高三理科数学一模考试卷及答案
高三理科数学一模考试卷及答案 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《高三理科数学一模考试卷及答案》的内容，具体内容：高三的理科数学大家复习的如何?马上就要一模考试了，数学往年的一模试卷要抓紧时间做。下面由我为大家提供关于，希望对大家有帮助!高三理科数学一模考试卷选择题本大题共12小题... 高三的理科数学大家复习的如何?马上就要一模考试了，数学往年的一模试卷要抓紧时间做。下面由我为大家提供关于，希望对大家有帮助! 高三理科数学一模考试卷选择题 本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1.已知z= (i为虚数单位)，则|z|=() A. B.1 C. D.2 2.计算﹣sin133cos197﹣cos47cos73的结果为() A. B. C. D. 3.设命题p：a>1，函数f(x)=xa(x>0)是增函数，则￢p为() A.a00)是减函数 B.a>1，函数f(x)=xa(x>0)不是减函数 C.a0>1，函数f(x)=xa(x>0)不是增函数 D.a>1，函数f(x)=xa(x>0)是减函数 4.位于平面直角坐标系原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向是向上或向下，并且向上移动的概率为 ，则质点P移动4次后位于点(0，2)的概率是() A. B. C. D. 5.设F1，F2分别是双曲线 ﹣ =1(a>0，b>0)的左右焦点，O为坐标原点，若按双曲线右支上存在一点P，使 =0，且| |=| |，则双曲线的离心率为() A.1 B.1+ C.2 D. 6.一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4m，侧面展开图的圆心角为 ，则这个圆锥的体积等于() A. m3 B. m3 C. m3 D. m3 7.已知向量 =(1，)， =(2，1)，若2 + 与 =(1，﹣2)共线，则 在 方向上的投影是() A. B.﹣ C.﹣ D.﹣ 8.已知函数f(x)=3cos( ﹣x)(>0)，函数f(x)相邻两个零点之间的绝对值为 ，则下列为函数f(x)的单调递减区间的是() A.[0， ] B.[ ，] C.[ ， ] D.[ ， ] 9.在如下程序框图中，已知f0(x)=sinx，则输出的结果是() A.sinx B.cosx C.﹣sinx D.﹣cosx 10.(x2﹣3x+2)5的展开式中，含x项的系数为() A.﹣240 B.﹣120 C.0 D.120 11.如图为一个几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为() A.4 B.12 C.12 D.24 12.定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，当x[0，2)时，f(x)= ，函数g(x)=(2x﹣x2)ex+m，若x1[﹣4，﹣2]，x2[﹣1，2]，使得不等式f(x1)﹣g(x2)0成立，则实数m的取值范围是() A.(﹣，﹣2] B.(﹣， +2] C.[ +2，+) D.(﹣， ﹣2] 高三理科数学一模考试卷非选择题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分. 13.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)=2x+1，则f(﹣2)等于. 14.中心在原点的椭圆C的一个顶点是圆E：x2+y2﹣4x+3=0的圆心，一个焦点是圆E与x轴其中的一个交点，则椭圆C的标准方程为. 15.若变量x，y满足 ，则z= 的取值范围是. 16.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D仰角为30，塔底C与A的连线同河岸成15角，小王向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60角，则电视塔CD的高度为. 三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知数列{an}的前n项和为Sn，点( ，Sn)在曲线y=2x2﹣2上. (1)求证：数列{an}是等比数列; (2)设数列{bn}满足bn= ，求数列{bn}的前n项和Tn. 18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABPA，AB∥CD，且PB=BC=BD= ，CD=2AB=2 ，PAD=120，E和F分别是棱CD和PC的中点. (1)求证：平面BEF平面PCD; (2)求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值. 19.在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如表所示： 学生 A B C D E 数学(x分) 89 91 93 95 97 物理(y分) 87 89 89 92 93 (1)根据表中数据，求物理分y关于数学分x的回归方程; (2)试估计某同学数学考100分时，他的物理得分; (3)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数，试解决下列问题： ①求至少选中1名物理成绩在90分以下的同学的概率; ②求随机变变量X的分布列及数学期望E(X). (附：回归方程：： = x+ 中 = ， = ﹣b ) 20.如图所示，已知点A(﹣1，0)是抛物线的准线与x轴的焦点，过点A的直线与抛物线交于M，N两点，过点M的直线交抛物线于另一个点Q，且直线MQ过点B(1，﹣1). (1)求抛物线的方程; (2)求证：直线QN过定点. 21.已知函数f(x)=lnx﹣ax2，且函数f(x)在点(2，f(2))处 的切线的一个方向向量是(2，﹣3). (1)若关于x的方程f(x)+ x2=3x﹣b在区间[ ，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围; (2)证明： ( )2> (nN*，且n2) 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲] 22.如图，AB是圆O的直径，C，F为圆O上的点，CA是BAF的角平分线，CD与圆O切于点C，且交AF的延长线于点D，CMAB，垂足为点M. (1)求证：DF=BM; (2)若圆O的半径为1，BAC=60，试求线段CD的长. [选修4-4：坐标系与参数方程] 23.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴为正半轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为=4cos﹣2sin，直线l的参数方程为 (t为参数，a为常数). (1)求直线l普通方程与圆C的直角坐标方程; (2)若直线l分圆C所得的两弧长度之比为1：2，求实数a的值. [选修4-5：不等式选讲] 24.已知函数f(x)=|kx+1|+|kx﹣2k|，g(x)=x+1. (1)当k=1时，求不等式f(x)>g(x)的解集; (2)若存在x0R，使得不等式f(x0)2成立，求实数k的取值范围. 高三理科数学一模考试卷答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求. 1.已知z= (i为虚数单位)，则|z|=() A. B.1 C. D.2 【考点】复数求模. 【专题】计算题;转化思想;定义法;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出. 【解答】解：z= = = = = + i， |z|= =1， 故选：B. 【点评】本题考查了复数的运算法则和模的计算公式，属于基础题. 2.计算﹣sin133cos197﹣cos47cos73的结果为() A. B. C. D. 【考点】两角和与差的正弦函数. 【专题】计算题;转化思想;综合法;三角函数的求值. 【分析】由条件利用诱导公式、两角和差的正弦公式，化简所给的式子，可得结果. 【解答】解：﹣sin133cos197﹣cos47cos73=﹣sin47(﹣cos17)﹣cos47sin17 =sin(47﹣17)=sin30= ， 故选：A. 【点评】本题主要考查诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，属于基础题. 3.设命题p：a>1，函数f(x)=xa(x>0)是增函数，则￢p为() A.a00)是减函数 B.a>1，函数f(x)=xa(x>0)不是减函数 C.a0>1，函数f(x)=xa(x>0)不是增函数 D.a>1，函数f(x)=xa(x>0)是减函数 【考点】命题的否定. 【专题】计算题;规律型;简易逻辑. 【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可. 【解答】解：因为全称命题是否定是特称命题，所以，命题p：a>1，函数f(x)=xa(x>0)是增函数，则￢p为：a0>1，函数f(x)=xa(x>0)不是增函数. 故选：C. 【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题否定关系，是基础题. 4.位于平面直角坐标系原点的一个质点P按下列规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向是向上或向下，并且向上移动的概率为 ，则质点P移动4次后位于点(0，2)的概率是() A. B. C. D. 【考点】几何概型. 【专题】计算题;方程思想;综合法;概率与统计. 【分析】根据题意，分析可得质点P移动4次后位于点(0，2)，其中向上移动3次，向右下移动1次，进而借助排列、组合知识，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案. 【解答】解：根据题意，质点P移动4次后位于点(0，2)，其中向上移动3次，向右下移动1次; 则其概率为C41×( )1×( )3= ， 故选：D. 【点评】本题考查相互独立事件的概率的计算，其难点在于分析质点P移动4次后位于点(0，2)，其中向上移动3次，向右下移动1次的情况，这里要借助排列组合的知识. 5.设F1，F2分别是双曲线 ﹣ =1(a>0，b>0)的左右焦点，O为坐标原点，若按双曲线右支上存在一点P，使 =0，且| |=| |，则双曲线的离心率为() A.1 B.1+ C.2 D. 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】方程思想;分析法;平面向量及应用;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由题意可得PF2x轴，且|PF2|=2c，令x=c代入双曲线的方程，可得 =2c，由a，b，c的关系和离心率公式，解方程即可得到所求值. 【解答】解：由题意可得PF2x轴，且|PF2|=2c，
高中高三数学一模考试试题 理含解析 试题
普通高中2021届高三质量监测〔一〕数学试题卷〔理科〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1. 设为虚数单位，那么〔〕A. B. C. 5 D. -5【答案】A【解析】由题意可得：.此题选择A选项.2. 集合的子集的个数为〔〕A. 4B. 7C. 8D. 16【答案】C【解析】集合含有3个元素，那么其子集的个数为.此题选择C选项.3. 假设图是某某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩关于测试序号的函数图像，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图像，给出以下结论：①一班成绩始终高于年级平均程度，整体成绩比拟好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间是低于年级平均程度，但在稳步提升．其中正确结论的个数为〔〕A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】通过函数图象，可以看出①②③均正确.应选D.4. 等差数列中，，且公差，那么其前项和取最小值时的的值是〔〕A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C【解析】因为等差数列中，，所以，有，所以当时前项和取最小值.应选C......................5. 某班级局部同学一次测验的成绩统计如图，那么其中位数和众数分别为〔〕A. 95，94B. 92，86C. 99，86D. 95，91【答案】B【解析】由茎叶图可知，中位数为92，众数为86. 应选B.6. 假设角的顶点为坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边在直线上，那么角的取值集合是〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】因为直线的倾斜角是，所以终边落在直线上的角的取值集合为或者者.应选D.7. ，且，那么的最小值为〔〕A. 8B. 9C. 12D. 16【答案】B【解析】由题意可得：，那么：，当且仅当时等号成立，综上可得：那么的最小值为9.此题选择B选项.点睛：在应用根本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或者和为定值；三相等——等号能否获得〞，假设忽略了某个条件，就会出现错误．8. ?九章算术?卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何．刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体〔网格纸中粗线局部为其三视图，设网格纸上每个小正方形的边长为1丈〕，那么该刍甍的体积为〔〕A. 4立方丈B. 5立方丈C. 6立方丈D. 12立方丈【答案】B【解析】由可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，那么刍甍的体积为5.应选B.9. 矩形的顶点都在球心为，半径为的球面上，，且四棱锥的体积为，那么等于〔〕A. 4B.C.D.【答案】A【解析】由题意可知球心到平面ABCD的间隔 2，矩形ABCD所在圆的半径为，从而球的半径 .应选A.10. 某算法的程序框图如下图，那么该算法的功能是〔〕A. 求首项为1，公差为2的等差数列前2021项和B. 求首项为1，公差为2的等差数列前2021项和C. 求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和D. 求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和【答案】C【解析】由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.应选C.点睛：算法与流程图的考察，侧重于对流程图循环构造的考察.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择构造、循环构造、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.11. 为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，那么〔〕A. 1B. 2C. 4D.【答案】A【解析】延长交于点，由角分线性质可知根据双曲线的定义，，从而，在中，为其中位线，故.应选A.点睛：对于圆锥曲线问题，善用利用定义求解，注意数形结合，画出合理草图，巧妙转化.12. 定义在上的奇函数满足，当时，，那么函数在区间上所有零点之和为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】,作图如下：，四个交点分别关于对称，所以零点之和为，选D.点睛：对于方程解的个数(或者函数零点个数)问题，可利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕13. 角满足，，那么的取值范围是__________．【答案】【解析】结合题意可知：，且：，利用不等式的性质可知：的取值范围是.点睛：利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，屡次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围．解决此类问题一般是利用整体思想，通过“一次性〞不等关系的运算求得待求整体的范围，是防止错误的有效途径．14. 平面内三个不一共线向量两两夹角相等，且，，那么__________．【答案】【解析】因为平面内三个不一共线向量两两夹角相等，所以由题意可知，的夹角为，又知，，所以，，故答案为.15. 在中，三个内角的对边分别为，假设，且，面积的最大值为__________．【答案】【解析】由可得，，得，由余弦定理，面积的最大值为，当且仅当时取到最大值，故答案为.【方法点睛】此题主要考察正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要根据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中假如边和正弦、余弦函数穿插出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进展解答.16. 圆锥的侧面展开图是半径为3的扇形，那么圆锥体积的最大值为__________．【答案】【解析】设圆锥的底面半径为R，由题意可得其体积为：当且仅当时等号成立.综上可得圆锥体积的最大值为.三、解答题:一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题．第22、23题为选考题，考生根据要求答题．〔一〕必考题：一共60分．17. 数列的前项和．〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕设，求证：．【答案】(Ⅰ)；〔Ⅱ〕证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)利用条件，推出新数列是等比数列，然后求数列的通项公式；〔Ⅱ〕化简，那么，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.试题解析：(Ⅰ)由，那么.当时，，综上.〔Ⅱ〕由.. 得证.18. 的“名师云课〞活动自开展以来获得广阔家长和学生的高度赞誉，在我推出的第二季名师云课中，数学学科一共计推出36节云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进展统计：点击量节数 6 18 12〔Ⅰ〕现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，求选出的点击量超过3000的节数．〔Ⅱ〕为了更好地搭建云课平台，现将云课进展剪辑，假设点击量在区间内，那么需要花费40分钟进展剪辑，假设点击量在区间内，那么需要花费20分钟进展剪辑，点击量超过3000，那么不需要剪辑，现从〔Ⅰ〕中选出的6节课中随机取出2节课进展剪辑，求剪辑时间是的分布列与数学期望．【答案】(Ⅰ)；〔Ⅱ〕.【解析】试题分析：(Ⅰ)因为 36节云课中采用分层抽样的方式选出6节，所以节应选出节；〔Ⅱ〕的所有可能取值为，根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，从而可得分布列，由期望公式可得结果..试题解析：(Ⅰ)根据分层抽样，选出的6节课中有2节点击量超过3000.〔Ⅱ〕的可能取值为0，20，40，60那么的分布列为0 20 40 60即 .19. 如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．〔Ⅰ〕证明：平面；〔Ⅱ〕设，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；〔Ⅱ〕.【解析】试题分析：(Ⅰ) )连接交于点，连接，根据中位线定理可得，由线面平行的断定定理即可证明平面；〔Ⅱ〕以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：(Ⅰ)连接交于点，连接在中，〔Ⅱ〕，设菱形的边长为，那么.取中点，连接.以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如下图坐标系.，，，，，，，即二面角的余弦值为.【方法点晴】此题主要考察线面平行的断定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：〔1〕观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；〔2〕写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；〔3〕设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；〔4〕将空间位置关系转化为向量关系；〔5〕根据定理结论求出相应的角和间隔 .20. 椭圆的两个焦点为，且经过点．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕过的直线与椭圆交于两点〔点位于轴上方〕，假设，且，求直线的斜率的取值范围．【答案】(Ⅰ)；〔Ⅱ〕.【解析】试题分析：(1)由题意可得，，，那么椭圆方程为.(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数k的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是k=.试题解析：(1)由椭圆定义，有，，，从而.(2)设直线，有，整理得，设，，有，，，，由于，所以，，解得.，，由.21. 函数，．〔Ⅰ〕假设函数与的图像在点处有一样的切线，求的值；〔Ⅱ〕当时，恒成立，求整数的最大值；〔Ⅲ〕证明：．【答案】(Ⅰ)；〔Ⅱ〕；〔Ⅲ〕证明见解析.【解析】试题分析：(Ⅰ)求出与，由且解方程组可求的值；〔Ⅱ〕恒成立等价于恒成立，先证明当时恒成立，再证明时不恒成立，进而可得结果；〔Ⅲ〕〕由，令，即，即，令，各式相加即可得结果.试题解析：(Ⅰ)由题意可知，和在处有一样的切线，即在处且，解得.〔Ⅱ〕现证明，设，令，即，因此，即恒成立，即，同理可证.由题意，当时，且，即，即时，成立.当时，，即不恒成立.因此整数的最大值为2.〔Ⅲ〕由，令，即，即由此可知，当时，，当时，，当时，，……当时，.综上：.即.〔二〕选考题：请考生在22、23两题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题记分．22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的直角坐标为，点的极坐标为，假设直线过点，且倾斜角为，圆以圆心，3为半径．〔Ⅰ〕求直线的参数方程和圆的极坐标方程；〔Ⅱ〕设直线与圆相交于两点，求．【答案】(Ⅰ)为参数〕，；〔Ⅱ〕.【解析】试题分析：〔1〕根据直线参数方程形式直接写出直线的参数方程，根据直角三角形关系得，即为圆的极坐标方程〔2〕利用将圆的极坐标方程化为直接坐标方程，将直线参数方程代入，利用韦达定理及参数几何意义得|=7试题解析：〔Ⅰ〕直线的参数方程为〔t为参数〕，圆的极坐标方程为 .〔Ⅱ〕把代入，得，，设点对应的参数分别为，那么,23. 选修4-5：不等式选讲设不等式的解集为．〔Ⅰ〕求集合；〔Ⅱ〕假设，求证：．【答案】(Ⅰ)；〔Ⅱ〕证明见解析.【解析】试题分析：〔1〕根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集〔2〕利用分析法证明，将所求不等式转化为，再根据，证明试题解析：〔1〕由，令由得.〔2〕要证，只需证，只需证，只需证只需证，由，那么恒成立.点睛：(1)分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比拟法且与重要不等式、根本不等式没有直接联络，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.(2)利用综合法证明不等式，关键是利用好条件和已经证明过的重要不等式.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高三数学一模试卷及答案
高三数学一模试卷及答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1. 若函数f(x)=x^2-2x+1，则f(-1)的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，则集合A的元素个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 函数y=x^3-3x+1在x=1处的导数为（）A. 1B. -1C. 3D. -34. 已知等比数列{a_n}的前三项分别为a_1=2，a_2=4，a_3=8，则该数列的公比为（）A. 1B. 2C. 4D. 85. 已知向量a=(1,2)，b=(2,1)，则向量a与向量b的点积为（）A. 3B. 4C. 5D. 66. 已知圆心在原点，半径为1的圆的方程为（）A. x^2+y^2=1B. x^2+y^2=-1C. x^2+y^2=2D. x^2+y^2=07. 已知函数y=x^2-4x+c，当x=2时，y=0，则c的值为（）A. 0B. 4C. 8D. 128. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_3=9，S_6=24，则S_9的值为（）A. 36B. 45C. 54D. 639. 已知直线y=2x+3与x轴的交点坐标为（）A. (-3/2, 0)B. (3/2, 0)C. (0, -3/2)D. (0, 3/2)10. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，若f(a)=0，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。
）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)的最小值为-1，则c的值为______。
12. 已知向量a=(3,4)，向量b=(4,-3)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为______。
13. 已知函数y=x^3-6x^2+9x+1，若f(a)=0，则a的值为______。
高三数学一模试卷理含解析试题
