【学案导学备课精选】高中数学第三章统计案例章末检测(B)(含解析)苏教版选修2-3

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高中数学第三章统计案例3_2回归分析课后训练苏教版选修2-3(7页)

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高中数学第三章统计案例 3.2 回归分析学案苏教版选修2-3(2021年最新整理)

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3。

2 回归分析1．会作出两个有关联变量的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．2．了解线性回归模型,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．(重点、难点)3．了解回归分析的基本思想、方法及简单应用．［基础·初探]教材整理1 线性回归模型阅读教材P100~P103“例1”以上部分，完成下列问题．1．线性回归模型的概念：将y＝a＋bx＋ε称为线性回归模型，其中a＋bx是确定性函数,ε称为随机误差．2．线性回归方程：直线错误!＝错误!＋错误!x称为线性回归方程，其中错误!称为回归截距，错误!称为回归系数，错误!称为回归值，其中错误!其中错误!＝错误!错误!x i，错误!＝错误!错误!y i.设某大学生的女生体重y（单位：kg）与身高x(单位:cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为错误!＝0。

85x－85。

71，则下列结论中正确的是________(填序号）．（1)y与x具有正的线性相关关系;（2)回归直线过样本点的中心(错误!,错误!）；(3）若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；(4）若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58。

高中数学第三章统计案例章末复习课学案苏教版选修23

第三章统计案例学习目标 1.会求线性回归方程，并用回归直线进行预测.2.理解独立性检验的基本思想及实施步骤．1．最小二乘法对于一组数据(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ，如果它们线性相关，则线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝________________________________________________________________________＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝____________.2．2×2列联表 2×2列联表如表所示：B B 总计 A a b Ac d总计n其中n ＝________________为样本容量． 3．独立性检验常用统计量χ2＝________________________来检验两个变量是否有关系．类型一线性回归分析例1 某城市理论预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如表所示：年份201x (年) 0 1 2 3 4 人口数y (十万)5781119(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)据此估计2018年该城市人口总数．反思与感悟解决回归分析问题的一般步骤 (1)画散点图．根据已知数据画出散点图．(2)判断变量的相关性并求回归方程．通过观察散点图，直观感知两个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然后写出回归方程． (3)实际应用．依据求得的回归方程解决实际问题．跟踪训练1 在一段时间内，某种商品的价格x 元和需求量y 件之间的一组数据为：且知x 与y类型二独立性检验例2 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班48人进行了问卷调查得到了如下的2×2列联表：已知在全班48人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为23.(1)请将上面的2×2列联表补充完整；(不用写计算过程)(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； (3)现从女生中抽取2人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为X ，求X 的概率分布与均值．反思与感悟独立性检验问题的求解策略通过公式χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，先计算出χ2，再与临界值表作比较，最后得出结论．跟踪训练2 某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示30人的饮食指数，如图所示．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其亲属30人的饮食习惯； (2)根据以上数据完成如表所示的2×2列联表；主食蔬菜主食肉类合计 50岁以下 50岁以上总计(3)在犯错误的概率不超过0.01的前提下，是否能认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”？1．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时由高尔顿提出的，他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y 与父亲的身高x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^的取值范围是________．2．假如由数据：(1,2)，(3,4)，(2,2)，(4,4)，(5,6)，(3,3.6)可以得出线性回归方程y ^＝a^＋b ^x ，则经过的定点是以上点中的________．3．考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度的估计值为________cm. 4．下面是一个2×2列联表：y 1 y 2总计 x 1 a2170 x 25c 30 总计bd100则b －d ＝________.5．对于线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，当x ＝3时，对应的y 的估计值是17，当x ＝8时，对应的y 的估计值是22，那么，该线性回归方程是________，根据线性回归方程判断当x ＝________时，y 的估计值是38.1．建立回归模型的基本步骤(1)确定研究对象，明确哪个变量是自变量，哪个变量是因变量； (2)画出散点图，观察它们之间的关系； (3)由经验确定回归方程的类型；(4)按照一定的规则估计回归方程中的参数．2．独立性检验是对两个分类变量间是否存在相关关系的一种案例分析方法．利用假设的思想方法，计算出某一个统计量χ2的值来判断更精确些．答案精析知识梳理1.∑i ＝1n(x i －x )(y i －y)∑i ＝1n(x i －x)2y －b ^x2．a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d a ＋b ＋c ＋d3.n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )题型探究例1 解 (1)散点图如图：(2)因为x ＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y ＝5＋7＋8＋11＋195＝10，∑i ＝15x i y i ＝0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，∑i ＝15x 2i ＝02＋12＋22＋32＋42＝30，所以b ^＝132－5×2×1030－5×22＝3.2， a ^＝y －b ^x ＝3.6.所以线性回归方程为y ^＝3.2x ＋3.6.(3)令x ＝8，则y ^＝3.2×8＋3.6＝29.2，故估计2018年该城市人口总数为29.2(十万)．跟踪训练1 解 x ＝15×(14＋16＋18＋20＋22)＝18，y ＝15×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4，∑i ＝15x 2i ＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660，∑i ＝15y 2i ＝122＋102＋72＋52＋32＝327， ∑i ＝15x i y i ＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620，所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝620－5×18×7.41 660－5×182＝－1.15，所以a ^＝7.4＋1.15×18＝28.1，所以y 对x 的线性回归方程为y ^＝－1.15x ＋28.1.例2 解 (1)列联表补充如下：(2)由χ2＝48×(220－60)228×20×32×16≈4.286.因为4.286>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． (3)喜爱打篮球的女生人数X 的可能取值为0,1,2，其概率分别为 P (X ＝0)＝C 210C 220＝938，P (X ＝1)＝C 110C 110C 220＝1019，P (X ＝2)＝C 210C 220＝938，故X 的概率分布为X 的均值E (X )＝0＋1019＋919＝1.跟踪训练2 解 (1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主，50岁以下的人多以食肉类为主．(2)2×2列联表如表所示：(3)χ2＝30×(8－12×18×20×10＝10>6.635，故在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“其亲属的饮食习惯与年龄有关”．当堂训练1．(0,1) 2.(3,3.6) 3.56.19 4.85.y ^＝x ＋14 24。

