高二数学下学期期中考试测试题2016.4.13
辽宁省2016_2017学年高二数学下学期期中试题理(新)
2016——2017学年度下学期高二期中考试数学试题(理科)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.) 1．复数11ii-+(i 是虚数单位)的虚部为( ) A. i - B. 2i - C. 1- D. 2- 2．已知集合2{|230}A x x x =--<， 1{|0}xB x x-=<，则A B ⋂=( ) A. {|01}x x << B. {|13}x x -<<C.{|1003}x x x -<<<<或D. {|1013}x x x -<<<<或 3．若点(cos ,sin )P θθ在直线20x y +=上，则1cos 2sin 22θθ+=( ) A. 1- B. 12- C. 75 D. 724．已知数列{}n a ，若点(,)(n n a n ∈*N )在经过点(8,4)的定直线l 上，则数列{}n a 的前15项和15S =( )A. 12B.32C.60D. 120 5．设,,αβγ表示平面， l 表示直线，则下列命题中，错误的是( ) A. 如果αβ⊥，那么α内一定存在直线平行于β B. 如果αγ⊥， βγ⊥， l αβ⋂=，那么l γ⊥ C.如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于β D.如果αβ⊥，那么α内所有直线都垂直于β6．已知平面向量a ，b 满足()3a a b ⋅+=，且2a =，1b =，则向量a 与b 夹角的正弦值为( )A. 12-B.32-C.12D. 327．甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排，要求甲、乙均不与丙相邻，则不同的排法种数为( )A. 72种B.52种C.36种D. 24种8．某空间几何体的三视图如图所示，图中主视图和侧视图是两个全等的等腰直角三角形，腰长为4，俯视图中的四边形为正方形，则这个几何体的体积是( ) A. 323 B. 643C.16D. 329．设抛物线2:4C y x = 的焦点为F ，倾斜角为钝角的直线l 过F 且与C 交于,A B 两点，若16||3AB =，则l 的斜率为( ) A. 1-B.C.2-D. 3- 10．我国魏晋期间的伟大的数学家刘徽，是最早提出用逻辑推理的方式来论证数学命题的人，他创立了“割圆术”，得到了著名的“徽率”，即圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14．如右图就是利用“割圆术”的思想设计的一个程序框图，则输出的求n 的值为(参考数据： sin150.2588︒=， sin7.50.1305︒=)( ) A. 12 B. 24 C.36 D. 4811．实系数一元二次方程20x ax b ++=的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上，则22ba--的取值范围是 ( ) A. 2(0,)3 B. 2(,)3-∞ C. 2(,2)3 D. 2(,)3+∞12．已知,a R b R +∈∈, e 为自然对数的底数，则()()221ln 22a e b a b ⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦的最小值为( ) A. ()21ln2- B.()221ln2- C. 1ln2+)1ln2- 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)13．已知随机变量X 服从正态分布1(6,)3N ，则X 的数学期望()E X = ____________. 14．若 6()x a +展开式中3x 的系数为160，则1aa x dx ⎰的值为____________.360第8题图俯视图15．三角形ABC 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知222sin cos cos 3sin sin B A C B C +-=，且三角形ABC 外接圆面积为4π，则a =________.16．已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若关于x 的方程()()210f x bf x -+=有8个不同根，则实数b 的取值范围是_________．三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知向量(3sin 23,cos ),(1,2cos )a x x b x =+=，设函数()f x a b =⋅. (1)求函数()f x 的最小正周期和其图像的对称中心； (2)当7[,]1212x ππ∈时，求函数()f x 的值域.18．(12分)在数列{}n a 中，11a =，122nn n a a +=+，(1)设12nn n a b -=，证明：数列{}n b 是等差数列； (2)求数列{}n a 的前n 项和.19．(12分)学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：古文迷 非古文迷 合计 男生 26 24 50 女生 30 20 50 合计5644100(1)根据表中数据判断能否有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？(2)先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行中国古典文学学习时间的调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；(3)现从(2)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行体育锻炼时间的调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．参考数据：()20P K k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.0100k0.455 0.708 1.321 3.841 5.024 6.635参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．(12分) 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F ．(1)求证：PA //平面EDB ； (2)求二面角F DE B --的正弦值．DCBAPE F21．(12分)已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>与y 轴的正半轴相交于点M ，点12,F F 为椭圆的焦点，且三角形12MF F 是边长为2的等边三角形，若直线:23l y kx =+与椭圆E 交于不同的两点,A B ．(1)直线,MA MB 的斜率之积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； (2)求三角形ABM 的面积的最大值．