2021年HY高考数学一模试卷〔理科〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面只有一项是哪一项符合题目要求的.1.假设集合，，那么集合〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】进展并集的运算即可.【详解】解：，；.应选：D.【点睛】考察描绘法的定义，以及并集的运算.2.复数〔是虚数单位〕，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：，应选：B.【点睛】此题考察复数代数形式的乘除运算，是根底的计算题.3.命题，，那么〔〕A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】此题中所给的命题是一个全称命题，故其否认是一个特称命题，将量词改为存在量词，否认结论即可【详解】解：命题，，是一个全称命题，，应选：D.【点睛】此题考察了“含有量词的命题的否认〞，属于根底题.解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写.4.如下图的程序框图，假如输入三个实数，，，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项里面的〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比拟与的大小，故第二个选择框的作用应该是比拟与的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量.【详解】解：由流程图可知：第一个选择框作用是比拟与的大小，故第二个选择框的作用应该是比拟与的大小，条件成立时，保存最大值的变量应选：A.【点睛】此题主要考察了程序框图和算法，是一种常见的题型，属于根底题.5.双曲线的焦点到渐近线的间隔为〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的HY方程可得双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的间隔公式计算可得答案.【详解】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦点坐标为，其渐近线方程为，即，那么其焦点到渐近线的间隔；应选：D.【点睛】此题考察双曲线的几何性质，关键是求出双曲线的渐近线与焦点坐标.6.某几何体的三视图如下图，该几何体的体积是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积.【详解】解：由三视图可知该几何体的直观图是正方体去掉一个棱长为的正方体，正方体的边长为，三棱锥的三个侧棱长为，那么该几何体的体积，应选：C.【点睛】此题主要考察三视图的应用，利用三视图复原成直观图是解决此题的关键.7.设，满足，那么〔〕A. 有最小值，最大值B. 有最小值，无最大值C. 有最小值，无最大值D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目的函数的几何意义，求目的函数的最小值.【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：〔阴影局部〕.由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小.由，解得，代入目的函数得.即目的函数的最小值为.无最大.应选：B.【点睛】此题主要考察线性规划的应用，利用目的函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的根本方法.8.公差不为零的等差数列的前项和为，假设是与的等比中项，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出.【详解】解：设等差数列的公差为，是与的等比中项，，，，联立解得：，.那么.应选：C.【点睛】此题考察了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考察了推理才能与计算才能，属于中档题.9.?九章算术?中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？〞其大意：“直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？〞现假设向此三角形内随机投一粒豆子，那么豆子落在其内切圆外的概率是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.【详解】直角三角形的斜边长为，设内切圆的半径为，那么，解得，内切圆的面积为，豆子落在其内切圆外部的概率是，应选C.【点睛】此题主要考察“面积型〞的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：〔1〕不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；〔2〕根本领件对应的区域测度把握不准导致错误；〔3〕利用几何概型的概率公式时 , 无视验证事件是否等可能性导致错误.10.设定义在上的奇函数满足〔〕，那么〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据条件可得出，并得出在，上都是增函数，从而可讨论与的关系：时，显然满足；时，可得出，从而得出；时，可得出，从而得出，最后即可得出不等式的解集.【详解】解：是上的奇函数，且时，；，且在，上都单调递增；①时，满足；②时，由得，；；；③时，由得，；；；；综上得，的解集为.应选：D.【点睛】考察奇函数的定义，奇函数在对称区间上的单调性一样，以及增函数的定义，清楚的单调性.11.三棱锥中，，，，，，都在半径为的球面上，那么球心到平面的间隔为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用正三棱锥的特点，将球的内接三棱锥问题转化为球的内接正方体问题，从而将所求间隔转化为正方体中，中心到截面的间隔问题，利用等体积法可实现此计算.【详解】解：三棱锥中，，，两两垂直，且长度相等，此三棱锥的外接球即以，，为三边的正方体的外接球，球的半径为，正方体的边长为，即，球心到截面的间隔即正方体中心到截面的间隔，设到截面的间隔为，那么正三棱锥的体积，为边长为的正三角形，，，∴球心〔即正方体中心〕到截面的间隔为.应选：C.【点睛】此题主要考球的内接三棱锥和内接正方体间的关系及其互相转化，棱柱的几何特征，球的几何特征，点到面的间隔问题的解决技巧，有一定难度，属中档题.12.函数，，假设对恒成立，那么实数的范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数可得在上的取值范围为，其中，令换元，把对恒成立转化为对恒成立，别离参数后利用函数单调性求出函数的最小值得答案.【详解】解：，，，，在上有零点，又在上成立，在上有唯一零点，设为，那么当时，，当时，，在上有最大值，又，，令，要使对恒成立，那么对恒成立，即对恒成立，别离，得，函数的对称轴为，又，，那么.那么实数的范围是.应选：A【点睛】此题考察函数恒成立问题，训练了利用导数研究函数的单调性，考察了利用别离变量法求解证明取值范围问题，属难题.二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分.13.向量，，，假设，那么_____.【答案】4【解析】【分析】结合向量平行满足的性质,建立等式,计算参数,即可.【详解】解：，，，又，且，，即.故答案为：.【点睛】此题考察向量的坐标加法运算，考察向量应选的坐标表示，是根底题.14.将函数的图象向右平移个单位后得到的图象对应函数的单调递增区间是_____.【答案】，【解析】【分析】利用三角函数平移性质,得到新三角函数,结合三角函数单调区间的计算,即可.【详解】解：将函数的图象向右平移个单位后，得到的图象对应函数的解析式为，令，求得，可得所得函数的单调递增区间为，，故答案为：，.【点睛】此题主要考察两角和差的三角公式，余弦函数的单调性，属于根底题.15.抛物线的准线与圆相切，那么的值是_____.【答案】或者【解析】【分析】先表示出准线方程，然后抛物线的准线与圆相切，可以得到圆心到准线的间隔等于半径从而得到的值.【详解】解：抛物线，即，准线方程为，因为抛物线的准线与圆相切，当时，，解得，当时，，解得，故答案为：或者.【点睛】此题考察抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的间隔等于半径.16.设是数列的前项和，假设，那么_____.【答案】【解析】【分析】运用数列的递推式，讨论为奇数或者偶数，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和.【详解】解：，当时，，解得，时，，可得，当为偶数时，，即有；当为奇数〔〕时，，可得，即有.故答案为：.【点睛】此题考察数列的求和，注意运用分类讨论思想方法，以及等比数列的求和公式，考察运算才能，属于难题.三、解答题：第17～21题每一小题12分，解容许在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或者演算步骤.17.在中，角，，的对边分别是，，，且，，.〔1〕求的值；〔2〕求的值.【答案】〔1〕；〔2〕2【解析】【分析】〔1〕由利用二倍角公式，正弦定理可求的值，根据同角三角函数根本关系式可求的值.〔2〕由利用余弦定理可得，即可解得的值.【详解】解：〔1〕，，.，，〔2〕由余弦定理，可得：，可得：，解得：或者〔舍去〕【点睛】此题主要考察了二倍角公式，正弦定理，同角三角函数根本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考察了转化思想，属于根底题.18.某调查机构对某校学生做了一个是否同意生“二孩〞抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，调查统计他们是同意父母生“二孩〞还是反对父母生“二孩〞，现已得知100人中同意父母生“二孩〞占60%，统计情况如下表：同意不同意合计男生 a 5女生40 d合计100〔1〕求a，d 的值，根据以上数据，能否有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩〞与性别有关?请说明理由；〔2〕将上述调查所得的频率视为概率，如今从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取4 位学生进展长期跟踪调查，记被抽取的4位学生中持“同意〞态度的人数为X，求X 的分布列及数学期望.附：【答案】〔1〕, 有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩〞与“性别〞有关；〔2〕详见解析.【解析】【分析】〔1〕根据表格及同意父母生“二孩〞占60%可求出, ,根据公式计算结果即可确定有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩〞与“性别〞有关〔2〕由题意可知X服从二项分布，利用公式计算概率及期望即可.【详解】〔1〕因为100人中同意父母生“二孩〞占60%，所以，文〔2〕由列联表可得而所以有97.5%的把握认为是否同意父母生“二孩〞与“性别〞有关〔2〕①由题知持“同意〞态度的学生的频率为，即从学生中任意抽取到一名持“同意〞态度的学生的概率为.由于总体容量很大，故X服从二项分布，即从而X的分布列为X 0 1 2 3 4X的数学期望为【点睛】此题主要考察了相关性检验、二项分布，属于中档题.19.如图，在正三棱柱中，，，分别是，的中点.〔1〕证明：平面；〔2〕点在上，假设，求二面角的余弦值.【答案】〔1〕见解析；〔2〕【解析】【分析】〔1〕连结，，那么，，从而平面平面，由此能证明平面.〔2〕以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明：〔1〕如图，连结，，那么，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，，，∴平面EFN//平面，平面，平面.解：〔2〕以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，那么，，，，设，那么，，，，，解得，，设平面的法向量为，那么，取，得，同理可得平面的法向量为，.二面角的余弦值为.【点睛】该题考察线面平行的证明，考察二面角的余弦值的求法，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系，考察运算求解才能，考察数形结合思想，是中档题.20.椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，过的长轴，短轴端点的一条直线方程是.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕过点作直线交椭圆于，两点，假设点关于轴的对称点为，证明直线过定点.【答案】〔1〕；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕对于，当时，，即，当，，即，再写出椭圆的方程；〔2〕设直线，〔〕，设，两点的坐标分别为，，那么，代入椭圆方程，即根据韦达定理，直线方程，求出直线过定点，【详解】〔1〕对于，当时，，即，当，，即，椭圆的方程为，〔2〕证明：设直线，〔〕，设，两点的坐标分别为，，那么，联立直线与椭圆得，得，，解得，，，直线，令，得，直线过定点【点睛】此题考察椭圆的定义，考察椭圆的HY方程，考察直线与椭圆的位置关系，考察学生的计算才能，属于中档题.21.函数.〔1〕假设曲线在点处的切线与直线平行，求的值；〔2〕是否存在使得仅有一个极值点？假设存在求出的取值范围，假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕先求导，根据导数的几何意义即可求出的值，〔2〕先求导，再分类讨论，根据导数和函数的极值的关系即可求出.【详解】解：〔1〕，，曲线在点处的切线与直线平行，，解得.〔2〕，，，且，当时，，单调递增，又，当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，故函数仅有一个极小值点，当，设，那么，〔〕当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，，当，，函数单调递减，当，，函数单调递减，，在单调递减，无极值，当时，存在唯一的实数根，且，当，，函数单调递减，当，，函数单调递减，，为一个极值点，，单调递增，，存在零点，且为的极值点，当时，有两个极值点综上所述【点睛】此题考察了导数的几何意义，导数和函数的极值的关系，考察了运算求解才能，转化与化归才能，函数与方程的思想，属于难题22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为〔为参数〕，以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为.〔Ⅰ〕求圆的直角坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线与圆交于，两点，点，且，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕1【解析】【分析】〔1〕直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进展转换.〔2〕首先把直线的参数式转换为HY式，进一步利用直线和曲线的位置关系建立等量关系，进一步求出a的值.【详解】解：〔1〕圆的极坐标方程为〔〕转换为直角坐标方程为：.〔2〕把直线的参数方程〔为参数〕，转换为HY形式为：〔为参数〕，代入，得到：，所以：，〔和为、对应的参数〕，由于，.所以：，即：，解得：.【点睛】此题考察的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于根底题型.23.函数.〔Ⅰ〕求函数的值域；〔Ⅱ〕假设对，恒成立，求的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕分段去绝对值，分段求值域再相并；〔2〕利用的图象恒在的下方可得.【详解】解：〔1〕的值域是〔2〕恰好在的上方,交点为,代入该函数中,得到,而,解得,要使得始终在的下方,需要满足.【点睛】此题考察了绝对值不等式的解法，属中档题.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高三数学一模考试试题 理含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校宁夏第三2021届高三数学一模考试试题理〔含解析〕第一卷〔选择题〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.实数集R ，集合{|13}A x x =<<，集合|B x y ⎧==⎨⎩，那么()R A C B ⋂=〔〕 A.{|12}x x <≤ B.{|13}x x << C.{|23}x x ≤<D.{|12}x x <<【答案】A 【解析】 【分析】0>可得集合B ,求出补集R C B ,再求出()R A C B ⋂即可.0>,得2x >,即(2,)B =+∞,所以R C B (,2]=-∞,所以()R A C B ⋂=(1,2].应选:A【点睛】此题考察了集合的补集和交集的混合运算,属于根底题. 2.复数(2)1ai iz i+=-是纯虚数，其中a 是实数，那么z 等于〔〕A.2iB.2i -C.iD.i -【答案】A 【解析】 【分析】对复数z 进展化简，由于z 为纯虚数，那么化简后的复数形式中，实部为0，得到a 的值，从而得到复数z .【详解】()()()()()221222111122ai i a i i a i a a z ii i i i +-+--+-+====+-++-因为z 为纯虚数，所以202a-=，得2a = 所以2zi =.应选A 项【点睛】此题考察复数的四那么运算，纯虚数的概念，属于简单题. 3.假设θ是第二象限角且sin θ=1213，那么tan()4πθ+= A.177-B.717-C.177D.717【答案】B 【解析】由θ是第二象限角且sin θ=1213知：5cos 13θ==-，5t n 1a 2θ-=． 所以tan tan 457tan()41tan tan 4517πθθθ+︒+==--︒． 4.设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，假设AN AB AC λμ=+，那么λμ+的值是()A.1B.12C.13D.14【答案】B 【解析】 【分析】 设BMtBC=，通过12AN AM =，再利用向量的加减运算可得122t tAN AB AC -=+，结合条件即可得解. 【详解】设BM tBC =，那么有()()11111122222222t t t AN AM AB BM AB tBC AB AC AB AB AC -==+=+=+-=+. 又AN AB AC λμ=+，所以122t t λμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，有11222t t λμ-+=+=. 应选B.【点睛】此题考察了向量一共线及向量运算知识，利用向量一共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题. 5.空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β〕 A.假设mα且n α，那么m nB.假设m β⊥且m n ⊥，那么n βC.假设m α⊥且m β，那么αβ⊥D.假设m 不垂直于α，且n⊂α，那么m 不垂直于n 【答案】C 【解析】因答案A 中的直线m n ，可以异面或者相交，故不正确；答案B 中的直线n ⊂β也成立，故不正确；答案C 中的直线m 可以平移到平面β中，所以由面面垂直的断定定理可知两平面αβ，互相垂直，是正确的；答案D 中直线m 也有可能垂直于直线n ，故不正确．应选答案C ．6.近年来，随着4G 网络的普及和智能 的更新换代，各种方便的app 相继出世，其功能也是五花八门.某大学为了调查在校大学生使用app 的主要用处，随机抽取了56290名大学生进展调查，各主要用处与对应人数的结果统计如下列图，现有如下说法：①可以估计使用app 主要听音乐的大学生人数多于主要看社区、新闻、资讯的大学生人数； ②可以估计缺乏10%的大学生使用app 主要玩游戏；③可以估计使用app 主要找人聊天的大学生超过总数的14. 其中正确的个数为〔〕 A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】 【分析】根据利用app 主要听音乐的人数和使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数作大小比较，可判断①的正误；计算使用app 主要玩游戏的大学生所占的比例，可判断②的正误；计算使用app 主要找人聊天的大学生所占的比例，可判断③的正误.综合得出结论.【详解】使用app 主要听音乐的人数为5380，使用app 主要看社区、新闻、资讯的人数为4450，所以①正确；使用app 主要玩游戏的人数为8130，而调查的总人数为56290，81300.1456290≈，故超过10%的大学生使用app 主要玩游戏，所以②错误；使用app 主要找人聊天的大学生人数为16540，因为165401562904>，所以③正确.应选：C. 【点睛】. 7.p ：任意4x ≥，都有2log 2x ≥q ：a b >，那么有22a b >〕A.p q ∧B.()p q ∧⌝C.()()p q ⌝∧⌝D.()p q ⌝∨【答案】B 【解析】 【分析】,p q .【详解】pq 0a b >>,或者=12a b =-，时，那么22a b >不成立.那么p q ∧，()()p q ⌝∧⌝，()p q ⌝∨均为假.应选:B 【点睛】.8.双曲线C 的一个焦点为()0,5，且与双曲线2214x y -=的渐近线一样，那么双曲线C 的HY 方程为()A.2214y x -=B.221520y x -= C.221205x y -=D.2214x y -=【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点所在坐标轴和渐近线方程设出双曲线的HY 方程，结合焦点坐标求解.【详解】∵双曲线C 与2214x y -=的渐近线一样，且焦点在y 轴上，∴可设双曲线C 的方程为2214y x k k-=，一个焦点为0,5，∴425k k +=，∴5k =，故C 的HY 方程为221520y x -=. 应选：B【点睛】此题考察根据双曲线的渐近线和焦点求解双曲线的HY 方程，易错点在于漏掉考虑焦点所在坐标轴导致方程形式出错. 9.数列{}n a 满足()12347324n a a a n a n ++++-=，那么23342122a a a a a a +++=〔〕A.58B.34C.54D.52【答案】C 【解析】 【分析】 利用()32n n a -的前n 项和求出数列(){}32n n a -的通项公式，可计算出n a ，然后利用裂项法可求出23342122a a a a a a +++的值.【详解】()12347324n a a a n a n ++++-=.当1n =时，14a =； 当2n ≥时，由()12347324n a a a n a n ++++-=，可得()()1231473541n a a a n a n -++++-⋅=-，两式相减，可得()324n n a -=，故432n a n =-，因为14a =也适宜上式，所以432na n =-.依题意，()()12161611313433134n n a a n n n n ++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故233421221611111111161153477101013616434644a a a a a a ⎛⎫⎛⎫+++=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 应选：C.【点睛】此题考察利用n S 求n a ，同时也考察了裂项求和法，考察计算才能，属于中等题.1C ：22(1)(1)1x y -++=，圆2C ：22(4)(5)9x y -+-=，点M 、N分别是圆1C 、圆2C 上的动点，P 为x 轴上的动点，那么PN PM-的最大值是〔〕A.4B.9C.7D.2【解析】试题分析：圆()()221111C x y -++=：的圆心(11)E -，，半径为1，圆()()222459C x y -+-=：的圆心(45)F ，，半径是3．要使PN PM-最大，需PN最大，且PM最小，PN最大值为3,PF PM +的最小值为1PE -，故PN PM-最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+;(45)F ，关于x轴的对称点(45)F '-，，5PF PE PF PE EF -='-≤'==，故4PF PE -+的最大值为549+=，应选B ．考点：圆与圆的位置关系及其断定．【思路点睛】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN PM -最大，需PN最大，且PM最小，PN最大值为3,PF PM+的最小值为1PE -，故PN PM-最大值是()() 314PF PE PF PE +--=-+，再利用对称性，求出所求式子的最大值．11.在三棱锥D ABC -中，1AB BC CD DA ====，且,,,AB BC CD DA M N ⊥⊥分别是棱BC ，CD 的中点，下面四个结论：①AC BD ⊥；②//MN 平面ABD ；③三棱锥A CMN -；④AD 与BC 一定不垂直.〕 A.①②③ B.②③④C.①④D.①②④【答案】D 【解析】①通过证明AC ⊥平面OBD ，证得AC BD ⊥；②通过证明//MN BD ，证得//MN 平面ABD ；③求得三棱锥A CMN -体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AD 与BC 一定不垂直. 【详解】设AC 的中点为O ，连接,OB OD ，那么AC OB ⊥，AC OD ⊥，又OB OD O =，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC BD ⊥，故①正确；因为//MN BD ，所以//MN 平面ABD ，故②正确；当平面DAC与平面ABC垂直时，A CMNV -最大，最大值为1134A CMN N ACM V V --=⨯==AD 与BC 垂直，又因为AB BC ⊥，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，又BD AC ⊥，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD OB ⊥，因为OB OD =，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故④正确.应选：D 【点睛】. 12.定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有()()12120f x f x x x -<-成立，假设关于x 的不等式()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++在[]1,3x ∈上恒成立，那么实数m 的取值范围是〔〕A.1ln6,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B.1ln3,126e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦C.1ln3,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦D.1ln6,23e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】 结合题意可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞单调递减,化简题目所给式子,建立不等式,结合导函数与原函数的单调性关系,构造新函数()(),h x g x ,计算最值,即可.