【数学】高中数学第三章统计案例章末综合测评苏教版

【关键字】数学章末综合测评(三) 统计案例(时间120分钟，满分160分)一、选择题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上)1．在直线返回方程＝＋x中，表示________(填序号)．①当x增加一个单位时，y增加的数量；②当y增加一个单位时，x增加的数量；③当x增加一个单位时，y的平均增加量；④当y增加一个单位时，x的平均增加量．【答案】③2．线性返回方程＝x＋所表示的直线必经过点________．【答案】(，)3．经调查某地若干户家庭的年收入x(万元)和年饮食支出y(万元)具有线性相关关系，并得到y关于x的线性返回直线方程：＝0.254x＋0.321，由线性返回直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】∵y关于x的线性返回直线方程：＝0.254x＋0.321，①∴年收入增加1万元时，年饮食支出＝0.254(x＋1)＋0.321，②②－①可得：年饮食支出平均增加0.254万元．【答案】0.2544．对于线性返回方程＝x＋，下列说法中不正确的序号是________．①x增加一个单位时，y平均增加个单位；②样本数据中x＝0时，可能y＝；③样本数据中x＝0时，一定有y＝.【解析】线性返回方程＝x＋中，x增加一个单位时，y平均增加个单位，故①正确；线性返回方程＝x＋中，样本数据中x＝0时，可能有y＝，也可能有y≠，故②正确，③不正确．【答案】③5．已知x，y的取值如下表，如果y与x呈线性相关，且线性返回方程为＝x＋，则＝________.【解析】∵又∵线性返回方程过样本中心点，且＝＝3，＝＝5， ∴返回方程过点(3,5)， ∴5＝3＋， ∴＝－. 【答案】－6．若线性返回直线方程中的返回系数＝0，则相关系数等于________.【导学号：29440071】【解析】由于在返回系数的计算公式中，与相关系数的计算公式中，它们的分子相同，所以r ＝0.【答案】 07．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn ，yn)(n ≥2，x1，x2，…，xn 不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi ，yi)(i ＝1,2，…，n)都在直线y ＝x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．(填序号)①－1；②0；③；④1【解析】当所有样本点都在一条直线上时，相关系数为1.故填④. 【答案】 ④8．(2016·常州月考)观察图1中各图形：图1其中两个变量x ，y 具有相关关系的图是________．【解析】由散点图知③④具有相关关系．【答案】 ③④9．已知数组(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)满足线性返回方程＝x ＋，则“(x0，y0)满足线性返回方程＝x ＋”是“x0＝，y0＝的”________．①充分不必要条件；②必要不充分条件； ③充要条件；④既不充分也不必要条件．【解析】当x0，y0为这10组数据的平均值，即当x0＝，y0＝时，因为线性返回方程＝x ＋必过样本点的中心点(，)，因此(x0，y0)一定满足线性返回方程，但满足线性返回方程的点除(，)外，可能还有其他点．【答案】 ②10．(2016·东北三校联考)下列说法中错误的是________．①设有一个返回方程＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ②线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过(x －，y －)；③y ^＝b ^x ＋a ^，其中a ^，b ^都为整数．【解析】线性回归方程中x 的系数具备直线斜率的功能，对于回归方程y ^＝3－5x ，当x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，①错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －)，②正确；在线性回归方程中a ，b 的值不一定是整数，③错误．【答案】 ①③11．在调查某班级数学成绩与物理成绩的相关关系时，对数据进行统计得到散点图(如图2所示)，用直线y ^＝b ^x ＋a ^近似刻画其关系，根据图形，b 的数值最有可能是________．(填序号)图2①0；②2.55；③0.85；④－0.24.【解析】从散点图来看某班级数学成绩与物理成绩的相关关系是正相关，所以回归直线的斜率不能是负值，所以④不正确，因为回归直线不和横轴平行，所以斜率不能是0，所以①不正确，从散点图观察，直线应该比y ＝x 的斜率要小一些，一定不会达到2.55，所以②不正确，只有0.85符合题意．【答案】 ③12．考古学家通过研究始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x (cm)与肱骨长度y (cm)的线性回归方程为y ^＝1.197x －3.660，由此估计，当股骨长度为50 cm 时，肱骨长度为________cm. 【导学号：29440072】【解析】根据线性回归方程y ^＝1.197x －3.660，将x ＝50代入得y ^＝56.19，则估计肱骨长度为56.19 cm.【答案】 56.1913．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：月份x 1 2 3 4 用水量y /百吨4.5432.5由散点图可知(其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝________.【解析】回归直线过样本点的中心点(2.5,3.5)，代入线性回归方程得：3.5＝－0.7×2.5＋a ^，解得a ^＝5.25.【答案】 5.2514．某高校教《统计初步》课程的教师随机调查了选修该课的一些学生的情况，具体数据如下表：非统计专业统计专业合计男 13 10 23 女 7 20 27 合计203050为了判断选修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844，因为χ2>3.841，所以认为主修统计专业与性别有关系，则这种判断出错的可能性为________．【解析】因为χ2>3.841，查临界值表，可知判断出错的可能性为5%. 【答案】 5%二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)随着生活水平的提高，越来越多的人参与了潜水这项活动．某潜水中心调查了100名男性和100名女性下潜至距离水面5米时是否会耳鸣，得到下面的2×2列联表.有耳鸣无耳鸣合计男 30 70 100 女 50 50 100 合计80120200利用独立性检验的方法判断耳鸣与性别是否有关系？若有关系，所得结论的把握有多大？【解】提出假设H 0：耳鸣与性别没有关系． ∵χ2＝200×30×50－70×502100×100×80×120≈8.33>7.897.∴可以判断耳鸣与性别是有关系的． ∵P (χ2>7.879)≈0.005.∴我们有99.5%的把握认为耳鸣与性别有关．16．(本小题满分14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (t)与相应的能耗y (t)的几组对照数据.x 3 4 5 6 y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^. 【解】 (1)由题设所给数据，可得散点图如图所示．(2)由对照数据，计算得∑4i ＝1x 2i ＝86，x －＝3＋4＋5＋64＝4.5， y －＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i ＝1x i y i ＝66.5，b ^＝∑4i ＝1x i y i －4 x － y －∑4i ＝1x 2i －4x －2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7， a ^＝y －－b ^x －＝3.5－0.7×4.5＝0.35.因此，所求的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.17．(本小题满分14分)某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性与对待企业改革的态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查．其中积极支持企业改革的被调查者中，工作积极的有54人，工作一般的有32人；而不太赞成企业改革的被调查者中，工作积极的有40人，工作一般的有63人．试判断员工对待企业改革的态度是否与其工作积极性有关．【解】提出假设H 0：员工对待企业改革的态度与其工作积极性无关．由题意得，如下2×2列联表：积极支持企业改革不太赞成企业改革合计工作积极544094工作一般 32 63 95 合计86103189根据列联表中的数据，可得 χ2＝189×54×63－40×32294×95×86×103≈10.759.因为χ2≈10.759>7.879，所以有99.5%的把握认为，员工对待企业改革的态度与其工作积极性有关．18．(本小题满分16分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期 12月 1日 12月 2日 12月 3日 12月 4日 12月 5日温差x (℃) 101113128发芽数y (颗)23 25 30 26 16归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？【解】 (1)设事件A 表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则A 表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．基本事件总数为10，事件A 包含的基本事件数为4. ∴P (A )＝410＝25，∴P (A )＝1－P (A )＝35.(2)x ＝12，y ＝27，∑3i ＝1x i y i ＝977，∑3i ＝1x 2i ＝434，∴b ^＝∑3i ＝1x i y i －3x y ∑3i ＝1x 2i －3x 2＝977－3×12×27434－3×122＝2.5， a ^＝y －b ^x ＝27－2.5×12＝－3，∴y ^＝2.5x －3.(3)由(2)知，当x ＝10时，y ^＝22，误差不超过2颗；当x ＝8时，y ^＝17，误差不超过2颗．故所求得的线性回归方程是可靠的．19．(本小题满分16分)假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)，有如下表的统计资料：使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y2.23.85.56.57.0若由资料知y (1)试求线性回归方程y ^＝b ^x ＋a 的回归系数b ^与常数项a ^； (2)估计使用年限为10年，则维修费用是多少万元？【解】 (1)由已知条件制成下表：序号1 2 3 4 5 合计 x i 2 3 4 5 6 20 y i 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 x i y i 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x 2i4916253690x －＝4，y －＝5，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112.3于是b ＝90－5×42＝10＝1.23， a ＝y －－b x －＝5－1.23×4＝0.08.(2)由(1)知线性回归方程是y ＝1.23x ＋0.08，当x ＝10时，y ＝1.23×10＋0.08＝12.38(万元)．即估计使用10年时维修费用是12.38万元．20．(本小题满分16分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据：房屋面积x (m 2) 115 110 80 135 105 销售价格y (万元)24.821.618.429.222(1)画出数据对应的散点图；(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线； (3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m 2时的销售价格．【解】 (1)散点图如图所示：(2)x －＝15∑i ＝15x i ＝109，∑i ＝15(x i －x －)2＝1 570，y －＝23.2，∑i ＝15(x i －x －)(y i －y －)＝308.设所求线性回归方程为y ＝bx ＋a ，则b ^＝3081 570≈0.196 2，a ^＝y －－b ^x －＝23.2－3081 570×109≈1.816 6. 故所求线性回归方程为y ＝0.196 2x ＋1.816 6. (3)据(2)可知，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为y ＝0.196 2×150＋1.816 6＝31.246 6(万元)．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

