2017年第十届“认证杯”数学建模网络挑战赛

第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题.我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出.我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性.如有违反竞赛规则的行为，我们接受相应处理结果.我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意.我们的参赛队号为：3345参赛队员(签名)：队员1：队员2：队员3：参赛队教练员(签名)：参赛队伍组别（例如本科组）：本科组第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：3345竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2017年第十届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛第一阶段论文题目移动端考研产品的春天真的到来了吗？关键词移动端SPSS动态定价马尔科夫链层次分析法摘要：本文针对移动端考研产品的未来发展问题，使用主成分分析、Logistic回归分析、动态定价原理分析、灵敏度分析、层次分析法等，分别构建标准化模型、回归模型、动态定价模型、马尔科夫预测模型、层次分析模型等模型，运用了Excel，SPSS，Matlab，Visio等软件，最后，结合实际调查数据，做出了确定可行性的层次分析模型.针对问题一，首先对附件2中的调查数据进行预处理，将问卷的23个问题转化为数据，然后定性分析这23个问题，排除与调查目标关联不大的6个问题.接着对其余问题的调查数据进行探索性分析，将之可视化，并分别通过主成分分析、Logistic回归分析，得出影响移动端考研产品发展的主要因素是移动端考研产品自身的特点和相对于其他考验渠道的优势.针对问题二，依据移动端考研产品的独特服务特性，建立服务产品的动态定价与销售关系.并利用运筹学中的灵敏度分析，考虑影响商品盈利的主要因素，最终得到最大获利的价格区间估计在(1054.18，1205.74)的范围内.再利用现有的市场数据，采用马尔科夫链模型，预测移动端考研产品的潜在市场占有率可达28.7%以上，并将逐年增长.针对问题三，结合调查问卷数据，选择武汉市作为研究对象，分别从经济、社会、技术等方面考虑移动端考研产品在该市推广投放的可行性.建立层次分析模型，从经济上的人力投入，软硬件，系统维护，产品生命周期；社会上的宣传，影响力，线下竞争；考研上的关注，认可度等，将这些因素结合权重得出考点类产品、录播课程类产品适合主要投入，而题库/练习类产品、直播类课程产品、单词/词典类产品较次之.本文最大的亮点，处理庞大错杂的数据，合理优化，使数据成分清晰，图标鲜明，逻辑严谨，对产品价格的因素逐个定性分析，利用时间连续函数，动态调整每个阶段价格，统筹兼顾.因为新兴移动端考研产品特性，马尔科夫可以避免过去数据影响，合理预测潜在市场.考研产品的投入，利用不同产品数据，构建多种方案，更加接近现实，模型解决实际问题更加准确恰当，适用范围广.参赛队号:3345所选题目:C题英文摘要（选填）AbstractIn?this?paper,?we?focus?on?the?future?development?of?mobile?research?produc ts,?using?principal?component?analysis,?Logistic?regression?analysis,?dynam ic?pricing?principle?analysis,?sensitivity?analysis,?analytic?hierarchy?pro cess,?etc.,?respectively,?to?build?a?standardized?model,?regression?model,? dynamic?pricing?model,?Markov?prediction?model?,?AHP,?Matlab,?Visio?and?oth er?software,?and?finally,?the?model?results?and?the?actual?survey?data?comb ined?to?determine?the?feasibility?of?the?hierarchy?analysis?model.To?question?1,?the?survey?data?in?Annex?2?is?processed?first,?resulting?in? a?collating?table.?And?then?analyze?the?23?questions?in?Annex?2,?and?ultima