一道自主招生试题多种解题思路的思考
清华大学自主招生数学试题解析
清华大学自主招生数学试题解析一、引言近年来，自主招生考试逐渐成为高等教育选拔的重要方式之一。
作为中国顶尖的学府之一，清华大学在自主招生中具有极高的影响力和标准制定地位。
数学作为基础学科，是清华大学自主招生考试的重要科目。
本文将对清华大学自主招生数学试题进行解析，探讨其考察内容、特点及应对策略。
二、考察内容1、基础知识：清华大学自主招生数学试题中，基础知识考察占据较大比例。
包括但不限于高中数学中的函数、数列、三角函数、概率与统计等。
2、知识运用：除了基础知识外，试题还注重考察考生对数学知识的运用能力。
例如，通过实际应用题或几何题的形式，要求考生运用数学知识解决实际问题。
3、思维能力：清华大学自主招生数学试题注重考察考生的思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等能力。
这类题目通常需要考生灵活运用数学知识，通过猜想、归纳、推理等方式寻找解题思路。
4、创新精神：自主招生数学试题还注重考察考生的创新精神和实践能力。
这类题目通常以开放式问题的形式出现，要求考生从不同角度思考问题，寻找独特的解题方法。
三、特点分析1、覆盖面广：清华大学自主招生数学试题涉及的知识面较广，要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识储备。
2、难度适中：试题难度适中，既考察了考生的基础知识，又对其思维能力、创新能力进行了充分挑战。
3、突出重点：试题突出对重点知识的考察，如函数与方程、数列与不等式、平面几何等，要求考生对重点知识有深入理解和掌握。
4、强调应用：试题强调对数学知识的应用能力，通过设置实际应用题等方式，引导考生数学在实际生活中的应用价值。
四、应对策略1、巩固基础知识：针对清华大学自主招生数学试题中基础知识的考察，考生应注重巩固高中阶段的基础知识，尤其是函数、数列、三角函数等重点内容。
2、提高运用能力：在掌握基础知识的前提下，考生应注重提高对数学知识的运用能力。
通过练习实际应用题、几何题等类型，提高解决实际问题的能力。
3、培养思维能力：考生应在平时的学习中注重培养逻辑推理、归纳分类、化归等思维能力。
无中生有,自主妙解——对一道2019年北大自主招生试题的思考
Җ㊀吉林㊀付庆龙㊀张㊀丽㊀㊀在破解一些数学问题时,经常采用 无中生有 法,借助题目条件巧妙 生出 一些相关的数学模型,利用相关数学模型,使得原问题得以更为有效㊁快捷㊁方便地解决,从而拓展解题思维,提升解题效率．１㊀问题呈现题目㊀(２０１９年北京大学自主招生数学试题)在正方形A B C D 中,K 为әB C D 内一点,满足øK D B ＝øK B C ＝１０ʎ,则øK A D ＝(㊀㊀)．A㊀４５ʎ;㊀㊀B ㊀６０ʎ;C ㊀７０ʎ;㊀㊀D㊀以上错误本题以平面几何中的正方形与三角形为问题背景,根据已知角的度数关系来确定其他角的度数,提问方式简单．但看似一道简单的平面几何问题,实质上还涉及解三角形的相关知识．２㊀解法探究２ １㊀常规思维㊀图１如图１所示,设正方形A B C D 的边长为a ,则知对角线B D ＝２a ．