基于反步法的下三角非线性系统自适应控制律设计框架
反步法及其在自适应控制中的应用
（ 常 ， ： ，一、引言显然，如果 则近年来，反步法或后推法（bac kst epp ing ）引起了有关学 渐进稳定。
但通 ，因 者的高度重视，并在航天航空和机器人控制设计中得到了成功 此我们需要引入虚拟控制使 的应用。
在文献[1]中介绍的是用自适应反馈线性化来设计模型得误差具有期望的渐进性 参考自适应控制器，由于参数估计的高阶倒数将出现在高阶系态。
为此，我们进行下一步 统的控制律中，所以此方法不能应用于通过反馈进行线性化的 （ ）4设计 所有系统中。
第二步定义取则基于文献[2]，我们提出了另外一种非线性设计方法反步法。
并举例说明了它在自适应控制器设计中的应用。
控制器的设计基 于backs tep pin g 思路，在每一步设计中，都可以得到一个由V 函数，不确定参数的自适应调节函数和一个已知李亚普诺夫函数的虚拟控制系统的镇定函数组成的三元组，整个系统的V 函数和自 适应控制律由最后一步得出。
它适用于可状态线性化或严参数反馈的不确定系统，可以方便的用符号代数软件来实现。
应用此方（5） 法所设计出来的自适应控制器可保证整个非线性系统的稳定性， 通过适当的引入虚拟控制，使得其与虚拟反馈间具有某种渐近特同理，我们还需要引入虚拟控制 ，使得 具有 性，从而实现整个系统的渐近镇定。
期望的渐进性态，以此类推，可得到一般情形下的李雅普诺夫函 二、基于反步法的控制器的设计方法简介数及虚拟控制。
第 步：定义李雅普诺夫函数 及虚拟控制 为考虑单输入单输出非线性系统其中，为系统的状态变量，为系统的输入变量。
非线性部分呈下三角结（6） 构。
反步法的设计思想是视每一个子系 则有：统 中的为虚拟控制，通过确定适当的虚 拟 反馈使得系统的前面状态达到渐进稳 在最后一步可得 定。
但系统的解一般不满足次， 因此， 我们引进误差变量，期望通过控制的作 用，使得与虚拟反馈键具有某种渐进特 选取反馈控制规律为： （）7性，从而实现整个系统的渐进镇定。
控制方向未知的输入受限非线性系统自适应模糊反步控制
的研究[5’1445]。但 这 些研究成果在处理控制方向问题上，一 般 采 用 假 设 已 知 控 制 方 向 的 做 法 。控 制 方 向 未 知 的 非 线 性 系统控制器设计有待进一步解决。
王 永 超 ，张 胜 修 ，曹 立 佳 ，扈 晓 翔
(火箭军工程大学自动控制工程系，陕 西 西 安 710025)
摘 要 ：针对一类输入受限控制方向未知的非线性系统，提 出 一 种 基 于 Lipschilz条件的自适应模糊反步控
制器的设计方法。在控制器的设计过程当中，通 过 变 换 系 统 形 式 和 采 用 Butlerworth低通滤波器解决控制方向未
WANG Yong-chao, ZHANG Sheng-xiu, CAO Li-jia, HU Xiao-xiang
{DeparLmenL o f A uiom aiic Control E n gin eerin g , Rocket F o rce E n gin eerin g U n iversity , X i, an 710025 , China)
(4)
式中，
— 为 有 界 函 数 ，其界限值表示为
I u){v) |— |s a t ( v ) — h ( v )
— tanh(l ) ) — D
(5)
文 中 的 目 的 是 通 过 设 计 鲁 棒 控 制 器 使 得 式 （1 ) 中的输
出:y 能够稳定跟踪参考指令：>v 。
根 据 控 制 器 设 计 和 稳 定 性 证 明 过 程 中 的 实 际 需 求 ，作
非线性系统的收缩自适应反步控制
非线性系统的收缩自适应反步控制
胡超芳;张志鹏
【摘要】在收缩理论结构下展开对一般非线性参数严反馈不确定系统的研究，并
提出了一种收缩自适应反步控制方法。
本方法根据各阶子系统的连接方式设计了虚拟及实际控制输入，确保了系统的收缩性，并利用收缩自适应引理分别设计各阶子系统不确定参数的自适应估计律。
本方法不但可保证系统输出渐近收敛到期望轨迹，而且能确保自适应估计值的有界性，数值仿真验证了本方法的有效性。
【期刊名称】《制造业自动化》
【年(卷),期】2015(000)020
【总页数】5页(P47-50,55)
【关键词】参数严反馈系统;收缩理论;自适应;反步控制
【作者】胡超芳;张志鹏
【作者单位】天津大学电气与自动化工程学院，天津 300072;天津大学电气与自
动化工程学院，天津 300072
【正文语种】中文
【中图分类】TP273。
分数阶非线性系统的自适应模糊滑模反步控制
分数阶非线性系统的自适应模糊滑模反步控制
邱宏凌;刘恒
【期刊名称】《陕西师范大学学报:自然科学版》
【年(卷),期】2023(51)1
【摘要】针对一类具有严格反馈形式的不确定分数阶非线性系统,提出了一种自适应模糊滑模反步控制方法。
根据反步控制原理,首先在每一步中,利用模糊逻辑系统逼近系统的未知部分,然后构造一种分数阶积分型滑模面,依据滑模控制理论来进行虚拟控制器设计。
其次,设计了一种滤波器用来解决在反步控制中由于对虚拟控制器反复求导而产生的“项数爆炸”问题。
基于Lyapunov分数阶稳定性理论,对误差动力系统进行稳定性分析,确保追踪误差最终能够收敛到原点附近一个可以调整的邻域。
最后,给出一个仿真实例来验证该方法的有效性。
【总页数】9页(P120-128)
【作者】邱宏凌;刘恒
【作者单位】广西民族大学数学与物理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O231.2
【相关文献】
1.分数阶永磁同步电机混沌系统的自适应模糊滑模同步控制
2.不确定分数阶非线性系统自适应滑模同步控制
3.分数阶永磁同步电机混沌系统的自适应模糊滑模同步
控制4.基于自适应模糊滑模控制的分数阶混沌系统的投影同步5.一类切换非线性系统的自适应反步滑模控制
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基于神经网络理论的非线性系统自适应比例积分控制方法[发明专利]
![基于神经网络理论的非线性系统自适应比例积分控制方法[发明专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/79b3f4cf710abb68a98271fe910ef12d2af9a9b4.png)