tely?determine?some?of?the?problems?excluded.?According?to?the?rest?of?the? data,?the?statistical?analysis,?linear?regression?analysis,?principal?compo nent?analysis?and?Logistic?regression?analysis?show?that?the?main?factors?i nfluencing?the?development?of?mobile?research?products?are?the?characterist ics?of?the?mobile?research?and?development?products?and?the?advantages?of?o ther?test?channels.In?view?of?the?problem?2,?according?to?the?unique?characteristics?of?mobile ?research?products,?the?establishment?of?service?products,?dynamic?pricing? and?sales?relationship.?And?use?the?sensitivity?analysis?in?operational?res earch?to?consider?the?main?factors?that?affect?the?profitability?of?the?com modity,?and?finally?the?maximum?profit?price?range?is?estimated?in?the?rang e?of?(1054.18,1205.74)?.For?the?product?market?forecast,?the?use?of?existin g?market?data,?Markov?chain?model,?a?reasonable?forecast?of?market?share?re ached?the?theoretical?28.7%,?and?will?grow?year?by?year.In?view?of?the?problem3,?we?choose?Wuhan?cityas?the?object,?consider?the?fe a s i b i l i t y?o f?t h e? city's?economic,?social?and?college?entrance?examination?education,?establi sh?the?level?analysis?model,?from?the?economic?human?input,?hardware?and?so ftware,?system?maintenance,?product?life?cycle;?social?propaganda,?Influenc e,?the?line?of?competition;?PubMed?on?the?attention,?recognition,?etc.,?the se?factors?combined?with?the?weight?of?test?sites,?recording?and?recording? courses?for?the?main?input,?and?the?question?bank?/?practice?products,?live ?course?products,?Dictionary?category?is?second.The?biggest?bright?spot?of?this?paper,?dealing?with?huge?and?wrong?data,?re asonable?optimization,?make?the?data?composition?clear,?icon?clear,?logical ?rigor,?the?product?price?factor?qualitative?analysis,?the?use?of?time?continuous?function,?dynamic?adjustment?of?each?stage?of?the?price,?Malcolm?can ?avoid?the?impact?of?the?past?data,?a?reasonable?forecast?of?potential?mark et.Application?of?research?products,?the?use?of?different?product?data,?bui ld?a?variety?of?programs,?closer?to?reality,?the?model?to?solve?practical?p roblems?more?accurate?and?appropriate,?itwillhavewiderangeofapplication.C题移动端考研产品的春天真的到来了吗？