同济大学高等数学下期末试卷(2套)

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《高等数学》下 期末试卷（基础卷）
一．填空题（本题满分15分，每小题3分）

1. 设yxza,则偏导数zx_________.
2. 设L为曲线2yx上从1,1到1,1的一段弧,则曲线积分dLxs________.
3. (,)ddDfxyxy在直角坐标下的累次积分为 ，其中D是222xyy围
成的区域.
4. 一平面过点(6,3,2)且与平面5438xyz平行，则此平面方程为___ __.
5. 空间曲线23,,xtytzt在点0(1,1,1)M处的切线与直线1122xyzlk平
行，则l ，k ________.
二．选择题（本题满分15分，每小题3分）下列每小题给出4个答案，
其中只有一个是正确的，请将正确答案的编号填入括号内.

1. 设(3,5,2),(2,1,4)ab，要使ab与z轴垂直，则,之间的关系
为 .
A.2 B.2

C.  D.2
2. 设可微函数,fxy在点00(,)xy取得极小值，则以下结论正确的是 .
A.0(,)fxy在0yy处的导数等于零
B.0(,)fxy在0yy处的导数大于零
C.0(,)fxy在0yy处的导数小于零
D.0(,)fxy在0yy处的导数不存在
3. 设222(0)Dxyaa是由所围成的闭区域，则
22
ddπDIxyxy


,则 a .

A. 1 B. 332 C. 334 D. 312
2

4. 函数,fxy在00,xy处满足________时,它在00,xy处连续.
A.0000lim,,xxfxyfxy,0000lim,,yyfxyfxy;
B.00,,lim,xyxyfxy存在;
C.偏导数存在;
D.可微.
5. 设11sinnnan,则________.

A.1nna与21nna均收敛; B.1nna与21nna均发散;

C.1nna发散而21nna收敛; D.1nna收敛而21nna发散.
三．计算题（本题满分24 分，共4小题，每小题满分6分）
1. 计算函数exyz在点(2, 1)处的全微分.

2. 过点(0,2,4)且同时平行于平面2132xzyz与的直线方程.

3. 求d2dLIxyxxyy,其中22:136xyL,取逆时针方向.

4. 判别级数1ππsinnnn的敛散性.
四.（本题10分）在曲面zxy上求一点，使该点处的法线垂直于平面
390xyz
，并写出法线方程.
五.（本题10分）将12分解为三个正数x,y,z之和,使得32uxyz最大.
六.（本题10分）求圆锥面22zxy,圆柱面221xy及平面0z所围
立体的体积.

七.（本题10分）求幂级数112nnnnx的收敛域及和函数.

八.（本题6分）证明:11000d()d(1)()d,yyfxxxfxx其中()fx在[0,1]上连续.
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《高等数学》下 期末试卷（综合卷）
一．填空题（本题满分15分，每小题3分）
1. 已知向量(2,3,1),(1,2,3),(2,1,2)abc，求向量ab在向量c上的投影
.
2. 求经过三点(3,1,0),(1,4,1),(2,5,2)的平面方程 .

3. 函数(,)fxy具有一阶连续偏导数，''(1,1)1,(1,1)2,(1,1)3,xyfff函数

(,)((,),(,))xyffxyfxy，求(1,1)|x (1,1),|y .

4. 幂级数22(3)nnxnn 的收敛域是 .
5. 函数e,101,01xxfxx的傅里叶级数的和函数)(xs在点4x处收敛
于 ，在点5x处收敛于 .
二．选择题（本题满分15分，每小题3分）下列每小题给出4个答案，
其中只有一个是正确的，请将正确答案的编号填入括号内.

1. 设L为椭圆13422yx，并且其周长为S，则22(3412)dLxys= .
A. S B. 6 S
C. 12 S D. 24 S

2. xoy平面上的曲线12xy绕直线0y旋转所得旋转曲面的方程
为 .
A. 1222xzy B. 2222)2(xzy

C. 122zxy D. 222zxy
3. 设函数,fxy在点0,0附近有定义，且0,03xf，0,01yf，则下列结
论成立的是 .
A. 0,0d3ddzxy

B. 曲面,zfxy在点0,0,0,0f的法向量为3,1,1
4

C. 曲线,0zfxyy在点0,0,0,0f的切向量为1,0,3
D. 曲线,0zfxyy在点0,0,0,0f的切向量为3,0,1
4. 曲面2222xyzz之内及曲面22zxy之外所围成的立体的体积
V
________.

A. 222π1100dddrrrrz B. 222π1100dddrrrrrz

C. 22π1100dddrrrrz D.
2
2
2π10011dddr

rrrz


5. 0)(lim1nnnuu是1nnu收敛的________条件.
A. 充分 B. 必要
C. 充分 D. 无关
三．计算题（本题满分24 分，共4小题，每小题满分6分）
1. 求直线11zyxzyx在平面0zyx上的投影方程.

2. 求函数zxyxzyxfcos),,(23在)0,1,1(点沿方向)6,3,2(l方向的方
向导数；说明函数在该点沿哪个方向的方向导数最大，并求出该最大的方向导数.
3. 计算2||dd,Dyxxy其中D为10,11yx.

4. 求231)(2xxxf在40x处的幂级数展开式.
四.（本题10分）求通过点3,1,2且与直线12131zyx垂直相交的直线方
程.

五.（本题10分）求曲面222xzy平行于平面220xyz的切平面方程.

六.（本题10分）设(,)zzxy由方程3sin()xyyzz确定的函数，求二阶偏
导数02|,Pzxy 其中0P为1yz所对应的点.
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七.（本题10分）计算三重积分(1),Izdv其中是由曲面
222
20,xyzxoy
面以及平面2z所围成的有界闭区域..

八.（本题6分）),,(,),,,(111nnnzyxzyx是空间n个点，试在平面
0DCzByAx
上求出一点，使得该点到已给n点的平方和最小.