}x = \int {f(\lnx){\rm{d(}}\ln x)} \\ &\int {f({\mathrm{e}^x})}{\mathrm{e}^x}{\rm{d}}x = \int{f({\mathrm{e}^x}} ){\rm{d(}}{\mathrm{e}^x}) \\ &\int {f(\sqrt x } )\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt x }} = 2\int {f(\sqrt x } ){\rm{d}}(\sqrt x ) \\ &\int {f(\sinx)\cos x{\rm{d}}x = } \int {f(\sin x){\rm{d}}\sin x} \\ &\int {f(\cos x)\sin x{\rm{d}}x = } - \int {f(\cos x){\rm{d}}\cos x} \\ &\int {f(\tan x){{\sec }^2}}x{\rm{d}}x = \int {f(\tan x){\rm{d}}\tan x} \\ &\int{f(\cot x){{\csc }^2}} x{\rm{d}}x = - \int {f(\cotx){\rm{d}}\cot x} \\ &\int {f(\arcsinx)\frac{1}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}} {\rm{d}}x = \int{f(\arcsin x){\rm{d}}\arcsin x} \\ &\int {f(\arctanx)\frac{1}{{1 + {x^2}}}} {\rm{d}}x = \int {f(\arctan x){\rm{d}}\arctan x} \\ &\int {\frac{{f'(x)}}{{f(x)}}} {\rm{d}}x = \int {\frac{{{\rm{d}}f(x)}}{{f(x)}}} = \ln \left| f(x)\right| + C\end{aligned}部分分式\begin{aligned} \frac{{P(x)}}{{Q(x)}} =&\frac{{{A_1}}}{{{{(x - a)}^\alpha }}} +\frac{{{A_2}}}{{{{(x - a)}^{\alpha - 1}}}} + \cdots + \frac{{{A_\alpha }}}{{x - a}} + \notag\\\&\frac{{{B_1}}}{{{{(x - b)}^\beta }}} +\frac{{{B_2}}}{{{{(x - b)}^{\beta - 1}}}} + \cdots +\frac{{{B_\beta }}}{{x - b}} + \notag\\\&\frac{{{M_1}x + {N_1}}}{{{{({x^2} + px +q)}^\lambda }}} + \frac{{{M_2}x + {N_2}}}{{{{({x^2} + px + q)}^{\lambda - 1}}}} + \cdots +\frac{{{M_\lambda }x + {N_\lambda }}}{{{x^2} + px + q}} + \notag\ \\&\cdots \end{aligned}三角函数的特殊定积分\begin{aligned}I_n&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^nx\,\mathrm{d}x=\int_0 ^{\frac{\pi}{2}}\cos^nx\,\mathrm{d}x\notag \I_n&\\&=\frac{n-1}{n}I_{n-2}\notag\ \\&=\begin{cases} \ \dfrac{{n - 1}}{n} \cdot \dfrac{{n - 3}}{{n - 2}}\cdots \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{2}{3}\quad (n\mbox{为大于}1\mbox{的正奇数}),I_1=1\\ \ \dfrac{{n - 1}}{n} \cdot \dfrac{{n - 3}}{{n - 2}} \cdots \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi }{2}\quad(n\mbox{为正偶数}),I_0=\dfrac{\pi}{2}\end{cases}\end{aligned}。
高等数学微积分公式定理整理
高等数学公式中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F )()()()()()())(()()(ξξξ曲率：.1;0.)1(lim M s M M :.,13202aK a K y y ds d s K M M sK tg y dx y ds s =='+''==∆∆='∆'∆∆∆==''+=→∆的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。
