离散数学期中试卷通关攻略

皖西学院2014–2015学年度第二学期期中考试试卷

（附攻略）

信息工程学院 计算机科学与技术 专业 14 级 离散数学 课程

一、解答题或计算题：本大题共9小题，共80 分。

1、将命题符号化并论证：或者是天晴，或者是下雨。如果是天晴，我去

看电影。如果我去看电影，我就不看书。所以，如果我在看书，则天在下雨。（7分）。 解：A:天晴。B:下雨。C:我去看电影。 D:我在看书。 命题符号化 如下：

(A )()()

;1.(P )2.P 3.4.D(P 5.346.(A )()(P )7.(CP )

B A B A

C C

D D B A C C D A D A B A B B D B ∧⌝∨⌝∧→→⌝

→→→⌝→⌝⌝∧⌝∨⌝∧→理解为不可同时天晴和下雨,若理解为可以太阳雨，则为AVB,证明下同需论证前提（前提）（T 1,2）附加前提)（T ,）

前提（T 5,6）8.规则

点评：对于汉字“或”，可以有两种理解，可兼或以及不可兼或，体会两者真值表的不同 2、用推理规则论证：

每个大学生，不是文科学生，就是理工科学生；有的大学生是优等生；小张不是理工科学生，但他是优等生；因而如果小张是大学生，他就是文科生。（7分） 解：令G(x):x 是大学生 L(x):x 是文科学生 P(x):x 是理工科学生

M(x):x 是优等生 c:小张 命题符号化为：

(G(x)(x)(x)),x(G(x)(x)),P(c),M(c)G(c)(c)1.G(c)2.(G(x)(x)(x))3.G(c)(c)(c)(T 2,)4.(c)(c)135.P(c)6.(c)457.G(c)(c)(CP )

x L P L x L P L P US L P L L ∀→∨∃∧M ⌝⇒→∀→∨→∨∨⌝→（P 附加前提）

（P 前提）规则（T 规则 ，）（P 前提）（T 规则 ，）规则

点评：x(G(x)(x))∃∧M 这个前提没有用上，因为M(x):x 是优等生对证明结论没有影响。 另外，注意优等生的集合不是大学生集合的子集，比如小学中的优等生。 3、求下式的主析取范式和主合取范式。（10分）

()(())P Q R P Q R →∧∧⌝→⌝∧⌝

解：主合取范式为：

100(())(())(())(())

(()())(())

(()())(()())(())()())()

()()()P Q R P Q R P Q R P Q R P Q P R P Q R P Q R R P R Q Q P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R M →∧∧⌝→⌝∧⌝⇔⌝∨∧∧∨⌝∧⌝⇔⌝∨∧⌝∨∧∨⌝∧⌝⇔⌝∨∨∧⌝∧⌝∨∨∧⌝∧∨⌝∧⌝⇔⌝∨∨∧⌝∨∨⌝∧⌝∨⌝∨∧∨⌝∨⌝∧∨⌝∨∧∨∨⌝⇔（这后面三个直接类比可得，不用再凑一遍）1011100110100011,2,3.4,5,6M M M M M ∧∧∧∧∧⇔∏（）

-------5分

主析取范式：0,7∑

（）

-------10分 点评：1、公式变形法，凑，要理解为什么可以

2、也可直接用真值表法。理解公式等价的定义：真值表相同。（主析取范式，对应真值为1的行，因为对于∨运算，只有有一个指派为1，即为1；主合取范式，对应真值为0的行，因为对于∧运算，只有有一个指派为0，即为0. 所以根据真值表可直接写出等价的主析取范式和主合取范式）务必理解这段话！（不明白请私下问我）数学的核心是深

刻理解概念，不是背下方法，这里要理解公式等价。

4、设R 是={a,b,c,d}A 上的二元关系，其关系矩阵是10100

011=10101

010R M ⎡⎤⎢⎥⎢

⎥⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

，试求出 （1）()r R M （2）()s R M （3）()t R M （9分）

解：()

1

010011110101011r R M ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪

⎪⎝⎭，()1

011001111111110s R M ⎛⎫

⎪

⎪

=

⎪

⎪

⎝⎭

，

()

1010101110101010t R M ⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪

⎪

⎝⎭

点评：P107面定理的运用

5、A={1,2,3,4,6,9,36,54}，≤为整除关系，(1)试画出偏序集的哈斯图。

(2)求集合B={2,3,4,6,36}的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界（lub ）、下确界(glb)。（10分）

解：偏序集的哈斯图为：

---------6分

（2）集合B={2,3,4,6,36}的极大元是：36；极小元是：2，3；

最大元是：36；最小元是：无；

上 界是：36；上确界是：36；

下 界是：1； 下确界是：1；-----10分

点评：P112面概念的理解

6、已知有向图G=如下所示： (1) 求G 的邻接矩阵；(2) 求出A 2，A 3，A 4，从 v1到v4长度为1，2，3，4的路各有几条？（3）求G 的可达性矩阵。（10分）

解：G 的邻接矩阵为：01010

01101010100A ⎛⎫

⎪

⎪

= ⎪

⎪

⎝⎭

-----1分

23401010

1010

111001100110

20101010

1010

11101000100001101110

1010

212020100110

12201110

1010212001101000201021201220212020A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪

⎪

⎪⎪ ⎪=

=

⎪⎪ ⎪

⎪

⎪

⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪

⎪

⎪⎪ ⎪

=

= ⎪⎪ ⎪ ⎪

⎪

⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭=

（）（）（）0

1010

32300110

4130

1010

323101000122⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪

⎪

⎪⎪ ⎪=

⎪⎪ ⎪

⎪

⎪

⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

------4分（各1分） 所以，v1到v4长度为1、2、3、4的路各有1、1、2、3条，A 2，A 3，A 4.即将上面矩阵中的非0值全部替换为1 -----8分

点评：由矩阵的乘法公式，理解为什么对应位置的数值就是v1到v4长度为1、2、3、4的路径个数