【详解】结合题意可知()f x 为偶函数,且在[)0,+∞单调递减,故()()()2ln 3232ln 3f mx x f f mx x --≥--++可以转换为()()2ln 33f mx x f --≥对应于[]1,3x ∈恒成立,即2ln 33mx x --≤即02ln 6mx x ≤-≤对[]1,3x ∈恒成立即ln 6ln 22x xm m x x +≥≤且对[]1,3x ∈恒成立 令()ln x g x x =,那么()[)1ln '1,xg x e x -=在上递增,在(],3e 上递减,所以()max1g x e = 令()()26ln 5ln ,'0x xh x h x x x+--==<,在[]1,3上递减 所以()min 6ln33hx +=.故1ln3,126m e ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦,应选B. 【点睛】本道题考察了函数的根本性质和导函数与原函数单调性关系,计算范围,可以转化为函数,结合导函数,计算最值,即可得出答案.第二卷〔非选择题〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分.13.7(3)x -的展开式中，x 5的系数是_________．〔用数字填写上答案〕【答案】-189 【解析】 由二项式定理得717(1)3C r r r rr T x -+=-，令r =5得x 5的系数是2573C 189-=-．14.数列{}n a 满足：点(),n n a 在直线210x y -+=上，假设使1a 、4a 、m a 构成等比数列，那么m =______【答案】13 【解析】【分析】根据点在直线上可求得n a ，由等比中项的定义可构造方程求得结果. 【详解】(),n n a 在210x y -+=上，21n a n ∴=+，14,,m a a a 成等比数列，241m a a a ∴=，即()81321m =+，解得：13m =.故答案为：13.【点睛】此题考察根据三项成等比数列求解参数值的问题，涉及到等比中项的应用，属于根底题. 15.函数()314sin 3f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，那么n 为________.【答案】4 【解析】 【分析】 根据题意得出()0n f '=，由此可得出实数n 的值.【详解】()314sin 3f x x x =+，()24cos f x x x '∴=+，直线60nx y --=的斜率为n ，由于函数()314sin 3f x x x =+在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，那么()04n f '==.故答案为：4.【点睛】此题考察利用函数的切线与直线平行求参数，解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系，考察计算才能，属于根底题. 16.定义在R 上的偶函数()f x 满足()()f e x f e x +=-，且()00f =，当(]0,x e ∈时，()ln f x x =.方程()1sin 22x x e f π⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间[],3e e -上所有的实数根之和为3ea .将函数()23sin 14x x g π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移a 个单位长度，得到函数()h x 的图象，那么a =__________，()8h =__________.【答案】(1).2(2).4 【解析】 【分析】根据函数()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e ，()1sin 22x x e f π⎛⎫=⎪⎝⎭的实数根是函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，根据函数的对称性可得所有实数根的和为6e ，从而可得参数a 的值，最后求出函数()h x 的解析式，代入求值即可. 【详解】解：因为()f x 为偶函数且()()f e x f e x +=-，所以()f x 的周期为2e .因为(]0,x e ∈时，()ln f x x =，所以可作出()f x 在区间[],3e e -上的图象，而方程()1sin 22x x e f π⎛⎫= ⎪⎝⎭的实数根是函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点的横坐标，结合函数()f x 和函数1sin 22y x e π⎛⎫=⎪⎝⎭在区间[],3e e -上的简图，可知两个函数的图象在区间[],3e e -上有六个交点.由图象的对称性可知，此六个交点的横坐标之和为6e ，所以63e ea =，故2a=.因为()2353sin 1cos 4222x x gx ππ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，所以()()35cos 2222x hx π⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦35cos 222x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故()()35cos 44228h π=+=.故答案为：2；8【点睛】此题考察函数的奇偶性、周期性、对称性的应用，函数方程思想，数形结合思想，属于难题. 三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕 17.高铁和航空的飞速开展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的宏大开展.据统计,在2021年这一年内从A 到B 乘坐高铁或者飞机出行的成年人约为50万人次.为了解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):〔1〕在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率; 〔2〕在2021年从A 到B 乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率,求X的分布列和数学期望;〔3〕假设甲将要从A 出发到B ,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机并说明理由.【答案】〔1〕2950〔2〕分布列见解析，数学期望25〔3〕建议甲乘坐高铁从A 到B .见解析【解析】 【分析】〔1〕根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出； 〔2〕依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()2211155k kk P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望；〔3〕可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．【详解】〔1〕设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人〞为M ，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==． 〔2〕由题意，X的所有可能取值为：012.，，因为在2021年从A 到B 乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=，12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=， 22211(2)C ()525P X ==⨯=， 所以随机变量X的分布列为：1 21625825125故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=． 〔3〕答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++因为11622155>， 所以建议甲乘坐高铁从A 到B ．【点睛】此题主要考察了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．18.设ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .设S 为ABC 的面积，满足)222S a c b =+-. (1)求B ； (2)假设b=)12a c +的最大值.【答案】(1)3π；(2) 【解析】 【分析】(1)根据条件形式选择1sin 2S ac B =，然后利用余弦定理和正弦定理化简，即可求出； (2)由(1)求出角3Bπ=，利用正弦定理和消元思想，可分别用角A 的三角函数值表示出,a c ，即可得到))21221sin 4sin 3a c A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，再利用三角恒等变换，化简为)124a c A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即可求出最大值．【详解】(1)∵1sin 2S ac B =，222cos 2a c b B ac+-=即2222cos a c b ac B =+-，∴)2224Sa cb =+-变形得：1sin 2cos 24ac B ac B =，整理得：tan B =又0B π<<，∴3B π=；(2)∵A B C π++=，∴203A π<<，由正弦定理知sin 2sin sin sin 3b A Aa A B π===，sin 22sin sin 3b Cc A B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴))21221sin 4sin 3a c A A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭4A π⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭4A π=时取最大值．故)12a c +的最大值为【点睛】此题主要考察正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，以及利用三角恒等变换求函数的最值，意在考察学生的转化才能和数学运算才能，属于根底题 19.如图1，四边形BCDE 为直角梯形，90B ∠=，//BE CD ，且222BE CD BC ===，A 为BE 的中点.将EDA 沿AD 折到PDA 位置(如图2)，连结PC ，PB 构成一个四棱锥P ABCD -． 〔Ⅰ〕求证AD PB ⊥；〔Ⅱ〕假设PA ⊥平面ABCD ．①求二面角B PC D --的大小； ②在棱PC 上存在点M ，满足()01PM PC λλ=≤≤，使得直线AM 与平面PBC 所成的角为45，求λ的值．【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)①120，② 0λ=或者23λ=． 【解析】 【分析】(Ⅰ)可以通过证明出AD ⊥平面PAB ，这样就可以证明出AD PB ⊥；(Ⅱ)?①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC 的法向量为n 、平面PCD 的法向量m ，利用空间向量的数量积，求出二面角B PC D --的大小；②求出平面PBC 的法向量，利用线面角的公式求出λ的值.【详解】证明：(Ⅰ)在图1中，//AB CD ，AB CD =，ABCD ∴为平行四边形，//AD BC ∴，90B ∠=，AD BE ∴⊥，当EDA 沿AD 折起时，AD AB ⊥，AD AE ⊥，即AD AB ⊥，AD PA ⊥，又AB PA A ⋂=，,AB PAB PA PAB AD 面面⊂⊂∴⊥平面PAB ， 又PB ⊂平面PAB ，AD PB ∴⊥．解：(Ⅱ)①以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由于PA ⊥平面ABCD 那么(0,A 0，0)，(1,B 0，0)，(1,C 1，0)，(0,P 0，1)，(0,D 1，0)(1,PC =1，1)-，(0,BC =1，0)，(1,DC =0，0)，设平面PBC 的法向量为(,nx =y ，)z ，那么00PC n x y z BC n y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1z =，得(1,n =0，1)，设平面PCD 的法向量(,m a =b ，)c ，那么00m PC a b c m DC a ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1b =，得(0,m =1，1)，设二面角B PC D --的大小为θ，可知为钝角，那么1cos 222m n m nθ⋅=-=-=-⋅⨯，120θ∴=．∴二面角B PC D --的大小为120．②设AM 与面PBC 所成角为α，(0,AM AP PM =+=0，1)(1λ+，1，1)(λ-=，λ，1)λ-，平面PBC 的法向量(1,n=0，1)，直线AM 与平面PBC 所成的角为45，22212sin cos ,2(1)AM n AM n AM nλλαλλλ⋅+-∴====⋅⋅++-，解得0λ=或者23λ=． 【点睛】此题考察了利用线面垂直证明线线垂直，考察了利用向量数量积，求二面角的大小以及通过线面角公式求定比分点问题.20.椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点为1F ，2F ，离心率为12，点P 为椭圆C 上一动点，且12PF F △，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程； (2)设点()11,M x y ，()22,N x y 为椭圆C 上的两个动点，当1212x x y y +为多少时，点O 到直线MN 的间隔为定值.【答案】〔1〕22143x y +=；〔2〕当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN的间隔为定值7. 【解析】 【分析】〔1〕12PF F △的面积最大时，P 是短轴端点，由此可得bc =再由离心率及222a b c =+可得,a b ，从而得椭圆方程；〔2〕在直线MN 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，现椭圆方程联立消元〔y 〕后应用韦达定理得1212,x x x x +，注意>0∆，一是计算1212x x y y +，二是计算原点到直线MN 的间隔，两者比较可得结论．【详解】〔1〕因为P 在椭圆上，当P 是短轴端点时，P 到x 轴间隔最大，此时12PF F ∆面积最大，所以122c b bc ⨯⨯==22212bc c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆方程为22143x y +=．〔2〕在12x x ≠时，设直线MN 方程为y kx m =+，原点到此直线的间隔为d =，即2221m d k =+，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(34)84120k x kmx m +++-=， 2222644(34)(412)0k m k m ∆=-+->，2243m k <+，所以122834kmx x k +=-+，212241234m x x k-=+， 22222222224128712(1)(1)343434m k m m k k m k k k--+=+⋅-+=+++， 所以当12120x x y y +=时，2212(1)7m k =+，2221217m d k ==+，d = 假设12x x =，那么12y y =-，221212110x x y y x y +=-=，2211x y =，2127x =，7d x ==， 综上所述，当1212x x y y +＝0时，点O 到直线MN的间隔为定值7.【点睛】此题考察求椭圆方程与椭圆的几何性质，考察直线与椭圆的位置关系，考察运算求解才能．解题方法是“设而不求〞法．在直线与圆锥曲线相交时常用此法通过韦达定理联络式与待求式． 21.函数f (x )＝x －ln x ，g (x )＝x 2－ax .〔1〕求函数f (x )在区间[t ，t ＋1](t ＞0)上的最小值m (t )；〔2〕令h (x )＝g (x )－f (x )，A (x 1，h (x 1))，B (x 2，h (x 2))(x 1≠x 2)是函数h (x )图像上任意两点，且满足1212()()h x h x x x --＞1，务实数a 的取值范围；〔3〕假设∃x ∈(0,1]，使f (x )≥()a g x x-成立，务实数a 的最大值． 【答案】〔1〕m (t )＝ln ,11,01t t t t -≥⎧⎨<<⎩〔2〕a－2.〔3〕a－2.【解析】【分析】〔1〕是研究在动区间上的最值问题，这类问题的研究方法就是通过讨论函数的极值点与所研究的区间的大小关系来进展求解．〔2〕注意到函数h (x )的图像上任意不同两点A ，B 连线的斜率总大于1，等价于h (x 1)－h (x 2)＜x 1－x 2(x 1＜x 2)恒成立，从而构造函数F (x )＝h (x )－x 在(0，＋∞)上单调递增，进而等价于F ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立来加以研究．〔3〕用处理恒成立问题来处理有解问题，先别离变量转化为求对应函数的最值，得到a ≤22ln 1x x xx -+，再利用导数求函数M (x )＝22ln 1x x xx -+的最大值，这要用到二次求导，才可确定函数单调性，进而确定函数最值．【详解】〔1〕f ′(x )＝1－1x，x ＞0，令f ′(x )＝0，那么x ＝1.当t ≥1时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，f (x )的最小值为f (t )＝t －lnt ；当0＜t ＜1时，f (x )在区间(t,1)上为减函数，在区间(1，t ＋1)上为增函数，f (x )的最小值为f (1)＝1.综上，m (t )＝ln ,11,01t t t t -≥⎧⎨<<⎩〔2〕h (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋lnx ， 不妨取0＜x 1＜x 2，那么x 1－x 2＜0，那么由1212()()1h x h x x x ->-，可得h (x 1)－h (x 2)＜x 1－x 2，变形得h (x 1)－x 1＜h (x 2)－x 2恒成立． 令F (x )＝h (x )－x ＝x 2－(a ＋2)x ＋lnx ，x ＞0， 那么F (x )＝x 2－(a ＋2)x ＋lnx 在(0，＋∞)上单调递增，故F′(x)＝2x－(a＋2)＋1x≥0在(0，＋∞)上恒成立，所以2x＋1x≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立．因为2x＋1x，当且仅当x＝2时取“＝〞，所以a－2.〔3〕因为f(x)≥()a g xx-，所以a(x＋1)≤2x2－xlnx.因为x∈(0,1]，那么x＋1∈(1,2]，所以∃x∈(0,1]，使得a≤22ln1x x xx-+成立．令M(x)＝22ln1x x xx-+，那么M′(x)＝2223ln1(1)x x xx+--+.令y＝2x2＋3x－lnx－1，那么由y′＝(1)(41)x xx+-＝0可得x＝14或者x＝－1(舍)．当x∈1(0,)4时，y′＜0，那么函数y＝2x2＋3x－lnx－1在14上单调递减；当x∈1(,)4+∞时，y′＞0，那么函数y＝2x2＋3x－lnx－1在1(,)4+∞上单调递增．所以y≥ln4－18＞0，所以M′(x)＞0在x∈(0,1]时恒成立，所以M(x)在(0,1]上单调递增．所以只需a≤M(1)，即a≤1.所以实数a的最大值为1.【点睛】此题考察了函数与导数综合问题，考察了学生综合分析，转化与划归，数学运算才能，属于难题.请考生在22，23，题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分.做答时，需要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点()24P --，的直线l的参数方程为2242x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩〔为参数〕，直线l 与曲线C 交于M 、N 两点．〔1〕写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程：〔2〕假设| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，求a 的值．【答案】〔1〕l 的普通方程2y x =-；C 的直角坐标方程 2y ax =；〔2〕1a =. 【解析】【分析】〔1〕利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数t 即可得到直线l 的直角坐标方程；〔2〕将直线l 的参数方程，代入曲线C 的方程，利用参数的几何意义即可得出||||PMPN ⋅，从而建立关于a 的方程，求解即可． 【详解】〔1〕由直线l的参数方程2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去参数t 得, 42y x =-++，即2y x =-为l 的普通方程由2sin 2cos a ρθθ=，两边乘以ρ得22sin 2cos a ρθρθ=2y ax ∴=为C 的直角坐标方程.〔2〕将242x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入抛物线22y ax得24)3280t a t a -+++= 由| |,| |,| |P M M N P N 成等比数列，即21212t t t t -=⋅，()21212124t t t t t t +-=，()212125t t t t +=，24))5(328)a a +=+整理得2340a a +-=4a =-〔舍去〕或者1a =.【点睛】纯熟掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线l 的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键．选修4—5；不等式选讲.23.函数()|2||3|f x x x =++-.〔1〕解不等式()32f x x ≤-； 〔2〕假设函数()f x 最小值为M ，且23(0,0)a b M a b +=>>，求13211a b +++的最小值. 【答案】〔1〕7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭〔2〕169 【解析】【分析】〔1〕利用零点分段法，求得不等式的解集.〔2〕先求得()5f x ≥，即235(0,0)a b a b +=>>，再根据“1的代换〞的方法，结合根本不等式，求得13211a b +++的最小值. 【详解】〔1〕当2x <-时，2332x x x ---+≤-，即35x≥，无解； 当23x -≤≤时，2332x x x +-+≤-，即73x ≤，得733x ≤≤； 当3x >时，2332x x x ++-≤-，即1x ≥，得3x >. 故所求不等式的解集为7,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 〔2〕因为()|2||3||(2)(3)|5f x x x x x =++-≥+--=，所以235(0,0)a b ab +=>>，那么213(1)9a b +++=，1311313(1)3(21)16[213(1)]10211921192119b a a b a b a b a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++≥ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎣⎦. 当且仅当211,235,0,0,a b a b a b +=+⎧⎪+=⎨⎪>>⎩即5,854a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号. 故13211a b +++的最小值为169. 【点睛】本小题主要考察零点分段法解绝对值不等式，考察利用根本不等式求最值，考察化归与转化的数学思想方法，属于中档题.。
陕西省榆林市2024届高三一模数学(理)试题含答案解析