(19)中华人民共和国国家知识产权局(12)发明专利申请(10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请号 201611206707.3(22)申请日 2016.12.23(71)申请人 重庆大学地址 400030 重庆市沙坪坝区正街174号(72)发明人 宋永端 郭俊侠 谭觅 钱基业 伏进 (74)专利代理机构 重庆信航知识产权代理有限公司 50218代理人 吴彬(51)Int.Cl.G05B 13/04(2006.01)(54)发明名称基于神经网络理论的非线性系统自适应比例积分控制方法(57)摘要本发明公开了一种基于神经网络理论的非线性系统自适应比例积分控制方法，包括：步骤一、建立非线性系统的数学模型；步骤二、利用光滑的函数逼近非光滑的执行器饱和函数；步骤三、设计神经网络自适应PI控制器进行控制；本发明针对具有输入饱和的非线性系统，利用光滑函数逼近执行器饱和函数；引用BLF，可保证神经网络的输入保持在有界紧集范围内，保证了神经网络的正常运行；并且与传统的PI增益调节相比，本发明提出的调节方法还具有：1)PI控制器的比例积分增益不是固定的常数而是时变的；2)比例增益和积分增益不是单独设计的，而是通过一定系数联系起来，有利于系统的分析；3)针对系统存在的不确定性及输入饱和都有一定的鲁棒性。
权利要求书3页 说明书7页 附图5页CN 106647271 A 2017.05.10C N 106647271A1.基于神经网络理论的非线性系统自适应比例积分控制方法，其特征在于：包括以下步骤：步骤一、建立含有执行器饱和的非线性系统的数学模型；所述含有执行器饱和的非线性系统具有如下形式：y＝x1u＝H(v)式中：x i＝[x i1,…,x im]T∈R m,i＝1,...,n,x∈R mn是系统的状态向量；y∈R m表示的是系统的输出向量；u∈R m代表系统的输入向量；F(x)∈R m表示系统的非线性函数；B(x,t)∈R m×m 表示的是系统的控制增益矩阵；F d(x,t)∈R m代表的是系统模型的不确定性部分和外部干扰部分；H(v)∈R n表示的是未知执行器饱和的控制向量；v∈R n是系统的实际输入设计向量；执行器饱和的实际控制输入与理想控制输入满足以下关系：式中σ1＞0,σ2＞0是饱和函数的界限值，ρ(v j)是饱和函数的非线性部分；步骤二、利用光滑的函数逼近非光滑的执行器饱和函数；具体为：u i＝h i(v i)＝Γi(v i)+ζi(v i)式中：l＞0是设计参数，ζi(v i)是逼近误差函数，并且满足|ζi|≤D i，D i是未知正常数，Γi(v i)是光滑函数，对多组光滑函数组成的函数向量Γ(v)，利用中值定理进行展开，得到Γ(v)＝Γ(0)+G(ξ)v上式中Γ(0)表示函数初始时刻的函数值；g ij,i＝1,...,m,j＝1,...,m代表在区间(0，v j)之间的某一点值，在设计控制器当中不需要其确定值，ξ∈R m×m是由这组点值ξij组成的矩阵；i＝1,...,m,j＝1,...,m是函数Γ(v)的偏导数，而G(ξ)是由多个偏导数组成的矩阵；步骤三、设计神经网络自适应PI控制器进行控制；1，利用目标轨迹与系统输出得到跟踪误差e＝y-y d，其中y d是理想轨迹；引入滤波误差将高阶系统模型转换为低阶系统模型ε＝λn-1e+…+λ1e(n-2)+e(n-1)，式中λ1,…λn-1是正常数，e(n-2),e(n-1),…是跟踪误差的高阶导数；同时引入广义误差这里δ是设计参数；2，对广义误差求导数并结合系统模型及中值定理表达式，会生成不确定非线性项：非线性函数Ψ(x,ξ,t)满足：再引入RBF神经网络函数进行非线性处理，即Q(·)＝W*T S(Z)+η(Z)；其中W*代表的是神经网络最佳常数权值向量，η(Z)指的是逼近误差，S(Z)＝[s1(Z),…, s P(Z)]T表示神经网络的一组基函数；3，神经网络函数的权值的范数||W*||与神经网络逼近误差上限值ηN两者的最大值组成未知的参数a，核心函数是由神经网络函数基函数的范数||S(Z)||加1组成，这里的基函数选用高斯函数；4，引入BLF技术，即选取的李雅普诺夫函数为V b，具有以下形式5，在自适应PI控制器中，比例积分增益分别由两部分组成，其中常数部分包括：比例增益Kp和积分增益Ki，时变部分包括：比例增益ΔKp及积分增益ΔKi；未知参数a的自适应率、以及比例积分增益的时变部分分别为：ΔKi＝δΔKp；6，利用滤波误差与比例增益的乘积与跟踪误差的积分之和得到控制器v，具体表达式为：7，控制器v将计算出的控制指令发送给非线性系统的执行器，实现系统输出跟踪理想的目标轨迹。
非线性系统自适应最优切换控制方法
非线性系统自适应最优切换控制方法毛艳岭 1富 月1摘 要 针对具有未知动态和M 个平衡点的连续时间非线性系统, 将线性自适应最优切换控制器和未建模动态补偿器相结合, 基于嵌入转换技术和近似动态规划思想, 提出一种自适应最优切换控制方法. 首先在非线性系统的M 个平衡点建立M 个线性化模型, 当模型参数已知时, 提出由线性最优切换控制器、切换准则、未建模动态补偿器以及非线性系统组成的控制系统结构; 当模型参数未知时, 在每个平衡点附近采集输入和状态数据, 利用黎卡提方程的迭代求解公式、最小二乘方法、极小值原理以及二次规划技术得到非线性系统的自适应最优切换控制器和最优切换序列; 最后进行仿真实验, 实验结果验证了所提方法的有效性、优越性和实际可应用性.关键词 非线性系统, 切换控制, 自适应最优控制, 嵌入转换引用格式 毛艳岭, 富月. 非线性系统自适应最优切换控制方法. 自动化学报, 2023, 49(10): 2122−2135DOI 10.16383/j.aas.c220180Adaptive Optimal Switching Control of Nonlinear SystemsMAO Yan-Ling 1 FU Yue 1Abstract In this paper, for continuous-time nonlinear systems with unknown dynamics and M equilibrium points,based on embedding-transformation and approximate dynamic programming, an adaptive optimal switching control method is proposed by combining a linear adaptive optimal switching controller and an unmodeled dynamic com-pensator. Firstly, M linearized models are established at M equilibrium points of the nonlinear system. When the model parameters are known, a control system structure consisting of a linear optimal switching controller, a switching mechanism, an