一、问题的重述1.1背景知识随着近年来考研人数的大幅度增长，以及移动互联网时代的来到，使许多考研活动转移到了手机等互联网平台.移动互联网产品的实用性和便捷性，对现有考研市场产生巨大变化.移动端考研产品相比于PC端使用人数更多，使用时长更长.对影响移动端考研产品发展的主要因素，以及考研产品的价格区间和潜在市场占有率的研究，有助于未来移动端考研产品的推广与使用.1.2问题重述在移动端考研产品的发展中，需要考虑众多影响因素，如开发成本，市场潜力，产品优缺点以及大学生对移动客户端的使用意愿.结合大量论文及相关要求，建立数学模型分析一下问题：问题一根据一万份调查问卷的数据，对数据进行处理，求出对移动端考研发展的主要因素.问题二为了尽量满足大学生的学习成本更低和开发商的利润最大化，对移动端考研产品进行定价分析.对于考研辅导行业市场(PC端辅导，线下辅导班培训)，估测移动端考研产品在这一市场的潜在占有率.问题三对于一般高校相对较多的城市，拥有相对多有考研意愿和条件的人.从经济、社会情况、考研特点三方面，研究移动端考研产品投放到该城市的可行性.二、问题的分析2.1问题的总分析问题的总体分析方法有三种：(1)对论文的标题进行分析，找出建模的相关资料，得出应用的方法.(2)对问题的总体进行整体分析，可以提出应当用到的方法.(3)画出整体分析框图如图1所示.图1整体流程图2.2对各个问题的分析(1)对问题一的分析考虑到问题一的数据来源于问卷调查，所以应当先对数据进行预处理(将数据不全或不正确答卷数据进行处理).将表格中的数据进行量化分析，将多因子中提取部分主要因子进行分析.在SPSS中进行因子分析，主成分分析，回归分析.通过分析的显着性结果对比分析出影响移动端考研产品发展的主要因素.(2)对问题二的分析首先要对信息类产品(即移动端考研产品)的定价理论进行分析，以及移动端考研产品的特殊因素对定价的影响，建立出移动端考研产品的动态定价模型.同时要与线下培训的价格和PC端考研辅导价格进行对比.对于市场的分析，通过附件二中问题16的数据统计，得出线下端和线上端的使用人数的比列，其使用概率可与马尔科夫的初始概率相同.(3)对问题三的分析问题要求建立数学模型，评价移动端考研产品投放的可靠性.首先，对目标进行层次分析，将移动端考研产品投放情况分解为各个组成因素，并将这些因素按分组关系分组，形成一个有序的递阶层次结构，通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序.三、模型的假设1.假设从附件二中所筛选出的数据都是真实可靠的.2.假设处理数据时不会出现错误删除的情况.3.不考虑其他突变因素对移动端产品发展的影响，如部分地区不能进行考研、移动端产品遭到新技术的淘汰等.四、符号说明五、 模型的建立与求解5. 1问题一的分析与求解：问题1要求根据已筛选过的附件2(C 题使用)中汇总调查的有关数据对移动端考研产品发展的影响因素，进行描述性统计分析[2]，线性回归分析，主成分分析，Logistic 回归分析[3].首先我们将附件2里的数据进行量化分析，录入SPSS 时对多选题定义多重响应集，并删去无效数据.然后对数据进行描述性统计分析和逐步法线性回归分析，得出问题2、5、6、8、17、23与我们所分析的移动端考研产品发展的影响因素关联不大，所以我们将这六个问题在这一问题中排除.对剩余数据进行进一步分析.接下来以第16题为依据，将被调查者分为两类，一类为线下端和PC 端的考研生，一类为移动端的考研生.分别进行主成分分析和Logistic 回归分析，最终确定对移动端考研产品发展的主要影响因素.对数据的初步分析可得，其中男生3417人，女生6358，来自一线城市的有1065人，二线城市的有4520人，三线城市的有3492人，其他地方有698人，年龄段在18~20岁的有603人、20~23岁7567人、23~25岁1276人、25岁以上329人，并且6207人选择线下渠道进行考研学习，1255人选择线上PC 端进行考研学习，2313人选择线上移动端学习.图2数据量化分析饼图(1) 主成分分析由于选取的变量较多，因此我们对数据进行“降维”，所以运用软件SPSS 对数据进行主成分分析.