(完整版)小学奥数-容斥原理(教师版)(可编辑修改word版)

容斥原理

森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有 80 种鸟类。狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有 60 种兽类。最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类 140 种。”这个统计正确吗？

同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是 139 种。”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。

容斥原理 1

如果被计数的事物有 A、B 两类，那么， A 类 B 类元素个数总和= 属于 A 类元素个数+ 属于 B 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数。

即A∪B = A+B - A∩B

容斥原理 2

如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么， A 类和 B 类和 C 类元素个数总和= A 类元素个数+ B 类元素个数+C 类元素个数—既是 A 类又是 B 类的元素个数—既是 A 类又是 C 类的元素个数—既是 B 类又是 C 类的元素个数+既是 A 类又是 B 类而且是 C 类的元素个数。

即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C

容斥原理 1

【例 1】★一次期末考试，某班有 15 人数学得满分，有 12 人语文得满分，并且有 4 人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？

【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A 类元素”，“语文得满分”称为“B 类元素”，“语、数都是满分”称为“既是 A 类又是 B 类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A 类和 B 类元素个数”的总和。

15+12-4=23

【小试牛刀】电视台向 100 人调查前一天收看电视的情况，有 62 人看过 2 频道，34 人看过 8

频道，其中 11 人两个频道都看过。两个频道都没看过的有多少人？

【解析】100-(62+34-11)=15

【例 2】★一个班有学生 48 人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。已知参加跑步的有 37 人，参加跳高的有 40 人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？

【解析】两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复

部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数。

40-（48－37）=29 人。

【小试牛刀】五年级 96 名学生都订了报纸，有 64 人订了少年报，有 48 人订了小学生报。两种报纸都订的有多少人？

【解析】用左边的圆表示订少年报的 64 人，右边的圆表示订小学报的 48 人，中间重叠部分表示两

种报刊都订的人数。显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112 人，比总人数多 112－

96=16 人，这 16 人就是两种报刊都订的人数。

【例3】★★ 实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20 人获奖，在获奖者中有 16 人不是四年级的，有 12 人不是五年级的。该校书法比赛获奖的总人数是多少人？

【解析】由“16人不是四年级的”可知：16 人是五年级和其他年级的；由“12人不是五年级的” 可知：12 人是四年级和其它年级的。用 16＋12 可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和，再

减去 20 就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：（16＋12－20）÷2=4人，该校参加

书法比赛获奖的总人数是 4＋20=24 人。

【例 4】★★五一小学举行小学生田径运动会，其中 24 名运动员不是六年级的，28 名运动员不是

五年级的，已知五、六年级运动员共有 32 名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？

【解析】（24+28-32）÷2=10

【例 5】★在 100 个外语教师中，懂英语的有 75 人，懂日语的有 45 人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。问：只懂英语的老师有多少人？

【解析】显然，两种语言都懂的人在懂英语的 75 人中统计过一次，在懂日语的 45 人中又统计过一次。

因此，75＋45=120 人，比100 多出的 20 人就是两种语言都懂的人数。然后，从懂英语的 75 人中减去两种语言都懂的 20 人，就是只懂英语的人数了：75－20=55 人。

【小试牛刀】40 人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。已知做对第一题的有 30 人，

做对第二题的有 21 人。只做对第一题的有多少人？

【解析】19 人

【例 6】★★在 1 至 1000 这 1000 个自然数中，能被 5 或 11 整除的自然数一共有多少个？

【解析】如下图，小圆表示能被 11 整除的自然数，大圆表示能被 5 整除的自然数。如果把大圆内的 200 个自然数和小圆内 90 个自然数相加，阴影部分的自然数事实上被加了两次。因此要想求出：能被 5 或11 整除的自然数的个数就应该：

能被 5 整除的自然数的个数+能被 11 整除的自然数的个数－既能被 5 整除又能被 11 整除的自然数的个数=能被 5 或11 整除的自然数的个数。

【解析】能被5 整除的自然数有多少个？

1000÷5=200有200 个。

能被11 整除的自然数有多少个？

1000÷11=90……10有90 个。

既能被5 整除又能被11 整除的自然数有多少个？

1000÷55=18……10有18 个。

所以能被 5 或 11 整除的自然数的个数是：200+90－18=272 个。

【小试牛刀】60 名同学面向老师站成一横排。老师先让同学们从左到右按照 1、2、3、4、……、59、60 的顺序依次报数，再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学向后转。请问：现在面向老师的学生还有多少名？

【解析】从1 到60 中，4 的倍数一共有：60÷4=15个，6 的倍数一共有：60÷6=10个，既是 4 的倍数又是6 的倍数有：60÷12=5个。一次都不转的学生是：60－（15+10－5）=40 个，转两次的学生

有 5 个，所以面向老师的学生还有 40+5=45 个。

【例 7】★★★有一根长是 240 厘米的绳子，从一端开始每隔 4 厘米作一个记号，同时每隔 6 厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断，请问：绳子一共被剪成了多少段？

【解析】240 厘米长的绳子每隔 4 厘米作一个记号，这样一共有：240÷4－1=59 个记号；每隔 6 厘米作一个记号，这样一共有：240÷6－1=39 个记号。而两者每隔 12 厘米重复一个记号，这样一共

重复了：240÷12－1=19 个记号。因此绳子上共有记号数是：59+39－19=79，所以绳子一共被剪成了 79+1=80 段。

容斥原理 2

【例 8】★★某校有 28 名学生参加市运动会，参加跑步类项目的有 15 人，参加跳类项目的有 13 人，参加投掷类项目的有 14 人，既参加跑又参加跳项目的有 4 人，既参加跑又参加投掷项目的有 6 人，