6.4反三角函数(反余弦、反正切函数(2)教案
6.4(2)反余弦和反正切函数图像与性质2015.5
1.函数y cos x( x R)是否存在反函数? 如果有， 求出来； 如果没有， 说明理由. 余弦曲线 y
y cos x
2
1
-2 -
-1
oLeabharlann 3x1 1 2.已知 cos ； cos ( x R)如何表示、 ? 2 3
y
2
-
2 -
O
2
2
x
单调递增；
(1) y arctan x在R上 (2)奇函数： arctan( x ) arctan x
例2.填空： (1)arctan1 (2)arctan 3
. . . ; .
3 (3)arctan( ) 3
2 (4) tan x ，若x ( ， )，则x 2 2 2 3 若x ( ， )，则x 2 2 (5)若 tan x 0.2，x [0， ]，则x .
2 . 6.cos x x 2 . 8.cos x 1 x
4.反余弦函数的图像和性质.
y
(1) y arccos x在[1,1]上单调递减；
(2)cos(arccos x ) x，x [1， 1] (3)对称中心：， (0 ) 2 arccos( x ) arccos x (4)arcsin x arccos x
y
1
y cos x
o
-1
x
3.仿照反正弦函数定义反余弦函数. 定义： 函数y cos x， x [0， ]的反函数叫做反余弦 函数.记作： x arccos y， 习惯记作： y arccos x .
数学6.4反三角函数教案1沪教版高中一级第二学期
6.4反三角函数（1）——反正弦函数一、教学内容分析根据反函数的概念，正弦函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R 的一个子集[-2π，2π]，那么函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]就存在反函数，为什么要选取[-2π，2π]，教师要作必要性说明.我们把函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1]，学生对符号的arcsinx 的理解比较困难，前面符号中的x 必须满足|x|≤1，arcsinx 是[-2π，2π]上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像和函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的图像应该关于直线y=x 对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]是奇函数，且单调递增. 二、教学目标设计1．理解函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数；理解函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx 的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-2π，2π]. 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像.3．掌握等式sin （arcsinx ）=x ，x ∈[-1，1]和arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 三、教学重点及难点教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数[]1,1,arcsin -∈=x x y 的产生和从本质上处理正弦函数()R x x y ∈=sin 的反函数问题.四、教学用具准备 直尺、多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的.2．思考那么正弦函数是否存在反函数呢？[说明]因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.3．讨论正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得x y sin =在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y sin =存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y sin =在所取区间上存在反函数； （2）能取到x y sin =的一切函数值[]1,1-. 可以选取闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ，使得x y sin =在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数. 二、学习新课 1．概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1].（2）反正弦函数的性质： ①图像②定义域[-1，1]③值域[-2π，2π] ④奇偶性：奇函数，即arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1] ⑤单调性：增函数[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线x y =对称，函数y=sinx ，x ∈[-2π，2π]与函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像关于直线x y =对称.2．例题分析例1．求下列反正弦函数的值：（1）arcsin21；（2）arcsin0；（3）arcsin （-23） 解：（1）因为sin6π=21，且6π∈[-2π，2π]，所以arcsin 21=6π. （2）因为sin0=0，且0∈[-2π，2π]，所以arcsin0=0. （3）因为sin （-3π）=-23，且-3π∈[-2π，2π]，所以arcsin （-23）=-3π.例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x ：（1）sinx=32，x ∈[-2π，2π]；（2）sinx=-51，x ∈[-2π，2π]； （3）sinx=-33，x ∈[-π，0]. 