设()12,,,i i i ip x x x x =为总体x 的样本，每个i x 有p 个指标，()12,,,i i i ip x x x x =即原始数据矩阵为111212919p p p x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,(5-1) 根据前述分析，主成分分析的步骤如下：(1) 将原始数据标准化：1,2,,i x i p *==，(5-2)(2)建立相关系数矩阵：()ij p p R r ⨯=，(5-3)其中ij r 为i x *与j x *的相关系数；(3)计算R 的特征值i λ；由主成分的总方差解释表可看出，主成分的累积贡献率到达70%~90%.图3选择移动端的碎石图图4总碎石图图3和4为碎石图，由两张碎石图做比较，可看出在第四个特征根处变得比较平缓，可以表明提取三个个主成分.表二：成分得分系数矩阵组件1 23 X1 -.036 .083.755 X2 .276 -.089-.301 X3 .010 -.353.136 X4 .022 .523-.002 X5 -.447 -.039.156 X6 .333 .099.191 X7 .279 -.035.122 X8 .023 -.159.429 X9 .079 .502.160 X10 -.405 -.046.002提取方法：主成份分析. 表2为主成分得分系数矩阵，根据该矩阵，可以写出标准化的原始变量表示的主成分的表达式.若记标准化的原始变量为123456789zx zx zx zx zx zx zx zx zx 、、、、、、、、，两主成分记为12f f 、，则表达式为：因此由表三和表四，得出对移动端考研产品发展的主要影响因素有3个，分别为x 2、49x x 和.图5旋转后的空间组件图(2)Logistic 回归分析对主成分分析出的主要因素进行进一步的标准化Logistic 回归分析，剔除显着性不高的因素，再次进行分析得到上表五，由图可拟合模型：综合两种分析，得出影响移动端考研产品发展的主要因素是移动端考研产品自身的特点和相对于其他考验渠道的优势.5. 2问题二的分析与求解：5.2.1问题二的分析：移动端考研产品由于其特殊的使用特性与对象，具有很强的时效性.其可定义为易逝商品.由于阶段性的时间差异，商品价格会有很大的变化.运用易逝产品动态价格模型，设置一个合理价格区间显得尤为重要.由于线上考研产品的刚刚起步，与线下竞争存在很大的差别.运用马尔科夫预测模型，对潜在市场占有率进行合理有效的预测. 5.2.2问题二的求解：(1) 建模思路：在传统的消费市场中，更改价格会需要企业投入大量的人力物力，大大的增加了成本，故大多企业采取固定价格.而在新兴互联网经济下，网络服务性商品可以建立数据库，随市场变化调整价格.(2)模型的建立模型假设：在线考研商品的发售量假设为X ,在发售期内[0,L ]内价格需要进行几次调整.假定顾客取消率是时间t 的减函数，即(),[0,1]t θηη=∈，t 表示从预售期开始所经历的时间.由于研究生考试的接近，假设取消率随时间的增加而减少.假设顾客取消产品惩罚费用是价格的线性函数，即,(0,1)i i r p λλ=∈.在实际线上辅导班中，由于某些原因，会存在退班的学生.而退换的费用也是价格的百分比.将销售期的长度L 划分为n 个相等的时间段，假设每段间隔时间后，服务产品价格就会被重新调整一次.价格集合P i ={p 1,p 2,p 3,…,p n }.假设预售期内价格设定的次数n 是外生的.一般模型的建立用需求函数的一般形式d (p i )建立上述背景销售商的动态定价及订货策略模型[4].任意i 阶段预定速率为：()()()()i i i dI t d p t I t dt θ=-，1i T t T -≤≤，i =1,2,3……n ，(5-4) 又()t t θη=，所以，任意阶段t 时刻的预定水平为：()()11i i i t I t td p b ηηη+-⎡⎤=+⎢⎥+⎣⎦，1i i T t T -≤≤，i =1,2,3……n ,(5-5) 其中b i 为第i 阶段的常数.由于预售期初产品预定量为0，即有边界条件I 1(0)=0,所以c 1=0，所以任意i 阶段t 时刻的预定水平的表达式为：()111(), 1,2,3......1(), , 1,2,3......1n i i i i td p i n I t t t d p b T t T i nηηη+--⎧=⎪+⎪=⎨⎡⎤⎪+≤≤=⎢⎥⎪+⎣⎦⎩,(5-6) 1.销售收益已知第i 阶段的需求速率d (p i )和取消速率θ(t ),所以有[]111110()()()()1T T S d p t I t dt d p θη=-=+⎰,(5-7) []1111()()()()()(), 2,3,4 (1)ii i T i i i i i i i i T S d p t I t dt T T d p b T T i n ηηθη-----=-=-+-=+⎰,(5-8) 注：由于式(5-8)中存在1ni T --，所以i S 中i 须从2开始，因此，式(5-7)1S 需要单独写出.