比例谐振控制算法分析

比例谐振控制算法分析目录0 前言 (3)1 PR控制器 (3)2 准PR控制器 (6)3 准PR控制器的参数设置 (7)3.1 ωc=0, KR变化 (7)3.2 ωc变化, KR=1 (7)4 准PR控制器的离散化 (8)附录A 数字滤波器设计 (10)A.1 脉冲响应不变法 (10)A.2 双线性变换法 (12)附录B 双线性变换法原理 (15)B.1 连续时间系统H(s)的最基本环节 (15)B.2 积分的数值计算与离散一阶系统 (15)B.3 连续时间一阶环节的离散实现 (16)B.4 高阶连续时间系统的离散实现 (17)0 前言在整流器和双馈发电机的矢量控制系统中广泛地采用了坐标变换技术，将三相静止坐标系下的电流电压等正弦量转化为同步旋转坐标系下的直流量，这一方面是为了简化系统的模型，实现有功功率和和无功功率的解耦，另一方面是因为PI控制器无法对正弦量实现无静差控制。

坐标变换简化了控制系统外环的设计，却使电流分量互相耦合，造成内环结构复杂，设计困难。

PR控制器可以实现对交流输入的无静差控制。

将PR控制器用于网侧变换器的控制系统中，可在两相静止坐标系下对电流进行调节。

可以简化控制过程中的坐标变换，消除两相静止坐标系下对电流进行调节。

可以简化控制过程中的坐标变换，消除电流d、q轴分量之间的耦合关系，且可以忽略电网电压对系统的扰动作用。

此外，应用PR控制器，易于实现低次谐波补偿，这些都有助于简化控制系统的结构。

1 PR控制器PR控制器，即比例谐振控制器，由比例环节和谐振环节组成，可对正弦量实现无静差控制。

理想PR控制器的传递函数如下式所示：G(s)=K p+K R ss2+ω02式中K p为比例项系数，K R为谐振项系数，ω0为谐振频率。

PR控制器中的积分环节又称广义积分器，可以对谐振频率的正弦量进行幅值积分。

由上式可知，当φ=0时，输出信号为K R∗M2∗((t)sin(ωt))与输入信号相位相同，幅值呈时间线性上升。

当φ=90时，输出信号为：K R∗M 2∗((1ω)sin(ωt)+t∗cos(ωt))当时间稍大时，该值贴近于cos(ωt)，从整体看，该谐振器（或称之为广义积分器）是对误差信号的按时间递增。

如下图所示，PR控制器中的积分部分K R s，在谐振频率点达到无穷大的增益，在这个s2+ω02频率点之外几乎没有衰减。

因此，为了有选择地补偿谐波，它可以作为一个直角滤波器。

2 准PR控制器如上所述，与PI控制器相比，PR控制器可以达到零稳态误差，提高有选择地抗电网电压干扰的能力。

但是在实际系统应用中，PR控制器的实现存在两个主要问题：●由于模拟系统元器件参数精度和数字系统精度的限制，PR控制器不易实现●PR控制器在非基频处增益非常小，当电网频率产生偏移时，就无法有效抑制电网产生的谐波。

因此，在PR的基础上，提出了一种易于实现的准PR控制器，既可以保持PR控制器的高增益，同时还可以有效减小电网频率偏移对逆变器输出电感电流的影响。

准PR控制器传递函数为：G(s)=K p+2K Rωc ss2+2ωc s+ω02控制器波特图如下图所示，从图中所示，控制器在基波频率处的幅频特性为A(ω0)=60dB.同时相角裕度为无穷大，因此基本可以实现零稳态误差，同时具有很好的稳态裕度和暂态性能。

3 准PR控制器的参数设置由此可见，除了比例系数外，准PR控制器主要有K R、ωc两个参数。

为了分析每个参数对控制器的影响，可先假设其余参数不变，然后观察这个参数变化时间对系统性能的影响。

3.1 ωc=0, K R变化控制器传递函数的波特图如下图所示，从图中可以看出，K R参数增大时，控制器的峰值增益也增大，而控制器的带宽却没有变化。

因此K R参数和控制器的峰值增益成正比。

3.2 ωc变化, K R=1由下图可知，参数ωc不仅影响控制器的增益，同时还影响控制器截止频率的带宽。

随着ωc的增加，控制器的增益和带宽都会增加（基频增益为K R不变）。

将s=jω代入传递函数，则有：G(jω)=2K Rωc jω−ω2+2ωc jω+ω02=K R1+j(ω2−ω02)/2ωcω根据对带宽的定义，|G (jω)|=K R /√2时，此时计算得到的两个频率之差即为带宽。

令|(ω2−ω02)2ωc ω|=1,经过计算得到准谐振控制器的带宽为：ωc /πHz 。

设电网电压频率允许波动范围为±0.8Hz,则有ωC π=1.6Hz , 即ωC =5Hz4 准PR 控制器的离散化模拟控制器的离散化有两种方式，分别为脉冲响应不变法与双线性变换法，此处采用脉冲响应不变法对其进行离散化PR 控制器的数字实现方法主要有两种，分别是采用Z 算符和采用δ算符对其进行离散化。

