两点间距离公式

5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移

●知识梳理 1.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）.

∴|AB |=212212）

（）（y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

++=++=λλλλ1121

21y y y x x x ，（λ≠－1）.

3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，⎩⎨

⎧+='+='.

k y y h x x ，

特别提示

1.定比分点的定义：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ＞0时，P 为内分点；λ＜0时，P 为外分点.

2.定比分点的向量表达式：

P 点分21P P 成的比为λ，则OP =

λ+111OP +λ

λ

+12OP （O 为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基

1.（2004年东北三校联考题）若将函数y =f （x ）的图象按向量a 平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为

A.y =f （x +1）－2

B.y =f （x －1）－2

C.y =f （x －1）+2

D.y =f （x +1）+2 解析：由平移公式得a =（1，2），则平移后的图象的解析式为y =f （x －1）+2. 答案：C

2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2－4y =4x ，则向量a 为

A.（－1，2）

B.（1，－2）

C.（－4，2）

D.（4，－2） 解析：设a =（h ，k ），由平移公式得

⎩

⎨

⎧-'=-'=⇒⎩⎨⎧=-'=-'，，

k y y h x x k y y h x x

代入y 2=4x 得

（y '－k ）2=4（x '－h ），y '2－2k y '=4x '－4h －k 2， 即y 2－2ky =4x －4h －k 2， ∴k =2，h =－1. ∴a =（－1，2）. 答案：A 思考讨论

本题不用平移公式代入配方可以吗? 提示：由y 2－4y =4x ，配方得 （y －2）2=4（x +1），

∴h =－1，k =2.（知道为什么吗?）

3.设A 、B 、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分BC 所得的比为

A.8

3 B.38 C.－8

3

D.－3

8

解析：设A 点分所得的比为λ，则由2=λλ+1+105，得λ=－8

3

. 答案：C

4.若点P 分所成的比是λ（λ≠0），则点A 分所成的比是____________. 解析：∵AP =λPB ，∴AP =λ（－AP +AB ）.∴（1+λ）AP =λAB . ∴AB =

λλ

+1AP .∴BA =－

λ

λ

+1AP .

答案：－

λ

λ

+1

5.（理）若△ABC 的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC 的重心坐标为____________.

解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），

则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

⎪⎨⎧-=+-=+=+-=+=+=+.

12

12423212

22

323231312

12

1y

y x

x y y x x y y x x ，

，，，， ∴⎩⎨⎧=++-=++42321321y y y x x x

∴重心坐标为（－32，3

4

）. 答案：（－

32，3

4） （文）已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y =mx －7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段21M M 的比为3∶2，则m 的值为____________.

解析：设M （x ，y ），则x =231236++

=515=3，y =2

3123

72+

⨯

+=5214+=5，即M （3，5），代入y =mx －7得5=3m －7，∴m =4.

答案：4 ●典例剖析

【例1】 已知点A （－1，6）和B （3，0），在直线AB 上求一点P ，使|AP |=31

|AB |.

剖析：|AP |=31|AB |，则AP =31AB 或AP =3

1

BA .设出P （x ，y ），向量转化为坐标运算

即可.

解：设P 的坐标为（x ，y ），若AP =

31AB ，则由（x +1，y －6）=3

1

（4，－6），得 ⎪⎩⎪⎨

⎧-=-=+.26341y x ，解得⎪⎩

⎪⎨⎧

==.431y x ，

此时P 点坐标为（31

，4）.

若AP =－

31AB ，则由（x +1，y －6）=－3

1

（4，－6）得 ⎪⎩⎪⎨

⎧=--=+.26341y x ，解得⎪⎩

⎪⎨⎧

=-=.837y x ，

∴P （－37，8）.综上所述，P （3

1，4）或（－37

，8）.

深化拓展

本题亦可转化为定比分点处理.由AP =3

1AB ，得AP =21

PB ，则P 为AB 的定比分点，

λ=21，代入公式即可；若AP =－3

1AB ，则AP =－41

PB ，则P 为AB 的定比分点，

λ=－

4

1

. A P B P A B

由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法. 【例2】 已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （4，1），B （3，4），C （－1，2），BD

是∠ABC 的平分线，求点D 的坐标及BD 的长.