高中数学第三章统计案例章末分层突破学案苏教版选修2-3(2021年最新整理)

2016-2017学年高中数学第三章统计案例章末分层突破学案苏教版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第三章统计案例章末分层突破学案苏教版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第三章统计案例章末分层突破[自我校对]①错误!②3.841③6.635线性回归直线方程在回归直线方程错误!错误!错误!错误!,y平均增加的单位数．一般来说，当回归系数错误!〉0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x每增加一个单位时,y就平均增加b^个单位；当回归系数错误!〈0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是:当x每增加一个单位时,y就平均减少|错误!|个单位．某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：年份20082010201220142016需求量(万吨）236246257276286 (1错误!错误!错误!;（2)利用（1)中所求出的直线方程预测该地2018年的粮食需求量．【精彩点拨】正确利用求回归直线方程的步骤求解,注意数据计算的准确性．【规范解答】(1)由所给数据看出,把年份看作点的横坐标，对应的需求量看作点的纵坐标，画出散点图草图(图略),通过观察知这些点大致分布在一条直线附近,下面求回归直线方程,为此对数据预处理如下：年份—2012－4－2024需求量-257－21－1101929错误!错误!错误!＝错误!＝错误!＝6。

5，错误!＝错误!－错误!错误!＝3。

2，由上述计算结果，知所求回归直线方程为错误!－257＝错误!（x－2012）＋错误!＝6.5(x－2012)＋3。

【数学】高中数学第三章统计案例32回归分析课堂导学苏教版选修23

【关键字】数学高中数学第三章统计案例 3.2 回归分析课堂导学苏教版选修2-3三点剖析一、线性返回【例1】一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了10次试验,测得的数据如下:零件数10 20 30 40 50 60 70 80 90 100x(个)62 68 75 81 89 95 102 108 115 122加工时间y(分)(1)y与x是否具有线性相关关系?(2)如果y与x具有线性相关关系,求返回直线方程.解析：(1)列出下表:i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x i10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 y i62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 x i y i620 1 360 2 250 3 240 4 450 5 700 7 140 8 640 10 350 12 200 ∴=55, =91.7,=38 500,=87 777,=55 950.因此,r==≈0.999 8.由于r=0.999 8^0.75,因此x与y之间具有很强的线性相关关系,因而可求返回直线方程.(2)设所求的返回直线方程为y^=b^x+a^,则有b^=≈0.668,a^=y-b^x=91.7-0.668×55=54.93,因此,所求的返回直线方程为y^=0.668x+54.93.二、非线性返回【例2】在彩色显像中,根据经验,形成染料光学密度y与析出银的光学密度x之间有下面类型的关系式:y=,其中b^0.现对y及x同时作11次观察,获得11组数据如下表:编号x i y i1 0.05 0.102 0.06 0.143 0.07 0.234 0.10 0.375 0.14 0.596 0.20 0.797 0.25 1.008 0.31 1.129 0.38 1.1910 0.43 1.2511 0.47 1.29求出y与x之间的返回方程.解析:令y′=lny,x′=,则变换为y′=lna-bx′,设a^′=lna,b^′=-b,将观察的数据(xi,yi)转化为(xi′,yi′)如下表:编号x i′y i′x i′2x i′y i′1 20 -2.303 400 -46.062 16.667 -1.966 277.79 -32.773 14.286 -1.47 204.09 -214 10 -0.994 100 -9.945 7.143 -0.528 51.02 -3.776 5 -0.236 25 -1.187 4 0 16 08 3.226 0.113 10.41 0.369 2.632 0.174 6.93 0.4610 2.326 0.223 5.41 0.5211 2.128 0.255 4.53 0.54∑87.408 -6.732 1 101.17 -112.84 ∴==1xi′≈7.95, = =-0.612,b^′= ≈=-0.146,a^′= -b^′≈0.549.∴线性返回方程为y^′=0.549-0.146x′.由于b^=-b^′=0.146,a^==1.73,∴y与x之间的返回曲线方程为y^=.三、相关检验【例3】一只红铃虫的产卵数y和温度x有关,现收集了7组观测数据列成下表,试建立y 与x之间的返回方程.温度x/℃21 23 25 27 29 32 35 产卵数y/个7 11 21 24 66 115 325 解析:根据收集的数据,作散点图,如图.从图中可以看出,样本点并没有分布在某个带状区域内,因此两个变量不呈线性相关关系,所以不能直接利用线性返回方程来建立两个变量之间的关系,根据已有的函数知识,可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=c1ec2x的附近,其中c1、c2为待定的参数.我们可以通过对数变换把指数关系变为线性关系,令z=ln y,则变换后样本点分布在直线z=bx+a(a=lnc1,b=c2)的附近,这样可以利用线性返回建立y与x的非线性返回方程了.变换的样本点分布在一条直线的附近,因此可以用线性返回方程来拟合.由上表中的数据可得到变换的样本数据表,如下表:x21 23 25 27 29 32 35 z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784可以求得线性返回直线方程为z^=0.272x-3.843.因此红铃虫的产卵数对温度的非线性返回方程为y^=e0.272x-3.843.另一方面,可以认为图中的样本点集中在某二次曲线y=c3x2+c4的附近,其中c3,c4为待定参数,因此可以对温度变量进行变换,即令t=x2,然后建立y 与t 之间的线性返回方程,从而得到y 与x 之间的非线性返回方程.下表是红铃虫的产卵数和对应的温度的平方的线性返回模型拟合表,作出相应的散点图,如图:t 441 529 625 729 841 1 024 1 225 y711212466115325从图中可以看出,y 与t 的散点图并不分布在一条直线的周围,因此不宜用线性返回方程来拟合它,即不宜用二次函数y=c3x2+c4来拟合x 与y 之间的关系,因此利用y^=e0.272x-3.843来拟合效果较好. 各个击破类题演练 1弹簧长度y(cm)随所挂物体质量x(g)不同而变化的情况如下: 物体质量x 5 10 15 20 25 30 弹簧长度y7.258.128.959.9010.9611.80(1)画出散点图；(2)求y 对x 的返回直线方程. 解析:(1)(2)采用列表的方法计算a 与返回系数b.序号 xy x 2x y1 2 3 4 5 6 5 10 15 20 25 30 7.25 8.12 8.95 9.90 10.96 11.80 25 100 225 400 625 900 36.25 81.2 134.25 198 274 354 ∑10556.982 2751 077.7x=×105=17.5,y=61×56.98≈9.50, b ^=25.176227550.95.1761077⨯-⨯⨯-≈0.183,a ^=9.50-0.183×17.5≈6.30.y 对x 的回归直线方程为y^=6.30+0.183 x .类题演练 2x 1 2 3 5 10 20 30 50 100 200 y10.15 5.521.082.852.111.621.411.301.211.15检验每册书的成本费y 与印刷册数的倒数x之间是否具有线性相关关系?如有,求出y 对x的回归方程.思路分析:本题与前面的问题有所不同,y 与x 之间不具有线性回归关系,因而是非线性回归分析问题,不妨设变量u=x1,题意要求对u 与y 作相关性检验,如果它们具有线性相关关系,就可以进一步求出y 对u 的回归直线方程,这时再回代u=x1,就得到了y 对x 的回归曲线方程.解:首先作变量置换u=x1,题目所给数据变成如下表所示的数据: u i 1 0.5 0.33 0.2 0.1 y i 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 u i 0.05 0.03 0.02 0.01 0.005 y i1.621.411.301.211.15可以求得r=∑∑∑===----ni ni i ini i iy y x xy y x x11221)()())(( =0.999 8,由r=0.999 8＞0.75,因此,变量y 与u 之间具有较强的线性相关关系,并且b ^=8.973,a ^=y-b ^x =1.125,最后回代a =x 1可得y^=1.125+x973.8, 因此y 与x 的回归方程为y^=1.125+x973.8.类题演练 3为了研究三月下旬的平均气温x (单位:℃)与四月二十号前棉花害虫化蛹高峰日y 的关系,某地区观察了2000年至2005年间的情况,得到下面的数据表: 年份 2000 2001 2002 2003 2004 2005x 24.4 29.5 32.9 28.7 30.3 28.9 y19611018(1)根据规律推断,该地区2006年三月下旬平均气温为27℃,试估计2006年四月化蛹高峰日为哪一天?(2)对变量x 、y 进行相关性检验. 解析:(1)x =61(24.4+29.5+…+28.9)≈29.12, y=61(19+6+…+8)=7.5, ∑x i 2=24.42+…+28.92=5 125.01,∑y i 2=192+…+82=563,∑x i y i =24.4×19+…+28.9×8=1 222, ∴b ^=212.29601.512512.295.761222⨯-⨯⨯-≈-2.3, a ^=y -b x =7.5+2.3×29.12=74.476.回归直线方程为y^=-2.3x +74.476.当x =27时,y^=- 2.3×27+74.476=12.376.据此估计该地区2006年4月12日或13日为化蛹高峰日.(2)r=∑∑∑===---6161222261)6)(6(6i i i i i iiy y x x yx yx =-0.949 3,由于|r|接近于1,故变量y 与x 存在很强的线性相关关系. 变式提升在钢线碳含量对于电阻的效应研究中,得到如下数据表: 碳含量 (x /%) 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 20℃时电阻(y /Ω)1518192122.6 23.626求y 对x 的线性回归方程,并检验回归方程中的显著性.解析:由已知数据x =71∑=71i i x ≈0.543,y=71×145.2≈20.74,∑=712i i x =2.595,∑=712i i y = 3094.72,∑=71i ii yx =85.45,∴b ^≈2)543.0(7595.274.20543.0745.85⨯-⨯⨯-≈12.45. ∴a ^=20.74-12.45×0.543≈13.98. 回归直线方程为y^=13.98+12.45x . 利用相关系数检验是否显著,∑=71i ii yx -7x y =85.45-7×0.543×20.74≈6.62,∑=712i ix-5x 2=2.595-5×(0.543)2≈1.121,∑=712i i y -5y 2=3 094.72-5×(20.74)2=943.982,∴r=982.943121.162.6⨯≈0.2.由于r 接近于0,故钢线碳含量对电阻的效应线性相关关系不显著.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