榆林市2023—2024年度高三第一次模拟检测数学试题（理科）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第I 卷一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设()322i i i z =++，则z =（）A.2i -+ B.2i--C.12i -- D.12i-+2.设集合{}{}24,2,0,2,4,450A B xx x =--=-->∣，则A B = （）A.{}0,2,4 B.{}4,2,0-- C.{}4,4- D.{}4,2--3.已知直线y =是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）A.65B.C.D.54.在等比数列{}n a 中，12231,2a a a a +=+=，则5a =（）A.163B.83C.16D.85.某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.4C. D.6.执行如图所示的程序框图，输出的S =（）A.18B.22C.25D.13757.已知0.551log 0.7,log 2,2a b c ===，则（）A.a b c <<B.c b a <<C.a c b<< D.b<c<a8.已知()11y f x =++为奇函数，则()()()()()()()2101234f f f f f f f -+-+++++=（）A.14- B.14 C.7- D.79.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B 在该抛物线上，点C 在y 轴上，若57,2FA FB ==，则AB BC =（）A.83B.72C.73D.310.下图是由两个边长不相等的正方形构成的，在整个图形中随机取一点，此点取自,,ADC AFC BEF 的概率分别记为123,,p p p ，则（）A.12p p =B.13p p =C.23p p = D.123p p p =+11.已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，M 为α上的一点，且24MH =，过点M 作球O 的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（）A.142B.114 C.144D.11212.已知函数()e e axxf x =-在[)0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是（）A.[)0,∞+ B.()1,+∞ C.()e,+∞ D.[)2e,+∞第II 卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量,a b满足()1,1,2,1a b a b ==-⋅= ，则+= a b __________.14.若,x y 满足约束条件8404020x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数3z x y =-的最大值为__.15.已知函数()π2sin 43f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.若存在12π,0,4x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()12f x m f x <<成立，则m 的取值范围是__________.16.某网店统计了A 商品近30天的日销售量，日销售量依次构成数列{}n a ，已知120a =，且()()111nn n a a n ++-=+-∈N ，则A 商品近30天的总销量为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在三棱锥A BCD -中，,AB AD BC CD ==.（1）证明：AC BD ⊥.（2）若AB BC BD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，求直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值.18.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 的周长为2326,2a bcAB AC -⋅=.（1）求a 的值；（2）求A 的最大值.19.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按[)30,40、[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[]80,90分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.（1）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（2）以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于60分，则被认定为成绩合格，低于60分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取5人，用X 表示成绩合格的人数，求X 的分布列及数学期望.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过()830,1,,55A P ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点.（1）求C 的方程；（2）斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且点A 不在l 上，AM AN ⊥，过点P 作y 轴的垂线，交直线=1x -于点S ，与椭圆C 的另一个交点为T ，记SMN 的面积为1S ，TMN △的面积为2S ，求12S S .21.已知函数()3f x x x =-.（1）求()f x 的极值；（2）已知()()ππ0,,sin cos tan 26mf nf ααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，证明：32m n +>.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C 的参数方程分别为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），21x y ββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（β为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 和2C 的极坐标方程；（2）已知直线():0l y kx k =>，且l 与曲线1C 相交于O 、A 两点，与曲线2C 相交于O 、B 两点，则当AB 取得最大值时，求k 的值.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()3221f x x x =-++.（1）求不等式()9f x >的解集；（2）若存在x ∈R ，使得()f x m <成立，求实数m 的取值范围.榆林市2023—2024年度高三第一次模拟检测数学试题（理科）考生注意：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第I 卷一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设()322i i i z =++，则z =（）A.2i-+ B.2i--C.12i -- D.12i-+【答案】B 【解析】【分析】根据复数的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由复数()322i i i 2i 2i 2i z =++=--=-+，所以2i z =--.故选：B.2.设集合{}{}24,2,0,2,4,450A B xx x =--=-->∣，则A B = （）A.{}0,2,4 B.{}4,2,0-- C.{}4,4- D.{}4,2--【答案】D【解析】【分析】解不等式化简集合B ，再利用交集的定义求解即得.【详解】依题意，{}2|450{|1B x x x x x =-->=<-或5}x >，而{}4,2,0,2,4A =--，所以{}4,2A B ⋂=--.故选：D3.已知直线y =是双曲线()222210,0y x a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（）A.5B.C.D.305【答案】D 【解析】【分析】根据渐近线方程得到ab=，再代入离心率公式即可.【详解】由题意可知a b =，所以305ce a===.故选：D.4.在等比数列{}n a 中，12231,2a a a a +=+=，则5a =（）A.163B.83C.16D.8【答案】A 【解析】【分析】利用等比数列的通项公式及性质求解即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()122312122q a a a a q a a a a ++===++，即2q =，由121a a +=，可得131a =，即113a =，所以451163a a q ==.故选：A5.某圆锥的侧面积为16π，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2 B.4C. D.【答案】D 【解析】【分析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由题意得到2ππr l =求解.【详解】解：设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，即侧面展开图的半径为l ，侧面展开图的弧长为πl .又圆锥的底面周长为2πr ，所以2ππr l =，即圆锥的母线长2l r =.所以圆锥的侧面积为2π2π16πrl r ==，解得r l ==.故选：D6.执行如图所示的程序框图，输出的S =（）A.18B.22C.25D.1375【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图的功能，一一循环验证即可.【详解】解：执行该程序框图，12,2,4S k k ==≤成立，18,3,4S k k ==≤成立，22,4,4S k k ==≤成立，25,5S k ==，不满足4k ≤，输出的25S =.故选：C7.已知0.551log 0.7,log 2,2a b c ===，则（）A.a b c <<B.c b a <<C.a c b <<D.b<c<a【答案】D 【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较大小可得答案.【详解】因为0.50.52log 0.49log 0.51a =>=，所以12a >，因为52log 41b =<，所以12b <，故bc a <<.故选：D.8.已知()11y f x =++为奇函数，则()()()()()()()2101234f f f f f f f -+-+++++=（）A.14- B.14 C.7- D.7【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数定义得到()()112f x f x -+++=-，进而求值.【详解】因为()11y f x =++为奇函数，所以()()1111f x f x ⎡⎤++=--++⎣⎦，即()()112f x f x -+++=-，所以()()()()()()()2413022,11f f f f f f f -+=-+=+=-=-，所以()()()()()()()21012347f f f f f f f -+-+++++=-.故选：C9.如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点,,A B C ，其中点,A B在该抛物线上，点C在y轴上，若57,2FA FB==，则ABBC=（）A.83 B.72 C.73 D.3【答案】D【解析】【分析】根据抛物线定义可求出,A Bx x，根据三角形相似即可求出ABBC.【详解】设(),A AA x y,(),B BB x y，由57,2FA FB==，根据抛物线定义可得517,12A Bx x+=+=，故36,2A Bx x==，，过A，B分别作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，垂足为E，明显ABE BCM，所以362332A BB CAB x xBC x x--===-.故选：D10.下图是由两个边长不相等的正方形构成的，在整个图形中随机取一点，此点取自,,ADC AFC BEF的概率分别记为123,,p p p，则（）A.12p p =B.13p p =C.23p p =D.123p p p =+【答案】A 【解析】【分析】先利用几何概型公式求得123,,p p p 的值，进而得到三者之间的关系.【详解】设,,AB a BE b a b ==<，从而22,22ADCBEF a b S S == ，因为//AC BF ，所以22AFC ABC a S S == ，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到()2212222222a a p p a b a b ===++，()223222222b b p a b a b ==++，则123p p p =<故选：A.11.已知H 是球O 的直径AB 上一点，:1:2AH HB =，AB ⊥平面α，H 为垂足，α截球O 所得截面的面积为π，M 为α上的一点，且24MH =，过点M 作球O 的截面，则所得的截面面积最小的圆的半径为（）A.142B.114 C.144D.112【答案】C【解析】【分析】设截得的截面圆的半径为r ，球的半径为R ，由平面几何知识得截面与球心的距离为13R ，利用勾股定理求得2R 的值，由题意可知球心O 到所求截面的距离d 最大时截面面积最小，利用面积公式，即可得答案.【详解】如图，设截得的截面圆的半径为r ，球O 的半径为R ，因为:1:2AH HB =，所以13OH R =.由勾股定理，得222R r OH =+，由题意得2ππ,1r r ==，所以22113R R ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，解得298R =，此时过点M 作球O 的截面，若要所得的截面面积最小，只需所求截面圆的半径最小.设球心O 到所求截面的距离为d ，所求截面的半径为r '，则r '=所以只需球心O 到所求截面的距离d 最大即可，而当且仅当OM 与所求截面垂直时，球心O 到所求截面的距离d 最大，即max12d OM ===，所以min 144r =='.故选：C12.已知函数()e e axxf x =-在[)0,∞+上单调递增，则a 的取值范围是（）A.[)0,∞+ B.()1,+∞ C.()e,+∞ D.[)2e,+∞【答案】B 【解析】【分析】分情况讨论，当0a ≤时直接代入可得函数递减；当0a >时，求导，构造函数，()[)e ,0,x g x x x ∞=∈+，再由()()1e 0x g x x =+≥'得到抽象函数()()g ax g x ≥，求出1a ≥，最后再讨论1a =时的情况，综合得出结果.【详解】当0a ≤时，函数()e e axxf x =-在[)0,∞+上单调递减，不符合题意，所以0a >，由题可知()e e 0ax x f x a '=-≥恒成立，即e e ax x a ≥.令()[)e ,0,xg x x x ∞=∈+，则()()1e 0xg x x =+≥'，所以()g x 在[)0,∞+上单调递增，由e e ax x a ≥，可得e e ax x ax x ≥，即()()g ax g x ≥，所以0ax x ≥≥，所以1a ≥，当1a =时，()0f x =，不符合题意，故a 的取值范围是()1,+∞.故选：B第II 卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量,a b满足()1,1,2,1a b a b ==-⋅= ，则+= a b __________.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积运算法则求出答案.【详解】因为()1,2b =-，所以b ==，故a b +=.故答案为：14.若,x y 满足约束条件8404020x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数3z x y =-的最大值为__.【答案】12【解析】【分析】作出约束条件8404020x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩的可行域，利用几何意义即可求得目标函数3z x y =-的最大值.【详解】画出约束条件8404020x y x y y --≤⎧⎪++≥⎨⎪-≤⎩的可行域，由84040x y x y --=⎧⎨++=⎩，可得(0,4)A -，由2040y x y -=⎧⎨++=⎩，可得(6,2)B -，当目标函数3z x y =-经过(6,2)B -时，63212z =--⨯=-，当目标函数3z x y =-经过(0,4)A -时，()03412z =-⨯-=，故目标函数3z x y =-的最大值为12.故答案为：1215.已知函数()π2sin 43f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.若存在12π,0,4x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()12f x m f x <<成立，则m 的取值范围是__________.【答案】()2【解析】【分析】根据x 的范围求出πsin 43x ⎛⎫+⎪⎝⎭范围，可得()f x 的值域，可得答案.【详解】当π04x ≤≤时，ππ4π4333x ≤+≤，则π2sin 423x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以()2f x ≤≤，因此()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦，若存在12π,0,4x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使不等式()()12f x m f x <<成立，则()()min max f x m f x <<，所以m 的取值范围是()2.故答案为：()2.16.某网店统计了A 商品近30天的日销售量，日销售量依次构成数列{}n a ，已知120a =，且()()111nn n a a n ++-=+-∈N ，则A 商品近30天的总销量为__________.【答案】1020【解析】【分析】根据题目所给递推关系找到数列的规律，进而求和.【详解】当21n k =-时，221k k a a -=，当2n k =时，2122k k a a +=+，∴21212k k a a +-=+，{}n a ∴中奇数项是公差为2，首项为20的等差数列，∴1232930a a a a a +++++ ()135292a a a a =++++ 151421*********⨯⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭.∴A 商品近30天的总销量为1020.故答案为：1020.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在三棱锥A BCD -中，,AB AD BC CD ==.（1）证明：AC BD ⊥.（2）若AB BC BD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，求直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）155【解析】【分析】（1）取BD 的中点O ，连接,OA OC ，由线面垂直判定定理证明BD ⊥平面OAC ，进而得到AC BD ⊥；（2）由平面ABD ⊥平面BCD ，可证明OA ⊥平面BCD ，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：取BD 的中点O ，连接,OA OC因为,AB AD BC CD ==，所以,OA BD OC BD ⊥⊥，又因为,OA OC ⊂平面,OAC OA OC O ⋂=，所以BD ⊥平面OAC ，因为AC ⊂平面OAC ，所以AC BD ⊥.【小问2详解】因为且平面ABD ⋂平面BCD BD =，OA BD ⊥，OA ⊂面ABD ，所以OA ⊥平面BCD .以O 为坐标原点，分别以,,OC OD OA 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设2BD =，则()0,1,0D ，()0,1,0B -，(3,0,0)C ，(3A ，所以(0,1,3AB =- ，(0,1,3AD = ，)3,1,0DC =- ，设平面ACD 的法向量为()111,,n x y z =，则11113030n AD y z n DC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取11z =，则113,1y x ==，所以()3,1n = ，直线AB 与平面ACD 所成角为θ，则231515sin cos ,5525AB n θ-====⨯ ，所以直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值为155.18.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC 的周长为2326,2a bcAB AC -⋅=.（1）求a 的值；（2）求A 的最大值.【答案】（1）2（2）π3【解析】【分析】（1）由题意结合数量积定义、余弦定理即可求解.（2）由题意结合余弦定理以及基本不等式相关推论即可求解.【小问1详解】222232cos 22c b a a bcAB AC cb A +--⋅===，即()224b c a +=.因为ABC 的周长为6，所以()2264a a -=，解得2a =.【小问2详解】由（1）可知4b c +=.()2222222661cos 112222b c bc a c b a A bc bc bc b c +--+-===-≥=+⎛⎫⎪⎝⎭，当且仅当b c =时，等号成立.故当2b c ==时，A 取得最大值π3.19.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按[)30,40、[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[]80,90分成6组，并整理得到如下频率分布直方图.（1）请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.（2）以样本频率估计概率，若竞赛成绩不低于60分，则被认定为成绩合格，低于60分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取5人，用X 表示成绩合格的人数，求X 的分布列及数学期望.【答案】（1）68.3（2）分布列见解析，()154E X =【解析】【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加，即可得出这100份样本数据的平均值；（2）由题意可知，35,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X 的分布列，利用二项分布的期望公式可求得()E X 的值.【小问1详解】解：由频率分布直方图可知，100份样本数据的平均值为()350.005450.010550.010650.020750.032850.02310x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯68.3=.【小问2详解】解：竞赛成绩不低于60分的频率为()30.0200.0320.023100.754++⨯==，低于60分的频率为()10.0050.0100.010100.254++⨯==.由题意可知35,4X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()55110C 41024P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()41531151C 441024P X ⎛⎫==⨯⨯=⎪⎝⎭，()23253190452C 441024512P X ⎛⎫⎛⎫==⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3235312701353C 441024512P X ⎛⎫⎛⎫==⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()445314054C 441024P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()55532435C 41024P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以X 的分布列为X12345P110241510244551213551240510242431024期望()315544E X =⨯=.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过()830,1,,55A P ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点.（1）求C 的方程；（2）斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，且点A 不在l 上，AM AN ⊥，过点P 作y 轴的垂线，交直线=1x -于点S ，与椭圆C 的另一个交点为T ，记SMN 的面积为1S ，TMN △的面积为2S ，求12S S .【答案】（1）2214x y +=（2）58【解析】【分析】（1）待定系数法求出22,a b ，得到椭圆方程；（2）先得到直线l x ⊥轴时，MAN △为钝角三角形，不合题意，设直线l 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由0AM AN ⋅=得到35m =-，得到直线l 恒过点30,5Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求出3831,,,555S T ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得到1258SQ S S TQ ==.【小问1详解】将()830,1,,55A P ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入椭圆方程中，222164912525b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得224,1,a b ⎧=⎨=⎩则椭圆C 的方程为2214x y +=；【小问2详解】当直线l x ⊥轴时，MAN △为钝角三角形，且90MAN ∠< ，不满足题意.设()()1122,,,M x y N x y ，由AM AN ⊥，可得0AM AN ⋅=，所以()()()()11221212,1,1110AM AN x y x y x x y y ⋅=-⋅-=+--=，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，因为点A 不在l 上，所以1m ≠，由22,44,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩化简得()222148440k x kmx m +++-=，()()22222206441444014k m k m m k ∆>⇒-+->⇒<+.2121222844,1414km m x x x x k k--+==++，所以()()()2212121211AM AN x x k x x k m x x m ⋅=++-++- ()()()()()22222222144114810141414k m m k k m m k k k +--+-=-=+++，则()()()()()22222144811140kmk m m m k +---+-+=，整理得()()1530m m -+=，因为1m ≠，所以35m =-，所以直线l 的方程为35y kx =-，恒过点30,5Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭.由题意和对称性可知3831,,,555S T ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设点S 到直线l 的距离为1d ，点T 到直线l 的距离为2d ，()11122210152188025MN d SQ S d S d TQ MN d ⋅--=====⎛⎫⋅-- ⎪⎝⎭【点睛】处理定点问题的思路：（1）确定题目中的核心变量（此处设为k ），（2）利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y =的联系，得到有关k 与,x y 的等式，（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k 与,x y 的等式进行变形，直至找到()00,x y ，①若等式的形式为整式，则考虑将含k 的式子归为一组，变形为“()k ⋅”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k 变为常数.21.已知函数()3f x x x =-.（1）求()f x 的极值；（2）已知()()ππ0,,sin cos tan 26mf nf ααα⎛⎫∈+= ⎪⎝⎭，证明：32m n +>.【答案】（1239-（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求得()f x 的单调性，进而求得()f x 的极值；（2）先利用题给条件构造出m n +的不等式，再利用（1）的结论即可证得32m n +>.