同下面取消费用收益的建模. 则整个预售期总的销售收益为：1111121()()()(),2,3,4......11ni i i i i i i i i T p d p T T p d p T T p b i n ηηηη--+-=⎡⎤=+-+-=⎢⎥++⎣⎦∑,(5-9) 由于式(5-9)中2n ≥,所以n=1时(单阶段)的销售收益函数如下：1111111()() , 111s T LR S p p d p pd p n ηη====++(5-10) 2.取消费用收益()1111()()1T i c t I t dt T d p ηθη==+⎰，(5-11) ()111()()()(),2,3,4 (1)i Tii i i i i i i i T c t I t dt T T d p b T T i n ηηηθη-----==---=+⎰，(5-12) 则整个预售期因取消惩罚而获得的取消费用收益为：1nc i i i R c r ==∑，(5-13)由于,(0,1)i i r p λλ=∈，所以取消费用收益如下：112nc i ii R c r c r ==+∑()()()111112(),2,3,4 (11)ni i i i i i i i i T p d p T T p d p T T p b i n ηηληληληη-----=⎡⎤=+--=⎢⎥++⎣⎦∑,(5-14) 当n=1时取消费用收益函数为：11111()()11c LR c r T p d p pd p ληληηη===++,(5-15) (1)订货成本D Na =,(5-16)(2)目标函数根据面前的分析可得利润函数表达式如下：11112(,,)(1)() , 11(1)(1)()()()11 (1)(i s c n i i i i i i R X p n R R DLpd p Xa n T p d p T T p d p T ληηληληηηλ-==+-+-=+++=+-+++-∑12) 2ni i i i T p b Xa i n ηη---=⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪--≤≤⎪⎩∑，(5-17) 上面(5-17)式所含的变量n ,p ,X 都是未知的，需要通过优化计算后才能确定的，因此销售商的利润R 实际上是关于(n ,p ,X )的函数.但是注意到预售期末，销售商需要将所有的服务产品预售完毕，因此在初始时要使销售商预定的产品数量与销售的数量一致，所以有()n n X I T =,所以目标函数(5-17)就转变为寻找最优的n ,p i 使得目标函数R (n ,p i )最大化.(3)模型的求解假定移动端考研产品将在六月份开始，L =30天之后使用，此服务产品的成本为a =1.教育机构在未来30天预售此产品.产品需求函数为d (p i )=10-p i ,即b =10，k =1；顾客取消率是时间减函数,顾客取消惩罚费用i i r p λ=,λ为常数.(1)假设max n =6，企业获得最大利润的价格调整次数n .给出利润R 和预期订货量X 随价格调整为情况;表六：X 为未知结果的算例结果n1 2 3 4 5 6 R 1065.78 1066.10 1066.14 1054.78 1066.01 1065.95 X 323.00 323.11 323.97 324.64 325.14 325.44从表中我们可以看出，随着价格设定次数n 的增加，收益R 会先增大后减小.n =4的时候，销售获得最大利益为1054.78对应购买最多为324.64.(2)假定n =4时，对模型中的参数进行灵敏度分析.研究各参数对对企业总利润和订货量的影响.保持其它参数不变，下面依次对参数L ,a ,λ进行灵敏度分析.表七：参数L 的灵敏度分析L30 32 34 36 38 40 R 1054.78 1105.10 1155.42 1205.74 1256.06 1306.40 X 324.64 332.95 341.26 349.57 357.88 366.19上表反应了，随着预售期的增长，企业初期总的利润和订货量会随之增加.因为当需求函数确定，销售时间越长，销量自然会越高.企业利润越高.表八：参数a 的灵敏度测定c 1 2 34 5 6R 1054.78 899.44 761.97 642.35 540.60 390.69 X 324.64 311.38 298.11 284.86 271.59 245.07从表中数据可以看出，随着成本的增加，企业获得总利润会减少，当其它因素不变，当企业的成本增加是，为了不亏损，企业一般会提高售价，相应的市场会减少，总利润降低.