：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：ααααα定积分的近似计算：⎰⎰⎰----+++++++++-≈++++-≈+++-≈ban n n ban n ba n y y y y y y y y nab x f y y y y n a b x f y y y nab x f )](4)(2)[(3)(])(21[)()()(1312420110110 抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：⎰⎰--==⋅=⋅=bab a dt t f a b dxx f a b y k rmm k F Ap F sF W )(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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积 分整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识.一、不定积分不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等)二、定积分1.定义式:()baf x dx ⎰2.定义域:一维区间,例如[,]a b3.性质:见课本P 229-P 232特殊:若1f =,则()baf x dx b a =-⎰,即区间长度.4.积分技巧:奇偶对称性.注意:定积分中积分变量可以任意替换即()()bbaaf x dx f y dy =⎰⎰,而不定积分不具有这种性质.5.积分方法:与不定积分的方法相同.6.几何应用: 定积分的几何意义: ()baf x dx ⎰表示以()f x 为顶与x 轴所夹区域面积的代数和(注意如()0f x <,则面积为负);其他应用:如()f x 表示截面积,则积分为体积;平面弧长(baf x ⎰等.三、二重积分 1.定义式:(,)xyD f x y d σ⎰⎰2.定义域:二维平面区域3.性质:见下册课本P 77 特殊: 若1f =,则(,)xyD f x y dxdy S =⎰⎰,即S 为xy D 的面积.4.坐标系: ①直角坐标系:X 型区域,Y 型区域②极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉r ,积分时一般先确定θ的范围,再确定r 的范围. 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用:二重积分的几何意义:若(,)0f x y ≥,则(,)xyD f x y dxdy ⎰⎰表示以(,)f x y 为顶以xy D 为底的曲顶柱体体积;其他应用:求曲面(,)z z x y =的面积xyD ⎰⎰四、三重积分 1.定义式(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰2.定义域:三维空间区域;3.性质:与二重积分类似; 特殊: 若1f =,则(,,)f x y z dv VΩ=⎰⎰⎰,其中V 表示Ω的体积.4.坐标系:①直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用)②柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用;③球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先θ,后ϕ,最后r .5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等.6.应用:(,,)f x y z 表示密度,则(,,)f x y z dv Ω⎰⎰⎰为物体质量.(不考虑几何意义)五、第一类曲线积分1.定义式:(,)Lf x y ds ⎰(二维) | (,,)Lf x y z ds ⎰(三维)2.定义域:平面曲线弧 | 空间曲线弧3.性质:见课本P 128 特殊:1f =则L fds s =⎰,s 表示曲线弧长.4.计算公式(二维为例):(,)((),(b Laf x y ds f t t ϕψ=⎰⎰ :(),(),[,]L x t y t t a b ϕψ==∈类似可推出:(),[,]L y y x x a b =∈的公式.注意化为定积分时下限小于上限.5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心;6.几何应用:见上3. 六、第二类曲线积分 1.定义式:(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰(二维)(,,)(,,)(,,)LP x y z dx Q x y z dy R x y z dy ++⎰(三维)2.定义域:有向平面曲线弧(二维)或有向空间曲线弧(三维)3.性质:见课本P 1354.计算公式:(,)(,)[((),())()((),())()][(,())(,())()]bLa d cP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dtP x f x Q x f x f x dxϕψϕϕψψ''+=+' =+⎰⎰⎰注意:曲线积分化为定积分时,下限为起始点,上限为终点.5.积分技巧:二维曲线积分可以应用格林公式(注意使用条件).积分与路径无关. 不能使用奇偶对称性.6.应用:力做功. 