【小问1详解】()3f x x x =-，()213f x x '=-，令()0f x '=，可得33x =±.令()0f x ¢>，可得3333x -<<，令()0f x '<，可得33x >，或33x <-所以()f x 在,33⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,3⎛-∞- ⎝⎭和3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+上单调递减.所以()f x 的极大值为()323,39f f x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的极小值为32339f ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭.【小问2详解】由()()πsin cos tan6mf nf αα+=，可得223cos sin sin cos 3m n αααα+=，所以3cos sin 3sin cos m n αααα+=.由对称性，不妨设π0,4α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()cos sin cos 3sin cos m n m n ααααα+=≤+，当且仅当2sin cos 2αα==时，等号成立，所以()23333sin cos 3sin sin m n αααα+≥=-.由（1）可知()f x 在20,2⎛ ⎝⎦上的最大值为=⎝⎭f ，所以()3323330sin sin 923sin sin αααα<-≤≥-，当且仅当sin 3α=时，等号成立，因为等号不能同时取到，所以32m n +>.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：（1）构造差函数()()()h x f x g x =-，根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数，一般思路为利用条件将所求问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中，曲线1C和2C的参数方程分别为1cossinxyαα=+⎧⎨=⎩（α为参数），21xyββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（β为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C和2C的极坐标方程；（2）已知直线():0l y kx k=>，且l与曲线1C相交于O、A两点，与曲线2C相交于O、B两点，则当AB取得最大值时，求k的值.【答案】（1）1:2cosCρθ=，2:4cos2sinC=+ρθθ（2）1k=【解析】【分析】（1）将曲线1C、2C的参数方程化为普通方程，再由极坐标方程与普通方程之间的转换关系可得出曲线1C、2C的极坐标方程；（2）设直线l的极坐标方程为θϕ=，其中π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将直线l的极坐标方程分别代入曲线1C、2C的极坐标方程，求出点A、B的极径，然后利用三角恒等变换结合正弦型函数的最值可求得AB的最值及其对应的ϕ值，由此可得出k的值.【小问1详解】解：在曲线1C的参数方程1cossinxyαα=+⎧⎨=⎩（α为参数）中消去参数α，可得()2211x y-+=，即2220x y x+-=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得2cos ρθ=.在曲线2C的参数方程21x y ββ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（β为参数）中消去参数β，可得()()22215x y -+-=，即22420x y x y +--=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4cos 2sin ρθθ=+.所以，曲线1C 的极坐标方程为cos x ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4cos 2sin ρθθ=+.【小问2详解】解：由题可设直线l 的极坐标方程为θϕ=，其中π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，将θϕ=代入2cos ρθ=，得2cos ρϕ=，将θϕ=代入4cos 2sin ρθθ=+，得4cos 2sin ρϕϕ=+，所以π4cos 2sin 2cos 2sin cos 4AB ϕϕϕϕϕϕ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π02ϕ<<，则ππ3π444<+<ϕ，故当π2π4ϕ+=时，即当π4ϕ=时，AB 取得最大值，此时πtan 14k ==.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()3221f x x x =-++.（1）求不等式()9f x >的解集；（2）若存在x ∈R ，使得()f x m <成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）8{|5x x <-或2}x >（2）7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，分类讨论，即可求解；（2）根据题意，结合一次函数的性质，求得函数()f x 的最小值，即可求解.【小问1详解】解：由函数()3221f x x x =-++，当12x <-时，可得23219x x --->，解得85x <-，故85x <-；当1223x -≤≤时，可得23219x x -++>，解得6x <-，故无解；当23x >时，可得32219x x -++>，解得2x >，故2x >.故不等式()9f x >的解集为8{|5x x <-或2}x >.【小问2详解】解：由函数()251,31232213,23115,2x x f x x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=-++=--<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩，可得()min 2733f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以73m >，即实数m 的取值范围为7,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.。
高三数学试卷一模理科
高三数学试卷一模理科一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确选项的字母填在题后的括号内。
）1. 已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，下列说法正确的是（）A. 函数的图像开口向下B. 函数的图像开口向上C. 函数的图像关于y轴对称D. 函数的图像关于x=1/2对称2. 若a, b, c是等差数列，且a + b + c = 9，b = 3，则a + c的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 123. 已知集合A = {1, 3, 5}，B = {2, 4, 6}，则A∪B = （）A. {1, 2, 3, 4, 5, 6}B. {1, 3, 5}C. {2, 4, 6}D. {1, 2, 3, 5, 6}...10. 已知直线y = 2x + 3与抛物线y = x^2 - 4x + 5相交于点P和Q。
则|PQ|的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。
请将答案直接写在题后的横线上。
）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = ______。
12. 已知等比数列的前三项分别为2, 2q, 2q^2，且公比q > 0，求q 的值 = ______。
13. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, -4)，求向量a与向量b的点积 = ______。
14. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，求圆心坐标 = ______。
15. 已知函数y = ln(x + √(1 + x^2))，求函数在x = 1处的导数值= ______。
三、解答题（本题共5小题，共40分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
）16. （本题满分8分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数的最小值。
17. （本题满分8分）已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，求数列的前n项和Sn。
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）含答案解析
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜86．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜07．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．2169．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为_______．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为_______．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是_______．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=_______．﹣1三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用已知条件求出集合的补集关系，然后求解交集．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）={4，5}．故选：B．2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，∴复数的共轭复数是1﹣i．故选：A．3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故选：C．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可得a n和S n，逐个选项验证可得．【解答】解：由题意可得，A.，，∴A错；B.，构造函数f（x）=2x，易知f（x）在R上单调递增，当x=2时，f（2x﹣1）=f（x+1），∴R上不能保证f（2x﹣1）≤f（x+1）恒成立，∴B错；C．S n＜a n+1恒成立即2n﹣1＜2n恒成立，显然C正确．同A的解析可得D错误．故选：C5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=8时，退出循环，输出S的值为，故判断框图可填入的条件是k＜8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=0，k=0满足条件，k=2，S=满足条件，k=4，S=+满足条件，k=6，S=+满足条件，k=8，S=++=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．故选：D．6．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 【考点】函数的值；不等关系与不等式．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R 上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a ＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选A．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f （x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解答】解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=189种．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，∴S△SAD==2设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出a的取值范围即可．【解答】解：表示区域内点（x，y）与定点A（2，0）连线斜率K，由图易观察到BC与y轴重合时，，当BC向右移动时，，综上，a∈[0，1]．故选：C．11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】先判断三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故可得正方体的棱长，即可求出外接球的半径，从而可得三棱锥A﹣BCD外接球的表面积．【解答】解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，∴DE=，∴PE=，DP=∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即∴AP=，∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为∴外接球的表面积=4πr2=6π．故选：D．12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】函数零点的判定定理．【分析】构造函数，由函数有唯一零点x0，则y1，y2有公切点，由此求x0的解析式，即可求出m、n的值．【解答】解：令，则，在（0，1）上y1为减函数，在（1，+∞）上y1为增函数，所以y1为凹函数，而y2为凸函数；∵函数有唯一零点x0，∴y1，y2有公切点（x0，y0），则，消去a，得+﹣2（﹣）lnx0=0；构造函数，则g（1）=3，欲比较5与7ln2大小，可比较e5与27大小，∵e5＞27，∴g（2）＞0，，∴x∈（2，e）；∴m=2，n=3，∴m+n=5．二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为18．【考点】二项式定理的应用．【分析】设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，分别令x=1、x=﹣1，求得a的值，再利用排列组合的知识求得x3的系数．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0…②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．当（3+x）中取3，则（1+x）4取x，x，x，1，即可得x3的系数为，当（3+x）中取x，则（1+x）4取x，x，1，1，即x3的系数为，∴展开式中x3的系数为18．故答案为：18．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据圆心在曲线上，设出圆心的坐标，然后根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，要使圆的面积最小即为圆的半径最小，利用点到直线的距离公式表示出设出的圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值及此时a的值，进而得到此时的圆心坐标和圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a＞0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，由a＞0得到：d=≥=，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=515．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=440．【考点】数列的求和．【分析】由（n≥2），对n分类讨论，可得：a2k+a2k﹣2=4k﹣1，a2k+1+a2k ﹣1=1，分组求和即可得出．【解答】解：∵（n≥2），∴当n=2k时，即a2k﹣a2k﹣1=2k，①当n=2k﹣1时，即a2k﹣1+a2k﹣2=2k﹣1，②当n=2k+1时，即a2k+1+a2k=2k+1，③①+②a2k+a2k﹣2=4k﹣1，③﹣①a2k+1+a2k﹣1=1，S40=（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）=．三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，结合A锐角，sinA＞0，可得sinC=，又C为锐角，即可得解C的值．（2）由余弦定理及已知可得7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积公式可得ab=6，即可得解a+b 的值．【解答】解：（1）∵a=2csinA，∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴sinC=，又∵C为锐角，∴C=，（2）∵三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，又∵由△ABC的面积得S=absinC=ab×=．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，∵由于a+b为正，∴a+b=5．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率．（Ⅱ）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，P（A）==，P（B）==，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）=P（A）（1﹣P（B））==．（Ⅱ）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=P（A）+P（）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=2）=P（AB）+P（A）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=3）=P（ABC）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，，建立方程，联立，即可求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，确定m，k的关系，直线代入椭圆方程，表示出面积，换元，利用配方法，即可确定结论．【解答】解：（1）设方程为（a＞b＞0），则A（a，0），B（0，b），F（c，0）∵椭圆C的离心率为，∴=∴a=2b，∴①∵②∴联立①②，解得b=1，c=∴a=2，∴椭圆的方程为；（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为2，∵直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，∴=1∴m2=1+k2③直线l代入椭圆方程，可得（）x2+2kmx+m2﹣1=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴==④③代入④可得=，∴|x1﹣x2|=∴|MN|==∴=令t=4k2+1≥1，则代入上式的，S=∴t=3，即4k2+1=3，解得时，S取得最大值为1．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出k的最大值即可；（2）假设存在这样的x0满足题意，得到+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出满足条件的x的值．【解答】解：（1）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx+1＞k（1﹣），即xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，若k≤2，∵x＞1，∴lnx＞0，g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，+∞）上递增；∴g（1）=1+2k≥0，解得，k≥﹣；故﹣≤k≤2，故k的最大值为2；若k＞2，由lnx+2﹣k＞0，解得x＞e k﹣2，故g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增；∴g min（x）=g（e k﹣2）=3k﹣e k﹣2，令h（k）=3k﹣e k﹣2，h′（k）=3﹣e k﹣2，∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；∴k的最大取值为4，综上所述，k的最大值为4．（2）假设存在这样的x0满足题意，∵e f（x0）＜1﹣x02，∴+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，则h′（x）=x（a﹣），令h′（x）=0，得：e x=，故x=﹣lna，取x0=﹣lna，在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；∴h min（x）=h（x0）=（﹣lna）2+alna+a﹣1，在a∈（0，1）时，令p（a）=（lna）2+alna+a﹣1，则p′（a）=（lna）2≥0，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p（a）＜p（1）=0，即当x0=﹣lna时符合题意．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…9月9日。
河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）含答案解析
河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2|B．•=2 C．﹣与垂直D．∥4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．105．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．88．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． +C．D．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6C．4+D．611．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B． C． D．112．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f （x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A． B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|=．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M （x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：分数段[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）人数 2 8 30 30 20 10 （Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．河南省焦作市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|2x2﹣5x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．{x|﹣1＜x＜﹣，或2＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|﹣＜x＜2}D．{x|﹣1＜x＜﹣}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（2x+1）（x﹣3）＞0，解得：x＜﹣或x＞3，即B={x|x＜﹣或x＞3}，∵A={x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}，故选：D．2．若复数z满足z（1+i）=|1+i|，则在复平面内z的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简求出复数，得到复数对应点的坐标，即可得到结果．【解答】解：复数z满足z（1+i）=|1+i|=2，可得z==1﹣i，复数对应点为（1，﹣1），在复平面内z的共轭复数对应的点（1，1）．故选：A．3．设向量=（2，0），=（1，1），则下列结论中不正确的是（）A．||=|2|B．•=2 C．﹣与垂直D．∥【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与运算，对选项中的命题进行分析判断即可．【解答】解：∵向量=（2，0），=（1，1），∴||=2，||===2，||=||，A正确；•=2×1+0×1=2，B正确；（﹣）•=（1，﹣1）•（1，1）=1×1﹣1×1=0，∴（﹣）⊥，C正确；2×1﹣0×1≠0，∴∥不成立，D错误．故选：D．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣1，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣1﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣1﹣4﹣9，i=4；∴S0﹣1﹣4﹣9=﹣4，解得S0=10故选：D．5．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】由抛物线标准方程易得其准线方程为x=﹣6，而通过双曲线的标准方程可见其焦点在x轴上，则双曲线的左焦点为（﹣6，0），此时由双曲线的性质a2+b2=c2可得a、b的一个方程；再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=±x，可得=，则得a、b的另一个方程．那么只需解a、b的方程组，问题即可解决．【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为．