苏科版八年级上册数学 轴对称解答题专题练习(解析版)
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苏科版八年级上册数学轴对称解答题专题练习(解析版)
一、八年级数学轴对称解答题压轴题(难)
1.如图,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,点E是BC延长线上的一点,且BD=DE.点G是线段BC的中点,连结AG,交BD于点F,过点D作DH⊥BC,垂足为H.
(1)求证:△DCE为等腰三角形;
(2)若∠CDE=22.5°,DC=2,求GH的长;
(3)探究线段CE,GH的数量关系并用等式表示,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(22
;(3)CE=2GH,理由见解析.
【解析】【分析】
(1)根据题意可得∠CBD=1
2
∠ABC=
1
2
∠ACB,,由BD=DE,可得∠DBC=∠E=
1 2∠ACB,根据三角形的外角性质可得∠CDE=
1
2
∠ACB=∠E,可证△DCE为等腰三角
形;
(2)根据题意可得CH=DH=1,△ABC是等腰直角三角形,由等腰三角形的性质可得BG=GC,2+1,即可求GH的值;
(3)CE=2GH,根据等腰三角形的性可得BG=GC,BH=HE,可得GH=GC﹣HC=GC﹣
(HE﹣CE)=1
2
BC﹣
1
2
BE+CE=
1
2
CE,即CE=2GH
【详解】
证明:(1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=1
2
∠ABC=
1
2
∠ACB,
∵BD=DE,
∴∠DBC=∠E=1
2
∠ACB,
∵∠ACB=∠E+∠CDE,
∴∠CDE=1
2
∠ACB=∠E,
∴CD=CE,
∴△DCE是等腰三角形
(2)
∵∠CDE=22.5°,CD=CE2,
∴∠DCH=45°,且DH⊥BC,
∴∠HDC=∠DCH=45°
∴DH=CH,
∵DH2+CH2=DC2=2,
∴DH=CH=1,
∵∠ABC=∠DCH=45°
∴△ABC是等腰直角三角形,
又∵点G是BC中点
∴AG⊥BC,AG=GC=BG,
∵BD=DE,DH⊥BC
∴BH=HE2+1
∵BH=BG+GH=CG+GH=CH+GH+GH2+1∴1+2GH2+1
∴GH=
2 2
(3)CE=2GH
理由如下:∵AB=CA,点G是BC的中点,∴BG=GC,
∵BD=DE,DH⊥BC,
∴BH=HE,
∵GH=GC﹣HC=GC﹣(HE﹣CE)=1
2
BC﹣
1
2
BE+CE=
1
2
CE,
∴CE=2GH
【点睛】
本题是三角形综合题,考查了角平分线的性质,等腰三角形的性质,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.
2.定义:如果一条线段将一个三角形分成2个小等腰三角形,我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”:如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形,我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”. 理解:
(1)如图1,在ABC ∆中,AB AC =,点D 在AC 边上,且AD BD BC ==,求A ∠的大小;
(2)在图1中过点C 作一条线段CE ,使BD ,CE 是ABC ∆的“好好线”; 在图2中画出顶角为45的等腰三角形的“好好线”,并标注每个等腰三角形顶角的度数(画出一种即可); 应用:
(3)在ABC ∆中,27B ∠=,AD 和DE 是ABC ∆的“好好线”,点D 在BC 边上,点
E 在AC 边上,且AD BD =,DE CE =,请求出C ∠的度数.
【答案】(1)36°;(2)见详解;(3)18°或42° 【解析】 【分析】
(1)利用等边对等角得到三对角相等,设∠A=∠ABD=x ,表示出∠BDC 与∠C ,列出关于x 的方程,求出方程的解得到x 的值,即可确定出∠A 的度数.
(2)根据(1)的解题过程作出△ABC 的“好好线”;45°自然想到等腰直角三角形,过底角一顶点作对边的高,发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形.直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形;第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角,则另一底角被分为45°和22.5°,再以22.5°分别作为等腰三角形的底角或顶角,易得其中作为底角时所得的三个三角形恰都为等腰三角形;
(3)用量角器,直尺标准作27°角,而后确定一边为BA ,一边为BC ,根据题意可以先固定BA 的长,而后可确定D 点,再分别考虑AD 为等腰三角形的腰或者底边,兼顾A 、E 、C 在同一直线上,易得2种三角形ABC ;根据图形易得∠C 的值; 【详解】
解:(1)∵AB=AC , ∴∠ABC=∠C , ∵BD=BC=AD ,
∴∠A=∠ABD ,∠C=∠BDC ,
设∠A=∠ABD=x ,则∠BDC=2x ,∠C=°180-2
x
可得°180-22
x
x =
∴x=36°
则∠A=36°; (2)如图所示:
(3)如图所示:
①当AD=AE 时, ∵2x+x=27°+27°, ∴x=18°; ②当AD=DE 时, ∵27°+27°+2x+x=180°, ∴x=42°;
综上所述,∠C 为18°或42°的角. 【点睛】
本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
3.如图,在ABC ∆中,CE 为三角形的角平分线,AD CE ⊥于点F 交BC 于点D (1)若9628BAC B ︒︒∠=∠=,,直接写出BAD ∠= 度 (2)若2ACB B ∠=∠, ①求证:2AB CF =
②若
,CF a EF b ==,直接写出BD
CD
= (用含
,a b 的式子表示)