unmodeled dynamic compensator, and the nonlinear system is proposed. When the model parameters are unknown, the input and state data are collected at the neighborhood of each equilibrium point.Then the adaptive optimal switching controller and optimal switching sequence are obtained by using the iterative Riccati equation, least square method, minimum principle, and quadratic programming. Finally, simulations are conducted, and the results verify the effectiveness, superiority and applicability of the proposed method.Key words Nonlinear systems, switching control, adaptive optimal control, embedding-transformationCitation Mao Yan-Ling, Fu Yue. Adaptive optimal switching control of nonlinear systems. Acta Automatica Sin-ica , 2023, 49(10): 2122−2135实际工业过程的被控对象大多是非线性的, 比如电镕镁砂熔炼过程的电极、钢球磨煤机制粉过程的磨机等等. 非线性系统结构复杂, 往往难以得到精确的数学模型, 其控制问题一直是控制领域相关学者和工程师的研究难点和热点之一.经典的非线性控制方法, 如反馈线性化方法[1−2],由于需要已知精确的数学模型, 无法应用到实际的工业过程中. 为了解决这个问题, 文献[3]针对具有全状态约束的高阶非线性随机系统, 利用模糊逻辑系统逼近未知非线性函数, 提出了一种新的模糊自适应反步控制方法. 文献[4]在文献[3]的基础上,针对具有指数型性能函数的高阶非线性随机系统,提出了基于模糊逻辑系统和反步法的模糊自适应有限时间跟踪控制方法. 当被控对象的非线性较弱或在某一平衡点附近运行时, 通常采用近似线性模型进行描述, 并针对该模型设计控制器. 例如, 文献[5]利用递归近似理论, 将非线性系统看作线性时变序列系统的极限, 针对线性时变序列系统设计线性二次最优序列控制器, 从而实现原非线性系统的二次最优控制. 文献[6]利用泰勒公式将非线性系统在某一平衡点附近表示为线性模型与高阶非线性项的组合, 将开环解耦补偿器、非线性神经网络补偿器和一步超前最优加权自适应控制器结合, 提出了非线性系统基于神经网络的自适应动态解耦控制方法. 文献[7]考虑到模型阶次的不匹配问题, 通过引入降阶模型, 采用带死区的归一化投影算法对线性收稿日期 2022-03-16 录用日期 2023-02-24Manuscript received March 16, 2022; accepted February 24,2023国家自然科学基金(62333004, 61991403, 61991400, 61873052)资助Supported by National Natural Science Foundation of China (62333004, 61991403, 61991400, 61873052)本文责任编委 赵旭东Recommended by Associate Editor ZHAO Xu-Dong1. 东北大学流程工业综合自动化国家重点实验室 沈阳 1108191. State Key Laboratory of Synthetical Automation for Pro-cess Industries, Northeastern University, Shenyang 110819第 49 卷 第 10 期自 动 化 学 报Vol. 49, No. 102023 年 10 月ACTA AUTOMATICA SINICAOctober, 2023模型参数进行辨识, 利用高阶神经网络估计高阶非线性项, 将带有滤波器的极点配置自适应比例积分微分(Proportional integral derivative)控制器与神经网络补偿器相结合, 提出了非线性系统基于神经网络的自适应PID 控制方法. 神经网络收敛速度较慢且容易陷入局部极小点, 高阶非线性项的估计精确度较低. 为了解决这一问题, 文献[8]首次引入了控制器驱动模型和虚拟未建模动态的概念, 基于线性控制器驱动模型构造一步超前最优自适应控制器, 结合虚拟未建模动态补偿器, 提出了非线性系统自适应切换控制方法. 文献[9]针对复杂的热交换过程, 设计了具有虚拟未建模动态补偿的一步最优比例积分(Proportional integral)控制器, 并提出了数据驱动的双速率控制方法. 上述控制方法虽然能够取得良好的控制效果, 但是当系统的非线性较强或平衡点发生变化时, 这种只考虑单一平衡点的控制方法往往会使控制性能下降甚至导致整个系统失稳.M k -很多实际工业过程的平衡点都会随着工况的不同而发生变化, 比如电熔镁砂熔炼过程的平衡点随着原料成分和加料阶段的不同会发生变化; 钢球磨煤机制粉系统中磨机的平衡点随着原煤成分和湿度的不同而发生变化. 本文针对一类具有 个平衡点的非线性系统, 研究基于多模型切换的自适应控制方法. 多模型自适应控制方法一般用于改善系统的暂态性能或解决参数跳变系统的控制问题, 如文献[10]针对一类连续时间线性系统, 为改善系统的暂态性能, 提出了基于直接模型参考自适应控制的多模型切换控制方法. 文献[11]针对一类参数跳变离散时间线性系统, 提出了基于间接自校正控制的多模型切换控制方法. 文献[12]针对一类参数跳变离散时间非线性系统, 通过引入 差分算子, 分别设计了线性自适应控制器和基于神经网络的非线性自适应控制器, 通过两个控制器之间的切换, 可以提高系统的性能和稳定性. 为了避免不良切换行为,文献[13]采用滞后切换逻辑消除了参数估计器对初始条件的依赖, 通过利用鲁棒线性时不变工具实现高性能的控制目标, 结合控制器混合策略, 提出了多模型自适应混合控制方法. 针对文献[13]所提方法需要模型数量大的问题, 文献[14]采用分离处理原则, 充分利用所有辨识模型信息, 采用二级自适应方法建立自适应控制器. 为了消除系统非线性项对控制输入应严格线性的限制, 文献[15]针对离散时间非线性系统, 采用极点配置控制方法, 提出了由线性间接自校正控制器、基于神经网络的非线性间接自校正控制器和切换机制组成的多模型自适应控制器. 