(教师用书)高中数学第3章统计案例章末归纳提升课件苏教版选修2-3

【解】提出假设 H0：该保健药品对预防 A 疾病无效．将问题中的数据列成 2×2 列联表如下：患病未患病合计使用 5 100 400 500 105 418 523
不使用 18 合 23
将上述数据代入公式 χ2＝
n（ad－bc）2 中，计算可得 χ2≈ （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） 0.041 45，当 H0 成立时，P(χ2≥0.455)≈0.5，而这时 χ2≈0.041 45<0.455，所以没有充分的理由认为该保健药品对预防 A 疾病有效．
【思路点拨】
按古典概型求概率 → 求相关系数r →
^，b ^得线性回归方程 → 利用回归方程进行预报公式法求a
【规范解答】(1)设“他们年推销金额的差等于 2”为事件 A. 所有基本事件有{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5)，{2， 3)，{2，4)，{2，5)，{3，4}，{3，5)，{4，5}共 10 个，事件 A 包含的基本事件有{1，4}，{2，5)，{3，5}共 3 3 个，所以 P(A)＝ . 10
(2)求年推销金额 y 与工作年限 x 之间的相关系数； (3)求年推销金额 y 关于工作年限 x 的线性回归方程； (4)若第 6 名推销员的工作年限为 11 年，试估计他的年推销金额． (参考数据： 1.04≈1.02；由检验水平 0.01 及 n－2＝3，查表得 r0.01＝0.959)
冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示：杂质高杂质低旧设备新设备试作统计分析推断． 37 22 121 202
【思路点拨】
提出假设 → 作2×2列联表 → 计算χ2 →
查表求P（x2≥x0） → 结论