在әK B D 中,由于øK B C ＝１０ʎ,øD B C ＝４５ʎ,可得øK B D ＝４５ʎ－１０ʎ＝３５ʎ,又øK D B ＝１０ʎ,可得øD K B ＝１８０ʎ－３５ʎ－１０ʎ＝１３５ʎ．根据正弦定理,可得B K s i n１０ʎ＝２as i n１３５ʎ,解得B K ＝２a s i n１０ʎ,在әK A B 中,可得øK B A ＝４５ʎ＋３５ʎ＝８０ʎ,根据余弦定理,可得A K ２＝a ２＋４a ２s i n ２１０ʎ－２ˑa ˑ２a s i n１０ʎˑc o s ８０ʎ＝a ２＋４a ２s i n ２１０ʎ－４a ２s i n ２１０ʎ＝a ２,所以A K ＝a ,而正方形A B C D 的边长为a ,则知әK A D 是等腰三角形．又øK D A ＝４５ʎ＋１０ʎ＝５５ʎ,所以øK A D ＝１８０ʎ－２øK D A ＝７０ʎ,故选C ．解题时结合正方形的性质,利用题目条件,通过正弦定理与余弦定理的转化与应用,再借助等腰三角形的性质来处理．本题的实质是借助平面几何知识来考查解三角形的相关知识,把二者加以合理㊁有机组合,从而得以巧妙转化与应用．２ ２㊀无中生圆 如图２所示,根据弦切线定理及其推论,同弧上的弦切角与圆周角相等,结合题目条件øK D B ＝øK B C ＝１０ʎ,可知点A 为әK B D 的外接圆的圆心,从而A D ＝A K ．又øK D A ＝４５ʎ＋１０ʎ＝５５ʎ,所以øK,故选C ．图２解题时巧妙利用题目条件,并根据弦切线定理及其推论(同弧上的弦切角与圆周角相等)构造 圆 ,把问题中的平面几何问题放在 圆 的背景中,借助圆的性质,通过平面几何的相关知识来巧妙转化与处理．无中生 圆 ,破解起来更为简单快捷,也为问题的进一步拓展与变式提供方法．３㊀变式拓展变式㊀在正方形A B C D 中,K 为әB C D 内一点,满足øK D B ＝øK B C ＝α,其中０ʎ＜α＜４５ʎ,则øK A D ＝(㊀㊀)．A㊀４５ʎ;㊀㊀㊀B ㊀９０ʎ－α;C ㊀９０ʎ－２α;㊀D㊀以上错误根据弦切线定理及其推论,同弧上的弦切角与圆周角相等,结合题目条件øK D B ＝øK B C ＝α,可知点A 为әK B D 的外接圆的圆心,从而A D ＝A K ．又øK D A ＝４５ʎ＋α,所以øK A D ＝１８０ʎ－２øK D A ＝９０ʎ－２α,故选C ．根据变式的结论,可知当α＝１０ʎ时,有øK A D ＝９０ʎ－２α＝７０ʎ,即为原自主招生题的答案．两者是特殊与一般的关系．要想真正做到 无中生有 ,必须做到融会贯通㊁ 胸有成竹 ,充分熟练掌握相关知识以及知识的联系与区别,多练习,多揣摩,就能 无中生有,巧妙转化,从而提升数学素养,提高解题能力．(作者单位:吉林省吉林市亚桥高级中学)０１。
关于一道清华自主招生试题想法
关于一道清华自主招生试题想法摘要：自主招生考试数学题目一般比较新颖，综合要求较高，当然，这也切合高中数学课程改革的重点：发展学生的思维能力！笔者根据多年教学经验，选取2009年清华大学自主招生考试中的一道不等式试题，试图从中找到在高考、自主招生、竞赛教学中的结合点。
标签：自主招生，伯努利不等式、函数凹凸性，数学归纳法【原题】设，且，求证：对任意正整数【解题过程】分析一：根据对称性，当时，条件和结论同时取等号，故解决问题可以同时从出发，利用参数思想进行放缩求证。
解法一：令，则反思一：数学无时无刻不向人们展示她的美，对称性则是其中之一，从中间突破构造对称关系实质上也起到了消元的目的。