故选B．6．若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，则函数y=log a|x|的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象；指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数的图象和性质求出0＜a＜1，利用对数函数的图象和性质进行判断即可．【解答】解：∵|x|≥0，∴若函数y=a|x|（a＞0，且a≠1）的值域为{y|0＜y≤1}，∴0＜a＜1，当x＞0时，数y=log a|x|=log a x，为减函数，当x＜0时，数y=log a|x|=log a（﹣x），为增函数，且函数是偶函数，关于y轴对称，故选：A7．已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．8【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a 的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故选D．8．已知函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）B．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）C．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）D．[2kπ﹣，2kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性．【分析】由题意知函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值，从而可得（•+a）2=3+a2，从而解出f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），从而确定单调增区间．【解答】解：∵函数f（x）=sinx+acosx的图象的一条对称轴为x=，∴函数f（x）=sinx+acosx在x=处取得最值；∴（•+a）2=3+a2，解得，a=1；故f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），故2kπ﹣≤x+≤2kπ+，k∈Z，故2kπ﹣≤x≤2kπ+，k∈Z，故选：C．9．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，则当n为偶数时，数列{a n}的前n项和S n=（）A．﹣B． +C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2﹣a n=3，可知：此数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为3，=1+3（k﹣1）=3k﹣2，a2k=2+3（k﹣1）=3k﹣1．且a2k﹣1则当n为偶数时，设2k=n，数列{a n}的前n项和S n=+=3k2=．故选：C．10．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则一个质点从扇形的圆心起始，绕几何体的侧面运动一周回到起点，其最短路径为（）A．4+B．6C．4+D．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体侧面展开图，将问题转化为平面上的最短问题解决．【解答】解：由三视图可知几何体为圆锥的一部分，圆锥的底面半径为2，几何体底面圆心角为120°，∴几何体底面弧长为=．圆锥高为2．∴圆锥的母线长为．作出几何体的侧面展开图如图所示：其中，AB=AB′=2，AB⊥BC，AB′⊥B′D，B′D=BC=2，AC=AD=4，．∴∠BAC=∠B′AD=30°，∠CAD=．∴∠BAB′=120°．∴BB′==6．故选D．11．已知椭圆（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，过F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则的最小值为（）A．B． C． D．1【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，利用转化思想方法求得OQ=a，又OQ=2b，得a=2b，进一步得到a，e与b的关系，然后利用基本不等式求得的最小值．【解答】解：如图，由题意，P是以F1，F2为焦点的椭圆上一点，过焦点F2作∠F1PF2外角平分线的垂线，垂足为Q，延长F2Q交F1P延长线于M，得PM=PF2，由椭圆的定义知PF1+PF2=2a，故有PF1+PM=MF1=2a，连接OQ，知OQ是三角形F1F2M的中位线，∴OQ=a，又OQ=2b，∴a=2b，则a2=4b2=4（a2﹣c2），即c2=a2，∴===2b+≥2=．当且仅当2b=，即b=时，有最小值为．故选：C．12．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f （x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n（n∈N*），且{a n}的前n项和为S n，则S n=（）A． B．C．D．【考点】数列与函数的综合．【分析】根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=f （x），从而f（x+2n）=f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x，可求（x）在[2n﹣2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为a n，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a n}的前n项和为S n．【解答】解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），∴f（x+2）=f（x），∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x+6）=f（x+4）=f（x），…f（x+2n）=f（x）设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．∴=﹣2（x﹣2n+1）2+2∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n∴a n=22﹣n∴{a n}表示以2为首项，为公比的等比数列∴{a n}的前n项和为S n==故选B．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．直线x﹣y+2=0与圆x2+y2=4相交于A、B两点，则|AB|=2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用点到直线的距离公式求出圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d，再由弦长公式可得弦长．【解答】解：圆心（0，0）到直线x﹣y+2=0的距离d==1，半径r=2，故|AB|=2=2，故答案为：2．14．若实数x，y满足，则z=|x+2y﹣3|的最小值为1．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，令t=x+2y﹣3，化为直线方程的斜截式，利用线性规划知识求出t的范围，取绝对值得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，令t=x+2y﹣3，则，由图可知，当直线过O时，直线在y轴上的截距最小，t有最小值为﹣3；直线过A时，直线在y轴上的截距最大，t有最大值为﹣1．∴z=|x+2y﹣3|的最小值为1．故答案为：1．15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M（x，y）与点N（a，b）的距离．结合上述观点，可得f（x）=+的最小值为5．【考点】类比推理．【分析】f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：f（x）=+=，表示平面上点M（x，0）与点N（﹣2，4），O（﹣1，﹣3）的距离和，∴f（x）=+的最小值为=5．故答案为：5．16．在三棱锥S﹣ABC中，AB⊥BC，AB=BC=，SA=SC=2，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是，若S、A、B、C都在同一球面上，则该球的表面积是6π．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】审题后，二面角S﹣AC﹣B的余弦值是是重要条件，根据定义，先作出它的平面角，如图所示．进一步分析此三棱锥的结构特征，找出其外接球半径的几何或数量表示，再进行计算．【解答】解：如图所示：取AC中点D，连接SD，BD，则由AB=BC，SA=SC得出SD⊥AC，BD⊥AC，∴∠SDB为S﹣AC﹣B的平面角，且AC⊥面SBD．由题意：AB⊥BC，AB=BC=，易得：△ABC为等腰直角三角形，且AC=2，又∵BD⊥AC，故BD=AD=AC，在△SBD中，BD===1，在△SAC中，SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3，在△SBD中，由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SD•BDcos∠SDB=3+1﹣2×=2，满足SB2=SD2﹣BD2，∴∠SBD=90°，SB⊥BD，又SB⊥AC，BD∩AC=D，∴SB⊥面ABC．以SB，BA，BC为顶点可以补成一个棱长为的正方体，S、A、B、C都在正方体的外接球上，正方体的对角线为球的一条直径，所以2R=，R=，球的表面积S=4=6π．故答案为：6π．三、解答题（本大题共5小题，满分60分）解答下列各题应在答题纸的相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（Ⅰ）求∠A的大小；（Ⅱ）若f（x）=，求f（B）的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（I）由（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．再利用余弦定理可得：cosA．（II）f（x）=sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，可得＜B+＜，即可得出．【解答】解：（I）∵（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．由余弦定理可得：cosA===，∵A∈（0，π），∴A=．（II）f（x）==sinx+=+，在锐角△ABC中，＜B，∴＜B+＜，∴∈，∴f（B）的取值范围是．18．在市高三学业水平测试中，某校老师为了了解所教两个班100名学生的数学得分情况，按成绩分成六组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）统计数据如下：分数段[80，90）[90，100）[100，110）[110，120）[120，130）[130，140）人数 2 8 30 30 20 10 （Ⅰ）请根据上表中的数据，完成频率分布直方图，并估算这100学生的数学平均成绩；（Ⅱ）该教师决定在[110，120），[120，130），[130，140）这三组中用分层抽样抽取6名学生进行调研，然后再从这6名学生中随机抽取2名学生进行谈话，记这2名学生中有ξ名学生在[120，130）内，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由统计数据能作出频率分布直方图，利用频率分布直方图能估算这100学生的数学平均成绩．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（Ⅰ）由统计数据作出频率分布直方图如下：∴估算这100学生的数学平均成绩：=10（85×0.002+95×0.008+105×0.03+115×0.03125×0.02+135×0.01）=113.8．（Ⅱ）由题意，在[110，120），[120，130），[130，140）三组中，利用分层抽样抽取的学生数分别为3，2，1，∴ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2PEξ==．19．如图所示，平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AD⊥ED，AF∥DE，AB∥CD，CD=2AB=2AD=2ED=xAF．（Ⅰ）若四点F、B、C、E共面，AB=a，求x的值；（Ⅱ）求证：平面CBE⊥平面EDB；（Ⅲ）当x=2时，求二面角F﹣EB﹣C的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据四点F、B、C、E共面，以及三角形相似建立方程关系进行求解；（Ⅱ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面BDE⊥平面BEC；（Ⅲ）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵AF∥DE，AB∥CD，AF∩AB=A，DE∩DC=D，∴平面ABF∥平面DCE，∵平面ADEF⊥平面ABCD，∴FB∥CE，∴△ABF～△DCE，∵AB=a，∴ED=a，CD=2a，AF=，由相似比得，即，得x=4（Ⅱ）连接BD，设AB=1，则AB=AD=1，CD=2，可得BD=，取CD的中点M，则MD与AB平行且相等，则△BMD为等腰直角三角形，则BC=BD=，∵BD2+BC2=CD2，∴BC⊥BD．∵平面四边形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，BC⊥DE，又∵ED∩BD=D，∴BC⊥平面BDE．又∵BC⊂平面BCE，∴平面BDE⊥平面BEC．（ III）建立空间坐标系如图：设AB=1，∵x=2，∴CD=2，则F（1，0，1），B（1，1，0），E（0，0，1），C（0，2，0），=（1，0，0），=（1，1，﹣1），=（0，2，﹣1），设平面EF的一个法向量为=（x，y，z），则由得，则取=（0，1，1），设平面EBC的法向量为=（x，y，z），则，得，令y=1，则z=2，x=1，即=（1，1，2），则cos＜，＞===，则＜，＞=30°，∵二面角F﹣EB﹣C是钝二面角，∴二面角F﹣EB﹣C的大小为150°．20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），定点M（2，0），以O为圆心，抛物线C的准线与以|OM|为半径的圆所交的弦长为2．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线y=﹣x+m（m∈R）与抛物线交于不同的两点A、B，则抛物线上是否存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称．若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）利用垂径定理和勾股定理列方程解出p即可得出抛物线方程；（II）联立方程组，由根与系数的关系得出A，B纵坐标的关系，假设存在符合条件的P 点，则k PA+k PB=0，代入斜率公式化简即可求出x0，y0．【解答】解：（I）设抛物线的准线方程为x=﹣．圆O的半径r=2，由垂径定理得=4，解得p=2．∴抛物线方程为y2=4x．（II）联立方程组得y2+4y﹣4m=0，∴△=16+16m＞0，解得m＞﹣1．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4m．若抛物线上存在定点P（x0，y0），使得直线PA，PB关于x=x0对称，则k PA+k PB=0，∴+=+==0，∴y0=﹣=2，x0==1．∴存在点P（1，2），只要m＞﹣1，直线PA，PB关于直线x=1对称．21．已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+2lnx，F（x）=3g（x）﹣2xg′（x），若函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求证：＜0．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导根据导数和函数的单调性的关系即可求出，（Ⅱ）求导，根据中点坐标公式得到=﹣（x1+x2）+a+，①，分别把两个零点x1，x2，代入到F（x）中，转化，分离参数得到a﹣（x1+x2）=，再代入得到= [ln+]，换元，构造函数得到h（t）=lnt+，根据导数求出h（t）的最大值，即可证明．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=2x+a﹣=，令f′（x）＞0，得x＞，f′（x）＜0，得0＜x＜，∴函数f（x）在（，+∞）为增函数，在（0，）为减函数，（Ⅱ）由已知g（x）=f（x）+2lnx，∴F（x）=3g（x）﹣2xg′（x）=﹣x2+ax+3lnx﹣2，∴F′（x）=﹣2x+a+，即： =﹣（x1+x2）+a+，①∵函数F（x）在定义域内有两个零点x1，x2，∴﹣x12+ax1+3lnx1﹣2=0，②﹣x22+ax2+3lnx2﹣2=0，③②﹣③得﹣（x12﹣x22）+a（x1﹣x2）+3（lnx1﹣lnx2）=0可得（x1﹣x2）[a﹣（x1+x2）]+3ln=0，∴a﹣（x1+x2）=，代入①得： =+=[ln+]= [ln+]，令=t，则0＜t＜1，∴h（t）=lnt+，∴h′（t）=+=﹣=≥0∴h（t）在（0，1）上为增函数，∴h（t）＜h（1）=0，∵x1＜x2，∴＜0．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时．用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-1：几何证明选讲] 22．如图所示，已知PA是⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2=EF•EC．（Ⅰ）求证：A、P、D、F四点共圆；（Ⅱ）若AE•ED=12，DE=EB=3，求PA的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知中DE2=EF•EC，我们易证明，△DEF～△CED，进而结合CD∥AP，结合相似三角形性质，得到∠P=∠EDF，由圆内接四边形判定定理得到A、P、D、F 四点共圆；（Ⅱ）由（Ⅰ）中的结论，结合相交弦定理得PE•EF=AE•ED=12，结合已知条件，可求出PB，PC的长，代入切割线定理，即可求出PA的长．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵DE2=EF•EC，∴=，又∠DEF=∠CED，∴△DEF～△CED，∠EDF=∠ECD，又∵CD∥PA，∴∠ECD=∠P故∠P=∠EDF，所以A，P，D，F四点共圆；…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及相交弦定理得：PE•EF=AE•ED=12，又BE•EC=AE•ED=12，∴EC=4，EF==，PE=，PB=，PC=PB+BE+EC=，由切割线定理得PA2=PB•PC=×=，所以PA=为所求…10分[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2的参数方程为，（θ为参数，0≤θ≤π）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用极坐标方程的定义即可求得；（Ⅱ）数形结合：作出图象，根据图象即可求出有两交点时a的范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ（sinθ+cosθ）=a，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为（x+1）2+（y+1）2=1（﹣1≤y≤0），为半圆弧，如图所示，曲线C1为一族平行于直线x+y=0的直线，当直线C1过点P时，利用得a=﹣2±，舍去a=﹣2﹣，则a=﹣2+，当直线C1过点A、B两点时，a=﹣1，∴由图可知，当﹣1≤a＜﹣2+时，曲线C1与曲线C2有两个公共点．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；（2）求a2+b2+c2的最小值．【考点】一般形式的柯西不等式．【分析】（1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；（2）运用柯西不等式，注意等号成立的条件，即可得到最小值．【解答】解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|+c≥|（x+a）﹣（x﹣b）|+c=|a+b|+c，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，所以f（x）的最小值为a+b+c，所以a+b+c=4；（2）由（1）知a+b+c=4，由柯西不等式得，（a2+b2+c2）（4+9+1）≥（•2+•3+c•1）2=（a+b+c）2=16，即a2+b2+c2≥当且仅当==，即a=，b=，c=时，等号成立．所以a2+b2+c2的最小值为．8月1日。
高三数学一模试题 理含解析 试题
武功县2021届高三数学一模试题 理〔含解析〕第一卷一、选择题〔在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕 1.集合{}1A x R x =∈≤，{}24B x R x =∈≤，A B ＝〔 〕A. [－2，1]B. [－2，2]C. [1，2]D. 〔－∞，2] 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质先求出集合B ，再由交集定义求出A B ．【详解】解：∵集合{}1A x R x =∈≤，{}{}2422B x R x x R x =∈≤=∈-≤≤，{|21}[2,1]A B x x ∴⋂=-≤≤=-．应选A ．【点睛】此题考察交集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意不等式性质及交集定义的合理运用．2.假设(12)5i z i -=〔i 是虚数单位〕，那么z 的值是〔 〕A. 3B. 5【答案】D 【解析】【分析】直接利用复数的模的求法的运算法那么求解即可.【详解】() 125i z i -=〔i 是虚数单位〕 可得()125i z i -= 解得5z = 此题正确选项：D【点睛】此题考察复数的模的运算法那么的应用，复数的模的求法，考察计算才能.()1,2a =，()1,0b =，()4,3c =-.假设λ为实数且()a b c λ+⊥，那么λ=〔 〕A.14B.12C. 1D. 2【答案】B 【解析】试题分析：1+2a b λλ+=（，），因为()a b c λ+⊥，那么()1=41+-6=0=2a b c λλλ+⋅（），，选B ；考点：向量的坐标运算；4.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如下图，那么新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为〔〕A. 0.25B. 0.3C. 0.4D. 0.45【答案】B 【解析】【分析】频率分布直方图的纵轴表示的是频率组距，所以结合组距为300可得频率． 【详解】解：由频率分布直方图可得：新生婴儿体重在(]2700,3000的频率为：0.0013000.3⨯=．应选B ．【点睛】解决此类问题的关键是纯熟掌握频率分布直方图以及其纵轴所表示的意义． 5.命题:12p x -<<，2:log 1q x <，那么p 是q 成立的〔 〕条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式得到命题q 中x 的范围，然后根据充分条件、必要条件的定义断定即可得到结论．【详解】由2log 1x <，得02x <<． ∵()0,2 ()1,2-，∴p 是q 成立的必要不充分条件． 应选B ．【点睛】充分、必要条件的判断方法〔1〕利用定义判断：直接判断“假设p ，那么q 〞、“假设q ，那么p 〞的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么．〔2〕从集合的角度判断：利用集合中包含思想断定．抓住“以小推大〞的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题．〔3〕利用等价转化法：条件和结论带有否认性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .假设420S =，510a =，那么16a =〔 〕 A. 32- B. 12C. 16D. 32【答案】D 【解析】()14414420,20,10,2a a S a a +=∴=∴+= 又510a =.可得14511,,2a a a a d a d +==∴==，那么()162161232.a =+-⨯=应选D.7.如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的选项是〔 〕A. //BD 平面11CB DB. 1AC BD ⊥C. 1AC ⊥平面11CB DD. 异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒ 【答案】D 【解析】【详解】在正方体中与11B D 平行，因此有与平面平行，A 正确；在平面 内的射影垂直于，因此有，B 正确；与B 同理有与垂直，从而平面，C 正确；由知与所成角为45°，D 错．应选D ．8.现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③cos y x x =⋅；④2x y x =⋅的图象〔局部〕如下，那么按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是〔 〕A. ①④②③B. ①④③②C. ④①②③D.③④②① 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到．【详解】解：①sin y x x =⋅为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是； ②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值是正数， 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值是负数，故第三个图象满足； ③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足； ④2x y x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足， 应选A ．【点睛】此题主要考察函数的图象，函数的奇偶性、函数的值的符号，属于中档题． 