解：（1）因为x ∈[-2π，2π]，由定义，可知x=arcsin 32；（2）因为x ∈[-2π，2π]，由定义，可知x=arcsin （-51）=- arcsin 51；（3）在区间[-2π，0] 上，由定义，可知x=arcsin （-33）=- arcsin 33； 在区间[-π，-2π]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin 33，满足 sinx=-33.因此x= arcsin33或x=-π+arcsin 33. 例3．化简下列各式：（1）arcsin （sin7π）；（2）arcsin （sin 54π）；*（3）arcsin （sin20070） 解：（1）因为7π∈[-2π，2π]，设sin 7π=α，所以arcsin α=7π，即arcsin （sin 7π）=7π. （2）因为54π∉[-2π，2π]，而5π∈[-2π，2π]，且sin 5π=sin 54π，设sin 5π=sin 54π=α，所以arcsin （sin54π）= arcsin （sin 5π）= arcsin α=5π. （3）因为sin20070=sin （5×3600+2070）=sin2070=sin （1800+270）=-sin270所以arcsin （sin20070）= arcsin （-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270.例4．求函数f （x ）=2arcsin2x 的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.解：设y=2arcsin2x ，则2y= arcsin2x ， 因为2x ∈[-1，1]，arcsin2x ∈[-2π，2π]，所以x ∈[-21，21]，y ∈[-л，л]，根据反正弦函数的定义，得2x=sin2y ，x=21 sin 2y ，将x ，y 互换，得反函数f -1（x ）=21 sin 2x ，定义域是[-л，л]，值域是[-21，21]. 3．问题拓展例1．证明等式：arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1] 证明：∵x ∈[-1，1]，∴ -x ∈[-1，1]∴sin[arcsin （-x ）]= -x ，sin （-arcsinx ）=-sin （arcsinx ）=-x又因为arcsin （-x ）∈[-2π，2π]，-arcsinx ∈[-2π，2π]，且正弦函数在[-2π，2π]上单调递增，所以arcsin （-x ）=-arcsinx ， x ∈[-1，1].[说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.例2．设x ∈[2π，23π]，sinx=31，用反正弦函数值表示x.解：因为x ∈[2π，23π]，所以（π-x ）∈[-2π，2π]，又sin （π-x ）=sinx ，得sin （π-x ）=31，于是π-x=arcsin 31，x=π- arcsin 31.[说明] 对于用反正弦函数值表示区间[-2π，2π]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习. 以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.三、巩固练习判断下列各式是否成立?简述理由. （1）arcsin23=3π；（2）arcsin 3π=23；（3）arcsin1=2k л+2π，k ∈Z ；（4）arcsin （-3π）=- arcsin 3π；（5）sin （arcsin 2）=2；（6）arcsin 6π=21. 解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k 取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-2π，2π]；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符. 四、课堂小结 教师引导学生总结： （1）反正弦函数的定义； （2）反正弦函数的性质.五、作业布置（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4（2）思考题：求函数f （x ）=2π-arcsin2x 的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.七、教学设计说明 1．关于教学内容反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用，特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用.而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点.本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用. 2．关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反正弦函数及其性质.。
反三角函数教案
反三角函数教案教学目标：1.理解反三角函数的概念和定义2.掌握反正弦函数的性质和图像3.理解和应用反正弦函数在实际问题中的意义教学重点：1.反正弦函数的概念和定义2.反正弦函数的性质和图像教学难点：1.反正弦函数的概念和定义2.反正弦函数在实际问题中的应用教学准备：1.教师准备课件、教学讲义和实物示例等教学资源2.学生准备笔记本和计算器等学习工具教学过程：Step 1：导入教师通过提问和展示一个实物示例引入反三角函数的概念。
例如，教师拿一根绳子让学生按照一定的长度将其弯曲成一个三角形，然后问学生如何计算这个三角形的角度。
Step 2：引入反正弦函数教师通过上述引入，引导学生思考如何反过来计算三角形的角度，从而引入反正弦函数的概念。
教师给出反正弦函数的定义：对于任意实数y，如果y=sin(x)，则称x为y的反正弦，记为x=arcsin(y)。