分析二：从条件中的一次，到结论中的次的过渡有些困难，可以利用结论左边的次来构造解法二：由伯努利不等式：故反思二：伯努利不等式是一个由一次到次放缩转化的一个很好的工具，题目中先构造出，然后通过伯努利不等式进行调整。
分析三：结论也可以视为，这样从结构上更为和谐，此时的左边就可以当做了，右边向着去证就可以了。
解法三：由函数的凹凸性：在上是下凸函数，即故有，所以有分析四：利用权方和不等式将与结合在一起。
解法四：设，则当实数时，或时，有不等式中的等号当且仅当时取得由权方和不等式分析五：含有关的命题在教科书上大部分可以用数学归纳法进行证明。
解法五：当时，，故不等式成立当时假设不等式成立，即不妨设，则且，可设所以从而可得即，的时候也符合综上所述，【解后反思】综合问题解决主要体现中学数学知识的灵活运用，我在平时的教学中有意灌输学生在课外多涉及这方面的知识，目的是健全学生的知识体系，使学生获得思维的整理发展，通过这种结论的使用也能提高学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
当然，回到解决问题的一般套路上，在课堂上学生获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴含的数学思想方法，以及它们在后续学习中的作用，通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数學发现和创造的历程。
从一道自主招生试题的多种解法谈学生科学思维品质的培养
2021年5月1日理科考试研究•综合版• 41 •的结果是一致的.对于加速度随时间均勻减小、加速度随位移均匀 减小等变加速直线运动的问题，由于需要用到微积 分,高中阶段很难严格定量求解.因此,要充分利用图 像面积的物理意义，巧用面积法可以定量求解此类过 程中的位移等物理量.然而很多物理量是面积法求不 出来的，例如加速度随时间均匀减小求位移、加速度 随位移减小求时间等问题，为了避免复杂的微积分运 算，需要采用近似方法求解，那么，取初、末速度的算 术平均值代替平均速度的求法便是常用的方法.然而，这种方法显然是有误差的，有的时候误差 太大就不适用，但是从解决实际问题的角度出发，不 断优化近似求解的方法是非常有必要的，也能充分体 现物理学科的求真务实的学科魅力.在一些无法严格求解的物理问题中，往往考虑的因素越多，问题越复 杂，越找不到严格解，那么就需要回归近似处理的思想求近似解.培养学生运用近似方法处理问题的策略，实际上也是培养学生忽略次要因素、抓住主要矛盾解决问题的物理思想，是培养学生物理素养的一种途径.参考文献：[1] 段绍文.运用图像转化法巧解变加速直线运动问题[J].中学教学参考,2018(17) :53.[2] 许文.几种运动图象的理解与应用[J].理科考试研究，2018,25(11) :41 -44.[3] 王鹏，张季谦.变加速直线运动位移的多法求解[J].中学物理,2017,35(19) :63 - 64.(收稿日期：2021 -01 -21)从一道负主招生武题的多种解法後学生科学思维品质的蟮泰徐平川黎国胜(1.西华师范大学物理与空间学院四川南充637002; 2.