9.tan 2θ=，那么22sin sin cos 2cos θθθθ+-=〔 〕 A. 43-B.54C. 34-D.45【答案】D 【解析】 试题分析：22222222sin sin cos 2cos tan tan 24sin sin cos 2cos sin cos tan 15θθθθθθθθθθθθθ+-===++＋－＋－ 考点：同角间三角函数关系 【此处有视频，请去附件查看】10.直线l 过点〔0，2〕，被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是〔 〕A. 423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y =D. y=423x +或者y=2【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理得圆心到直线间隔 ,再设直线方程点斜式,利用点到直线间隔 公式求斜率,即得结果.【详解】因为直线l 被圆C ：224690x y x y +--+=，22(2)(3)4-+-=x y 截得的弦长为1=，设直线l 的方程为2y kx =+，〔斜率不存在时不满足题意〕那么10k =∴=或者43k =，即直线l 的方程是423y x =+或者2y =,选D. 【点睛】此题考察垂径定理，考察根本转化求解才能，属根底题.11.椭圆长轴上的两端点()13,0A -，()23,0A ，两焦点恰好把长轴三等分，那么该椭圆的HY 方程为〔〕A.22198x yB. 2219x y +=C. 2213632x y += D. 22136x y +=【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，3a =，且12223c a ==，可得3a =且1c =，再根据椭圆中a 、b 、c 的平方关系得到2b 的值，结合椭圆焦点在x 轴，得到此椭圆的HY 方程．【详解】由题意可设所求的椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，且3a =由两焦点恰好把长轴三等分可得26a c =即33a c ==1c =，b =故所求的椭圆方程为：22198x y应选A ．【点睛】对于椭圆方程的求解一般需要先判断椭圆的焦点位置，进而设出椭圆的方程，求解出a ，b 的值．3()1f x ax x =++有极值的充要条件是 〔 〕A. 0a >B. 0a ≥C. 0a <D. 0a ≤【答案】C 【解析】因为2()31f x ax '=+，所以221()31030f x ax a x=+=⇒=-<'，即0a <，应选答案C ． 第二卷二、填空题13.某校邀请6位学生的父母一共12人，请这12位家长中的4位介绍其对子女的教育情况，假如这4位家长中恰有一对是夫妻，那么不同的选择方法有______种. 【答案】240 【解析】 【分析】先从6对夫妇中选一对，再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位，根据分步计数原理，即可得到结果．【详解】解：分步完成，4位中恰有一对是夫妇，那么先从6对夫妇中选一对，有16C 6=种结果，再从余下的5对夫妇中选两对，每一对中选一位有215122C 40C C =种结果， 根据分步计数原理得到结果是6×40＝240， 故答案为240．【点睛】此题是一个带有约束条件的排列组合问题，解题时排列与组合问题要区分开，解题的关键是利用分步计数原理，把握好分类的原那么．{}n a 满足12233,6a a a a +=+=，那么7a = ．【答案】64 【解析】试题分析：设等比数列公比为q ，根据题意可得23122a a q a a +==+，所以111.31a a q a +=⇒=，所以6671264a a q =⨯==考点：等比数列性质15. 假如一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对〞，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对〞的个数是___________. 【答案】36 【解析】 【分析】根据题中定义“正交线面对〞的含义，找出正方体中“正交线面对〞的组数，即可得出结果. 【详解】假如一条直线与一个平面垂直，那么，这一组直线与平面就构成一个正交线面对. 如下列图所示：①对于正方体的每一条棱，都有2个侧面构成“正交线面对〞，这样的“正交线面对〞有12224⨯=个；②对于正方体的每一条面对角线〔如11A C ，那么11A C ⊥平面11BB D D 〕，均有一个对角面构成“正交线面对〞，这样的“正交线面对〞有12112⨯=个. 综上所述，正方体中的“正交线面对〞一共有36个. 故答案为36.16.如图，,A B 是函数2()log (16)f x x =图象上的两点，C 是函数2()log g x x =图象上的一点，且直线BC 垂直于x 轴，假设ABC ∆是等腰直角三角形〔其中A 为直角顶点〕，那么点A 的横坐标为__________．【答案】23【解析】【详解】设()020,l g ,C x o x 因为()2020l g 164l g o x o x =+ ，所以()020,4l g ,4B x o x BC += ，因为ABC ∆是等腰直角三角形，所以可得()0202,2l g A x o x -+ ，又因为在()0202,2l g A x o x -+函数()()2log 16f x x =图象上，所以()()202020l g 1622l g l g 4o x o x o x -=+=，解得08,3x =点A 的横坐标为82233-= ，故答案为23.三、解答题〔本大题一一共70分解容许写出文字说明、解答过程成演算步骤，第17－21题为必考题，每个试题考生都必须答题第22 23题为选考题，考生根据要求作等〕 〔一〕必考题17.在ABC ∆中，0120,,21,3ABC A c b a S ∆=>==求,b c 的值. 【答案】【解析】【详解】由2221sin ,{22cos ABC S bc A a b c bc A ==+-即22133,22{12122bc b c bc=⨯⨯=++⨯⨯，解得：〔因为c b >舍去〕或者.18.如下图,在直三棱柱中,,,.(1)证明:;(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；〔2〕155.【解析】【详解】(1)证明:三棱柱为直三棱柱,,在中,,,,由正弦定理得,,即,平面,又平面,.(2)如图,作交于D 点,连接BD,由三垂线定理知,为二面角的平面角.在中,,在中,,15cos 5ADB ∴∠=即二面角的余弦值为.19.盒中装有一打〔12个〕乒乓球，其中9个新的，3的，从盒中取3个来用，使用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，求ξ的分布列. 【答案】详见解析 【解析】 【分析】从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，2的1个新的，1的2个新的或者全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是3个，4个，5个，6个，即ξ可以取3，4，5，6．ξ取每个值的概率可由古典概型求得，列出分布列即可． 【详解】解：ξ的可能取值为3，4，5，6333121(3)220C P C ξ===，129331227(4)220C C P C ξ⋅===， 219331227(5)55C C P C ξ⋅===， 3931221(6)55C P C ξ===.∴此时旧球个数ξ的概率分布列为【点睛】此题考察排列组合、古典概型、离散型随机变量的分布列问题，解题的关键是正确地求出ξ取某个值时对应的事件的概率．20.双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，一条渐近线方程为y x =，且过点(4,．〔Ⅰ〕求双曲线方程；〔Ⅱ〕假设点()3,M m 在此双曲线上，求12MF MF ⋅． 【答案】〔Ⅰ〕226x y -=〔Ⅱ〕0 【解析】【详解】试题分析：〔1〕设双曲线方程为22(0)x y λλ-=≠，由双曲线过点(4,，能求出双曲线方程；〔2〕由点()3,M m 在此双曲线上，得m =由此能求出12MF MF ⋅的值试题解析：〔Ⅰ〕由题意，设双曲线方程为22(0)x y λλ-=≠将点(4,代入双曲线方程，得(224λ-=，即6λ=所以，所求的双曲线方程为226x y -=〔Ⅱ〕由〔1〕知()()12,F F -因为()3,M m ，所以()()12233,,233,MF m MF m =---=-又()3,M m 在双曲线226x y -=上，那么23m =()()2123312930MF MF m ⋅=-+=-++=考点：双曲线的HY 方程；直线与圆锥曲线的关系4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+> 〔1〕求函数()y f x =的单调区间；〔2〕假设函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围． 【答案】〔1〕()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与 ()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，〔2〕a >01a ≤<. 【解析】试题分析：〔1〕利用导数求函数单调区间，关键明确定义域，正确求出导函数. 因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a =+-'=+-,令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-==由0a >时，列表分析()f x '在()0f x '=根的左右的符号，得()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与，()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，，〔2〕由〔1〕得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47()()12f x f a a ==极小值4()(0)f x f a ==极大值，要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要44571312a a -<<或者41a <，即a >01a <<. 解：〔1〕因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a =+-'=+-2分 令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-==由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与6分 ()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与，8分〔2〕由〔1〕得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47()()12f x f a a ==极小值 4()(0)f x f a ==极大值要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要44571312a a -<<或者41a <， 14分即a >01a <<. 16分考点：利用导数研究函数性质 【此处有视频，请去附件查看】〔二〕选考题〔一共10分请考生在第22、23题中任选一题答题.假如多做，按所做的第一题计分〕22.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为2sin 1cos 2x y αα=⎧⎨=-⎩〔α为参数〕，求直线l 与曲线C 交点P 的直角坐标． 【答案】P 点的直角坐标为()0,0 【解析】 【分析】将曲线C 的参数方程化为普通方程，直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程，联立方程求交点坐标．【详解】解：直线l 的普通方程为y =，① 曲线C 的直角坐标方程为[]()212,22y x x =∈-，②联立①②解方程组得0,0x y =⎧⎨=⎩或者6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩根据x 的范围应舍去6x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩故P 点的直角坐标为()0,0．【点睛】此题考察了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化成普通方程，属根底题． 23.选修4-5：不等式选讲设不等式2x a -<〔*a N ∈〕的解集为A ，且32A ∈，12A ∉.〔1〕求a 的值；〔2〕求函数()2f x x a x =++-的最小值. 【答案】〔1〕1a = 〔2〕()f x 的最小值为3 【解析】 试题分析：利用31,22A A ∈∉，推出关于a 的绝对值不等式，结合a 为整数直接求a 的值；〔2〕利用a 的值化简函数()f x ，利用绝对值根本不等式求出12x x +++的最小值. 试题解析：〔1〕因为32A ∈，且12A ∉， 所以322a -<，且122a -≥ 解得1322a <≤， 又因为*a N ∈， 所以1a =.〔2〕因为12x x ++-≥ ()()123x x +--= 当且仅当()()120x x +-≤，即12x -≤≤时获得等号， 所以()f x 的最小值为3.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
2023年广西玉林、贵港、贺州市高三联合调研考试(高考一模)数学(理)试卷含详解
2023年高考玉林、贵港、贺州市联合调研考试数学（理科）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上．3．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}|11A x x =-≤，集合{|1]B x x =≥-，则A ∩B =（）A.(,1]-∞-∪[2，+∞）B.(1,2)-C.[1,2]- D.∅2.在区间[－2,2]内随机取一个数x ，使得不等式220x x +<成立的概率为（）A.13B.12C.23D.343.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.-C.24-D.24- 4.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，过F 和()0,2P b 两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（）A.2213y x -= B.2213x y -= C.2214x y -= D.22122x y -=5.()52x -的展开式中3x 的系数为（）A.40B.40- C.80D.80-6.已知正项等比数列{n a }满足3a 为22a 与6a 的等比中项，则3513a a a a +=+（）A.2B.12C.D.27.已知函数()2π2sin 212f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.()f x 的一条对称轴为π12x =B.()f x 的一个对称中心为π(,0)12-C.()f x 在π5π[,1212-上的值域为2⎡⎤⎣⎦D.()f x 的图象可由2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位得到8.已知抛物线22(0)y px p =>）的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与抛物线交于点A 、B ，与直线l 交于点D ，若34AF FB BD ==，，则p =（）A.1B.32C.2D.39.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，h 称为半衰期，其中a T 是环境温度.若25a T C =，现有一杯80°C 的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C 降至45°C 大约还需要（参考数据：lg 20.30lg11 1.04，≈≈）（）A .10分钟B.9分钟C.8分钟D.7分钟10.()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +-=（）A.－1 B.12-C.12D.111.如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且2AG GM =，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，(0)AB x AP x => ，(0AC y AQ y => ），则111x y ++的最小值为（）A.34B.1C.43D.412.已知a 、b 、()1,c ∈+∞，2e ln 39a a =，3e ln 28b b =，22e c c -=，则（）A.a b c>> B.a c b>> C.b c a>> D.c a b>>二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知i 为虚数单位，若()ii,,1ia b a b =+∈+R ，则a b +=___________．14.若钝角△ABC 中，3130AB AC B === ，，，则△ABC 的面积为___________．15.近年来，“考研热”持续升温，2022年考研报考人数官方公布数据为457万，相比于2021年增长了80万之多，增长率达到21%以上.考研人数急剧攀升原因较多，其中，本科毕业生人数增多、在职人士考研比例增大，是两大主要因素.据统计，某市各大高校近几年的考研报考总人数如下表：年份20182019202020212022年份序号x 12345报考人数y （万人） 1.1 1.62 2.5m根据表中数据，可求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.430.71yx =+，则m 的值为___________.16.已知棱长为8的正方体111ABCD A B C D -中，平面ABCD 内一点E 满足14BE CB =，点P 为正方体表面一动点，且满足2PE =，则动点P 运动的轨迹周长为___________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721-题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.4月23日是“世界读书日”．读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界．为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动．活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测．通过随机抽样得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下表：[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]男生235151812女生051010713（1）若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”①完成下列2×2列联表阅读爱好者非阅读爱好者总计男生女生总计②请根据所学知识判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“阅读爱好者”与性别有关；（2）若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”．现从这100名学生中的男生“阅读达人’中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这三人中得分在[90，100]内的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d=+++()20P K k ≥0.050.0250.0100.0050.001k 3.841 5.024 6.6357.87910.82818.已知数列{}n a 的前n 项和为1112nn n n S a S a +==-，，（1）证明：数列{2n nS }为等差数列；（2）()N*62nn n n a λ∀∈-≥，，求λ的最大值．19.在三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是边长为点P 在底面ABC 上的射影为棱BC 的中点O ，且PB 与底面ABC 所成角为π3，点M 为线段PO 上一动点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）是否存在点M ，使得二面角P AB M --的余弦值为31010，若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过(2,0),2A B -两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）F 为椭圆C 的右焦点，直线l 交椭圆C 于P ，Q （均不与点A 重合）两点，记直线AP ，AQ ，l 的斜率分别为k 1，2k ，k ，若1230k k k k ⋅+⋅+=，求△FPQ 的周长．21.已知函数(),()ln e axxf xg x x ax ==-（1）当1a =时，求函数()()()hx f x g x =-的最小值；（2）若关于x 的方程()()0f x g x +=有两个不同的实根，证明：122x x a+>．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4—4；坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11x ty t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .【选修44-；不等式选讲】23.已知函数()21,R f x x a a =-+∈，（1）当3a =时，求()f x 的最小值；（2）若对()0,6,R,m x ∀∈∀∈，不等式()f x >a 的取值范围.2023年高考玉林、贵港、贺州市联合调研考试数学（理科）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上．3．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}|11A x x =-≤，集合{|1]B x x =≥-，则A ∩B =（）A.(,1]-∞-∪[2，+∞）B.(1,2)-C.[1,2]- D.∅C【分析】解不等式得集合A ，然后由交集定义计算．【详解】由已知{|2}A x x =≤，∴{|12}A B x x =- ≤≤．故选：C ．2.在区间[－2,2]内随机取一个数x ，使得不等式220x x +<成立的概率为（）A.13B.12C.23D.34B【分析】由220x x +<可得20x -<<,再根据几何概型的计算方法求解即可.【详解】解：由220x x +<可得20x -<<，由几何概型的定义可得使不等式220x x +<成立的概率为：20(2)2(2214)---==-.故选：B.3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B.-C.24-D.24-A【分析】根据三视图可得，该几何体是以个正方体内挖去一个底面直径为正方体棱长且等高的圆锥，代入体积计算公式即可求解.【详解】由三视图可知：该几何体是一个棱长为由正方体和圆锥的体积计算公式可得：321π3V =-⨯⨯⨯=-，故选：A .4.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为()2,0F ，过F 和()0,2P b 两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（）A.2213y x -= B.2213x y -= C.2214x y -= D.22122x y -=A【分析】由双曲线方程可得其渐近线为by x a=±，再求得直线PF 的斜率，由平行得到斜率相等即可求得a ，再由焦点坐标得c ，从而求得2b ，则该双曲线的方程可求.【详解】因为双曲线22221x y a b-=，所以它的渐近线为b y x a =±，又因为()2,0F ，()0,2P b ，所以直线PF 的斜率为2002-==--PF b k b ，因为直线PF 与双曲线的一条渐近线平行，所以bb a-=-，故1a =，又因为双曲线的右焦点为()2,0F ，所以2c =，故222413b c a =-=-=，所以该双曲线的方程为2213y x -=.故选：A.5.()52x -的展开式中3x 的系数为（）A.40B.40- C.80D.80-A【分析】首先写出展开式的通项，再代入计算可得；【详解】()52x -的展开式的通项()515C 2rr rr T x -+=-，令53r -=，解得2r =，所以()223335C 240T x x =-=，所以3x 项的系数为40，故选：A6.已知正项等比数列{n a }满足3a 为22a 与6a 的等比中项，则3513a a a a +=+（）A.2B.12C.D.2B【分析】根据等比中项定义和等比数列通项公式得2426112a q a q =，解得212q =，化简2351312a a q a a +==+.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意得23262a a a =⋅，即2426112a q a q =，10,0a q >> ，∴212q =，()()22123521311121a q q a a q a a a q++===++，故选：B.7.已知函数()2π2sin 212f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.()f x 的一条对称轴为π12x =B.()f x 的一个对称中心为π(,0)12-C.()f x 在π5π[,1212-上的值域为2⎡⎤⎣⎦D.()f x 的图象可由2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位得到C【分析】化简可得()π2sin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，利用代入检验法可判断AB 的正误，利用正弦函数的性质可判断C 的正误，求出平移后的解析式可判断D 的正误.【详解】()πcos 222sin 26f x x x x ⎛⎫=-+=-⎪⎝⎭，因为πππ2sin 021266f ⎛⎫⎛⎫=-=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故π12x =不是对称轴，故A 错误.πππ2sin 01266f ⎛⎫⎛⎫-=--=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π(,0)12-不是()f x 的一个对称中心，故B 错误.