学习复变函数的体会

学习复变函数的体会

我们都知道复变函数是数学专业的基础课之一，又是数学分析的后继课，所以如果数学分析没有学得透彻，明显感觉复变中有一些知识学得会很吃力。

首先，第一章就让我了解到将实数域扩大到复数域，可以解决很多我们用实数无法解决的问题。其实复数和实数有联系也有区别。联系是复数的实部和虚部都是实数。区别是复数不能比较大小，而且复数表现形式多样，有代数形式、三角形式和指数形式，可以互相转换，使用上也各有其便。此外，如果规定非零复数z的主辐角arg z合条件0≤arg z＜2π，则它与Arctgy/x 的主值arctgy/x的关系如下：

argtgy/x 当z在第一象限时；

π/2 当x=0,y>0时；

argtgy/x+π当z在第二、三象限时；

argz= -π/2 当x=0,y<0时；

argtgy/x-π当z在第四象限时；

和实数不同，复数还可以表示向量，Z1-Z2表示Z2到Z1这个向量，∣Z1-Z2∣表示这两点的距离。显然它可以引出邻域这个概念，也是复变函数极限论的基础。这里，三角不等式就不多说了。复数在代数和几何上的应用，主要是灵活的应用复数的一些基本性质与复数的向量表示，适当的旋转一个向量，即是此向量所表示的复数适当地乘以一个单位复数。接着便是曲线的概念，特别是简单闭曲线、光滑或逐段光滑曲线和区域单连通和多连通几个基础几何概念，容易记不住。此外，通过学习复变函数W=f(z)，可看成从Z平面上的点集E 到W平面上的点集F的满变换，使一些问题形象化。复变函数的极限概念与事变函数的概念形式上尽管一样，但实际上前者比后者要求苛刻的多。复变函数极限存在，等价于其实部和虚部极限都存在，复变函数连续，等价于其实部和虚部都连续。最后，我还初步了解到复球面和无穷远点的概念。

相比于第一章，第二章就有点渐渐走进复变函数这门学科的感觉。解析函数，一个之前

从未听过的数学名词。它和实变函数一样，也有导数，虽然定义形式上，二者情形一样，但从实质上讲，复变函数在一点可导可比实变函数严格的多。在实变函数中找一个处处连续却处处不可导的函数很不容易，但在复变函数中却很简单。最最重要的是，实函中的微分中值定理不能直接用到复函中。解析函数有很多很好的性质，C.-R.条件是判断函数可微和解析的主要条件。函数f(z)在区域D 内可微等价于D 内解析，但是在一点可导推不出在那一点解析。定理2.2是判断可微的充要条件，我觉得很好用。此外，定理2.4是刻画函数f(z)在区域D 内解析的充要条件，定理2.5是充分条件，这些定理到后面经常要用到。初等单值函数和初等多值函数是数学分析中基本函数的延伸。指数函数令人印象深刻的就是它2πi 的周期， 正、余弦函数在复数域内不能在断言：|sinz|≤1,|cosz|≤1。单值函数学起来较为简单，多值函数却让人有点迷糊。如根式函数n z =ω及对数函数 Lnz =ω它们出现多值的原因就是z 确定后其辐角不唯一确定。因此适当割破z 平面（如沿着负实轴割破），就能将它们分成单值连续解析分支，从而能取出适合指定条件的单值解析分支。而这里支割线的确立，对我而言，是一个难点，经常难以把握。对于复对数，我知道了一个非零复数的对数仍是复数，而且是无穷多值的，“负数无对数”的说法，如今在复数域内应该为“负数无实对数”。反三角函数和一般幂函数都是以对数函数表示的，就不再多说。幂函数 n z =ω的

单叶性区域，是顶点在原点Z=0，张度不超过2π/n 的角形区域。指数函数z e =ω的单叶性

区域，是Z 平面上平行于实轴的宽不超过2π的带型区域。

下面的学习就跟数学分析联系的相当紧密。如复曲线积分仍是作为一种和的极限来定义的，它的积分问题，可以转化为两个二元实函数的积分问题，但这个通过后面的学习，我不常用这个。从积分路径C 入手，运用参数方程的方法才是我们常用的。关于路径C:| a z -|=ρ可代之包围a 的任意曲线。此外，积分估值定理也很有用，掌握的好的话，对于做证明题，是得心应手的。最重要的一点是数学分析中的积分中值定理不能推广到复数域当中来。柯西积分定理及从两个方面的推论更是学习复变的重要基础，通过后面的学习，我发现这几个定理是被反复利用的。此外，柯西积分公式是解析函数的积分表达式，因而是研究解析函数的重要工具，它告诉我们解析函数在区域内部的值可以通过它在区域边界上的值来表示。而且它的证明方法也是我们学习复变函数需要掌握的一种方法。复连续函数的原函数和不定积分同数学分析中一样引入，从而我们也得到了复数域中的牛顿莱布尼兹公式，这样便可以将积分问题转化为找原函数问题。解析函数的高阶导数公式是以柯西积分公式为工具来证明的，由此我了解到解析函数的无穷可微性以及它各阶导函数的解析性。借助连续函数的原函数和

解析函数的无穷可微性，还得出了柯西积分定理的逆定理。柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计，说明了与解析区域的大小密切相关，并且还得到了刘维尔定理，一个用于证明的很好的定理。

二十世纪以来，复变函数已被广泛的应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学的其他分支也日系密切，并且还开辟了一些新的分支，如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等。复变函数也是我国数学工作者从事研究所取得最有成效的数学分支之一，我想以后的学习研究不能只光靠老一辈的人在奋斗，通过对前几章《复变函数论》的学习和体会，我想学术的研究更需要我们年轻一代敢去想，敢去做，敢去创新，我国的数学研究方面应该会有更多的突破！