高中数学苏教版必修三教学案：第3章章末小结与测评含答案

一、随机事件及概率1．随机现象在必定条件下，某种现象可能发生，也可能不发生，预先不可以判定出现哪一种结果．2．事件的分类(1)必定事件：在必定条件下，必定发生的事件；(2)不行能事件：在必定条件下，必定不发生的事件；(3)随机事件：在必定条件下，可能发生也可能不发生的事件，常用大写字母表示随机事件，简称为事件．3．随机事件的概率(1)随机事件的概率：假如随机事件在次试验中发生了次，当试验的次数很大时，我们能够将事件发生m A 生的概率的近似，即m的率作事件()≈. nP An(2) 概率的性：①有界性：随意事件A ，有 0≤ P ( A ) ≤1.② 范性：若Ω、 ?分代表必定事件和不行能事件，P ( Ω) ＝ 1； P ( ?) ＝ 0.二、古典概型 1．基本领件在一次中可能出的每一个基本果． 2．等可能事件若在一次中，每个基本领件生的可能性都同样，称些基本领件等可能基本领件．3．古典概型(1) 特色：有限性，等可能性．(2) 概率的算公式：假如一次的等可能基本领件共有n 个，那么每一个等可能基本领件生的概率都是1 ；nm假如某个事件 A 包括了此中 m 个等可能基本领件，那么事件A 生的概率P ( A ) ＝n .即P (A )＝事件 A 包括的基本领件数.的基本领件数三、几何概型(1) 特色：无穷性，等可能性．(2) 概率的算公式：在几何地区 D 中随机地取一点，事件“ 点落在其内部一个地区d 内” 事件 A ，事件A 生的概率P ( A ) ＝d 的度.D 的度里要求 D 的度不0，此中“ 度”的意依 D 确立，当 D 分是段、平面形和立体形，相的“ 度”分是度、面和体等．四、基本领件1．互斥事件(1) 定：不可以同生的两个事件称互斥事件．假如事件A 1，A 2，⋯， A n 中的任何两个都是互斥事件，就事件A 1， A 2，⋯， A n 相互互斥．(2) 定： A ， B 互斥事件，若事件 A 、 B 起码有一个生，我把个事件作 A ＋B . 2．互斥事件的概率加法公式(1)若事件 A、B 互斥，那么事件 A＋ B 生的概率等于事件 A、 B 分生的概率的和即 P( A＋B)＝P(A)＋P(B)．(2)若事件 A1， A2，⋯， A n两两互斥．P( A1＋A2＋⋯＋ A n)＝ P( A1)＋ P( A2)＋⋯＋ P( A n)．3．立事件(1) 定：两个互斥事件必有一个生，称两个事件立事件．事件 A 的立事件A.(2)性： P( A)＋P( A)＝1，P( A)＝1－P( A)．( 考：90 分卷分： 120 分 )一、填空 ( 本大共14 小，每小 5 分，共 70 分)1．以下事件属于必定事件的有 ________．① 2， 2， 4 的三条段，成等腰三角形② 在响一声就被接到③ 数的平方正数④全等三角形面相等分析：① 2＋ 2＝ 4，不可以成三角形，不行能事件；② 随机事件；③中0 的平方0，随机事件；④ 必定事件．答案：④2．同抛两枚地均匀的硬，出两个正面向上的概率是__________ ．分析：共出 4 种果其两正面向上只有 1 种，1故 P＝4.答案：143．在座平面内，已知点集M＝{( x， y)| x∈N，且 x≤3， y∈N，且 y≤3)}，在 M中任取一点，个点在x 上方的概率是________．分析：会合 M中共有16个点，此中在 x 上方的有12 个，故所求概率123＝ . 1643答案：44．某人随机地将注A， B， C 的三个小球放入号1， 2， 3 的三个盒子中，每个盒子放一个小球，所有放完．则标明为B 的小球放入编号为奇数的盒子中的概率等于________．分析：随机地将标明为，， C 的三个小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子中共有 6 种状况，A B而将标明为B 的小球放入编号为奇数的盒子中有，，；，，；，，；，，，共4种BACBCAACBCAB2状况，所以所求概率等于3.2答案： 35．已知射手甲射击一次，命中 9 环以上 ( 含 9 环 ) 的概率为 0.5 ，命中 8 环的概率为0.2 ，命中 7 环的概率为 0.1 ，则甲射击一次，命中6 环以下 ( 含 6 环 ) 的概率为 ________．分析：以上事件为互斥事件，故命中 6 环以下 ( 含 6 环 ) 的概率为 1－0.5 － 0.2 － 0.1 ＝ 0.2.答案： 0.26．投掷一颗骰子，察看掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现 2 点，已知 ( )P A11＝ 2， P ( B ) ＝ 6，则出现奇数点或 2 点的概率之和为 ________．1 12 分析：出现奇数点或 2 点的概率为 P ＝ 2＋ 6＝ 3.2 答案： 37．某部三册的小说，随意排放在书架的同一层上，各册从左到右或从右到左恰巧为第1，2，3 册的概率为 ________．分析：所有基本领件为：123，132，213，231， 312，321 共 6 个．此中“从左到右或从右到2 1左恰巧为第 1， 2， 3 册”包括 2 个基本领件，故 P ＝ 6＝ 3.答案： 138．函数 f ( x ) ＝ x 2－ x － 2，x ∈ [ － 5，5] ，那么随意 x 0∈[ － 5，5] 使 f ( x 0) ≤0的概率为 ________．1 2，x ∈ [ － 5， 5] ，区间长度为 10，分析： f ( x ) ＝ x 2－ x － 2＝ x －－924129∵f ( x 0) ＝ x 0－ 2 － 4≤0，3∴－ 1≤ x 0≤ 2，区间长度为 3，∴概率为 10.3答案： 109．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为 90%，则甲、乙两人下成平手的分析：甲不输为两个事件的和事件，其一为甲获胜( 事件A)，其二为甲获平手( 事件B) ，并且两事件是互斥事件．∵P( A＋ B)＝P( A)＋ P( B)，∴P( B)＝ P( A＋ B)－ P( A)＝90%－40%＝50%.答案： 50%10．同时投掷两枚质地均匀的骰子，所得的点数之和为 6 的概率是 ________．分析：掷两枚骰子共有36 种基本领件，且是等可能的，所以“所得点数之和为6”的事件为(1 ，5)，(2 ， 4)，(3 ，3) ，(4 ，2) ，(5 ，1) 共 5 个，故所得的点数之和为 6 的概率是P＝5 . 365答案：3611．从分别写有ABCDE的五张卡片中任取两张，这两张卡片上的字母次序恰巧相邻的概率为________．分析：随机抽取两张可能性有AB， AC， AD， AE， BC， BD， BE，CD， CE，DE， BA，CA， DA，EA， CB，DB， EB，DC， EC，ED，共20种．卡片字母相邻：AB， BA， BC， CB， CD， DC， DE， ED共8种．∴概率为8 ＝2.20 52答案：512．如图，半径为10 cm的圆形纸板内有一个同样圆心的半径为 1 cm 的小圆．