表九：参数λ的灵敏度分析0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 R 1045.96 1050.37 1054.78 1059.21 1063.75 1068.09 X324.71 324.68 324.64 324.60 324.56 324.52从上表可以看出，随着顾客取消订单而收取惩罚费用的增加，产品总的利润增加，而订货数减少.这是因为λ的增加，顾客会慎重购买需求降低，从而产品的销量会下降.所以当其它因素不变的时候，前者带来的收入增加量大于后者收入减少量时，会呈现上表的情况.综上所述：移动端考研产品的合理价格区间设置条件参数，a =1，d (p i )=10-p i ，k =10，b =1，0.2i i r p =，n =4.即为移动端考研产品在预售初期的时间范围类，进行4次价格调整.适当增加售价,考虑影响商品盈利的主要因素，价格区间估计在(1054.18，1205.74)的范围内，得到最大的盈利销售. 5.2.3对市场占有率预测[5]的分析考虑到市场占有率的特殊性，我们对这组变量采用马尔科夫预测模型[1]，即： 马尔科夫链是一个离散时间随机过程，这个过程中的每一步都需要做一个随机选择，一个马尔科夫链包括N 个状态，在市场占有率的统计时，对每款产品的选择就是一种状态，当选择另一款产品时，就转移到了另一种状态.因此，在有N 款网络产品的情况下，就存在着N N ⨯的转移概率矩阵，其中每个元素的值在[0,1]之间，并且中的每一行的元素之和为1，马尔科夫链的下一个状态的分布仅仅依赖于当前状态，且与如何到达当前状态无关.因此，一段时间后产品使用的概率向量S (1)可以表示为：=000101000000101()()()()()()[()()()]()()()k k k k kk p t p t p t p t p t p t n t n t n t p t p t p t ⎛⎫⎪ ⎪⋅⋅⋅⨯ ⎪⎪⎝⎭,(5-18)其中i 为产品的提供企业，i =0时则表示不使用任何产品；n i (t )为t 时刻(初始时刻)使用i 产品的概率，0()1i n t ≤≤，且所有概率之和为样本容量1，即：()1Ni i n t ==∑，(5-19)p ij (t )表示在[,]t t t +∆时期内由选择i 产品转移到j 产品的概率，0,1,,0i k j ==，1,,k t ∆可以是一个任意一个时间段.p ij (t )满足：1)()kij j p t =∑=1，0,1,i k =;2) 0≤p ij (t )≤1,i ,j =0…,k (1) 转移概率矩阵的确定:在转移概率矩阵P 中，含有2(1)k +个未知元素p ij (t )，可以根据统计选择每一款产品的数量()i l N t 来推导，()i l N t 中i =0,1,2,,k +2.11001111121002112210011()()()()()()()() ()()()()l l l k l k l l l k l k k l l k l k k l kkN t N t p N t p N t p N t N t p N t p N t p N t N t p N t p N t p +++=+++=+++=+++,(5-20)这样，只需要在k +2个时间点测出每款产品的使用数量N i (t 1),即可通过k (k +1)线性方程组解出p ij (t )，从而转移到转移概率矩阵P . (2)产品市场占有率的预测:可以预测k 个时间段后产品i 的市场占有率为：()(0)k k S S P =⋅，(5-21)当市场处于平衡时，()()k k S P S ⋅=，(5-22)由()01[()()()]k k S n t k t n t k t n t k t =+⋅∆+⋅∆+⋅∆结合公式(5-22),有()1Ni i n t k t =+⋅∆=∑，(5-23)因此可以预测出平衡状态下的市场占有率. (3)对问题运用模型进行求解：通过Excle 软件对问题16进行条形统计可知首先我们将使用倾向与市场的占有率成正比，所以近似可得出市场占有率=使用倾向率.