成都双流中学四川成都610299)摘要：本文对卓越联盟2012年的一道自主招生考试试题给出了四种繁简不同的解法，并对四种解法作了评析, 最后从核心素养的视角谈了优秀学生思维品质的培养.关键词：自主招生；思维品质；核心素养近年来，为了选拔具有学科特长、创新潜质的优 秀学生到高校学习，国家允许名牌高校开展自主招生 考试.自主招生考试也越来越受到髙中学校特别是重 点高中师生的青睐，纵观多年来各大高校的自主招生 试题，可以发现这些试题不仅重视对学生物理知识功 底的考查，更重视学生科学思维品质的考查.科学思 维作为优秀学生核心素养的重要组成部分，是学生是 否具有发展潜能的重要指标之一.2017年国家公布的 中国学生核心素养发展报告也将学生的理性思维作 为核心素养的重要组成部分.下面以2012年卓越联 盟自主招生考试的一道试题为例，给出第二问的四种 解法，并对这四种解法进行简单的评析，最后谈谈对优生科学思维品质的培养.1试题及四种解法试题一质量为m= 40k g的孩童，站在质量为M = 20k g的长木板的一端,孩童与木板在水平光滑冰面 上以t;。
一道自主招生问题的解法探讨
— ７２ —
同样可得
Ｎｓｉｎθ＝Ｍａ２
Ｎ
Ｍｍｇｃｏｓθ ＝ Ｍ ＋ｓｉｎ２θ
这种解法里关键关键是如何求它们之间的相对
加速度，恰恰是这种方 法，有 些 学 生 非 常 不 熟 悉，甚
至内心非常排斥，有 没 有 类 似 高 考 范 围 内 熟 悉 的 方
法呢？
有，其实只要引入惯性力，就能转化为熟悉的问题． 对 斜 面 ，水 平 方 向
图４ 练习１题图
【练习 ２】如 图 ５ 所 示，为 斜 面 重 合 的 两 楔 块 ＡＢＣ 及ＡＤＣ，质量均为 Ｍ ，ＡＤ，ＢＣ 两面呈水平，Ｅ 为质量等于 ｍ 的小滑块，楔块的倾角为α，各面均光 滑 ，系 统 放 在 水 平 平 台 角 上 从 静 止 开 始 释 放 ，求 两 斜 面未分离前Ｅ 的加速度．
质量为 ｍ 的物块，如图 １ 所 示．物 块 在 下 滑 过 程 中，
对 斜 面 压 力 的 大 小 为 （ ）
Ａ． Ｍｍｇｃｏｓθ Ｍ ＋ｍｓｉｎθｃｏｓθ
Ｂ．Ｍ
Ｍｍｇｃｏｓθ －ｍｓｉｎθｃｏｓθ
Ｃ．ＭＭｍ＋ｇｓｃｉｏｎｓ２θθ
Ｄ．Ｍｍｇｃｏｓθ Ｍ －ｍｓｉｎθ
图１ 题目题图
解析：先看经典解 法，Ｍ 的 加 速 度 大 小 为ａ２，ｍ 的加速度大小为ａ１ 与斜面法线的夹角为α，Ｍ 与 ｍ 各 自 的 受 力 分 析 ，如 图 ２ 所 示 ．
中，如图１所示，已知绳ａｃ 和ｂｃ 与竖直方向的夹角 分别为３０°和６０°，则绳ａｃ 和绳ｂｃ 中的拉力分别为 （ ）
Ａ．槡２３ｍｇ １２ｍｇ Ｂ．１２ｍｇ 槡３３ｍｇ
Ｃ．槡４３ｍｇ １２ｍｇ Ｄ．１２ｍｇ 槡４３ｍｇ
解析：作用在ｃ 点上的３个力平衡，通过构建矢 量 三 角 形 ，如 图 ２ 所 示 ．
多种视角 多种理解 多种解法——对一道自招试题的解题思路分析