当π5π[,]1212x ∈-时，ππ2π2[,]336x -∈-，故3πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以π2sin 226x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，即()f x 在π5π[,1212-上的值域为2⎡⎤⎣⎦，故C 正确.2sin 2y x =的图象向右平移π6后对应的解析式为ππ2sin 222sin 263y x x ⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0x =时，此时函数对应的函数值为，而()01f =-，故π2sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()f x 不是同一函数，故D 错误.故选：C.8.已知抛物线22(0)y px p =>）的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与抛物线交于点A 、B ，与直线l 交于点D ，若34AF FB BD ==，，则p =（）A.1B.32C.2D.3D【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知1cos FAA ∠，再利用数形结合可求KF 的值.【详解】如图，设准线与x 轴的交点为K ，作1AA l ⊥，1BB l ⊥，垂足分别为1A ，1B ，则11////BB FK AA .根据抛物线定义知1BB BF =,1AA AF =,又34AF FB BD == ，，所以11131,313BB BF AA AF BD AD ====，设1DBB θ∠=，因为11////BB FK AA ，所以11KFD FAA DBB θ∠=∠==∠，则1111133cos ||||||||4||BB BB BB DB DA AB DB BB DB AA θ====++.所以1113||4||BB BB DB BB DB =+,，又4BD =,可得12BB =,所以1cos 2θ=，所以11co 62s KFKF KF KF KFD DF DB BF DB BB ∠=====++,可得3KF =,即3p =.故选：D .9.牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为0T ，则经过一定时间t 分钟后的温度T 满足()012t ha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，h 称为半衰期，其中a T 是环境温度.若25a T C =，现有一杯80°C 的热水降至75°C大约用时1分钟，那么此杯热水水温从75°C 降至45°C 大约还需要（参考数据：lg 20.30lg11 1.04，≈≈）（）A.10分钟B.9分钟C.8分钟D.7分钟A【分析】根据题目所给的函数模型，代入数据可计算得出h 的值，利用参考数据即可计算得出结果.【详解】将所给数据代入()012tha a T T T T ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得，()11752580252h⎛⎫-=-⎪⎝⎭，即11501025511h⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1210lg1101lg1121111lg 215l log g 12h -≈-===当水温从75°C 降至45°C 时，满足()2151452575252t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，可得122lg222lg 2145155lg 23l 12g log t -==≈=-，即10t ≈分钟.故选：A.10.()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则()()20232022f f +-=（）A.－1 B.12-C.12D.1A 【分析】由奇函数定义得11122f x f x ⎛⎫⎛⎫-+++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，及()()4045140451202320222222f f f f ⎛⎫⎛⎫+-=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求值【详解】()f x 是定义在R 上的函数，1122f x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为奇函数，则1111111222222f x fx f x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++=-++⇒-+++=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.∴()()40451404512023202212222f f f f ⎛⎫⎛⎫+-=++-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A11.如图，在△ABC 中，M 为线段BC 的中点，G 为线段AM 上一点且2AG GM =，过点G 的直线分别交直线AB 、AC 于P 、Q 两点，(0)AB x AP x => ，(0AC y AQ y =>），则111x y ++的最小值为（）A.34B.1C.43D.4B【分析】由1122AM AB AC =+可得33x y AG AP AQ =+ ，根据三点共线向量性质可得133x y+=，再结合均值不等式即可求出结果．【详解】由于M 为线段BC 的中点，则1122AM AB AC=+又2AG GM = ，所以32AM AG = ，又(0)AB x AP x => ，(0AC y AQ y => ）所以3222x y AG AP AQ =+，则33x y AG AP AQ=+ 因为,,G P Q 三点共线，则133x y+=，化得()14x y ++=由()111111111221141414x y x y x y x y y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++=++≥+=⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当11x y y x+=+时，即2,1x y ==时，等号成立，111x y ++的最小值为1故选：B12.已知a 、b 、()1,c ∈+∞，2e ln 39a a =，3e ln 28b b =，22e c c -=，则（）A.a b c >> B.a c b>> C.b c a>> D.c a b>>A【分析】构造函数()ln x f x x=，其中0x >，利用导数分析函数()f x 的单调性，由题中条件可得出()()e 9af f =，()()e 8b f f =，()()2e e c f f =，再利用函数()f x 的单调性可得出()e a f 、()e b f 、()e c f 的大小，再结合函数()f x 在()e,+∞上的单调性及指数函数的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】因为a 、b 、()1,c ∈+∞，由2e ln 39a a =可得ln 9e 9a a =，由3e ln 28bb =可得ln 8e 8b b =，由22ec c -=可得22e e c c =，构造函数()ln x f x x =，其中0x >，则()21ln xf x x -'=，当0e x <<时，()0f x ¢>；当e x >时，()0f x '<.所以，函数()f x 的增区间为()0,e ，减区间为()e,+∞，因为2e e 89<<<，所以，()()()2e89f f f >>，即e e ecb a cb a >>，即()()()e e e c b af f f >>，因为a 、b 、()1,c ∈+∞，则e a 、e b 、()e e,c∈+∞，所以，e e e a b c >>，因此，a b c >>.故选：A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知i 为虚数单位，若()ii,,1ia b a b =+∈+R ，则a b +=___________．1【分析】根据复数的四则运算和复数相等即可求出,a b 的值，进而求解即可.【详解】因为ii 1ia b =++，所以i i(1i)1i 11i i 1i (1i)(1i)222a b -++====+++-，所以12a =，12b =，则11122a b +=+=，故答案为：1.14.若钝角△ABC 中，130AB AC B ===，，则△ABC 的面积为___________．34【分析】由正弦定理求得三角形的内角，然后再由面积公式计算．【详解】由正弦定理sin sin AB AC C B =得30sin 12C ︒==，C 是三角形内角，则60C =︒或120C =︒，若60C =︒，则90A =︒不合题意，舍去，故120C =︒，30A =︒，113sin 1sin 30224ABC S AB AC A =⋅=⨯︒=!．故答案为：4．15.近年来，“考研热”持续升温，2022年考研报考人数官方公布数据为457万，相比于2021年增长了80万之多，增长率达到21%以上.考研人数急剧攀升原因较多，其中，本科毕业生人数增多、在职人士考研比例增大，是两大主要因素.据统计，某市各大高校近几年的考研报考总人数如下表：年份20182019202020212022年份序号x 12345报考人数y （万人） 1.1 1.62 2.5m根据表中数据，可求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.430.71yx =+，则m 的值为___________.2.8【分析】求出x 的值，以及用m 表示出y ，代入线性回归方程得到关于m 的方程，解出即可.【详解】1234535x ++++==， 1.1 1.62 2.57.255m my +++++==，0.430.71y x =+ ，7.20.4330.715m+∴=⨯+，解得 2.8m =.故答案为：2.8.16.已知棱长为8的正方体111ABCD A B C D -中，平面ABCD 内一点E 满足14BE CB =，点P 为正方体表面一动点，且满足PE =，则动点P 运动的轨迹周长为___________．)1π【分析】由向量的线性运算知E 在CB 的延长线上，且2BE =，由此可确定P 点在以B 为顶点的三个面内．然后在三个面（正方形）内分别确定轨迹，求得轨迹长度得结论．【详解】14BE CB =，则E 在CB 的延长线上，且2BE =，由正方体性质知BE ⊥平面11ABB A ，当P 在平面11ABB A 上时，BP ⊂平面11ABB A ，BE BP ⊥，由PE =得2BP ==，因此P 点轨迹是以B 为圆心，2为半径的圆在正方形11ABB A 内的部分即圆周的14，弧长为1224ππ⨯⨯=，从而知P 点在以B 为顶点的三个面内．当P 在棱1BB 上时，2BP =，4PEB π∠=，因此P 点在面11BCC B 时，P 点轨迹是以E 为圆心，22为半径的圆在正方形11BCC B 内的圆弧，圆弧的圆心角为4π，弧长为22242ππ⨯=，同理P 点在面ABCD 内的轨迹长度也为22，所以所求轨迹长度为2221)2ππ+⨯=．故答案为：(21)π+．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721-题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.4月23日是“世界读书日”．读书可以陶冶情操，提高人的思想境界，丰富人的精神世界．为了丰富校园生活，展示学生风采，某中学在全校学生中开展了“阅读半马比赛”活动．活动要求每位学生在规定时间内阅读给定书目，并完成在线阅读检测．通过随机抽样得到100名学生的检测得分（满分：100分）如下表：[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]男生235151812女生051010713（1）若检测得分不低于70分的学生称为“阅读爱好者”①完成下列2×2列联表阅读爱好者非阅读爱好者总计男生女生总计②请根据所学知识判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“阅读爱好者”与性别有关；（2）若检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”．现从这100名学生中的男生“阅读达人’中，按分层抽样的方式抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这三人中得分在[90，100]内的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++()2P K k≥0.050.0250.0100.0050.001 0k 3.841 5.024 6.6357.87910.828（1）①填表见解析；②不能（2）分布列见解析；期望为6 5【分析】(1)根据题中数据完成表格，再计算2K的值，即可得结论；(2)由题意可得100名学生中的男生“阅读达人”共30人，按分层抽样得[80，90）内应抽取3人，[90，100]内应抽取2人，从而得X的取值为0，1，2，计算出对应的概论，列出分布列即可求得期望.【小问1详解】解：由题中表格可得2×2列联表如下阅读爱好者非阅读爱好者合计男生451055女生301545合计7525100由题意得22100(45153010) 3.03 3.84125755545K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯,所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为“阅读爱好者”与性别有关．【小问2详解】解：根据检测得分不低于80分的人称为“阅读达人”，则这100名学生中的男生“阅读达人”中，按分层抽样的方式抽取．[80，90）内应抽取3人，[90，100]内应抽取2人，所以，X 的取值为0，1，2，()()()3211233232333555C C C C C 1633012C 10C 105C 10P X P X P X ==========，所以X 的分布列为；X 012P11035310()1336012105105E X =⨯+⨯+⨯=所以X 的数学期望是65．18.已知数列{}n a 的前n 项和为1112nn n n S a S a +==-，，（1）证明：数列{2nnS }为等差数列；（2）()N*62nn n n a λ∀∈-≥，，求λ的最大值．（1）证明见解析；（2）3-.【分析】（1）由11n n n a S S ++=-得{}n S 的递推关系，变形后由等差数列的定义得证；（2）由（1）求得n S ，从而代入已知等式后求得1n a +得n a ，然后化简不等式并分离参数转化为求函数的最值，得结论．【小问1详解】12n n n S a +=-，∴12n n n n S S S +=--，∴122n n n S S +=+，∴111222n n n n S S ++-=，又∵11a =，∴1122S =，所以数列{}2n S 是以12为首项和公差的等差数；【小问2详解】由(1)知：()1112222n n S n n =+-=，所以12n n S n -=⋅，∴()11222nn n n a S n -+=+=+，∴()()2122n n a n n -=+≥，又11a =满足上式，∴()()2*12N n n a n n -=+∈，因为()N*62nn n n a λ∀∈-≥，，所以()()26122n n n n λ--+≥，所以()()61N *4n n n λ-+∀∈≥，，记()()()()6114x x x f x -+=≥，又()f x 在5(1,)2上单调递减，在5(,)2+∞上单调递增，又因为*n ∈N ，所以()()()min 233f n f f ===-，所以3λ≤-，所以λ的最大值为3-．19.在三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是边长为点P 在底面ABC 上的射影为棱BC 的中点O ，且PB 与底面ABC 所成角为π3，点M 为线段PO 上一动点．（1）求证：BC AM ⊥；（2）是否存在点M ，使得二面角P AB M --的余弦值为31010，若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由．（1）证明见解析（2）存在，且点M 为PO 的中点【分析】（1）证明出AO BC ⊥，BC PO ⊥，利用线面垂直的判定定理可证得BC ⊥平面APO ，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立；（2）分析可知π3PBC ∠=，PO ⊥平面ABC ，AO BC ⊥，以点O 为坐标原点，OB 、AO 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点()0,0,M c ，其中03c ≤≤，利用空间向量法可得出关于c 的方程，求出c 的值，即可得出结论.【小问1详解】证明：连接AO ，ABC 为等边三角形，O 为BC 的中点，则AO BC ⊥，因为点P 在底面ABC 上的射影为点O ，则PO ⊥平面ABC ，BC ⊂ 平面ABC ，BC PO ∴⊥，AO PO O = ，AO 、PO ⊂平面APO ，BC ∴⊥平面APO ，AM ⊂ 平面APO ，BC AM ⊥∴.【小问2详解】解：因为PO ⊥平面ABC ，AO BC ⊥，以点O 为坐标原点，OB 、AO 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为PO ⊥平面ABC ，所以，PB 与底面ABC 所成的角为π3PBC ∠=，则()0,3,0A -、)B、()0,0,3P ，设点()0,0,M c ，其中03c ≤≤，)AB =，()0,3,3AP = ，设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z =，则111130330m AB y m AP y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =)1,1m =- ，()0,3,AM c = ，设平面ABM 的法向量为()222,,x n y z =，则22223030n AB y n AM y cz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2y c =-，则),,3n c =- ，由已知可得cos ,10m n m n m n ⋅<>==⋅ ，可得2448630c c -+=，03c ≤≤ ，解得32c =，即点30,0,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭.因此，当点M 为PO 的中点时，二面角P AB M --的余弦值为31010．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过3(2,0),2A B -两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）F 为椭圆C 的右焦点，直线l 交椭圆C 于P ，Q （均不与点A 重合）两点，记直线AP ，AQ ，l 的斜率分别为k 1，2k ，k ，若1230k k k k ⋅+⋅+=，求△FPQ 的周长．（1）22143x y +=（2）8【分析】（1）已知两点坐标代入椭圆方程联立解得,a b 得椭圆方程；（2）设直线1122:,(,),(,)l y kx m P x y Q x y =+，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得1212,x x x x +，代入1230k k k k ⋅+⋅+=求得,m k 的关系，确定直线过焦点，从而可得焦点三角形的周长．【小问1详解】将(2,0)A -，B32）代入椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>中，2222222013314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 方程为22143x y +=；【小问2详解】设直线1122:,(,),(,)l y kx m P x y Q x y =+，由()22222,43841203412y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩，得122232284341243km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪+=⎪+⎩()()2222226444341219248144k m k m k m ∆=-+-=-+，又11212112,222y kx m kx mk k x x x ++===+++，故()()()12121212121212122242224kx x k x x m x x mkx m kx m k k x x x x x x ++++++++=+=+++++2222228241681612412161612km k k m km k m mm km k ---++=--++2236,44m k m km k -=-+由k 1230k k k +⋅+=，得()1230k k ++=，得22320m km k -+=，故()()202m k m k m k --=⇒=或m k =．①当2m k =时，直线l ()22y kx k k x =+=+：，过定点(2,0)A -，与已知不符，舍去；②当m k =时，直线l 1y kx k k x =+=+：（），过定点(1,0)-，即直线l 过左焦点，此时222192481441441440k m k ∆=-+=+>，符合题意．所以△FPO 的周长为48a =．【点睛】方法点睛：直线与椭圆相交问题，一般设出交点坐标，设出直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，再把这个结果代入题中其它条件，从而得出相应的结论．21.已知函数(),()ln e axxf xg x x ax ==-（1）当1a =时，求函数()()()hx f x g x =-的最小值；（2）若关于x 的方程()()0f x g x +=有两个不同的实根，证明：122x x a+>．（1）11e+（2）证明见解析【分析】（1）求导，根据导函数的符号分析；（2）根据结论反向推导，构造函数证明即可.【小问1详解】由题知：()ln e x x h x x x =-+，其定义域为（0，+∞），∴()()()'1e 111e e xx xx x x h x x x ---=-+=，令()e 0xx x x φ=->（），则()'e 10xx φ=->，∴．()e x x x φ=-在(0,)+∞上单调递增，∴()()000x φφ>=>，∴e 0x x ->，设()'0h x >，得1x >，'()0h x <，得01x <<，所以h (x )在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递减，()()min 111eh x h ==+；【小问2详解】设()()()ln ln e ln ex ax ax x F x f x g x x ax x ax -=+=+-=+-，设1t nx ax =-，则，易知()e t G t t =+在R 上单调递增，要使方程()()0f x g x +=有两个不同的实根，而函数()e t G t t =+只存在1个零点，设为0t ，所以方程0ln t x ax =-在(0,)+∞上存在2个根，设为12,x x ，且120,x x <<，则0a ≠且110220ln ,ln x ax t x ax t -=-=，所以1212ln ln ()-=-x x a x x 即12121ln ln x x x x a -=-，要证122x x a +>，即证1212x x a +<，即证：121212121212ln ln ,ln ln 22x x x x x x x x x x x x -+--<>-+，1122121n 12l x x x x x x ->+，设12,(0,1)x m m x =∈，设1ln ()12m m m m ϕ-=-+，所以2'2221(1)()0(1)22(1)m m m m m m ϕ--=-=<++，所以()m ϕ在（0，1）单调递减，()(1)0m ϕϕ>=，即1ln 012m m m -->+，故121212ln ln 2x x x x x x -+<-，所以1212x x a +<即122x x a +>；综上，()()min 111e h x h ==+.【点睛】本题第二问难度较大，需要反向推导，思考122x x a+>的含义，以及如何使用函数表达，再考虑构造函数，运用导数求导.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4—4；坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为11x t y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求AB .（1）22126x y +=（2【分析】（1）对曲线C 的极坐标方程变形后，利用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩求出答案；（2）将直线的参数方程化为212212x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，联立椭圆方程后，利用t 的几何意义求弦长.【小问1详解】ρ=变形为2266cos 222cos 12ρθθ==+-+，即2222cos 6ρθρ+=，因为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，故22226x x y ++=，即22126x y +=；【小问2详解】11x t y t =-+⎧⎨=+⎩变形为212212x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，与22126x y +=联立得：210t -=，故12121t t t t +==-，故12AB t t =-===.【选修44-；不等式选讲】23.已知函数()21,R f x x a a =-+∈，（1）当3a =时，求()f x 的最小值；（2）若对()0,6,R,m x ∀∈∀∈，不等式()f x >a 的取值范围.（1）2；（2）9a >或7a <-.【分析】（1）首先化简得()|||21|f x x a x a =-+-+，利用绝对值不等式即可求出()f x 的最小值；（2）利用三元基本不等式求出8≤，再根据绝对值不等式得()|1|f x a ≥-，则有|1|8a ->，解出即可.【小问1详解】化简得()|||21|f x x a x a =-+-+，当3a =时,()|3||5||(3)(5)|2f x x x x x =-+-≥---=,当35x ≤≤时等号成立,所以()f x 的最小值为2;【小问2详解】由基本不等式得8=≤=,当且仅当122m m =-,即4m =时,等号成立.又因为()|||21||()(21)||1|f x x a x a x a x a a =-+-+≥---+=-,当且仅当()(21)0x a x a --+≤时,等号成立.所以,|1|8a ->18a ∴->或18a -<-9a ∴>或7a <-.。