【衡水金卷】2018年衡水中学全国卷 I A 信息卷(五) 高三理数试题
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5 5 ⎪ ⎩ 2 5 5 2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题
理数(五)
第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若集合 M = {x | x 2
- 2x < 0}, N = {y | y = 2x
+1},则 M ⋂ N = ( )
A . (0,2)
B . (1,2)
C . (0,1)
D .∅
2. 已知i 为虚数单位,复数 z =
i (1+ ai ) 的虚部为 2 ,则实数 a = ( ) 1+ i
A .1
B . 2
C . 3
D . 4
3. 函数 y = cos 2x + 2 s in x 的最大值为( )
A .
1 B .1
C .
3 D . 2
2
2
4. 如图,分别以 A , C 为圆心,正方形 ABCD 的边长为半径圆弧,交成图中阴影部分,现向正方形内投入1
个质点,则该点落在阴影部分的概率为( )
1 A .
B .
2
π- 2 2
1 C.
4
y 2 - x 2 =
π- 2
D .
4
> >
5. 已知O 为坐标原点,分别在双曲线 a
2 4
1(a b
2 0, b 0) 第一象限和第二象限的渐近线上取点 M , N ,
若∠MON 的正切值为 3
,则双曲线离心率为( )
5 5 A .
B .
C.
D .
5
2
4
3
⎧x + 2 y ≥ 0 6. 若点(x , y ) 满足⎨ y ≤ 2x
⎪x + y ≤ 3
,则 x 2 + ( y - 2)2
的最小值为( )
4 1 A .
B .
C.
D .
5
5
5
5
3
3
)
7. 按下面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3] ,则输出的 x 的取值范围为( )
A .[-3,4]
B .[-1,3] C. [-3,9] D .[3,4]
8. 将函数 f (x ) = sin x cos(x +
π
的图象向右平移π
个单位,得到函数 g (x ) 的图象,则 g (x ) 图象的一个 3
3
对称中心是( )
π A. ( 6
,0)
π B. ( 3
,0)
π
C. ( ,- )
6 4
π
D . ( ,-
) 3
4
9. (x +1)5 (C 1 x + 2C 2 x 2
+ +10C 10 x 10 ) 展开式中, x 7
项的系数是( )
10
10
10
A . 50400
B .15300 C. 30030 D .150015
10. 如图是一三棱锥的三视图,则此三棱锥内切球的体积为( )
25π A .
4
25π B .
16
1125π C.
4
1125π D .
16
11. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 内的奇函数,且满足 f (2 - x ) =
f (1+ 1) + f (2 + 1 ) + + f (8 + 1
) = ( )
f (x ) ,若在区间(0,1] 上, f (x ) = 1
,则 x
1 2 8 31 31 35 35
A.
B .
C.
D .
6
12
6
12
→
→
12. 过抛物线 y
2
= 2 px ( p > 0) 的焦点 F 且斜率为 k (k > 0) 的直线l 交抛物线于点 A , B ,若 AF = λFB ,且
1
n n
100 λ∈(1
, 3 1) ) ,则 k 的取值范围是( )
2
A . (1, 3)
B. ( 3,2)
C. (2,2 2) D . ( 3,2 2)
第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
→ → →
13.
ABCD 中,M 为线段 DC 的中点,AM 交 BD 于点Q ,若 AQ = λAD + μAC ,则λ+ μ= .
14. 命题 p :若 x > 0 ,则 x > a ;命题 q :若 m ≤ a - 2 ,则 m < sin x (x ∈ R ) 恒成立.若 p 的逆命题, q 的
逆否命题都是真命题,则实数a 的取值范围是
.
15. 已知函数 f (x ) = a + x - ln x ,若 f (x ) 与 f '(x )( f '(x ) 为 f (x ) 的导函数)的图象有两个公共点,则实
数a 的取值范围是
.
π 16. 已知函数 f (x ) = sin ωx cos(ωx +
ω> 0) 在区间(0, π
) 内单调,且在区间(π,2π) 内恰有三条对称
)(
3 18
轴,则ω的取值范围是
.
三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 已知数列{a n }满足 a 1 = 2, a n a n -1 + a n - 2a n -1 = 0(n ≥ 2) .
(1)求证:{1-
a n
} 是等比数列,且 a n < 2( 2n -1 - 1 2n +1 -1) +1;
(2)设 S 为数列{a }的前 n 项和,若 m ∈ N *
,且 m < S < m +1,求
m 的值.
18. 四棱柱 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中,底面 ABCD 为正方形, AA 1 ⊥ 平面 ABCD , M 为棱 DD 1 的中点, N 为棱 AD 的中点, Q 为棱 BB 1 的中点.
(1) 证明:平面 MNQ // 平面C 1BD ;
→ →
(2) 若 AA 1 = 2 A B ,棱 A 1B 1 上有一点 P ,且 A 1P = λA 1B 1 (λ∈(0,1)) ,使得二面角 P - MN - Q 的余弦值
为
13 21 ,求λ的值.
63
1