很多研究将多模型自适应控制方法应用到实际系统中, 并且取得了较好的控制效果. 文献[16]将多模型自适应切换控制方法应用于电力系统低频振荡中, 建立了不同工况下的线性小信号模型, 采用递归贝叶斯方法计算每个模型代表实际电力系统的概率, 根据这个概率得到每个控制器输出的占比权重, 最终的控制输出即为每个控制器输出的概率加权平均值. 文献[17]针对动态特性随不同负载状态而变化的柔性传送系统, 分别在不同负载状态处建立线性模型, 提出了基于闭环输出误差最小化的参数估计算法和基于极点配置的多模型自适应切换控制方法. 文献[18]以钢球磨煤机制粉系统为例, 针对一类具有多变量强耦合强非线性且动态特性随不同运行条件而变化的复杂工业过程, 将其在不同平衡点处用不同的线性模型和非线性未建模动态项组成的估计模型来描述, 提出了由非线性解耦控制器、线性解耦控制器和多模型切换机制组成的智能解耦控制方法. 文献[19]针对串联电容补偿输电线路的风力系统次同步谐振问题, 采用传统线性控制方法设计控制器, 根据系统条件设计该控制器的监控控制器, 该方法之后被拓展到了双馈异步发电机在串联补偿输电系统中的次同步振荡问题[20].上述多模型控制方法中, 用于切换的控制器是针对单一时刻的性能指标设计的, 具有次优性, 无法保证切换序列和控制系统的最优性.M M M M M 在实际工业生产过程中, 保证控制系统性能最优对实现工业过程整体优化控制是至关重要的. 本文针对具有未知动态和 个平衡点的连续时间非线性系统, 将嵌入转换法和近似动态规划技术相结合, 提出了一种自适应最优切换控制方法, 一方面能够保证切换序列的最优性, 另一方面可以实现控制系统的最优性能, 改善控制系统的动态品质. 首先在非线性系统的 个平衡点附近采集 组输入和状态数据, 利用黎卡提方程的迭代求解公式和最小二乘方法得到针对每个线性模型的最优控制器增益的估计, 利用极小值原理得到 个近似线性化模型. 然后利用嵌入转换法将 个近似线性化模型嵌入到一个连续时间大系统中, 通过二次规划技术得到非线性系统的线性自适应最优切换控制器和最优切换序列. 最后, 将线性自适应最优切换控制器和未建模动态补偿器相结合, 实现了控制目标. 仿真实验验证了本文所提方法的有效性、优越性和实际可应用性.M 本文针对具有未知动态和 个平衡点的连续时间非线性系统, 提出了自适应最优切换控制方法.主要创新点如下:1) 提出了由线性最优切换控制器、切换准则和未建模动态补偿器组成的控制器结构;10 期毛艳岭等: 非线性系统自适应最优切换控制方法2123M M 2) 模型参数已知时, 基于嵌入转换技术提出了由 个模型、 个最优控制器和切换准则组成的线性最优切换控制器;M M 3) 模型参数未知时, 基于嵌入转换技术和近似动态规划思想提出了由 个近似线性化模型、 个自适应最优控制器和切换准则组成的线性自适应最优切换控制器.1 问题描述M 考虑由如下模型描述的具有 个平衡点的连续时间非线性非仿射系统:x (t )=[x 1(t ),x 2(t ),···,x n (t )]T n u (t )=[u 1(t ),u 2(t ),···,u m (t )]T m f (x (t ),u (t ))=[f 1(·,·),f 2(·,·),···,f n (·,·)]T :R n ×R m →R n 其中 是 维状态向量, 是 维控制输入向量, 表示连续可微的未知非线性向量函数.M u (t )本文的目标是针对具有 个平衡点的未知非线性系统(1), 寻找最优切换序列和自适应最优切换控制律 , 使得闭环系统渐近稳定.M i ∈{1,2,···,M }(x i ,u i )非线性非仿射系统结构复杂, 很难直接根据它的模型设计控制器. 通常的做法是将非线性系统在某一平衡点附近线性化, 针对等价的近似线性模型设计控制器, 从而实现对原非线性系统的有效控制,如文献[4−5]等. 为此本文将非线性系统(1)在 个平衡点附近泰勒展开, 得到第 个平衡点 附近的等价近似线性模型:˙x (t )=A i x (t )+B i u (t )i i A i =∂f ∂xu =u i x =x iB i=∂f ∂uu =u i x =x i(A i ,B i )v i (t )i M 等价模型(2)包括两部分, 第一部分 表示第 个平衡点附近的线性化模型 , 其中 和 为适当维数的未知常值矩阵且 可控; 第二部分 为第 个平衡点附近的未建模动态. 为建立非线性系统(1)在 个平衡点附近的控制器设计模型, 引入如下单位脉冲序列记号b 其中 是整数, 则系统(1)可表示为σ(t )∈{1,2,···,M }其中 表示切换信号. 与此同时,本文所提出的控制器结构也包括两部分, 第一部分根据基于线性化模型建立的如下控制器设计模型进行设计:第二部分根据线性化产生的建模误差来设计, 用于消除未建模动态影响, 实现闭环系统渐近稳定.∑M i =1δ(σ(t )−i )∑i δ(σ(t )−i )在不引起混淆的情况下, 接下来我们将 简化为 .2 自适应最优切换控制器设计2.1 参数已知时的最优切换控制器A iB i i =1,···,M 当 和 ( )已知时, 我们提出了如图1所示的由线性最优切换控制器、切换准则、未建模动态补偿器以及非线性系统组成的控制系统结构, 其中线性最优切换控制器和切换准则根据控制器设计模型(4), 利用嵌入转换法[21]、极小值原理和二次规划方法获得; 未建模动态补偿器根据非线性系统状态和最优模型状态之间的误差设计.δ(σ(t )−i )首先令 在区间[0, 1]内连续变化, 利用嵌入转换法将式(4)嵌入到一个连续时间大系统中. 然后根据该嵌入式连续时间大系统的最优控制问题:δ(σ(t )−i )∈[0,1]Q 、R (A σ(t ),√Q )其中 ,为适当维数的参数矩阵且 可观, 采用极小值原理和二次规划方法得到切换准则函数:P σ(t )其中 根据如下黎卡提方程求解:J σ(t )J σ(t )每一时刻,比较 , 选择与最小的 对应的线性最优切换控制律:σ(t )K σ(t )其中 为最优切换序列, 表示线性最优切换控制器的增益, 通过下式求解:接下来, 为消除未建模动态对控制系统性能的影响, 我们设计了如下未建模动态补偿器:2124自 动 化 学 报49 卷a 1∈R m ×n a 2e m =x −x ∗x ∗σ(t )其中 为可调参数矩阵, 为可调参数, 为建模误差, 为最优线性化模型 的状态.A iB i i =1,···,M 综上, 和 ( )已知时最优切换控制律为:注 1. 线性最优切换控制律和最优切换序列推导过程见附录A.δ(σ(t )−i )δ(σ(t )−i )注 2. 