专题六 几何图形的基本模型

几何图形的基本模型

【典型例题】

模型一：双子型（手拉手模型）——全等

（1）等边三角形

条件：ΔOAB,ΔOCD均为等边三角形。

结论：①ΔOAC≌ΔOBD②AC=BD③∠AEB=600④OE平分∠AED⑤点E在ΔOAB的外接圆上

（2）等腰直角三角形

条件：ΔOAB,ΔOC D均为等腰直角三角形。

结论：①ΔOAC≌ΔOBD②AC=BD③∠AEB=900④OE平分∠AED⑤点E在ΔOAB的外接圆上

（3）任意等腰三角形

条件：ΔOAB,ΔOCD均为等腰三角形。

结论：①ΔOAC≌ΔOBD②AC=BD③∠AEB=∠A0B④OE平分∠AED（或∠AED的外角）⑤点E在ΔOAB的外接圆上

例题：（1）如图①，△ABC中，AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰三角形ABD,ACE，分别取BD,CE,BC的中点M、N、G，连接GM、GN，线段GM与GN数量关系是；位置关系是

（2）如图②，把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，AB﹥AC,其中，其它条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由。

（3）如图③，在（2）的基础上，又作了进一步的探究，向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD、ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明。

模型二：双子型（手拉手模型）——相似

（1）一般情况

条件：CD∥AB(ΔOCD∽ΔOAB),将ΔOCD旋转至右图位置

结论：右图中①ΔOCD∽ΔOAB⇔ΔOAC∽ΔOBD②延长AC交BD于点E，必有∠AEB=∠AOB ③点E在ΔOAB的外接圆上。

（2）特殊情况

条件：CD∥AB(ΔOCD∽ΔOAB),∠AOB=∠COD=900将ΔOCD旋转至右图位置

结论：右图中①ΔOCD∽ΔOAB⇔ΔOAC∽ΔOBD②延长AC交BD于点E，必有∠AEB=900（BD ⊥AC）

③连接AD,BC,则S ABCD=12AC×BD④OD OC=OB OA=tan∠OCD⑤点E在ΔOAB的外接圆上

(A,O,E,B四点共圆)⑥必有AD2+BC2=AB2+CD2

例题：以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=300

(1)点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM.

1如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，FM EM=

2如图2，将图1中△AOB的绕点O沿顺时针方向旋转α角(00＜α＜600)，其他条件不变，判断 的值是否发生变化，并对你的结论进行证明

（3）如图3，若B0=33，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将

ΔOAB绕点0旋转过程中，线段PN长度的最小值为，最大值为。

=

模型三:对角互补模型

(1)全等型-900

条件:①∠AOB=∠DCE=900②OC平分∠AOB

结论:①CD=CE②OD+OE=√2OC③

当∠DCE的一边交AO的延长线于点D时

结论:①CD=CE②OE-OD=√2OC③S

ΔOCE -S

ΔOCD

=12OC2

(2)全等型-1200

条件:①∠AOB=2∠DCE=1200②OC平分∠AOB

结论:①CD=CE②OD+OE=OC③

例题1如图，D为等边ΔABC外一点，若∠BDC=1200，求证:AD平分∠BDC (典型例题：等边三角形+对角互补，求证角平分线)

例题2如图，D为等边ΔABC外一点，若AD平分∠BDC，求证:∠BDC=1200 (典型例题：等边三角形+角平分线，求证对角互补)

例题3如图，D为等边ΔABC外一点（BD＜CD），若∠BAC=600,,若∠BDC=1200

AD平分∠BDC，求证:AB=AC

(典型例题：对角互补+角平分线，求证等边三角形)

模型四:角含半角模型900

（1）角含半角模型900-1

条件：①正方形ABCD；②∠EAF=450

结论：①EF=DF+BE②ΔCEF周长是正方形ABCD周长的一半③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF 也可以这样：

条件：①正方形ABCD②EF=DF+BE

结论：①∠EAF=450

（2）角含半角模型900-2

条件：①正方形ABCD；②∠EAF=450

结论：①EF=DF–BE

(3)角含半角模型900-3

条件：①等腰直角ΔABC②∠DAE=450

结论：BD2+CE2=DE2

若∠DAE旋转到ΔABC外部时，结论BD2+CE2=DE2仍然成立

（4）角含半角模型900-变形

条件：①正方形ABCD；②∠EAF=450

结论：①ΔAHE为等腰直角三角形②A、B、E、H四点共圆③G、E、F、H四点共圆例题1已知，正方形ABCD中，∠MAN=450绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N

(1)当∠MAN绕点A旋转到如图1的位置时，求证：BM+DN=MN

(2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），则线段BM,DN和MN之间的数量关系是

(3)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段BM,DN和MN之间又有怎样数量关系呢？并对你的猜想加以说明。

例题2如图，抛物线y=ax2+bx+4过A(2,0),B(4,0)两点，交轴于y轴点C，过点C作x轴的平行线与抛物线的另一交点为D，连接AC,BC。点P是抛物线上的一动点，设点P的横坐标为m(m﹥4)。（1）求抛物线的函数解析式和的∠ACB正切值。

（2）若∠ACP=450，求m的值

模型五:倍长中线模型

（1）倍长中线类模型-1

条件：①矩形ABCD②BD=BE③DF=EF

结论：AF⊥CF

(2)倍长中线类模型-2

条件：①平行四边形ABCD②BC=2AB③AM=DM④CE⊥AD

结论：∠EMD=3∠MEA