量子力学周世勋习题解答第四章

第四章习题解答

4.1.求在动量表象中角动量x L 的矩阵元和2x L 的矩阵元。

解：⎰

⋅⋅'-'-=τπd e p z p y e L r p i y z r

p i p p x

)ˆˆ()21(

)(3 ⎰⋅⋅'--=τπd e zp yp e r p i y z r

p i

)()21(3 ⎰⋅⋅'-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p i e r

p i z

y y z r p i

))(()21(3

⎰

⋅'-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p i r p p i z y y z

）

（3)21)()((

)()(p p p p p p i y z z y

'-∂∂

-∂∂= δ ⎰''=τψψd L x L p x p p p x 2

*2)()( ⎰⋅⋅'--=τπd e p z p y e r p i y z r p i

23)ˆˆ()21( ⎰⋅⋅'---=τπd e p z p y p z p y e r p i y z y z r

p i

)ˆˆ)(ˆˆ()21(

3 ⎰''-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p i p z p y e r

p i y

z z y y z r p i

))()(ˆˆ()21(

3 ⎰⋅⋅'--∂∂-∂∂=τπd e p z p y e p p p p i r p i y z r

p i y z z y

)ˆˆ()21)()((3 ⎰⋅'-∂∂-∂∂-=τπd e p p p p r p p i y z z y

）（322

)21()(

)()(22p p p p p p y

z z y

'-∂∂-∂∂-= δ #

4.2 求能量表象中，一维无限深势阱的坐标与动量的矩阵元。

解：基矢：x a n a x u n πsin 2)(=

能量：2

2

222a n E n μπ =

对角元：2sin 202

a xdx a m x a x a mm ==⎰π 当时，n m ≠ ⎰⋅⋅=a mn dx a

x x a m a x 0)(sin )(sin 2π

[]

[]

1)1()

(4)(1

)

(11)1(])(sin )()(cos )([

])(sin )()(cos )([1)(cos )(cos 12

22222202

2202

220---=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=⎥⎥⎦

⎤+++++-⎢⎢⎣

⎡--+--=⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡+--=

--⎰n m n m a a

a n m mn

a

n m n m a x a n m n m ax x a n m n m a x a n m n m ax x a n m n m a a dx x a n m x a n m x a πππ

ππππππππ

π

[]

[]

a n m mn i n m n m a a n i x a n m n m a x a n m n m a a n i dx

x a n m x a n m a n i xdx

a n x a m a

n i xdx

a

n dx d x a m a i dx x u p x u p n m n

m a

a a a n m mn )(21)1(]1)1()(1)(1 )(cos

)()(cos )()(sin )(sin cos sin 2sin sin 2)(ˆ)(22

20

202020*

---=--⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+++=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-++-=⋅-=⋅-==--⎰⎰⎰⎰

π

ππ

ππππππππππππ

#

4.3 求在动量表象中线性谐振子的能量本征函数。

解：定态薛定谔方程为

),(),(2),(21222

22t p EC t p C p t p C dp

d =+-μμω 即 0),()2(),(2122222=-+-t p C p E t p C dp d μμω 两边乘以ω

2

，得

0),()2(),(1

1

2

2

2=-+-

t p C p E t p C dp

d

μωωμω 令

μωββμωξ1 , 1

=

==

p p

ω

λ E

2=

0),()(),(222

=-+t p C t p C d d ξλξ

跟课本P.39(2.7-4)式比较可知，线性谐振子的能量本征值和本征函数为

t

E i

n p n n n e p H e N t p C n E

--=+=)(),()(222121βω

β 式中n N 为归一化因子，即

2

/12/1)!

2(

n N n

n πβ

= #

4.4.求线性谐振子哈密顿量在动量表象中的矩阵元。

解：222222222

1221ˆ21ˆx x x p H μωμμωμ+∂∂-=+= ⎰

='dx x H

x H p

p p

p )(ˆ)(*ψψ ⎰'-+∂∂-=dx e x x e x p i

px i

)2

12(2122222μωμπ ⎰⎰∞∞--'∞∞--'+'-=dx e x dx e p i x p p i

x p p i )(22)(22212121)(2 πμωπμ ⎰∞∞--''∂∂+-''=dx e p i p p p x p p i

)(22

222)(2121)(2

πμωδμ ⎰

∞

∞

--''∂∂+-''=dx e

p i p p p x p p i

)(2

2

2221

)(21)(2

απμωδμ

)(21)(22

2

222p p p p p p -''∂∂--'=δμωδμ )(21)(222222p p p

p p p -'∂∂--'=δμωδμ #

4.5 设已知在Z L L ˆˆ2和的共同表象中，算符y

x L L ˆˆ和的矩阵分别为