Step 3：反正弦函数的定义域和值域教师介绍反正弦函数的定义域和值域。
反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。
Step 4：反正弦函数的性质教师讲解反正弦函数的基本性质，如奇函数、递减性、周期性等。
并通过具体的例子让学生观察和探讨这些性质。
Step 5：反正弦函数的图像教师通过计算并绘制反正弦函数的图像，让学生观察反正弦函数的图像特点。
特别注意强调反正弦函数的定义域和值域，以及函数图像在这个范围内的变化趋势。
Step 6：应用到实际问题教师通过具体的实例，如求解三角形内的一些角度，解释反正弦函数在实际问题中的应用意义。
并给出一些练习题让学生自主探究和解答。
Step 7：小结教师通过回顾和总结课堂内容，概括反正弦函数的概念、性质和应用。
并提醒学生掌握和记忆相关的公式和概念。
Step 8：作业布置作业，要求学生完成相关的练习题，巩固所学内容。
教学辅助方法：1.利用实物示例引入概念，增强学生的直观感受和理解。
2.使用图像和计算器等工具辅助讲解，提高学生的数学思维和计算能力。
沪教版高一下册数学反三角函数反正弦函数教案高一下学期
6.4反三角函数（1）——反正弦函数【教学目标】1．理解函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数；理解函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx 的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-2π，2π]. 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像.3．掌握等式sin （arcsinx ）=x ，x ∈[-1，1]和arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 【教学重点与难点】教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数[]1,1,arcsin -∈=x x y 的产生和从本质上处理正弦函数()R x x y ∈=sin 的反函数问题.【教学过程】一、 情景引入 1．复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f （x ），x ∈D ，如果对它的值域中的任意一个值y ，在定义域D 中都有唯一确定的值x 与它对应，使y=f （x ），这样得到的x 关于y 的函数叫做y=f （x ）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的. 2．思考那么正弦函数是否存在反函数呢？[说明] 因为对于任一正弦值y 都有无数个角值x 与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3．讨论正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得x y sin =在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y sin =存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y sin =在所取区间上存在反函数；（2）能取到x y sin =的一切函数值[]1,1-.可以选取闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ，使得x y sin =在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数.二、学习新课 1．概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1]. （2）反正弦函数的性质： ①图像； ②定义域[-1，1]； ③值域[-2π，2π]；④奇偶性：奇函数，即arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]； ⑤单调性：增函数。
反三角函数的教学设计
反三角函数的教学设计近年来，随着高考数学分值的不断提升，反三角函数在学生中间的重要性越来越凸显。
然而，反三角函数是一门相对较难掌握的数学知识，许多学生常常因对其理解不透彻而造成成绩下滑。
因此，为了有效地帮助学生掌握反三角函数，我们需要从教学设计的角度入手，采取切实可行的方法进行指导。
一、培养学生对反三角函数的兴趣在开始教授反三角函数之前，教师应该让学生充分了解这一知识的实际应用。
例如，在物理学和工程学领域中，反三角函数有着广泛的应用。
让学生了解这些实际问题与反三角函数之间的联系，可以帮助他们对知识的掌握更加感兴趣，并提高学习的积极性。
二、注重理解概念和解决方法许多学生对反三角函数的概念不够清晰，或者对于解题方法有所困惑。
因此，教师应该注重理解概念和解决方法的讲解，并提醒学生注意比较问题。
例如，正切函数和正切方程是截然不同的两个概念，或者三角函数和反三角函数之间的关系也需详细讲解。
三、熟练掌握基本公式与推导反三角函数推导过程中，伴随着各种公式的运用。
这些公式不仅在理解反三角函数的概念和解决方法中占着主要角色，而且在实际应用中也同样至关重要。
因此，教师不能只关注反三角函数的公式，还需要引导学生熟练掌握其他三角函数的推导过程，形成知识的累积。
四、以实际问题和案例为核心在反三角函数的教学中，实际问题和案例是必不可少的教学资源。
老师可以通过引导学生探究实际问题，或提供一些与反三角函数相关的案例来分析学生的理解和运用能力。
这有助于学生更好地将理论知识应用到实际问题的解决中。
五、注重学生练习和巩固反三角函数的学习需要大量的练习和巩固，为了帮助学生有效地掌握知识，教师可以自编或者选择一些相关练习题来进行检验和巩固。
同时，通过引导学生做一些创新性的题目或任务，可以提高其对知识点的理解掌握，同时也有助于其运用能力和创新意识的培养。
总之，反三角函数作为高中数学中的重要内容，需要我们从教学设计的角度出发，采取切实有效的方法来进行指导。
反三角函数(教案)
第4节 反三角函数（2课时）第1课时[教材分析]：反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。