图6三种产品使用人数条形图即可确定初始概率分布为i =0，i =1，i =2 S (2016)=S (0)=[0.23,0.77],即统计周期开始的时候选择线下培训的比列为64%，选择线上PC 端的比例为13%，而线上PC 端的比例为23%，当需对线上移动端的市场做预测分析时，根据下列公式可以得出转移矩阵P ；从线下到线下的概率001{00}n n p P X X +===， 从线下到线上PC 的概率011{10}n n p P X X +===， 从线上PC 端到线下的概率101{01}n n p P X X +===， 从线上PC 端到线上PC 端的概率111{11}n n p P X X +===， 通过对目前市场占有情况的调查可以得到下列表格：p 0p 1 p 0 0.98 0.02 p 10.080.92由表可以得到市场转移矩阵0.980.020.080.92⎡⎤=⎢⎥⎣⎦P ， 这时将模型代入，将时间差为一年，即一次以概率矩阵P 间隔一年，根据(4)可以预测一年后的市场占有率：i =0,i =1,S (k )=S (0). S(2016)=[0.23,0.77];S(2017)=S(2016)*P 1=[0.287,0.713]; S(2018)=S(2016)*P 2=[0.3383,0.6617]; S(n)=S(2016)*P n ,当市场继续沿这一趋势发展下去，则马尔科夫链到达平衡，设线上线下的占有率分别为[x ,1-x ]; 按计算公式可得；[]0.980.02,10.080.92x x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 可解得x =0.8,1-x =0.2,可见，如果就目前情况发展下去，2017年线上移动端的市场占有率已达到28.7% 在没有外界因素的干扰下，最终在移动端达到市场占有率的80%. 5. 3问题三的分析与求解： 5.3.1模型建立：(1) 建立层次模型[6]结构图7层次分析图(2) 构造判断(成对比较)矩阵在准则层的对应条件下，我们将方案层与之相对的重要性赋予A 1，…,A n 的相应权重.为了使定性的结果，易于使人接受，我们使用成对比较矩阵A=(a ij )n×n .并采用1~9标度方法.(3) 层次单排序及其一致性检验一致矩阵:对于,,i j k ∀均有ij jk ik C C C •=的正反矩阵，根据矩阵理论,Ax x λλ=代表特征值，对所有的11nii i i a n λ===∑有.当矩阵完全一致时，1max =λλ，其余特征值为0；而矩阵A 不具有完全一致性时，1max =,n λλ>其余的特征值有以下关系：max 2ni i n λλ==-∑.上述结论知道，当判断矩阵不完全一致时，相应的判断矩阵的特征值也发生变化，因此我们引入判断矩阵最大特征值以外的其余特征根的负平均值，作为衡量判断矩阵偏离一致性的指标，即用max =1nCI n λ--,(5-24)1. CI 值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大；CI 越小，表明判断矩阵一致性越好.2. 当矩阵具有满意一致性时，max λ稍大于n ，其余特征值也接近于0，下面对满意度一致性给出一个度量.R.I 是多次重复进行的随机判断矩阵特征值的计算后取得算术平均数得到的.下标是1~9维矩阵重复1000次取得的平均随机一致指标.表十三：平均一致性指标(RI)维数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 R.I 0 0 0.52 0.90 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI 与同阶平均一致性指标RI 之比成为随机一致性比率，记为CR .当0.10CICR RI=<,(5-25) 时，即认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断矩阵，使之具有满意性满意的一致性.(4) 层次总排序及其一致性检验计算出某层次因素相对于上一层次中某因素的相对重要性，这种排序方式方式称为单层次排序.具体说就是根据判断矩阵计算对于上一层某元素而言本层次与之有联系元素的重要性次序的权值.1.计算判断矩阵每一行元素的乘积i M()11,2,,ni ij j M a i n ===∏,(5-26)2.计算的i M n 次方根i Wi W =3.对向量12,,,Tn W W W W ⎡⎤=⎣⎦正交化1ii njj W W W ==∑，(5-28)则12,,,Tn W W W W ⎡⎤=⎣⎦即为所求得特征向量.4.计算判断矩阵的最大特征根max λ()max 1niii AW nW λ==∑,(5-29)其中i AW 表示AW 中第i 个元素.5.3.2模型求解：(1)依据层次结构模型，我们以武汉市为例，经过数据调研分析,我们假设对于移动端产品的投放的主要影响是：首先是考研教育情况，其次是社会情况，最后是经济情况.可以构造判断矩阵为 求解为：0.1050.6370.258W ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭λmax =3.308,C.I =0.019,R.I=0.58,C.R =0.033<0.1,将矩阵输入Matlab 运算(详细见附录).