现将半径为2 cm的一枚铁片抛到此纸板上，使铁片整体随机落在纸板内，则铁片落下后把小圆所有覆盖的概率为 ________．分析：铁片整体随机落在纸板内的测度D＝π R2＝64π；而铁片落下后把小圆所有覆盖的测度d ＝πr2＝π，所以所求的概率＝d＝π＝1.P D64π641答案：6413． ( 安徽高考改编 ) 若某企业从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录取三人，这五人被录取的时机均等，则甲或乙被录取的概率为________．分析：由题意，从五位大学毕业生中录取三人，所有不一样的可能结果有( 甲，乙，丙 )， ( 甲，乙，丁 ) ， ( 甲，乙，戊 ) ，( 甲，丙，丁 ) ， ( 甲，丙，戊 ) ， ( 甲，丁，戊 ) ， ( 乙，丙，丁 ) ， ( 乙，丙，戊 ) ， ( 乙，丁，戊 ) ，( 丙，丁，戊 ) ，共 10 种，此中“甲与乙均未被录取”的所有不一样的可能结果只有 ( 丙，丁，戊 ) 这 1 种，故其对峙事件“甲或乙被录取”的可能结果有9 种，所求概率9P＝10.9答案：1014．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次拿出后不放回，连续取两次，求拿出的两件产品中恰有一件次品的概率为________．分析：每次拿出一个，取后不放回地连续取两次，其全部可能的结果构成的基本领件有 6 个，即 ( a1，a2) ， ( a1，b1) ，( a2，a1) ，( a2，b1) ， ( b1，a1) ，( b1，a2) ．此中小括号内左侧的字母表示第1 次拿出的产品，右侧的字母表示第2 次拿出的产品．用A表示“拿出的两件中，恰巧有一件次品”这一事件，则 A 包括( a1，b1)，( a2，b1)，( b1，a1)，( b1，a2)，即事件 A 由4个基本领件构成，4 2因此， P( A)＝6＝3.2答案：3二、解答题 ( 本大题共 4 小题，共50 分 )15． ( 本小题满分12 分 ) 除了电视节目中的游戏外，我们平常也会碰到好多和概率相关的游戏问题，且看下边的游戏：以下图，从“开始”处出发，每次掷出两颗骰子，两颗骰子点数之和即为要走的格数．(1) 在第一轮抵达“车站”的概率是多少？(2) 假定你想要在第一轮到电信大楼、杭州日报或体育馆，则概率是多少？解： (1) 第一轮要到“车站”，则一定掷出的点数之和为5，而用 2 颗骰子掷出 5 会有 4 种结果，假定一颗骰子为红色，另一颗骰子为蓝色，则有(1 ，4) ， (2 ，3) ， (3 ， 2) ， (4 ， 1)4 种组合，4 1 而投掷两颗骰子共有 36 种可能结果，所以第一轮抵达“车站”的概率为36＝9.(2) 需要掷出的点数之和为6 或 8 或 9，而要得出这 3 种结果共有以下 14 种组合： (5 ， 1) ，(4 ，2)，(3 ， 3)，(2 ，4) ，(1 ，5) ，(6 ，2) ，(5 ，3) ，(4 ， 4) ，(3 ，5) ，(2 ， 6) ，(6 ， 3) ，(5 ，14 7 4) ， (4 ， 5) ， (3 ， 6) ，所以抵达这一地区的概率为36＝ 18.16．( 辽宁高考 )( 本小题满分 12 分 ) 现有 6 道题，此中4 道甲类题， 2 道乙类题，张同学从中任取 2 道题解答．试求：(1) 所取的 2 道题都是甲类题的概率；(2) 所取的 2 道题不是同一类题的概率．解： (1) 将 4 道甲类题挨次编号为1， 2，3， 4； 2 道乙类题挨次编号为 5， 6，任取 2 道题，基本领件为： {1 ， 2} ， {1 ， 3} ， {1 ，4} ， {1 ，5} ， {1 ，6} ， {2 ，3} ， {2 ，4} ， {2 ，5} ， {2 ，6} ，{3 ， 4} ， {3 ， 5} ， {3 ， 6} ， {4 ， 5} ，{4 ， 6} ，{5 ， 6} ，共 15 个，并且这些基本领件的出现是等可能的．用 A 表示“都是甲类题”这一事件，则A 包括的基本领件有 {1 ， 2} ， {1 ， 3} ， {1 ， 4} ， {2 ，6 23} ，{2，4} ， {3，4} ，共 6 个，所以 P ( A ) ＝15＝5.(2) 基本领件同 (1) ．用 B 表示“不是同一类题”这一事件，则B 包括的基本领件有 {1 ， 5} ，8{1 ，6}，{2 ， 5}，{2 ，6} ，{3 ，5} ，{3 ，6} ，{4 ，5} ，{4 ， 6} ，共 8 个，所以P ( B ) ＝15.17．( 本小题满分 12 分 ) 某服务电话，打进的电话响第1 声时被接的概率是 0.1 ；响第2 声时被接的概率是 0.2 ；响第 3 声时被接的概率是0.3 ；响第 4 声时被接的概率是0.35.(1) 打进的电话在响 5 声以前被接的概率是多少？(2)打的响 4 声而不被接的概率是多少？解： (1) 事件“ 响第k 声被接” A k( k∈N)，那么事件A k相互互斥，“打的在响 5 声以前被接” 事件A，依据互斥事件概率加法公式，得P(A)＝P(A1＋A2＋A3＋A4)＝P(A1)＋P( A2)＋P( A3)＋ P( A4)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.35＝0.95.(2) 事件“打的响 4 声而不被接”是事件A“打的在响 5 声以前被接”的立事件， A；依据立事件的概率公式，得P( A)＝1－P( A)＝1－0.95＝0.05.18．( 本小分14 分 ) 一个袋中装有大小同样的 5 个球，将 5 个球分号1，2，3，4， 5.(1)从袋中拿出两个球，每次只拿出一个球，并且拿出的球不放回，求拿出的两个球上号之奇数的概率；(2)若在袋中再放入其余 5 个同样的球，量球的性，， 10 个球的性得分以下：8.7 ， 9.1 ， 8.3 ，9.6 ， 9.4 ， 8.7 ， 9.7 ， 9.3 ，9.2 ， 8.0 ，把10 个球的得分当作一个体，从中任取一个数，求数与体均匀数之差的不超0.5的概率．解： (1) “拿出的两个球上号之奇数” 事件，Ω＝ {(1 ，2) ，(1 ，3) ，(1， 4) ，B(1 ，5)，(2 ， 1)，(2 ，3) ，(2 ，4) ，(2 ，5) ，(5 ，1) ，(5 ， 2)，(5 ， 3) ，(5 ， 4) ⋯} ，共包括 20个基本领件；此中B＝{(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，5)，(5，1)，(5，3)}，包括6个基本领件，63P(B)＝＝ .20101(2) 本均匀数x＝10(8.7＋9.1＋8.3＋9.6＋9.4＋8.7＋9.7＋ 9.3 ＋ 9.2＋ 8.0) ＝ 9，B 表示事件“从本中任取一数，数与本均匀数之差的不超0.5 ”，包括{8.7 ，9.1 ， 9.4 ， 8.7， 9.3 ， 9.2}6 个基本领件，所以P( B) ＝6＝3. 105。