内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。
另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点，同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。
[课题引入]：在辅助角公式中，我们知道()ϕ++=+x b a x b x a sin cos sin 22，其中2222sin ,cos ba b ba a +=+=ϕϕ，这样表述相当烦琐，我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角ϕ呢？这就是我们今天要引入的问题——反三角函数。
[教学过程]：师：首先我们回顾一下，什么样的函数才有反函数？答：一一对应的函数具有反函数，最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真）。
师：我们知道正弦函数x y sin =在定义域R 上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没有反函数。
但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin ππx x y ，这个函数是单调函数，因而有反函数。
师：现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？（反解，互换y x ,） （这里我们使用符号arcsin 表示反解）反解得y x arcsin =，互换得x y arcsin =，其中[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-∈2,2,1,1ππy x ，这就是要求的反正弦函数。
1． 反正弦函数的图象反正弦函数[]1,1arcsin -∈=x x y ，与函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin ππx x y 互为反函数，因此两个函数图象关于直线x y =对称。
2． 反正弦函数的性质（由函数图象可得）①定义域为[]11，-，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ； ②x y arcsin =在定义域[]11，-上单调递增； ③x y arcsin =是奇函数，即对任意[]1,1-∈x ，有()x x arcsin arcsin-=- 3． 反正弦函数的恒等式①由“一一对应”的性质知：对任意值[]1,1-∈x ，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上都有唯一对应的角x arcsin ，使得它的正弦值为x ，即得恒等式()[]1,1,arcsin sin -∈=x x x ；②由“一一对应”的性质知：对任意角⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππx ，在[]11，-上都有唯一对应的值x sin ，使得它的反正弦值为x ，即得恒等式()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin arcsinππx x x 。
高一数学6.4反三角函数1反正弦函数教案沪教版高一下学期
6.4反三角函数（1）——反正弦函数【教学目标】1．理解函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数；理解函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx 的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-2π，2π]. 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像.3．掌握等式sin （arcsinx ）=x ，x ∈[-1，1]和arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 【教学重点与难点】教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数[]1,1,arcsin -∈=x x y 的产生和从本质上处理正弦函数()R x x y ∈=sin 的反函数问题.【教学过程】一、 情景引入 1．复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f （x ），x ∈D ，如果对它的值域中的任意一个值y ，在定义域D 中都有唯一确定的值x 与它对应，使y=f （x ），这样得到的x 关于y 的函数叫做y=f （x ）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的. 2．思考那么正弦函数是否存在反函数呢？[说明] 因为对于任一正弦值y 都有无数个角值x 与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3．讨论正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得x y sin =在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y sin =存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y sin =在所取区间上存在反函数；（2）能取到x y sin =的一切函数值[]1,1-.可以选取闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ，使得x y sin =在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数.二、学习新课 1．概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1]. （2）反正弦函数的性质： ①图像； ②定义域[-1，1]； ③值域[-2π，2π]；④奇偶性：奇函数，即arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]； ⑤单调性：增函数。