G (s )=2K R ωc ss 2+2ωc s +ω02=R c (s−−2ωc +4ωc −4ω02)(s−−2ωc −4ωc −4ω02)=R c (s+ωc −√ωc −ω0)(s+ωc +√ωc −ω0)=(s+ωc −√ωc −ω0)(s+ωc +√ωc −ω0),其中A =K R ωC (1C√ωc −ω0); B =K R ωC (1+C√ωc −ω0将上式通过脉冲响应不变法转成z 变换，得：G(z)=AZZ−e−(ωc−√ωc−ω0)TBZZ−e−(ωc+√ωc−ω0)T=1−z−1(e −(ωc−√ωc−ω02)T)1−z−1(e−(ωc+√ωc−ω02)T)，设C=(e−(ωc−√ωc2−ω02)T)；D=(e−(ωc+√ωc2−ω02)T)，则：G(z)=A1−z−1C +B1−z−1D=(A+B)−(AD−BC)z−11−(C+D)z−1+CDz−2设Y=GX，则转成差分函数后，该式可表达成：y(n)=(C+D)y(n−1)−CDy(n−2)+(A+B)x(n)−(AD−BC)x(n−1)其中：A=K RωC(1C√ωc−ω0); B=K RωC(1C√ωc−ω0)C=(e−(ωc−√ωc2−ω02)T)；D=(e−(ωc+√ωc2−ω02)T)附录A 数字滤波器设计通常利用模拟滤波器的理论和设计方法来设计IIR数字滤波器。

其设计的过程是：先根据技术指标要求设计出一个相应的模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传递函数H a(s),然后再按照一定的转换关系将设计好的模拟滤波器的传输函数H a(s)转换成为数字滤波器的系统函数H(z)。

转换方法有两种：脉冲响应不变法和双线性映射法。

利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数H a(s)设计数字滤波器传递函数H(z)，这是一个由s平面到z平面的映射变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：1.H(z)的频响要能模仿H a(s)的频响，即S平面的虚轴应能映射到z平面的单位圆e jω上2.H a(s)的因果稳定性映射到H(z)后保持不变，即S平面从左半平面Re(s)<0映射到z平面的单位圆内|z|<1A.1 脉冲响应不变法利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使得数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可从不同角度出发。

脉冲响应不变法就是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲击响应h a(t)，使h(n)正好等于h a(t)的采样值，即：h(n)=h a(nT)T为采样周期。

如以H a(s)和H(z)分别表示h a(t)的拉氏变换及h(n)的z变换，即：H a(s)=L[h a(t)]，H(z)=Z[h(n)]按照采样序列z变换及模拟信号拉氏变换的关系，得：H(z)|z=e sT=1T ∑H a(s+j2πTm)∞m=−∞上式表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的s平面到z平面的变换，正是以前讨论的拉氏变换到z变换的标准变换关系，即首先对H a(s)作周期延拓，然后再经过z=e sT的映射关系映射到z平面上。

z=e sT的映射关系表明，s平面上每一条2π/T的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的全部平面上。

每个横带在左半部分映射到z平面单位圆以内，每个横带的右半部分映射到z平面单位圆以外，jΩ轴映射在单位圆上，但jΩ轴上每一段2π/T都对应于绕单位圆一周。

如下图所示，相应的频率变换关系为：ω=ΩT，显然ω与Ω之间为线性关系。

（其中ω为数字域频率；Ω为模拟域频率）应当指出，z=e sT的映射关系反映的是H a(s)的周期延拓与H(z)的关系，而不是H a(s)本身与H(z)的关系，因此，在使用脉冲响应不变法时，从H a(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的简单代数映射关系，即没有一个s=f(z)的代数关系式。

另外，数字滤波器的频响也不是简单地重现模拟滤波器的频响应，而是模拟滤波器频响的周期延拓，周期为Ωs=2πT=2πf s。

即H(e jω)=1T ∑H a(jΩ+j2πmT)∞m=−∞=1T∑H a(jω+2πmT)∞m=−∞根据香农采样定律，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率Ωs/2以内，即H a(jΩ)=0,|Ω|≥π/T这时，数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（在折叠频率以内）H(e jω)=1T H a(jωT),|ω|<π但任何一个实际的模拟滤波器，其频响应都不可能是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，即频谱混淆，这时数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响而带来一定的失真。

模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这时采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能有良好的效果。

A.2 双线性变换法脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S 平面到Z 平面的标准变换z =e sT 的多值对应关系导致的，为了克服这一缺点，设想变换分为两步：1. 将整个S 平面压缩到S1平面的一条横带2. 通过标准变换将此横带变换到整个Z 平面上去由此建立的S 平面与Z 平面一一对应的单值关系，消除了多值性，也就消除了混淆现象。

为了将S 平面的jΩ轴压缩到S1平面的jΩ轴上的−πT ~πT 一段上，可通过以下正切变换实现：Ω=C ∗tg (Ω1T 2)此处C 是待定系数，通常取C=2/T 。

用不同的方法确定C ，可使模拟滤波器的频率特性与数字滤波器的频率特性在不同的频率点有对应关系。

经过这样的频率变换，当Ω1在−πT ~πT 段变化时，Ω在−∞~∞段变动，映射了整个jΩ轴。

将这一解析关系延拓到整个S 平面，即得到S 平面-〉S1平面的映射关系：s =C ∗tg (s 1T 2)= C ∗sin(s 1T2)cos(s 1T 2)= C ∗e j s 1T 2−e −j s 1T 2ej s 1T 2+e−j s 1T 2= C ∗1−e −js 1T1+e −js 1T再将S1平面通过标准变换映射到Z 平面，即令：z =e sT最后得到S 平面到Z 平面的单值映射关系。