【文库精品】版高中数学第三章统计案例 3.2 回归分析学案苏教版选修2-3

3.2 回归分析学习目标 1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.能通过相关系数判断两个变量间的线性相关程度.3.了解非线性回归分析．知识点一线性回归模型思考某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：请问如何表示推销金额y与工作年限x之间的相关关系？y关于x的线性回归方程是什么？梳理线性回归模型(1)随机误差具有线性相关关系的两个变量的取值x、y，y的值不能由x完全确定，可将x，y之间的关系表示为y ＝a ＋bx ＋ε，其中________是确定性函数，________称为随机误差． (2)随机误差产生的主要原因①所用的______________不恰当引起的误差； ②忽略了________________； ③存在________误差．(3)线性回归模型中a ，b 值的求法y ＝__________称为线性回归模型．a ，b 的估计值为a ^，b ^，则⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝，o(a＝ .)(4)回归直线和线性回归方程直线y ^＝a ^＋b ^x 称为回归直线，此直线方程即为线性回归方程，a ^称为____________，b ^称为____________，y ^称为__________．知识点二样本相关系数r具有相关关系的两个变量的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^.思考1 变量y ^与真实值y 一样吗？思考2 变量y ^与真实值y 之间误差大了好还是小了好？梳理样本相关系数r 及其性质(1)r ＝________________________________. (2)r 具有以下性质： ①|r |≤________；②|r |越接近于________，x ，y 的线性相关程度越强； ③|r |越接近于________，x ，y 的线性相关程度越弱．知识点三对相对关系数r 进行显著性检验的基本步骤 1．________________：变量x ，y 不具有线性相关关系；2．如果以95%的把握作出判断，那么可以根据1－0.95＝0.05与n －2在教材附录2中查出一个r 的临界值r 0.05(其中1－0.95＝0.05称为检验水平)； 3．计算__________________；4．作出统计推断：若|r |＞________，则否定H 0，表明有________的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系；若|r |≤r 0.05，则________________原来的假设H 0，即就目前数据而言，没有充分理由认为y 与x 之间有线性相关关系．类型一求线性回归方程例1 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．(相关公式：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x )反思与感悟 (1)求线性回归方程的基本步骤①列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．②计算：x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1nx i y i .③代入公式求出y ^＝b ^x ＋a ^中参数b ^，a ^的值． ④写出线性回归方程并对实际问题作出估计．(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义．跟踪训练1 某班5名学生的数学和物理成绩如下表：(1)画出散点图；(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的线性回归方程； (3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．类型二线性回归分析例2 现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩(x)与入学后第一次考试的数学成绩(y)如下：请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性关系？反思与感悟相关关系的两种判定方法及流程(1)利用散点图判定的流程(2)利用相关系数判定的流程计算r―→结合r与相关关系的关系判断跟踪训练2 一台机器由于使用时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少，随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：对变量y与类型三非线性回归分析例3 下表为收集到的一组数据：(1)作出x与y(2)建立x与y的关系；(3)利用所得模型，估计当x＝40时y的值．反思与感悟非线性回归问题的处理方法(1)指数函数型y＝e bx＋a①函数y＝e bx＋a的图象②处理方法：两边取对数，得ln y＝ln e bx＋a，即ln y＝bx＋a.令z＝ln y，把原始数据(x，y)转化为(x，z)，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(2)对数函数型y＝b ln x＋a①函数y＝b ln x＋a的图象：②处理方法：设x′＝ln x，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b.(3)y＝bx2＋a型处理方法：设x′＝x2，原方程可化为y＝bx′＋a，再根据线性回归模型的方法求出a，b. 跟踪训练3 已知某种食品每千克的生产成本y(元)与生产该食品的重量x(千克)有关，经生产统计得到以下数据：通过以上数据，判断该食品的生产成本y (元)与生产的重量x (千克)的倒数1x之间是否具有线性相关关系．若有，求出y 关于1x的回归方程，并估计一下生产该食品500千克时每千克的生产成本是多少．(精确到0.01)1．设有一个线性回归方程y ^＝2－1.5x ，当变量x 增加1个单位时，y 平均________个单位． 2．如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是________．(填序号)3．某厂节能降耗技术改造后，在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据如表：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，则上表中的t ＝________.4．下表是x 和y 之间的一组数据，则y 关于x 的回归直线必过点________．5.已知x 、y 之间的一组数据如下表：(1)分别计算：x 、y 、x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4、x 21＋x 22＋x 23＋x 24； (2)已知变量x 与y 线性相关，求出回归方程．回归分析的步骤(1)确定研究对象，明确哪个变量是自变量，哪个变量是因变量；(2)画出确定好的自变量和因变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；(3)由经验确定回归方程的类型(如果呈线性关系，则选用线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^)； (4)按一定规则估计回归方程中的参数．答案精析问题导学知识点一思考画出散点图，由图可知，样本点散布在一条直线附近，因此可用回归直线表示变量之间的相关关系．设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝∑i ＝15(x i －x )(y i －y)∑i ＝15(x i －x)2＝1020＝0.5， a ^＝y －b ^x ＝0.4.所以年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4. 梳理 (1)a ＋bx ε (2)①确定性函数 ②某些因素的影响 ③观测(3)a ＋bx ＋ε∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n (x )2y －b ^x (4)回归截距回归系数回归值知识点二思考1 不一定．思考2 越小越好．精品学习资料梳理 (1)∑i ＝1nx i y i －n x y(∑i ＝1nx 2i －n (x )2)(∑i ＝1ny 2i －n (y )2)(2)①1 ②1 ③0 知识点三1．提出统计假设H 0 3.样本相关系数r 4．r 0.05 95% 没有理由拒绝题型探究例1 解 (1)如图：(2)∑i ＝14x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4，∑i ＝14x 2i ＝62＋82＋102＋122＝344， b ^＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7， a ^＝y －b ^x ＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y ^＝0.7x －2.3.(3)由(2)中线性回归方程可知，当x ＝9时，y ^＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.跟踪训练1 解 (1)散点图如图．精品学习资料(2)x ＝15×(88＋76＋73＋66＋63)＝73.2，y ＝15×(78＋65＋71＋64＋61)＝67.8.∑i ＝15x i y i ＝88×78＋76×65＋73×71＋66×64＋63×61＝25 054.∑i ＝15x 2i ＝882＋762＋732＋662＋632＝27 174. 所以b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5(x )2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.625. a ^＝y －b ^x ≈67.8－0.625×73.2＝22.05.所以y 对x 的线性回归方程是y ^＝0.625x ＋22.05.(3)当x ＝96时，y ^＝0.625×96＋22.05≈82，即可以预测他的物理成绩是82. 例2 解 x ＝110(120＋108＋…＋99＋108)＝107.8，y ＝110(84＋64＋…＋57＋71)＝68.∑i ＝110x 2i ＝1202＋1082＋…＋992＋1082＝116 584.∑i ＝110y 2i ＝842＋642＋…＋572＋712＝47 384. ∑i ＝110x i y i ＝120×84＋108×64＋…＋99×57＋108×71＝73 796.所以相关系数为r ＝73 796－10×107.8×68(116 584－10×107.82)(47 384－10×682)精品学习资料≈0.751.由检验水平0.05及n －2＝8，在附录2中查得r 0.05＝0.632. 因为0.751＞0.632，由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有较强的线性相关关系．跟踪训练2 解由题中数据可得x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438,4x y ＝412.5，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14y 2i ＝291，所以r ＝∑i ＝14x i y i －4x y(∑i ＝14x 2i －4(x )2)(∑i ＝14y 2i －4(y )2)＝438－412.5(660－625)×(291－272.25)＝25.5656.25≈0.995. 由检验水平0.05及n －2＝2，在教材附录表2中查得r 0.05＝0.950，因为r ＞r 0.05，所以y 与x 具有线性相关关系．例3 解 (1)作出散点图如图，从散点图可以看出x 与y 不具有线性相关关系，根据已有知识可以发现样本点分布在某一条指数型函数曲线y ＝c 1e c 2x 的周围，其中c 1、c 2为待定的参数．(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z ＝ln y ，则有变换后的样本点应分布在直线z ＝bx ＋a ，a ＝ln c 1，b ＝c 2的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y 与x 之间的非线性回归方程，数据可以转化为求得线性回归方程为精品学习资料z ^＝0.272x －3.849，∴y ^＝e0.272x －3.849.(3)当x ＝40时，y ^＝e 0.272x －3.849≈1 131.跟踪训练3 解设u ＝1x，通过已知数据得到y 与u 的相应数据为r ＝∑i ＝110u i ·y i －10u ·y(∑i ＝110u 2i －10·u 2)(∑i ＝110y 2i －10·y 2)≈0.999 8，于是有很大的把握认为y 与1x具有线性相关关系．而b ^＝∑i ＝110u i ·y i －10u ·y∑i ＝110u 2i －10u 2≈8.973，a ^＝y －b ^·u ≈1.126，于是y 与1x 的回归方程为y ^＝8.973x＋1.126.当x ＝500时，y ^＝8.973500＋1.126≈1.14.所以估计生产该食品500千克时每千克的生产成本是1.14元．当堂训练1．减少1.5 2.①③ 3.3 4.(2.5,4)5．解 (1)x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4，精品学习资料x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝02＋12＋22＋32＝14.(2)b ^＝34－4×1.5×414－4×1.52＝2，a ^＝y －b ^x ＝4－2×1.5＝1，故y ^＝2x ＋1.。