反三角函数复习课教案
《反三角函数复习课》教案教学目标：（一） 知识目标1、 通过复习，更高层次的理解反正弦、反余弦和反正切的意义和作用。
2、 通过复习，进一步理解反正弦、反余弦和反正切的性质，并能熟练化简和运用3、 通过复习，加深对反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的认识和理解，进一步掌握三种反三角函数的性质。
4、 反三角函数的综合、灵活运用。
（二） 情感目标1、 培养学生爱总结归纳的习惯，消除学生对反三角函数的抽象感和神秘感，为下一节《解斜三角形》做好准备。
培养学生“用数学”的观念，增强学好数学的信心。
教学重难点：重点：反三角及反三角函数的回顾、理解和运用。
难点：反三角函数知识的综合、灵活运用教学过程： （一）、复习特殊锐角三角函数值（从正反两方面） （二）、做训练题，再次回顾反三角函数问题的产生1、已知sinx=21，0≤x ≤2π，求x2、已知sinx=0.3，0≤x ≤2π，求x注：当一个角不是特殊角时，这个角就必须用反三角来表示。
（三）知识再现 A 表格反映B 常用关系：① sin(arcsinx) = x (-1≤x ≤1), arcsin(sinx) = x ( x ∈[－2π,2π])，arcsin(-x) = - arcsinx (-1≤x ≤1)② cos(arccosx) = x (-1≤x ≤1), arccos(cosx) = x (x ∈[0,π])， arccos(-x) = π - arccosx (-1≤x ≤1)③ cos(arctanx) = x (x ∈R ), arctan(tanx) = x (x ∈（－2π,2π）)，arctan(-x) = - arctanx (x ∈R )C 涉及的数学思想：分类讨论的思想，转化的思想，整体的思想①学生自己解决：已知A 为三角形的一个内角，且sinA=21，求A②学生复习数学笔记 （四）例题学习1、求函数y = arcsin (2x+3)的定义域2、比较大小：arctan(－3.14) －arctan π分析：引入反正切函数y=arctanx (x ∈R )作工具。
沪教版高中数学高一下册-6.4 反三角函数 -反正弦函数 课件 (共14张PPT)
y=sinx,x2,32 的值域为 y1,1
y = arx ,c x s 1 ,i 1 n （ 定义域 ）
思考题
一、若
[
2
, ]，且sin
=
1 2
，则
的正确表示是（
）
（A）
arcsin1
2
2
(B) arcsin1
2
2
二、已(知C)sinxa=rc53sin，12x[0(,D)]，＋试ar用csin12
解： x 3
22xFra bibliotek22
又 sinx=sin(x)=2
3
根据定义，可得： x =arcsi2n
3
x=arcsi2n
3
若
x32
,
5
2
呢？
练习三：求
y=sinx
，
x
2
,
3
2
的反函数
解：
x 3
2
2
x
2
2
又 y=sixn =sin x ()
x =arcsiyn
x=arcsiyn （用 y 表示 x ）
3、 sinx=
1
x
=
2
4、 sinx=
1 2
x= 6
1 x=arcsin1()
5
5
5、 sinx=
2 3
x=arcsi632n、 sinx =
2 x=
2
4
7、 sinx= 0 x=0 8、 sinx =
>1 ,无意义
例1 求下列反正弦函数值：
（1）arcsin
3 2
（2）arcsin（
反三角函数(2)
课 题：反三角函数（2）教学目的：1．要求学生初步（了解）理解反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合2．掌握已知三角函数值求角的解题步骤． 教学重点：已知三角函数值求角教学难点：诱导公式与利用三角函数值求角的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．反正弦，反余弦函数的意义：由y =1︒在R 上无反函数2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，,sin x y =x 与y 是一一对应的，且区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ比较简单∴在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上，x y sin =的反函数称作反正弦函数，记作()11arcsin ≤≤-=x x y ，（奇函数）在[]π,0上，x y cos =的反函数称作反余弦函数， 记作()11arccos ≤≤-=x x y2．已知三角函数求角：求角的多值性法则：1、先决定角的象限、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x ； 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x ，3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角 二、讲解新课： 反正切函数R x k x x y ∈+≠=,2,tan ππ1︒在整个定义域上无反函数 2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上x y tan =的反函数称作反正切函数记作()R x x y ∈=arctan （奇函数） 三、讲解范例： 例1 （1）已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,231tan ππx x 且，求x （精确到π1.0） 解：在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ上x y tan =是增函数，符合条件的角是唯一的 ⎪⎭⎫⎝⎛π≈10'26180x （2）已知31tan =x 且[]π2,0∈x ，求x 的取值集合 