38上海中学数学・2019年第10期多种视角多种理解多种解法——对一道自招试题的解题思路分析200241华东师范大学第二附属中学紫竹校区柯新立摘要：笔者从代数式视角、方程视角、函数视角、几何视角、不等式视角岀发，对一道高中自主招生试题的解题思路进行详细分析，并给出了解答.关键词：视角；理解；思路“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，数学试题需要从多角度思考，多方位理解，解题思路才能开阔，游刃有余.题目已知实数满足.r+>+z=l,求^2+y+z2的最小值.本题改编自2018年上海市某重点高中自主招生试卷中的一道题.这道题并不难，但关联的基本知识、基本方法多，思路宽，能从不同角度考查学生运用基本知识、基本方法的能力.题虽易但味隽永，值得品味•笔者从多个角度对这道试题的解题思路进行分析.一、代数式视角首先，容易想到与本题关联的一个乘法公式：(:r+>+z)2=.r2+y+z2+2^+2j/z+2z.r，希望利用实数的平方非负求解，但g+w+zr怎么办？它的范围能确定吗？如果能处理Jcy+yz-\-zx且保留t2+>2+z2,解决问题就有希望.必须跳出这个公式的圈子思考，从项和次数来看，可考虑Q±y)2 =.r'+b士2.ry究竟用哪一个呢？若用完全平方和公式，则有(,r+>+Z)2=^+ y2+z2-\-2.ry~\-2yz~\~2zjc=.r2+>2+[(z+y)' -(.r2+y)]+[(>+z)2-(y+z2)]+C(z+.r)2-(z2=(.r+>)2+(>+z)2+(z+j~)2—(.r2+y+z2),于是.r2+y2+z2=(,r+>)2+ (>+z)2+(z+.r)2—(.r+>+z)2^—(.r+j»+z)2 =一1,—1是最小值吗？若对任意满足・r+y+z=l的实数使得jc2+y2+z2^M o，且存在.t0,y0,z0满足.r0+y0+z0 =l,.r o2+>o2+zo2=M o,则称M。
一道自主招生试题的解法探究
论荟萃]www 2021年第3期中学数学教学参考（下旬>■且sin■时等号成立，即当a=夸，6=v^"，c=亨时等号成立。
在解题过程中，如果出现，W+V等形式，i与^可以用正切函数或余切函数代换；含有V/IZT?的表达式中的x可以用正弦函数或余弦函数代换；含有的表达式中的X可以用正割函数或余割函数代换。
在此基础上通过三角函数相关计算法则来证明不等式。
2.3解析几何问题例3已知P点坐标为(：r，j)且为椭圆義+盖= 1上的一点，试求解A=5x—的最值。
分析：本题采用解析几何的常用方法求解，需要在椭圆上确定两个点，使得直线y=—|的纵截距取到最大值和最小值。
由于纵截距表示为_|，因此纵截距最大时4取得最小值；纵截距最小时4取 得最大值。
除了这种常规的解析几何思路，还可以采 用三角代换的方法进行求解，可以有效避免上述易错 点。
由于椭圆方程的形式类似于Sin2a+c〇S2a=l，因此可以对椭圆表达式进行整理。
解：令：c=4cos a，：y=5sin a，々= 5 X4cos a—4 X 一道自主招生试题的苏代辉（湖北省襄阳市第四中学)摘要：以一道自主招生试题为栽体，从三个方面详细剖析了联想解题法在解题中的应用，旨在为一线师生提供参考。
关键词：北大自主招生试题；不等式；一题多解；背景探究文章编号=1002-2171 (2021)3-0077.-02例1(2019年北大自主招生试题）若a，66R+，求满足不等式\!x z—\f2a x-\-a2 +\!x2~4?.bx+b2^的:c的取值范围。
方法1:根号求和似椭圆，平方两次探本质。
题目的左侧是两个对称的根式求和，从形式上容 易联想到橢圆标准方程的化简过程。
于是采取平方、移项、再平方的方法。
