1987~2012四川大学数学分析考研试题

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一、求下列极限（每小题10分，满分20分） 1. 30031)cos 1(lim x dt t x x ò-® 2. å=¥®+n k n n

k n k n 1sin 2cos sin lim p

p p

二、设函数),(y x u u =由方程)(u x y u j +=确定，求证])([222y

u u y x u ¶¶¶¶=¶¶j （本题满分10分）

三、设)(x f 在]1,0[上连续。证明：)0(2)(lim 1

0220f dx x t x tf t p =+ò+® （本题满分20分）

四、证明函数项级数å¥=+1

sin sin n x n nx x 在),0(+¥上一致收敛。 （本题满分20分）

五、计算dx y x y dy y

x x l 2222+-+ò其中l 是由12-=x y 与1+=x y 所围成区域的边界，沿逆时针方向。（本题满分10分）

六、计算òò

-+-S

dxdy z z yzdzdx zxdydz )(242，其中S 是yoz 平面上的曲线y e z =（20££y ）绕oz 轴旋转一周所成的曲面的下侧。

（本题满分20分）

1

一、求极限（每小题8分，共16分） 1. 1)12(31lim +¥®-+++p p p p n n n L （其中p 是自然数） 2. ÷÷÷÷øöççççè

æ++++++¥®n n n n n n n n n 1221212lim 21L

二、（第一小题5分，第二小题10分，共15分）

1.叙述实数R 上的区间套定定理和确界原理；

2.用区间套定定理证明确界原理

三、（第一小题10分，第二小题5分，共15分）设

)(x f 在],[b a 上有连续的二阶导数且0)()(==b f a f ， 证明:1.对任意],[b a x Î，dx x f a

b b x a x x f b a ò-£--)(''1))(()( 2. dx x f x f a b b a b a x ò£-Î)('')(max 4]

,[

四、（每小题7分，共14分） 1.利用公式dy e x x y ò+¥+-=+0)1(2211，计算dx x

x ò+¥+021cos a . 2.求dx x

x x ò+¥+021sin a 五、（10分）证明：若)(x f 在R 上非恒为零，存在任意阶导数，且对任意的R x Î，有

2)1()(1

)()(n x f x f n n <--，则x n n Ce x f =¥®)(lim )(，其中C 是常数。

六、（10分）若1³n 及0³x ，0³y ，证明不等式：n n n y x y x )2

(2+³+ 七、（10分）求级数å¥

=+1)1(n n

n n x 八、（10分）计算曲面积分zdxdy x ydzdx z x xzdydz S 22)(--+òò，其中S 是旋转抛物面

z a y x 222=+（0>a ）取10££z 部分，下侧为正.

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一、设01

>x ，n n n x x x ++=+3)1(31 （L ,2,1=n ），证明}{n x 有极限，并求出极限值.（15分）

二、设)(x f y =在),0[+¥一致连续，且对任意]1,0[Îx ，0)(lim =+¥

®n x f n （n 为正整数）， 证明：0)(lim =¥®x f x （15分）

三、设在],[b a 上，有0)(''>x f ，证明

（1）对任何],[,0b a x x Î，有))((')()(000x x x f x f x f -+³

（2）对任何],[,,,21b a x x x n

ÎL ，有åå==£n

i i n i i x f n x n f 11)(1)1(（每小题10分，共20分）

四、设函数

)(x f 在],[b a 上有连续导数且0)(=a f 。 证明：dx x f a b M b

a ò-£)]('[)(2，其中)(sup x f M

b x a ££=（15分） 五、设),(y x f 为n 次齐次函数，即满足：对任何0>t ，),(),(y x f t ty tx f n =，且f

可微，证明在)0,0(),(¹y x 处有nf y f y x f x

=¶¶+¶¶ 六、设)(x g 在]1,0[上连续，0)1(=g ，作n n x x g x f )()(=，

)}({x f n 在]1,0[上一致收敛. （15分）

七、计算积分dz xy z dy xz y dx yz x AmB )()()(222-+-+-ò

此积分是从点)0,0,(a A 至点),0,(h a B 沿着螺线

q cos a x =、q sin a y =、q p 2h z =

上所取的. （10分）

1一、（每小题10分，共20分）设a x n n =+¥®lim ，设

)

1(32321+++++=n n nx x x x y n n L 。 证明：1.若a 为有限数，则2

lim a y n n =+¥® 2. 若+¥=a

，则+¥=+¥®n n y lim

二、（每小题10分，共20分）设

)(x f 在),0[+¥上单调递减且dx x f ò+¥0)(收敛. 1.证明：0)(lim =+¥®x xf x ；

2.若+¥®x 时0)(®x f 且)('x f 连续，证明dx x xf ò+¥

0)('也收敛.

三、（每小题10分，共20分）

1.设对每个正整数n ，)(x u n 是)1,0(内的单调递减连续函数，且1)(lim 01=-®x u n x ， 证明：若å¥=1n n a

收敛，则åå¥

=¥=-®=1101)(lim n n n n n x a x u a 2.证明：2ln 21)1()1(lim 1101=+-å¥

=--®n n n n x x n x

四、（本题满分15分）设

)(x f y =在],[222222c b a c b a ++++-上连续， 证明：

du c b a u f dS cz by ax f S òòò-++=++11

222)(2)(p 其中S 为单位球面：1222=++z y x