针对控制器设计模型(4), 通过嵌入扩大 的取值范围, 令 在区间[0, 1]内连续变化, 将由多个近似线性模型组成的式(4)嵌入到一个连续时间大系统中; 通过转换将针对控制器设计模型(4)的最优切换控制问题转化为针对该嵌入式连续时间大系统的最优切换控制问题.2.2 参数未知时的自适应最优切换控制器A i B i (i =1,···,M )P σ(t )M M σ(t )ˆKσ(t )ˆPσ(t )P σ(t )A σ(t )M M 当 和 未知时, 无法通过式(7)得到 , 无法得到如式(6)所示的切换准则函数和式(8)所示的线性最优切换控制律. 为解决这一问题, 本文提出了一种自适应最优切换控制方法. 首先在非线性系统的 个平衡点附近采集 组输入、状态数据, 利用黎卡提方程的迭代求解公式和最小二乘算法得到针对线性化模型 的自适应最优控制器增益 以及黎卡提方程近似解, 并根据贝尔曼方程得到 的估计, 从而得到 个平衡点附近的 个线性化模型; 然后M 将 个线性化模型嵌入到一个连续时间大系统中,针对该嵌入式连续时间大系统基于极小值原理和二次规划技术设计线性二次型最优控制律, 进而得到最优切换序列和线性自适应最优切换控制律; 最后将线性自适应最优切换控制律和未建模动态补偿器相结合应用到非线性系统中, 实现对未知动态非线性系统的自适应最优切换控制.A iB i i =1,···,M 针对控制器设计模型(4), 当 和 ( )已知时, 根据Kleinman 定理[22], 很容易得到如下推论:K σ(t ),0∈R m ×n σ(t )P σ(t ),k 推论 1. 令 为针对线性化模型 的稳定反馈控制器增益矩阵, 为下面李雅普诺夫方程的对称正定解:δ(σ(t )−i )∈{0,1}i δ(σ(t )−i )=1k =1,2,···K σ(t ),k 其中 且 , 表示迭代次数, 满足K σ(t ),k P σ(t ),k σ(t )K σ(t )P σ(t )则 和 分别收敛于针对线性化模型 的最优控制器增益 和黎卡提方程解 , 即A iB i 图 1 和 已知时的控制系统结构A iB i Fig. 1 Control system structure when and are known10 期毛艳岭等: 非线性系统自适应最优切换控制方法2125∑∑A iB i(i =1,···,M )定理 1. 针对控制器设计模型(4), 当 和未知时, 使性能指标最小的切换准则函数为:ˆKσ(t )σ(t )K σ(t )N σ(t )P σ(t )A σ(t )其中 是针对线性化模型 的最优控制器增益的估计, 根据式(17)求解; 是矩阵 的估计, 根据式(18)求解:Θσ(t )ˆ¯Pσ(t )Ξσ(t )vec (C )m ×n C mn ⊗其中 , 和 的定义见后文, 是把维矩阵 按列的顺序一列接一列地组成的 维向量, 代表克罗内克积,线性自适应最优切换控制律为:σ(t )J σ(t )其中 为与最小的 对应的最优切换序列.M σ(t )ˆKσ(t )ˆP σ(t )证明. 首先根据离线采集的 组输入、状态数据, 计算针对线性化模型 的自适应最优控制器增益 以及黎卡提方程近似解 . 受文献[23]启发, 将式(4)等价表示为:A σ(t ),k =A σ(t )−B σ(t )K σ(t ),k 其中 . 根据式(12)和式(13), 沿着式(20)的解, 可以得到∫Q σ(t ),k =Q +i δ(σ(t )−i )K Tσ(t ),k RK σ(t ),k A σ(t )B σ(t )∑i δ(σ(t )−i )[x T (A T σ(t ),k P σ(t ),k +P σ(t ),k A σ(t ),k )x ]−x T×Q σ(t ),k x B σ(t )∑i δ(σ(t )−i )B Tσ(t )P σ(t ),k ∑i δ(σ(t )−i )RK σ(t ),k +1其中 . 由此, 可以将包含未知矩阵 和 的 项用 代替. 同理, 可以将包含未知矩阵 的用 代替.由克罗内克积的定义, 可知I n n 其中, 表示 维单位矩阵. 定义如下运算l 对于正整数 , 定义矩阵2126自 动 化 学 报49 卷[∫∫0≤t 0<t 1<···<t l 其中 . 由式(22)和式(23)可知, 式(21)可等价表示为:Θσ(t),k 当 为列满秩矩阵时,σ(t )k K σ(t ),k +1由此, 可以得到线性化模型 第 次迭代的自适应最优控制器增益 .ˆKσ(t )K σ(t )Θσ(t )Ξσ(t )ˆKσ(t )ˆ¯Pσ(t )¯P σ(t )ˆPσ(t )令 为迭代终止时的自适应最优控制器增益并作为 的估计, 和 为迭代终止时的数据向量, 可以得到 的计算公式如式(17)所示. 令 为迭代终止时的 的估计, 由此可以得到黎卡提方程的近似解 .σ(t )P σ(t )B σ(t )P σ(t )A σ(t )M M A i B i 接下来, 针对线性化模型 求解矩阵 和 的估计, 从而得到 个平衡点附近的 个线性化模型. 当 和 已知时, 易知A iB i L σ(t )P σ(t )B σ(t ) 计, 则Pσ(t )A σ(t )σ(t ) 的估计可根据线性化模型 的贝尔曼方程得到, 易知σ(t )P σ(t )A σ(t )N σ(t )D σ(t )N σ(t )ˆPσ(t )M 将式(27)代入上式, 利用离线采集的第 组输入、状态数据, 通过求取最小二乘解可以得到如式(18)所示的矩阵 的估计 . 根据 , 以及 , 可以很容易得到 个平衡点附近的近似控制器设计模型:δ(σ(t )−i )[0,1]δ(t )=[δ(σ(t )−1),···,δ(σ(t )−M )]T W ={δ∈R M :∑i δ(σ(t )−i )=1,δ(σ(t )−i )≥0}最后求取最优切换序列和线性自适应最优切换控制律. 针对模型(29), 应用嵌入变换法, 使 在 内连续变化, 为此令 并记. 定义哈密顿函数:易知, 针对嵌入式近似控制器设计模型的最优控制律为:将式(31)代入式(30), 化简可得δ(σ(t )−i )H (x,δ)下面将 作为决策变量, 通过最小化, 可以得到最优切换序列.δ(σ(t )−i )H (x,δ)实际上, 选择 使 最小等价为使式(33)最小W ¯Hδ(σ(t )−i )∈{0,1}σ(t )这是一个二次规划问题, 由于 是凸集, 是凹函数, 该问题的全局极小值一定在 取得[21], 且该全局极小值对应的 即为最优切换序列. 由此可以得到如式(16)的切换准则函数和式(19)的线性自适应最优切换控制律. □L σ(t )ˆKσ(t )注3. 由式(27)可知 的估计精度由 10 期毛艳岭等: 非线性系统自适应最优切换控制方法2127ˆK σ(t )K σ(t )L σ(t )P σ(t )B σ(t )N σ(t )ˆKσ(t )的估计精度决定. 由文献[23]易知, 收敛于参数已知时的最优控制器增益 , 因此 收敛于 . 