线性代数练习册(第1章)

第一章习题一（行列式的基本概念）

一、填空题

1. 按自然数从小到大为标准次序，排列2413的逆序数是 .

2. 按自然数从小到大为标准次序，排列4637251的逆序数是 .

3. 按自然数从小到大为标准次序，排列()n n 2241213 -的逆序数是 .

4.若排列4153972

j i 为偶排列，则=i ，=j . 5. 四阶行列式中含有因子2311a a 的项是 . 6. 在5级行列式中，项4524513213a a a a a 前带的符号是 . 二、解答题 1. 求行列式的值.

（1） 2001462

1

3-；

（2） 9876543

21.

2. 证明

（1）))()((1

11

2

2

2a c c b b a c b a c b a

---=.

（2）()3

2

2

11122b a b b a a b ab

a -=+.

（3）

()()424231314

4

312211

000000y y x x y y x x x y x y y x y x --=.

第一章习题二（行列式的性质）

一、填空题

1.行列式4

032121

01的值是 .

2. 行列式2

1

13

127

074

58-的值是 .

3. 行列式

322000000

111d d c d

c b a = .；=d

c

b a .

二、解答题

1. 计算下列各行列式：

（1）

7

1100251020214214.

（2）

2

605232112131412-.

（3）ef

cf

bf de cd bd

ae ac ab ---. 2. 证明

（1）2222

22

22

24c b a b a bc

ca

bc a c ab ca ab c b =+++.

（2）()()()()()()()()()()()()03213213213212

2222222

2222

2222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a .

（3）()()()()()()()d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d

c b a

+++------=4

4442222

1111.

第一章习题三（行列式按行或列展开）

一、填空题

1．设4阶行列式122130431

2107301----=D ,则

（1)D 的代数余子式14A = ； （2) 1413121122A A A A -+-= ；

2．行列式1

233415

2

--=a

D 的代数余512=A ，则a = .

3．行列式x

d d d x c c c x b b b x a a a D 3

2

1

321321321

4=

，则=+++41312111A A A A .

二、解答题

1.设112101

3=z y x ，求1

1

1314

111z

y x ---.

2. 计算n 阶行列式

n

22

2

232

2

2

222

2221.

3．证明

122

1100001

00

1n n

n n x x

D x a a a a a x

----=

-

+

12121,(2)n n n n n x a x a x a x a n ---=+++++≥.

4．计算行列式

00100200

1000

00n D n n =

-.

5．计算n 阶行列式

000100

000000000100

0n a a a D a a

=

.

第一章习题四（克拉默法则）

一、填空题

1.如果线性方程组的系数行列式D ，则线性方程组一定有解且解是 .

2.如果齐次线性方程组的系数行列式0≠D ，则齐次线性方程组没有 解.

3.当=λ 时，齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=-=+0

2,0,02,043214

131x x x x x x x x λλ有非零解.

二、解答题

1.用克拉默法则解线性方程组.

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧=-+=-+-=+--=+-.

5534,12523,432,

5433214214

31432x x x x x x x x x x x x

2.已知齐次线性方程组()()()⎪⎩⎪

⎨⎧=-+-=--=++-0

124,02,

03321

32321x x x x x x x x λλλ有非零解，求λ的值.