解：1010,10tan 10tan ππππππ=+=∴=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 或 ∴所求的x 的集合是⎭⎬⎫⎩⎨⎧1011,10ππ（即31arctan 31arctan +==πx x 和） （3）已知R x x ∈=且31tan ，求x 的取值集合解：由上题可知：10ππ+=k x ，()z k k x ∈+=1011ππ 合并为()z k k x ∈+=10ππ例2已知23sin =α，根据所给范围求α： 1︒α为锐角 2︒α为某三角形内角 3︒α为第二象限角 4︒R ∈α 解：1︒由题设3πα=2︒设31πα=，或3232πππα=-= 3︒()z k k ∈+=322ππα 4︒由题设()()()z k k k k k∈-+=-+=3123arcsin 1πππα 例3 求适合下列关系的x 的集合1︒()R x x ∈=2cos 2 2︒01tan 32=-x 3︒53sin -=x 解：1︒z k k k x x ∈±=±==,4222arccos 2,22cos πππ ∴所求集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=z k k x x ,42|ππ 2︒∴±=±=,6,33tan ππk x x 所求集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=z k k x x ,6|ππ 3︒()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=-=53arcsin 1,53sin kk x x π 例4 直角ABC ∆锐角A ，B 满足：A A A B∠+-=求,1sin tan 2cos22解：由已知：1sin tan cos 1+-=+A A BA A A ,tan sin 2=∴为锐角，0sin ≠∴A3,20,21c o s ππ=∠∴<<=∴A A A 例5 1︒用反三角函数表示)23,(,65sin ππ∈-=x x 中的角x2︒用反三角函数表示)27,3(,5tan ππ∈=x x 中的角x 解：1︒ ∵23π<<πx ∴02<-π<π-x又由65sin -=x 得65)sin(-=-πx∴)65arcsin(-=-πx ∴)65a r c s i n (--π=x 2︒ ∵273π<<πx ∴230π<π-<x又由5tan =x 得5)3tan(=π-x∴5a r c t a n 3=π-x ∴5a r c t a n 3+π=x 例6已知21)32cos(-=π+x ，求角x 的集合 解：∵21)32cos(-=π+x ∴)(32232Z k k x ∈π±π=π+ 由32232π+π=π+k x 得 )(324Z k k x ∈π+π= 由32232π-π=π+k x 得 )(24Z k k x ∈π-π=故角x 的集合为},24324|{Z k k x k x x ∈π-π=π+π=或 例7求3arctan 2arctan 1arctan ++的值解：arctan2 = α, arctan3 = β 则tan α = 2， tan β = 3 且24π<α<π， 24π<β<π ∴132132tan tan 1tan tan )tan(-=⨯-+=βα-β+α=β+α而π<β+α<π2 ∴α + β = 43π 又arctan1 = 4π∴3arctan 2arctan 1arctan ++= π例8求y = arccos(sin x ), (323π≤≤π-x )的值域 解：设u = sin x ∵323π≤≤π-x ∴123≤≤-u ∴65)arccos(sin 0π≤≤x ∴所求函数的值域为]65,0[π四、课堂练习：1若cos x ＝0，则角x 等于( )A ．ｋπ，（ｋ∈Z ） Ｂ．2π＋ｋπ，（ｋ∈Z ） Ｃ．2π＋2ｋπ，（ｋ∈Z ） Ｄ．－2π＋2ｋπ，（ｋ∈Z ）2若tan x ＝0，则角x 等于( )A ．ｋπ，（ｋ∈Z ） Ｂ．2π＋ｋπ，（ｋ∈Z ） Ｃ．2π＋2ｋπ，（ｋ∈Z ） Ｄ．－2π＋2ｋπ，（ｋ∈Z ）3已知cos x ＝－23，π＜x ＜2π，则x 等于( ) A ．67π Ｂ．34π Ｃ．611π Ｄ．35π 4若tan （3π－x ）＝－23，则x = 5满足tan x ＝22的x 的集合为 6在闭区间［0，2π］上，适合关系式cos x ＝－0．4099的角有 个,用0．4099的反余弦表示的x 值是 ___________；用－04099的反余弦表示的x 的值是 _________ 参考答案：1 2A 3A 4x ＝6π＋k π，k ∈Z 5｛x ｜x ＝arcta ｎ22＋k π，k ∈Z ｝ 6 π－arccos04099 π＋arccos0arccos(－0π－arccos(－04099)五、小结：反正切函数的有关概念，并能运用知识已知三角函数值求角 六、课后作业：1方程cos x ＝a （｜a ｜＜1)，x ∈［0，2π)的解的集合是( )A ．｛arccos a ，－arccos a ｝ Ｂ．｛arccos a ｝ Ｃ．｛arccos a ，π－arccos a ｝ Ｄ．｛arccos a ，2π－arccosa ｝2适合cos x ＝－31，x ∈（－π，－2π）的x 值是( ) A ． arccos （－31） Ｂ．π－arccos 31Ｃ．－arccos （－31） Ｄ．－arccos 313若tan α＝8，且α∈（2π，23π），则α等于( )A ．arctan8 Ｂ．arctan8－π Ｃ．π－arctan8 Ｄ．π＋arctan84已知3tan 2x ＝1，x 是第三象限角，则x 的集合是 5若tan θ＝88，且tan83°31′＝88，则θ的集合为 6若cos2x ＝－23且0＜x ＜2π，则x 等于 7求满足sin x cos x －sin x －cos x －1＝0的x8已知sin x ＋cos x ＝1，求.cos sin 1cos sin x x xx +-．9求满足cos （πsin x ）＝21的x 的集合参考答案：1D 2C 3D 4x ＝67π＋2k π，k ∈Z 5｛θ｜θ＝83°31′＋k ²180°，k ∈Z ｝61219 1217 127 125ππππ 7x ＝－2π＋2k π或x ＝π＋2k π，k ∈Z81 9｛x ｜x ＝±arcsin 31＋k π，k ∈Z ｝七、板书设计（略） 八、课后记：。