(2)第三层相对于第二层元素矩阵判断11234711325=113112114122131********B ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 求解为：0.4910.2320.0920.1380.046W ⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭λmax =5.126,C.I =0.032,R.I=1.12,C.R =0.028<0.1.(3)计算单一准则下元素的相对重要性21171157153=3111351231B ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 求解为：0.550.5640.1180.263W ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭λmax =4.117,C.I =0.039,R.I=0.90,C.R =0.043<0.1, 311331133=1131111311B ⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭，求解为：0.4060.4060.0940.094W ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭max4λ=,C.I =0,R.I=0.9,C.R =0, 表十六：方案总权重分布表0.1580.1640.3930.1130.172W ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭C.I =0.028,R.I=0.923,C.R =0.03<0.1， 该计算结果表明，对于武汉市移动端考研产品的投放情况为：考虑该市的经济、社会、考研教育可行性，建立层次分析模型，从经济上的人力投入，软硬件，系统维护，产品生命周期；社会上的宣传，影响力，线下竞争；考研上的关注，认可度等，将这些因素结合权重得出考点类产品、录播课程类产品适合主要投入，而题库/练习类产品、直播类课程产品、单词/词典类产品较次之.六、模型的评价与推广一、模型的评价1.优点(1)本文巧妙运用思路流程图，将建模思路完整清晰的展现出来；(2)利用Excel 软件对数据进行处理并作出各种图表，简便，直观，快捷；(3)利用Spss 软件对挑选出的数据进行各种分析，并作出分析图表，鲜明，清晰；(4)运用多种数学软件(如Matlab 、Excel)，取长补短，使计算结果更加准确、明晰；(5)本文建立的模型与实际紧密联系，充分考虑影响产品投放的不同因素，从而使模型更贴近实际，通用性强.2.缺点(1)对于一些数据，对其进行了一些必要处理，会带来一些误差；(2)第一个模型为使计算简便，使所得结果更理想化，忽略了一些次要影响因素；(3)在马尔科夫预测模型中，由于数据不够充分，因此预测存在误差.二、模型的推广(1)层次分析法被广泛应用于安全科学研究，诸如煤矿安全研究、危险化学品评价、油库安全性评价、城市灾害应急能力、交通安全评价等诸多方面；在于气象相关的环境科学研究中，层次分析法已在大气环境研究、水环境研究、生态环境研究等领域得到了应用.(2)动态定价模型是一种允许企业根据产品要求改变价格的模型，诸如汽车共乘平台优步、美国职业棒球大联盟球票销售、Uber等方面得到了应用.七、参考文献[1]司守奎、孙兆，数学建模算法与应用[M]，北京：国防工业出版社，2016.[2]汪东华，多元统计分析与SPSS应用[M]，上海：华东理工大学出版社，2010.[3]何晓群、闵素芹，实用回归分析[M]，北京：高等教育出版社，2014.[4]王海娟，网络环境下两类易逝品动态定价模型研究[D]，华南理工大学硕士学位论文，2014.[5]张西祥、李陶深，基于云计算的软件网络市场占有率统计与预测模型[J]，第31卷增刊2，2011.[6]AHP方法及其应用，.八、附录A=[1,1/5,1/3;5,1,3;3,1/3,1]%A矩阵运算A=1.00000.20000.33335.00001.00003.00003.00000.33331.0000>>[V,D]=eig(A);>>C=max(diag(D))%最大特征根位置C=3.0385>>f=find(diag(D)==max(diag(D)));%求lamda位置，其中diag为矩阵对角线上的元素>>W=V(:,f)/sum(V(:,f))%归一特征向量W=0.10470.63700.2583>>B=A/sum(V(:,f))%计算权向量B=0.69530.13910.2318。