由式(28)可知 的估计精度由最小二乘估计算法的精度和 的估计精度共同决定.l 0l ≥l 0rank ([I xx ,I xu ])=n (n +1)2+mn Θσ(t ),k {P σ(t ),k }∞k =0{K σ(t ),k }∞k =0P σ(t )K σ(t )注4. 在每个平衡点附近, 如果存在正整数 ,使得对于任意 , 都有 , 即矩阵 是满秩的, 那么序列 和 分别收敛到黎卡提方程的解 和最优控制器增益 [23].未建模动态补偿器的设计与线性模型参数已知时的情况类似, 即a 1∈R m ×n a 2ˆe m =x −ˆx ∗ˆx ∗σ(t )其中 为可调参数矩阵, 为可调参数,为建模误差, 为最优线性化模型 的状态.A iB i (i =1,···,M )综上, 和 未知时自适应最优切换控制律为:自适应最优切换控制器设计流程如图2所示.3 仿真实验为了验证本文所提方法的有效性, 我们分别进行了模型参数已知时最优切换控制和模型参数未知时自适应最优切换控制的数值仿真实验, 并分别与单一的针对一个模型的最优控制器和自适应最优控制器进行了对比. 除此之外, 为了验证本文所提方法的实际可应用性, 我们进行了模型参数未知时双容水箱液位系统的自适应最优切换控制仿真实验.3.1 参数已知时最优切换控制数值仿真实验考虑如下连续时间非线性系统:x =[x 1,x 2]T ∈R 2u =[u 1,u 2]T ∈R 2其中 是状态向量, 是输入向量.u =[u 1,u 2]T =[−3,10]T ,[−2,10]T [−1,10]T ˙x=[˙x 1,˙x 2]T =[0,0]T [u r 1,u r 2,x r 1,x r 2]T [−3,10,−4.4685,0.5592]T [−2,10,−4.2642,0.7565]T [−1,10,我们的目标是针对已知的非线性系统(36), 寻找最优切换序列和最优切换控制律, 使得闭环系统渐近稳定. 为此, 首先分别将 和 施加到非线性系统(36)上, 并令 得到非线性系统(36)的三个平衡点, 即 = , 和 −4.0264,1.1119]T δ(σ(t )−i )∈{0,1}∑3i =1δ(σ(t )−i )=13. 将式(36)分别在上述三个平衡点处泰勒展开, 并令 且 , 可以得到非线性系统(36)在个平衡点附近的控制器设计模型:其中图 2 自适应最优切换控制器设计算法流程Fig. 2 Flow chart of adaptive optimal switchingcontrol algorithm2128自 动 化 学 报49 卷[]x (0)=[x 1(0),x 2(0)]T =[−4.4685,0.5592]T 接下来给定随机初始状态 , 并选择控制器参数矩阵和未建模动态补偿器参数t =50s t =100s 最后将最优切换控制器(6) ~ (11)加入到系统(36), 得到如图3所示的状态曲线, 如图4所示的控制输入曲线和如图5所示的最优切换序列. 结合图3和图4, 在 和 时, 虽然系统的平衡点发生变化, 但是采用本文提出的最优切换控制方法仍能够将状态很快调节到平衡点附近并保持不变.[u r 1,u r 2,x r 1,x r 2]T [−1,10,−4.0264,1.1119]T x (0)=[x 1(0),x 2(0)]T =[−4.4685,0.5592]T 为了验证本文所提最优切换控制方法的优越性, 我们与单一的针对一个模型的最优控制方法进行了对比实验. 以针对平衡点 = 处的线性化模型为例,给定初始状态 , 选择控制器参数矩阵如式(38)所示, 未建模动态补偿器参数如式(39)所示.[u r 1,u r 2,x r 1,x r 2]T [−1,10,−4.0264,1.1119]T 图6和图7分别为所得到的状态曲线和控制输入曲线. 根据图6和图7可以看出, 针对平衡点 = 处的线性化模型设计的控制器只能将状态调节到对应的平衡点附近. 当平衡点发生变化时, 系统的状态存在稳态误差. 但是由于平衡点的变化引起的建模误差可近似为常数, 因此状态曲线虽然偏离平衡点但恒定不变.3.2 参数未知时自适应最优切换控制数值仿真实验本节的目标是针对未知非线性系统(36), 寻找[u r 1,u r 2,x r 1,x r 2]T =[−2,10,−4.2642,0.7565]T [u r 1,u r 2,x r 1,x r 2]T =[2,10,−2.5517,3.6570]T [u 1,u 2]T =[sin (0.1t ),sin (0.5t )]T t =0s t =2s δxx ,I xx ,I xu 最优切换序列和自适应最优切换控制律, 使得闭环系统渐近稳定. 不失一般性, 这里我们以两个平衡点为例进行仿真实验. 结合图2, 首先分别在平衡点 和 附近施加激励输入信号, 即 ,从 到 , 以0.01 s 为采样周期, 分别采集201组输入和状态数据, 计算 . 选择−3.8−4.24−4.01−4.081.151.08100101100.8−4.290.760.7550.05050.6−4.2−4.61.4050100150050100150x 1, x r 1x 2, x r 20.90.4Time /sx 2x r 2x 1x r 1图 3 采用最优切换控制器时系统的状态Fig. 3 State curves of the system when usingthe optimal switching controller−u 1u 2Time /s图 4 采用最优切换控制器时系统的控制输入Fig. 4 Input curves of the system when usingthe optimal switching controller01234s (t )50100150Time /s图 5 采用最优切换控制器时系统的最优切换序列Fig. 5 Optimal switching sequence of the system whenusing the optimal switching controller10 期毛艳岭等: 非线性系统自适应最优切换控制方法2129控制器参数矩阵||P σ(t ),k −P σ(t ),k −1||≤10−3σ(t )=1,2k ˆPσ(t )ˆK σ(t )终止循环的条件为 , 其中 ; 代表迭代次数. 根据式(17)分别得到针对两个模型的 和 , 即:N σ(t )然后利用所采集的输入和状态数据求解式(18),分别得到针对两个模型的 , 即:[]最后, 根据式(29)可以得到两个线性化模型如下式所示:x (0)=[x 1(0),x 2(0)]T =[−4,0]T t 0=0s t max =100s 将两个线性化模型嵌入到一个连续时间大系统中, 结合图2, 给定初始状态 和初始时间 , 设置 , 选择未建模动态补偿器参数t ≥t max t =50s 将自适应最优切换控制器(35)加入到非线性系统, 当满足 时, 可以得到如图8所示的状态曲线, 如图9所示的控制输入曲线和如图10所示的切换序列. 