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6.4反三角函数（反余弦函数、反正切函数）（2）教案教学目的：1．理解函数)(c o s R x x y ∈=，),2(tan Z k k x x y ∈+≠=ππy=tanx 没有反函数；理解函数],0[,c o s π∈=x x y ， )2,2(,tan ππ-∈=x x y 有反函数；理解反余弦函数x y arccos =，反正切函数x y arctan =的概念，掌握反余弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[0，π]；反正切函数的定义域是),(+∞-∞，值域是（-2π，2π）. 2．知道反余弦函数]1,1[,arccos -∈=x x y 和反正切函数x y arctan =，x ∈（-∞，∞）的图像. 3．能够熟练计算特殊值的反余弦函数值和反正切函数值，并能用反余弦函数值和反正切函数值表示角.4．会用类比、数形结合等数学思想分析和思考问题.教学重点与难点：教学重点：理解反余弦函数和反正切函数的概念以及他们的符号的本质.教学难点：公式x x arccos )arccos(-=-π、x x arctan )arctan(-=-的证明及其使用. 教学过程：（一）、引入一、（设置情境）一、 情景引入1．复习我们学习过反正弦函数，知道，对于函数R x x y ∈=,sin ，不存在反函数；但在]2,2[ππ-存在反函数. 2．思考那么余弦函数和正切函数是否存在反函数呢？[说明] 因为对于任一余弦值y 和正切值y 都有无数个角值x 与之对应.余弦函数和正切函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.3．讨论余弦函数和正切函数不存在反函数.但选取怎样的区间使得x y cos =或y=tanx 在对应区间上存在反函数呢.因变量可以确定自变量，余弦值或正切值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的余弦值或正切值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y cos =或y=tanx 存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y cos =和x y tan =在所取对应区间上存在反函数；（2）能取到x y cos =的一切函数值[]1,1-，x y tan =一切函数值R.可以选取闭区间],0[π，使得x y cos =在该区间上存在反函数；可以选取闭区间（-2π，2π），使得x y tan =在该区间上存在反函数，这个反函数就是今天要学习的反余弦函数和反正切函数.二、（双基回顾）1．反正弦函数arcsin y x =是一个_______(弧度制/角度制)的角，它的范围是_____________， 并且有sin(arcsin )_______________________x =2．请结合反正弦函数arcsin y x =的图像叙述它的性质。
反正弦函数arcsin y x =在区间[1,1]-上是_________(填增/减)函数；其函数图像关于_______对称， 它是______(填奇/偶)函数，即对于任意的[1,1]x ∈-一定有等式 arcsin()x -=___________成立。
3．arcsin(sin )______x =，_________x ∈.（二）、新课一、（新课教学，注意情境设置）二、概念或定理或公式教学（推导）1．概念辨析（1）反余弦函数余弦函数],0[,cos π∈=x x y 的反函数叫做反余弦函数，记作]1,1[,arccos -∈=x x y ；（2①图像②定义域：函数x y arccos =的定义域是]1,1[-；③值域：函数x y arccos =的值域是],0[π； ④奇偶性：函数x y arccos =既不是奇函数也不是偶函数，但有x x arccos )arccos(-=-π,]1,1[-∈x ； ⑤单调性：函数x y arccos =是减函数.（3）反正切函数R x k x x y ∈+≠=,2,tan ππ1︒在整个定义域上无反函数2︒在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上x y tan =的反函数称作反正切函数， 记作()R x x y ∈=arctan （奇函数）[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线x y =对称，函数],0[,c o s π∈=x x y 与函数]1,1[,a r c c o s -∈=x x y 图像关于直线x y =对称；三、（概念辨析或变式问题，目的是加强概念、公式的理解或应用）判断下列各式是否成立?简述理由。
（1）2)2cos(arccosππ=；（2）33arctan =π；（3）)21arccos()23arcsin(-=-； （4）32arccos 0)32arccos(=-+；（5）3arctan π0)3arctan(=-+π。
解：（1）式不成立，因为2π∉[-1，1]，故arccos 2π无意义； （2）式不成立，因为其对应关系搞错了；（ （3）式不成立，理由是把反正弦函数、反余弦函数的值域搞错了，事实上arcsin （-23）=-3π， 而arcos(-21)=32π，两者不等； （4）式不成立，因为把等式arccos （-x ）=π-arccosx 错记成arccos （-x ）=-arccosx ；（5）式成立，因为等式arctan （-x ）=-arctanx 。
四、典型例题（3个，基础的或中等难度）例1．求下列反三角函数的值：（1）21arccos ；（2）)23arccos(-；（3）0arccos ；（4）1arctan ；（5）-)33arctan(- 解：（1）因为cos 3π=21，且3π∈[0，π]，所以arccos 21=3π。
（2）因为cos65π=-23，且65π∈[0，π]，所以arccos （-23）=65π。