七、第一类曲面积分 1.定义式:(,,)f x y z dS ∑⎰⎰2.定义域:空间曲面注意:空间曲面与坐标面重合或平行时,即为二重积分,故二重积分时第一类曲面积分的特例. 3.性质:见课本:与第一类曲线积分类似 特殊:1f =则(,,)f x y z dS S ∑=⎰⎰,S 表示曲线面积.4.计算公式:(,,)(,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰类似可得在另两个曲面上的投影公式.注意对于特殊的曲面如柱面考虑使用柱坐标,曲面考虑使用球坐标.5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心.6.几何应用:见上3. 八、第二类曲面积分 1.定义式Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰2.定义域:有向空间曲面3.性质:见课本P 1624.计算公式:(,,)(,,(,))xyD R x y z dxdy R x y z x y dxdy ∑=±⎰⎰⎰⎰,类似可得另两个.5.积分技巧:高斯公式,循环对称性.不能使用奇偶对称性.注:要熟练掌握使用高斯公式做第二类曲面积分的题目,使用时要注意曲面方向以及是否封 闭.6.应用:求流量,磁通量等. 奇偶对称性:定积分:若积分区间关于原点对称,例如[,]a a - 若()f x 关于x 为奇函数,则()0aaf x dx -=⎰若()f x 关于x 为偶函数,则0()2()a aaf x dx f x dx -=⎰⎰二重积分:若积分区域D 关于y 轴对称,记1D 为0x >的部分若(,)f x y 关于x 为奇函数,则()()(,)(,)0x y Dx y f x y dxdy dy f x y dx -==⎰⎰⎰⎰若(,)f x y 关于x 为偶函数,则1()()()(,)(,)2(,)2(,)x y x y Dx y D f x y dxdy dy f x y dx dy f x y dx f x y dxdy -===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰同样可以得到积分区域D 关于x 轴对称时,(,)f x y 关于y 为奇、偶函数的公式.三重积分: 若积分区域Ω关于xoy 面对称,记1Ω为0z >的部分若(,,)f x y z 关于z 为奇函数,则(,)(,)(,,)(,,)0z x y z x y f x y z dxdydz dxdy f x y z dz Ω-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰若(,,)f x y z 关于z 为偶函数,则1(,)(,)(,)0(,,)(,,)2(,,)2(,,)z x y z x y z x y f x y z dxdydz dxdy f x y z dzdxdy f x y z dz f x y z dxdydzΩΩ-= ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰同样可以得到区域关于另两个曲面对称的情况. 例题:P 123#1(1)(2) P 124#2(4) 第一类曲线积分:若积分曲线L 关于y 轴对称,记1L 为0x >的部分若(,)f x y 关于x 为奇函数:(,)0Lf x y ds =⎰若(,)f x y 关于x 为偶函数:1(,)2(,)LL f x y ds f x y ds =⎰⎰同样可以得到曲线关于x 轴对称的情况.第一类曲面积分:若积分曲面∑关于xoy 面对称,记1∑为0z >的部分, 若(,,)f x y z 关于z 为奇函数:(,,)0f x y z dz ∑=⎰⎰若(,,)f x y z 关于z 为偶函数:1(,,)2(,,)f x y z dz f x y z dz ∑∑=⎰⎰⎰⎰同样可以得到曲面关于另两个坐标面对称的情况. 例题:课本P 158#6(3),P 184#2变量对称性:一般在做重积分、曲面积分时使用，使用时要注意曲面或区域必须是关于变量是对称的,即对于曲面方程自变量相互替换后方程不改变,例如2222,1x y z R x y z ++=++=等,此时()()()f x dS f y dS f z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰例题1:2,I x ds Γ=⎰其中Γ为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截的曲线.例题2: 22()d ,I x y S ∑=+⎰⎰其中∑为球面2222().x y z x y z ++=++循环对称性(适用第二类曲面积分):若积分曲面满足变量对称,而且,,P Q R中,,x y z依次替换,即,,x y y z z x →→→后积分表达式不改变,则可以使用该对称性,有3Pdydz Qdzdx Rdxdy Rdxdy ∑∑++=⎰⎰⎰⎰例题:课本168页#3(4)质心:适用重积分,第一类积分.请同学们思考如何区别各种积分?(定义域) 区别:以下两个例题应该怎样算?222222()d ,()x y z S x y z dxdydz Ω∑++++⎰⎰⎰⎰⎰,其中22222222:,:x y z R x y z R ∑Ω++=++≤。