在 , 由于平衡点突变, 切换序列发生改变, 导致系统的状态震荡, 经过1.8 s 的调节时间, 系统的状态被调节到平衡点附近并保持不变.[u r 1,u r 2,x r 1,x r 2]T =[−2,10,−4.2642,0.7565]T ˆP1ˆK 1N 1[u r 1,u r 2,x r 1,x r 2]T =[−2,10,−4.2642,0.7565]T t =50s 为了验证本文所提自适应最优切换控制方法的优越性, 我们以平衡点 为例, 与单一的针对一个模型的自适应最优控制方法进行了对比实验. 选择控制器参数矩阵如式(40), 根据式(17)和式(18)可以得到 , 和 分别如式(41)和式(42)所示, 根据式(29)可以得到线性化模型如式(43)所示, 选择未建模动态补偿器参数如式(44)所示. 所得到的状态曲线和控制输入曲线如图11和图12所示. 从图11和图12可以看出, 针对平衡点 设计的自适应最优控制器只能将状态调节到对应的平衡点附近. 与模型参数已知时情况相同, 当 时, 平衡点发生变化, 系统状态存在稳态误差. 但是由于平衡点的变化引起的建模误差可近似为常数, 因此状态曲−4.6−4.2−3.80.40.91.4x 1, x r 1x 2, x r 2x 1x r 1x 2x r 250100150050100150Time /s图 6 采用最优控制器时系统的状态Fig. 6 State curves of the system when usingthe optimal controller−Time /su 1u 2图 7 采用最优控制器时系统的控制输入Fig. 7 Input curves of the system when usingthe optimal controller2130自 动 化 学 报49 卷。
基于MPC的AUV轨迹跟踪控制研究
基于MPC的AUV轨迹跟踪控制研究作者：石文会金丽娜马楠楠来源：《现代信息科技》2024年第10期摘要：文章研究了自主水下航行器（AUV）的轨迹跟踪控制问题。
为了提高自主水下航行器的轨迹跟踪性能，提出一种基于Lyapunov的模型预测控制（LMPC）方法来设计控制器。
首先，基于该方法，考虑执行器饱和等实际约束，设计非线性反步跟踪控制律，在基于Lyapunov的模型预测控制问题中构造约束条件，使闭环的稳定性得到保证。
其次，传统的控制器参数设置方法一般为试凑法，根据经验代入不同参数观察AUV的跟踪效果。
对于其中的权重矩阵，采用改进的布谷鸟算法进行优化。
最后，在MATLAB上的仿真结果表明，所提出的方法显著提高了AUV的轨迹跟踪控制性能。
关键词：自主水下航行器；轨迹跟踪；模型预测控制；布谷鸟搜索算法中图分类号：TP18 文献标识码：A 文章编号：2096-4706（2024）10-0188-06Research on Trajectory Tracking Control of AUV Based on MPCSHI Wenhui， JIN Lina， MA Nannan（Liaoning Petrochemical University， Fushun 113001， China）Abstract： This paper investigates the trajectory tracking control problem of AUVs. In order to improve the trajectory tracking performance of AUV， a method of Model Predictive Control based on Lyapunov is proposed to design the controller. Firstly， based on the method， considering practical constraints such as actuator saturation， a nonlinear backstepping tracking control law is designed， and constraint conditions are constructed in the problem of Model Predictive Control based on Lyapunov to ensure the stability of the closed-loop. Secondly， the traditional method for setting controller parameters is generally the trial and error method， where different parameters are substituted based on experience to observe the tracking effect of AUV. For the weight matrix in the Model Predictive Control based on Lyapunov， an improved Cuckoo Search algorithm is used for optimization. Finally， the simulation results on MATLAB show that the proposed method significantly improves the trajectory tracking control performance of AUVs.Keywords： Autonomous Underwater Vehicle; trajectory tracking; model predictive control; Cuckoo Search algorithm0 引言自主水下航行器（AUV）是水下救援、油氣勘探的重要载体[1]。
反步法在非线性控制中的应用
反步法在非线性控制中的应用
孙玮;崔冉;伊静;王忠
【期刊名称】《山东建筑大学学报》
【年(卷),期】2007(022)003
【摘要】针对一类严参数反馈系统或经过变换可化为该种类型的非线性系统,基于反步(backstepping)递推设计方法,进行了自适应控制的设计.在此过程中,获得了对参数进行修正的规则.应用Lyapunov稳定性理论证明,该自适应控制器可保证整个非线性系统的鲁棒稳定性.和有关文献中提出的设计自适应控制器所应用的方法相比,反步法引进了虚拟控制的概念,通过适当的引入虚拟控制,使得系统误差具有期望的渐近形态,从而实现整个系统的渐近镇定.