\!x2—\f2a x-\~az+\!x1—\f2bx~\~b1《\/a2~\~b2肖 x2一42ax+a2+x2—\f2 bx~\~b2-\-5sin a=20 W cos(a+子）。
一道自主招生试题的解法探究
（） ３
于（ ） 一９ 是： （ （ １＝ ： ‘ ） ） 一 一
・
４ ２・
中学教研 （ 学） 数
一
道 自 主 招 生 试 题 的 解 法 探 究
●周 志 国 （ 盱眙ｑ学 江苏淮安 ２１ｏ ） － １７ｏ
方法 ２ 待定 系数 法．
题 目 已知数列 ｛ｔ｝ ｛ 满足 。 ＝ 一 Ｃ ，ｂ｝ 。一 ２ 且 ｂ ＝ ａ ６ 又 ｎ ＝ ， ＝ ， 求 数 列 ６ ， ６ ＋ ６， ｌ ２ ｂ ４ 试 ｛ ，ｂ ｝ 。 ｝ ｛ 的通项公 式．
故 ｂ＝ 一 一ｎ＝８ ３ 一 ・ ÷（ ０ ｔ ２・ ３ ２ ． ＋２ ） ”
点评 方法 ｌ 的关键是消元 ， 要求学生从方程
故 ｎ ＝ ”。 ４・ ， ＝ ８・ 一 ２ ． ２ 一１ ３ ｂ ２ ３ ３・
角度认识等式 ， 转化成某一数列连续 ３ 项的递推关
２ 顺 水 推舟 ， 层层 深入．
故 特征值 Ａ ２Ａ ３ 对应 的特 征 向量分 别 为 ＝ ， ＝ ，
已知 多 个数 列杂 糅 的递 推关 系式 ， 数列 通项 求 公式 ， 决这 类 问题 的关键 是能 否准 确把 握递 推关 解
㈧ 一
设 ＝ｍ １ ｒ ２ｍ， ＋ ｔ ， ｎ∈Ｒ， ｔ Ｔ 可得 ｍ ＝ ， ８ ｎ＝一１ ， ４
解 由条 件 。＋＝ 一 一 ６ ， ｎ ２ 得
由式 （ ） 式 （ ） １ ， ２ 得
０ ＝２ 。 １ ・３ ４
，
ｂ ＝｝ 一 一 ， — （ ０＋ ０）
从而 ｂ＋＝ห้องสมุดไป่ตู้一 ２ 口＋） ÷（ ０＋一 】．
ｂ ＝２ ・３ ｇ
一３ ・２ ，
自主招生常见五种试题类型与解析
1.自我发展问题这类问题以学生本人为圆心，以学生的个人成长经历为半径，一般在暖场环节提出，有利于缓解学生紧张情绪，营造良好的谈话氛围。
从历年情况看，不少问题围绕学生入学申请材料中的特色内容展开。
【现场回放】○学生A在材料中提及自己曾就环保问题写过一份调查报告，并有一件相关小发明。
几乎每位教授都以此为切入点提出问题，且并不局限于如何完成这个项目，还涉及完成项目的过程对其个人学习和成长的影响等。
○学生B在材料中提及自己担任学校模拟联合国活动人权委员会主席。
但被问及对人权的理解时，这名学生却答不出个所以然。
○学生C在面试前恶补大学的历史，结果却被问及所在中学校名的来历，该生只能报以苦笑【复习提示】学生可自己或请同学、老师站在读者的立场，按照文本精读的方法，对个人陈述，特别是其中涉及兴趣、特长、所获奖项、特别经历（如创办社团、策划活动、参加大赛、出国交流等）的内容字斟句酌，列出“可能提出的问题”清单，保证自己在个人陈述中浓缩的任何内容，都可以随时应教授要求展开精彩、丰厚的陈述。
对于材料中的定性评价，如“创造力强”、“团队精神强”等，要能举例印证。
【问题链接】○请用一分钟作自我介绍（中英双语）。
○说说你的优缺点。
○与其他同学相比，你的优势在哪里？请说出三个让我校录取你的原因。
○说说你最喜欢的一位中学老师。
○说说高中阶段最让你感动和最让你气愤的事。