（3）因为cos 2π=0，且2π∈[0，π]，所以arccos0=2π。
（4）因为tan 4π=1，且4π∈（-2π，2π），所以arctan1=4π。
（5）因为tan （-6π）=-33，且-6π∈（-2π，2π），所以arctan （-33）=-6π。
例2．在ABC ∆中，已知13,12,5===AC BC AB ，分别用反正弦函数值、反余弦函数值和反正切函数值表示A ∠、B ∠、C ∠。
解：因为AC 2=AB 2+BC 2，所以∠B 是直角，于是有∠A= arcsin 1312= arccos 135=arctan 512；∠B=2π= arcsin1= arccos0； ∠C= arcsin135= arccos 1312=arctan 125。
例3．化简下列各式：（1）)7arccos(cos π；（2）)]21(sin[arcsin -；（3）)]1(cos[arctan - 解：（1）因为7π∈[0，π]，设cos 7π=α，所以arccos α=7π，即arccos （cos 7π）=7π。
（2）因为arccos )21(-=32π，所以sin[arccos )21(-]=sin 32π=23。
（3）因为arctan （-1）=-4π，所以cos[arctan （-1）]= cos(-4π)=22。
例4．求下列函数的反函数)(1x f-，并指出反函数的定义域和值域. (1)2arccos 2)(x x f +=π； （2）)12arctan(3)(--=x x f π 解：（1）设y=2π+arccos 2x ，则arccos 2x = y-2π，因为2x ∈[-1，1]，arccos 2x ∈[0，π]， 所以x ∈[-2，2]，y ∈[2π，23π]，根据反余弦函数的定义，得2x =cos （y-2π）， 即x=2cos （y-2π）.将x ，y 互换，得反函数f -1（x ）=2cos （x-2π）， 定义域是[2π，23π]，值域是[-2，2]. （2）设y=3π-arctan （2x-1），即arctan （2x-1）=3π-y ，因为（2x-1）∈R ，arctan （2x-1）∈（-2π，2π），所以x ∈R ，y ∈（25π，27π）， 根据反正切函数的定义，得2x-1=tan （3π-y ）=-tany ，即x=21（1-tany ），将x ，y 互换， 得反函数f -1（x ）=21（1-tanx ），定义域是（25π，27π），值域是R 。
五、课堂练习（2个，基础的或中等难度）1、求3arctan 2arctan 1arctan ++的值解：arctan2 = α, arctan3 = β 则tan α = 2， tan β = 3且24π<α<π， 24π<β<π ∴132132tan tan 1tan tan )tan(-=⨯-+=βα-β+α=β+α 而π<β+α<π2 ∴α + β = 43π 又arctan1 = 4π ∴3arctan 2arctan 1arctan ++= π 2、求)arccos(sin x y =, (323π≤≤π-x )的值域 解：设u = sin x ∵323π≤≤π-x ∴123≤≤-u ∴65)arccos(sin 0π≤≤x ∴所求函数的值域为]65,0[π 六、拓展探究（2个）例1、证明等式：]1,1[,arccos )arccos(-∈-=-x x x π 证明：∵x ∈[-1，1]，∴ -x ∈[-1，1]∴cos[arccos （-x ）]= -x ，cos （π-arccosx ）=-cos （arccosx ）=-x又因为arccosx ∈[0，π]，所以（π-arccosx ）∈[0，π]，又arccos （-x ）∈[0，π]， 且余弦函数在[0，π]上单调递减，所以arccos （-x ）=π-arccosx ，x ∈[-1，1]. 例2、求函数x arccos )x (arccos y 2+=的最大值和最小值；（三）、小结（1）反余弦函数和反正切函数的定义；（2）反余弦函数和反正切函数的性质.（四）、作业书上练习6.4(2)中的1、2、3、4课外作业：（6+2填空，3+1选择，3+1解答，其中+后面的题目可以难些用“*”注明）一、填空题1、函数y ＝)arccos(2x x -的单调递增区间为___________________.2、函数)2(cos ππ≤≤=x x y 的反函数是___________________.3、=)7arccos(sin ___________________.4、若21)sin(arccos =x ，则x =___________________.5、若)arcsin(sin ,2x x 则ππ-<<-的值是___________________.6、不等式x x arccos 5)arccos(>-的解集是___________________.7*、函数)]4arccos(3[log 3x y --=ππ的定义域是 ，最大值是 ．8*、若)(x f 是奇函数，且当0>x 时，)(,0),arccos(sin )(x f x x x f 时则当<-=π的解析式是)(x f =___________________.二、选择题1、若x x 则,arcsin )54arccos(54arccos =-- 的值是 （ ） A 、0 B 、2524 C 、2524- D 、不存在2、函数)arccos(sin 2)(x x f -=π是 （ ） A 、偶函数 B 、既是奇函数又是偶函数 C 、奇函数 D 、非奇非偶函数3、若0＜x ＜2π，则)]2(arccos[cos x +π＋)](arcsin[sin x +π等于 （ ） A 、2π B 、2π- C 、2π－2x D 、－2π－2x 4*、若方程)3sin(x a ＋)3cos(x ＝2a －1有解，则实数a 的取值范围是 （ ） A 、a ≤0 B 、a ≥34 C 、0≤a ≤34 D 、a ≤0或a ≥34 三、解答题1、求函数y ＝)2arccos(2x x -的定义域和值域2、求值：（1）)]53arccos(21cos[-； （2）)178arcsin 53sin(arcsin +．3、求函数241arccos 21x y -=的单调区间4*、已知2)sin arcsin(sin )sin arcsin(sin πk y x y x =-++（k 为奇数），求y x 22sin sin +的值。