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第3章统计案例(B)
(时间：120分钟满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．对于回归分析，下列说法错误的是________．(填序号)
①在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么因变量不能由自变量唯一确定； ②线性相关系数可以是正的，也可以是负的；
③回归分析中，如果r 2
＝1，说明x 与y 之间完全相关； ④样本相关系数r ∈(－1,1)．
2．现在一个由身高预测体重的回归方程：体重预测值＝4(磅/英寸)×身高－130(磅)
其中体重与身高分别以磅和英寸为单位．如果换算成公制(1英寸≈2.5 cm,1磅≈0.45 kg)，则回归方程应该是__________________________．
3
y 与x 的线性回归方程为y ＝6.5x ＋17.5，当广告费支出5万元时，随机误差为
________．
4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高的数据，她根据这些数据建立的身高y (cm)与年
龄x 的回归模型为y ^
＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则叙述正确的是______(填序号)．
①身高一定是145.83 cm ； ②身高在145.83 cm 左右； ③身高在145.83 cm 以上； ④身高在145.83 cm 以下． 5．某考察团对全国10大城市进行职工人均平均工资x 与居民人均消费y 进行统计调查，
y 与x 具有相关关系，回归方程y ^
＝0.66x ＋1.562(单位：千元)，若某城市居民消费水平为
7.765，估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为________．
6．已知两个变量x 和y 之间有线性相关性，5次试验的观测数据如下表，那么变量y 关于x
7.若由一个2×2________的前提下认为两个事件有关系．
8．许多因素都会影响贫穷，教育也许是其中的一个．在研究这两个因素的关系时，收集了某国50个地区的成年人至多受过9年教育的百分比(x )和收入低于官方规定的贫困线的
人数占本地区人数的百分比(y )的数据，建立的线性回归方程是y ^
＝4.6＋0.8x .这里，斜率的估计等于0.8说明____________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________. 9．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表：
为了判断主修数据，得到χ2
＝
50×(13×20－10×7)
2
23×27×20×30
≈4.844.
因为χ2
>3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性约为________．
10．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x (单位：万元)与年平均支出Y (单位：万元)
有______线性相关关系．
11．若两个分类变量X 和Y
则X 与Y 12
13．
由上表中数据计算得χ2
＝55×50×30×75
≈6.109，估计有______把握认为
“文化程度与月收入有关系”．
14．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；
②线性回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
必过点(x ，y )；
③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；
④在一个2×2列联表中，由计算得K 2
＝13.079，则其两个变量间有关系的可能性是90%. 其中错误的是________．(填序号)
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(14分)2×2列联表所示：
其中a,15－a 均为大于50.1的前提下
认为x与y之间有关系？
16．(14分)有一台机床可以按各种不同的速度运转，其加工的零件有一些是二级品，
(2)写出回归直线方程．
17．(14分)某聋哑研究机构，对聋与哑是否有关系进行抽样调查，在耳聋的657人中有416人哑，而在另外不聋的680人中有249人哑，你能运用这组数据，得到相应结论吗？请运用独立性检验进行判断．
19．(16分)
20
(2)求回归方程；
(3)若某名健康儿童的血硒含量为94(1 000 ppm)，预测他的发硒含量．
第3章统计案例(B)
答案
1．④
解析相关系数r 的范围是[－1,1]． 2．体重预测值＝0.72×身高－58.5
解析 4磅/英寸＝4×(0.45 kg/2.5 cm)＝0.72(kg/cm)， 130磅＝130×0.45 kg ＝58.5 kg. 3．10 4．② 5．83%
6.y ^
＝0.575x －14.9 7．0.05
解析 χ2
＝4.013>3.841.
8．一个地区受过9年或更少的教育的百分比每增加1%，则收入低于官方规定的贫困线的人数占本地区人数的百分比将增加0.8%左右
9．0.05 10．13 正
解析把2005～2009年家庭年平均收入按从小到大顺序排列为11.5,12.1,13,13.3,15，因此中位数为13(万元)，由统计资料可以看出，当年平均收入增多时，年平均支出也增多，因此两者之间具有正线性相关关系．
11．0.999
解析 χ2
＝(5＋15＋40＋10)(5×10－40×15)2
(5＋15)(40＋10)(5＋40)(15＋10)≈18.8>10.828，
查表知P (χ2
>10.828)≈0.001，
∴x 与y 之间有关系的概率约为1－0.001＝0.999，因此有99.9%的把握认为X 与Y 有关系． 12．传染病与饮用不干净水是有关系的解析通过独立性检验可知． 13．97.5% 14．③④
解析 ①正确．由回归方程的定义及最小二乘法思想，知②正确．③④不正确．
15．解查表可知，要使在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系，则k ≥2.706，而
k ＝65×[a (30＋a )－(20－a )(15－a )]2
20×45×15×50
＝65×(65a －300)220×45×15×50＝13×(13a －60)2
60×90
. 由k ≥2.706得a ≥7.19或a ≤2.04. 又a >5且15－a >5，a ∈Z ，即a ＝8,9.
故a 为8或9时，在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为x 与y 之间有关系． 16．解 (1)散点图如图所示．
(2)y ^
＝0.728 6x ＋0.857 5.
17．解
根据列联表中数据得到K 2
的观测值k ＝(416×431－241×249)2
657×680×665×672
≈
95.291>10.828.
因此在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为聋与哑有关系． 18．解
由上表中数据，得x ＝7≈0.543，y ＝7
×145.4≈20.77，∑i ＝1x 2
i ＝2.595，所以b ^
＝85.61－7×0.543×20.77
2.595－7×0.543
≈12.55. a ^
＝20.77－12. 55×0.543≈13.96.
所以线性回归方程为y ^
＝13.96＋12.55x .
将数据代入相关指数的计算公式得R 2
≈0.997 4(小范围内波动亦可)．由此可看出用线性回归模型拟合数据效果很好．
19．解根据题中数据，利用公式，
得χ2
＝1 000×(251×297－249×203)2
454×546×500×500
≈9.295，
因为9.295>7.879，因此有99.5%的把握认为辐照保鲜措施对水果保鲜有效． 20．解 (1)散点图如下图所示：
(2)根据回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别求得：
b ^
＝
∑10
i ＝1
x i y i －10x y
∑10
i ＝1
x 2
i －10x 2
＝
8 464－10×75.4×10.8
58 212－10×75.4
2
≈0.236， a ^
＝y －b ^
x ＝10.8－0.236×75.4≈－6.99.
故所求回归方程为y ^
＝0.236x －6.99.
(3)当x ＝94时，y ^
＝0.236×94－6.99≈15.2.
因此，当地儿童的血硒含量为94(1 000 ppm)时，该儿童的发硒含量约为15.2(1 000 ppm)．。

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