【总页数】4页(P243-246)
【作者】孙玮;崔冉;伊静;王忠
【作者单位】山东建筑大学,计算机科学与技术学院,山东,济南,250101;山东电力工程咨询院,山东,济南,250014;山东建筑大学,计算机科学与技术学院,山东,济
南,250101;山东建筑大学,计算机科学与技术学院,山东,济南,250101
【正文语种】中文
【中图分类】TP13
【相关文献】
1.复合型非线性控制器在时变非线性系统控制中的研究及应用 [J], 何叶;王志选;刘鑫
2.反步法在三相电压型脉冲调宽逆变器控制中的应用 [J], 董锋斌;钟彦儒
3.复合非线性反馈控制方法在线性和非线性系统中的应用 [J], H Ebrahimi MOLLABASHI;A H MAZINAN;H HAMIDI
4.复合非线性反馈控制方法在线性和非线性系统中的应用 [J], H Ebrahimi MOLLABASHI;A H MAZINAN;H HAMIDI;
5.滤波反步法在船舶航向自适应控制中的应用 [J], 银少海
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基于反步法的四旋翼飞行器自适应滑动模态控制
摘 要：针对四旋翼飞行器非线性模型系统参数不确定性和外界干扰随机性的控制问题，提出一种基于反步法的自适
应滑模控制器设计方法。将四旋翼飞行器动力学模型进行简化分解为欠驱动和全驱动两个部分；对相应的不确定性进行估
计，选取适当的 Lyapunov 函数，采用反步的方法回馈递推得到自适应滑模控制律，从而提高飞行器对外界环境变化自适应能
收稿日期：2017⁃05⁃23
修回日期：2017⁃07⁃26
基金项目：国家自然科学基金资助项目（51308426）
Project Supported by National Natural Science Foundation of
China（51308426）
采用反步法取得了较好的控制效果，但在控制过程中引 入了代数环，导致其应用范围受到限制。文献[6]分别利 用反步和滑模算法求得了四旋翼的控制律，并将控制律 应用在飞行器上，效果不错，但是没有自适应机制，不能 很 好 地 适 应 复 杂 的 外 部 环 境 。 文 献 [7]运 用 Lagrange⁃ Euler 公式建立了四旋翼运动学模型，在模型的基础上 采用非线性反步滑模控制算法设计控制律，由于算法复 杂造成了较大的延时，实时性差。
文章编号：1004⁃373X（2018）04⁃0006⁃05
Adaptive sliding mode control based on backstepping method for quadrotor aircraft
CHEN Zhiyong，WANG Bin，ZHANG Liangli，HU Zhichuan
力。依据该方法在 Matlab/Simulink 环境下进行控制器设计并完成仿真验证。结果表明，基于反步法的四旋翼飞行器自适应
非仿射多智能体系统的自适应神经网络控制
神经网络及其特性、Nu
s
s
b
a
um 增益函数方法和动态面控制技巧,提出一种分布式自适应神经网络控制协议,保证跟随者
的输出能与领导者的输出同步,跟踪误差能保持在零点的小邻域内。采用新的非线性滤波器代替传统动态面控制方法
(
CDSC)的一阶线性滤波器,改善控制性能。通过一致性分析及仿真例子验证了所提控制方法的有效性。
i
v
ec
on
t
r
o
l
y
g
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p
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0 引
言
多智能体系统因其在城市交通控制、无人机及机器人
编队等系统中[1,2]的广泛应用受到了大量关注,而一致性问
题是其中的研究热点。早期的研究主要集中在低阶确定性
系统[3-7],但由于实际系统大部分为高阶不确定性系统[8,9],
故需引入神经网络或模糊系统来处理系统的不确定性[10-12]。
y= [
y1,
y2,…,
T
N
T
N
yN ] ∈ R ,y0 = [
y0,
y0,…,
y0] ∈ R )成立,那么跟随
者和领 导 者 之 间 的 所 有 跟 踪 误 差 为 合 作 半 全 局 一 致 最
终有界。
假设1[24]:有向图 G 包含一个领导者作为根节点的生
成树。另外,第i个跟随者只能获得与其相邻的智能体的
为了实现以上控制目标,引入下列定义、假设和引理:
定义1[25] 对于由式 (
3)和式 (
4)组成的多智能体
系统,给定紧集 Ωi,0,如果对任意yi(
t0)-y0(
t0)∈Ωi,0,都
存在一个正数δ 和时间 T(
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基于反步法的下三角非线性系统自适应控制律设计框架
作者：张驰宇蒋晓龙马向春
来源：《科技创新与应用》2020年第16期
摘; 要：针对一类下三角非线性系统，基于backstepping方法提出一个自适应控制律的设计框架，且在控制律设计过程中结合Lyapunov稳定性理论进行稳定性分析，保证闭环系统的稳定性。
以飞行弹头的控制器设计为例，进行自适应律设计，并通过数值仿真验证所提框架的有效性。
关键词：反步法;下三角非线性系统;自适应控制
中图分类号：TP13; ; ; ; ; 文献标志码：A; ; ; ; ;文章编号：2095-2945（2020）16-0025-03
Abstract： Aiming at the class of lower-triangular nonlinear systems， a design framework of adaptive control law based on backstepping is proposed. The stability of the closed loop is ensured by using Lyapunov Stability Theory during the design process. Taking the controller design of flying warheads as an example， the proposed design framework is verified by simulation.
Keywords： backstepping; lower-triangular nonlinear system; adaptive control
1概述
在实际的应用中，被控制的对象（如汽车、船舶和飞行器等）几乎均具有一定程度的不确定性，如控制模型的不明确、外部干扰的存在等。
若使用常规的反馈控制器，不仅无法保证良好的控制品质，甚至可能会造成系统失稳。
而自适应方法在处理不确定性问题时具有明显优势，因此自适应控制在实际生活中应用非常广泛。
Backstepping方法（反步法）是自适应理论的重要分支之一，从上世纪90年代提出至今[1，2]，已发展成为自适应控制的主流，尤其在航天航空领域，因其在飞行器控制上的成功应用，所受关注更多。
反步法的基本思想是将高阶次的系统分解为若干个不超过系统阶次的子系统，然后单独设计每个子系统的Lyapunov函数，在保证子系统收敛的基础上，设计该子系统的虚拟控制律。
在下一个子系统控制律设计的过程中，将上一个子系统的虚拟控制律作为跟踪目标，类比于上一个子系统的设计过程，获得当前子系统的虚拟控制律。
以此类推，最终可设计出整个系统的实际控制律，且在设计过程中便结合了Lyapunov理论对稳定性进行分析，保证整个闭环系统的稳定性。
本文旨在针对一大类下三角形非线性系统，提出一个通过Backstepping方法设计自适应控制器且同时保证系统稳定性的设计框架，并通过具体实例的数值仿真验证所提框架的有效性。
本文的结构安排如下，第一节叙述backstepping方法的基本思想;第二节提出基于backstepping方法的自适应控制律设计框架，并进行稳定性分析;第三节是以飞行弹头系统模型为例，使用所提框架设计自适应控制律并进行数据仿真;第四节对全文做出总结。
2 基于backstepping的自适应控制律设计框架
2.1 问题描述
3.3 数值仿真
为验证所提方案的有效性，本小节进行仿真验证。
系统参数以及仿真初始条件选择如下：
α=0.05rads，β=0.05rads，wz1=wy1=0，l1=l2=30。
仿真结果见图1至图4。
由图1、图2和图4可看出输出y在短时间内即跟踪上参考轨迹yr，仅由于初始状态的影响致使在初始时刻存在一定跟踪误差z，但很快跟踪误差便趋近于零，跟踪效果良好。
由图3可看出，当参考轨迹为正弦信号时，初始时刻输出量也并没有大幅度变化，始终比较平缓，说明控制效果良好。
4 结论
本论文主要针对一类下三角形非线性系统，提出了一个基于backstepping方法设计自适应控制律的设计框架，且在设计过程中结合Lyapunov稳定性理论对系统的稳定性进行分析，保证闭环系统内所有信号均为有界。
并以飞行弹头的简化系统模型为例，应用该框架设计自适应控制律并进行数值仿真，验证了所提框架的有效性。
参考文献：
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