高等数学(A)试卷及答案

一、选择题

1、A

2、C

3、D

4、A

5、B

6、C

7、C

8、B

9、A 10、C 二、填空题

1、（-1,1）或{}

11x x -<< 2、 sin x 3、1 4、6ln 5x x x + 5、tan x C + 6、0 7

、

112

π

+

- 8、2

3534

ππ-+ 9、2cos x e x 10、1 三、证明题

1、设 ()ln(1)f t t =+，（3分）显然 ()f t 在区间 []

0,x 上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，应有 ()(0)()(0),f x f f x ξ'-=- 0x ξ<< （6分） 由于(0)0f =， 1

()1f t t

'=

+，上式可化为ln(1)1x x ξ+=+，又由0x ξ<<，有

11x x x x ξ<<++，即 ln(1)1x

x x x

<+<+ （0x >） （10分） 2、令()531f x x x =--，则(1)3,(2)25f f =-=，(1)(2)0f f <，由介值定理

()f x 必有一零点位于开区间（1,2）之间，原命题得证。

四、计算题

1

、0000lim 01

x x x →→→===

2、()()()2

2

x 2

x 0x x x 0x 2

x x 0x ln22ln22ln22lim 2x ln22ln22lim x 222lim =+=-=-+-→-→-→

3、应用隐函数的求导方法得，11cos 02dy dy y dx dx

-

+=，于是2

2cos y -

上式两边再对x 求导，得2223

2sin 4sin (2cos )(2cos )dy

y

d y y dx dx y y --==-- 4、22

222211111arctan arctan ()arctan arctan (arctan )22212211

(1)arctan 22

x x xdx xd x x x dx x x x x C x x x x C ==-=--++=+-+⎰⎰⎰ 5