○你的人生规划是什么？你的终极目标是什么？○你平时看哪些报刊杂志？你最近在看哪些书？对你影响最大的一本书是什么？○你在高中阶段“小奖不断，大奖没有”，对此怎么看？2. 学校、专业相关问题一般来说，这类问题包括：你选择该高校、该专业的理由及认同感，即是否“我选我爱”；你读该专业有何优势，你对该专业是否感兴趣、了解多少，你在与之相关的中学基础学科的学习是否扎实等，即是否“我选我适”。
【现场回放】○学生A被问及报考某高校的理由，答曰“被贵校良好的学风感召”，教授跟进问该校校训，答曰“不知道”。
初中数学自主招生解题技巧
初中数学自主招生考试通常要求学生具备较高的数学素养和思维能力。
以下是一些解题技巧，供参考：
多做真题。
自主招生考试重视考查学生的基础知识和解题能力，而真题是最好的检验方式。
多做真题可以帮助学生熟悉考试题型和难度，提高应对能力。
掌握基本概念和定理。
数学是一个基础学科，很多问题都离不开基本概念和定理。
掌握基本概念和定理，能够快速理解题目，准确把握解题思路。
熟悉常用公式和方法。
自主招生考试中常常会涉及到一些常用公式和方法，例如平方差公式、因式分解、勾股定理等，学生应该熟练掌握这些公式和方法，能够灵活应用。
注意细节。
在做题的过程中，细节很重要。
要仔细阅读题目，注意计算过程中的符号、单位等细节问题，避免因为细节问题导致失分。
提高解题能力。
解题能力是自主招生考试的关键。
学生应该注重思维训练，多做一些拓展性、创新性的数学题目，提高解题能力和应对能力。
总之，数学自主招生考试需要学生全面掌握数学知识，熟练运用数学方法，提高解题能力和应对能力。
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ｃ０ｓ ＝ —ｌ Ｘ ｓｎ
—
【 解析】 思路一： 若存在这样的 使得 ｓ ， ， ｉｚ ｎ
３ ３ —ｅ
数 学教 学
２１ 年第 ３ ０１ 期
一
道 自主 招生试 题 多种 解题 思路 的思考
２ １ 江苏省无锡市江南大学理学院 谢广喜 １２ ４２
【 试题】（０ ０ ２ １ 年北京大 学 自主招生考试数
三二 一 ＝
，
学卷４是存 ∈，， ｓ， 试第 ） 在 （）得 题否 。 使ｉ 三 ｎ
ｃｔ ｏ 等 差数 列 ． 思路一、二与思路
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去ｃ ｇ＋ ａａ ． ａｓ６ｇ ｒｎ ｒｎ ｃ ｉ４ ｔ４ ７
三 的结 果 截 然 不 同， 底 哪 种解 法 是 对 的 呢？错 到
误 的 解法 又错 在 哪 里呢 ？
由 ａｓ ＋ ａａ ∈ 于 ＝ ｒｉ ｃ ｒｎ ｎ ｃ等 ｔ
则 ｔ ｓｎＸＣ Ｓ ＝ ＝ ｉ Ｏ ， ｔ —２ ～１＝ ０ 得 即 ２ ｔ ，
角目 ｔｎ ： ４ ． ａ
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ｓ （ ） ｉ２ ｎ 一 ＝
ｎ ，
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ｔ ｌ ／， ＝ 士、２ 而这两个值均 不在 １＜ｔ 、２ ／ ≤ ， 中， ／ 故 不 存 在 ０＜ ｚ ＜ ７， 得 ｓｎＸ ＣＳ ， ａ ， ｌ 使 ｉ ， Ｏ ｔｎ ｚ
Ｃ Ｓ ， ａ ， ｏ 为 等 差数 列 ． Ｏ Ｘ ｔｎ ｃｔ
且∈，． 存 （ ） （ ） 以在∈，， ０ 所 ０ 吾
使得 ｓ Ｘ ＣＳ ｔｎ ｃｔ ｉ ， Ｏ ， ａ ，ｏ 为等差数列． ｎ
思 路 三 ： 假 没 存 在 符 合 题 意 的 角 使 得 ｓ Ｘ ＣＳ ，ａ Ｘ ｃｔ 为等差数列， ｉ ，Ｏ Ｘ ｔｎ ，ｏ Ｘ ｎ 则有 ｓ ｉ ＋ ｎ
＿
，
Ｃｏ Ｓ
显 然 ｓ — ＣＳ ≠ ０ ｉ ｎ Ｏ
Ｓｌ ｎ
ＣＳ Ｏ ｚ＝３ Ｏ 一２ ｉ Ｘ 两式相乘得 （ＣＳ ＣＳ ｎ ， ｓ ２ Ｏ Ｘ—
（则 由 意 ＜ ＜薹 只 Ｘ ， 否 ， 题 ０ ，有 ＝ 而
此 时容 易验证 ｓ ， Ｏ ， ａ Ｘ ｃｔ ｉ ＣＳ ｔｎ ， ｏ Ｘ不为等 ｎ 差 数列） 等式两边 同除 以ｓ —ＣＳ 得 １＝ ， ｉ ｎ ＯＸ
，
ｔｎ 一７ ａ ＋５＝ ０ 解 得 ｔ ｎｚ＝ ａ ｔｎ ， ａ
７土 、２ ／９
因此 思路一、思路二 的计算结果相 同， 但却是错
误的， 它并 不 满足 原 问题 的一 个必 要条 件 ＣＳ — Ｏ ｓｎＸ＝ ｃ ｔ ｉ ｏ Ｘ～ｔｎ ．那 么 问题 出 在 哪里 呢？原 ａＸ
ＣＳ ，ａ ，ｏ 为 等 差数 列 ， Ｏ Ｘ ｔｎＸ ｃｔ 则应 有
ｆ Ｓ ＝ｓ ＋ ａｘ Ｃ ｉｘ ｔ ２ＯＸ ｎ ｎ，
【 ｔｎ ２ａ ＝ＣＳ ＋ｃｔ ， ＯＸ ｏｚ
于是 有 ｔｎＸ＝ ２ＣＳ ａ ｚ—ｓ ，ｏ Ｘ＝ ２ ａ — Ｏ ｉ ｃｔ ｎＸ ｔｎ
ＣＯＳ Ｘ
ｔｎ ｃ ｔ 为 等 羞 数 歹 （ 筒 法 见 爹 考 又 瞅 【Ｊ． ａ ， ｏ Ｕ此 竿 １Ｊ
鼠 路 一 ：同 恩 潞 一 可 得 ４ｃ ｓ －７ｓｎ Ｃ Ｓ ０ ２ｘ ｉ Ｏ
： 一
以上三种解法 的基本思路都是： 首先假设存
（）以在∈，＇ ｓ，ｘ 。 ，存 （） ｉｃ， ， 所 。 ｛ ｎｏ 吾 ７￣ ｘｓ
２ １ 年第 ３ ０１ 期
数 学教 学
。ｌ ３
圆锥 曲线 中的 一个 定值 性 质
２１ １ 华东师范大学附属枫泾艺术中学 干志华 ００ ５
文 ［ 介绍了圆锥曲线的一 个统一定值性质， １ ］
其椭 圆情 形 如 下： 性 质 ｌ 设 Ｂ是 椭 圆 ２＋ ｘ
性 质３ 给定椭 圆Ｅ ：ｒｊ ＋ ０ ＝１ ｎ＞ｂ＞ （ ０ ， ｍ，）＂ ≠ ０ｍ ≠ 士０ 是 轴上的一定 ） Ｆ（ ０ （ ） 点 点 Ｆ任 意 引一 条直 线交 于两 点 、Ｊ， 过 Ｅ ； 是 Ｅ上 异 于 、Ｂ 的任 一 点． 线 ＰＡ、ＰＢ分 别 直
但 ∈，吨…一ｚｏ 当 ［ ）ｃ ｓ≤ｔ ｉ ， ｎ …
ＣＳ ＞ ０ Ｏ Ｘ ，故 Ｃ Ｓ — ｓ ： ｔｎ — Ｃ Ｓ Ｏ ｉ ｎ ａ Ｏ Ｘ不
故 应
ｎ ＝
铖
叭 …
＝
因在于 由问题列出的两个等式变化到 （） 式是一 个不等价的变换过程， 后者的 白变量取值范 围变 大 了， 句话说， 木式 只是原问题成立的必要不 换 （）
１ 即 ｓｎ０ 一 ７ｓｎＸＣ Ｓ ＋ ５Ｃ Ｓ ｉ ｉ Ｏ Ｏ ２
＝
在符合题意的角， 然后在基本概念 （ 等差数列、 三 角 函数 等） 背景 下 经 过 一 系 列 化 简 得 出结 的
论． 笔者认为这样 的解题 思路都没有问题． 由于
０ 则 ，
２
ｓ ＋ａａ ＝ｒ ｉ ＿ｃ 等 ａ ｎ １ｔ ｎ ｃ ｒ