22．(12分)设函数()1=ln xf x x e--， ()()211g x a x x=--. (1)判断函数()y f x =零点的个数，并说明理由；(2)记()()()x xe exh x g x f x xe -=-+，讨论()h x 的单调性；(3)若()()f x g x <在()1,+∞恒成立，求实数a 的取值范围.高二数学(理)参考答案一、选择题1．C 2．D 3．A 4．C 5．D 6．D 7．C 8．A 9．B 10．B 11．A 12．B 二、填空题 13．6 14．73 15．2 16．172,4⎛⎤ ⎥⎝⎦三、解答题17．解：(1)()2sin(2)46f x x =++，----------------(2分)则()f x 的周期T =，----------------(3分)图象的对称中心为(,4),212kk Z -∈.----------------(5分)(不写k Z ∈扣1分) (2)()2sin(2)46f x x =++，7[,]1212x ∈，42[,]633x +∈，----------------(7分) ()[43,6]f x ∴∈----------------(10分)18．解：(1)证明 由已知122nn n a a +=+，得1112211222n n n nn n n n n a a a b b ++-+===+=+. 11n n b b +∴-=，又111b a ==.∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列．----------------(6分) (2)解 由(1)知，n b n =，12nn n a b n -==.∴12n n a n -=⋅. ∴122112232(1)22n n n S n n --=+⋅+⋅++-+⋅两边乘以2得：12121222(1)22n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+⋅，两式相减得：21212222n n S n --=++++-⋅212(1)21n n n n n =--⋅=-⋅-，∴(1)21nn S n =-⋅+.----------------(12分)19．解：(1)由列联表得()22100262030340.64940.70856445050K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有60%的把握认为“古文迷”与性别有关．----------------(4分)(2)调查的50名女生中“古文迷”有30人，“非古文迷”有20人，按分层抽样的方法抽出5人，则“古文迷”的人数为305350⨯=人，“非古文迷”有205250⨯=人． 即抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数分别为3人和2人．----------------(6分)(3)因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．()1232353110C C P C ξ===，()213235325C C P C ξ===，()33351310C P C ξ===． 所以随机变量ξ的分布列为ξ1 2 3P310 35 110于是123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．----------------(12分) 20．(1)证明：连结,AC AC 交BD 于点G ，连结EG .以D 为原点，分别以,,DA DC DP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -，依题意得)21,21,0(),1,0,0(),0,0,1(E P A .因为底面ABCD 是正方形，所以点G 是此正方形的中心，故点G 的坐标为)0,21,21(，且11(1,0,1),(,0,)22PA EG =-=-.所以2PA EG =,即EG PA //,而⊂EG 平面EDB ,且⊄PA 平面EDB , 因此PA //平面EDB ．----------------(6分)(2)(1,1,0),(1,1,1)B PB =-,又11(0,,)22DE =,故0PB DE ⋅=,所以DE PB ⊥.由已知PB EF ⊥，且EFDE E =,所以⊥PB 平面EFD .----------------(7分)所以平面EFD 的一个法向量为(1,1,1)PB =-.11(0,,),(1,1,0)22DE DB ==,不妨设平面DEB 的法向量为(,,)a x y z =则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅00)(21y x z y不妨取1=x 则1,1=-=z y ，即(1,1,1)a =-----------------(10分)GDCAPE F设所求二面角B DE F --的平面角为θ1cos 3||||a PB a PB ⋅=-=因为],0[πθ∈，所以322sin =θ． 二面角B DE F --的正弦值大小为322．----------------(12分) 21．解：(1)因为三角形12MF F 是边长为2的等边三角形， 所以22c =，b =，2a =，所以2,a b ==，所以椭圆22:143x y E +=，----------------(2分) 所以点M . 将直线:l y kx =+E 的方程，整理得：22(34)360k x +++=，(*)设1122(,),(,)A x y B x y ，则由(*)式可得:222(163)4(34)3648(49)0k k k =-+⨯=->，所以，33(,)(,)22k ∈-∞-⋃+∞，----------------(4分)121223634x x x x k +=⋅=+，所以直线,MA MB 的斜率之积12MA MBk k⋅=22212122()3343634k k k k -++===++229361364k k -=+=所以直线,MA MB 的斜率之积是定值14.----------------(6分) (2)记直线:l y kx =+与y轴的交点为(0,N ，则211||||||2ABMANMBNMSSSMN x x =-=-=612===≤当且仅当24912k-=，即33(,)(,)222k=±∈-∞-⋃+∞时等号成立.所以三角形ABM分)22．解(1)由题意知0x>故()f x在()0,+∞单调递增，又()11f=-，()1110eeef e ee-=-=->，因此函数()y f x=在()1,e内存在零点.所以()y f x=的零点的个数为1.----------------(3分)(2)()()212111ln lnxxeh x a x x e ax a xx x e-=---++-=--，()21212(0)axh x ax xx x--=>'=，当0a≤时，()0h x'<，()h x在()0,+∞上单调递减；当0a>时，由()0h x'=，解得x=（舍去负值），所以x⎛∈⎝时，()0h x'<，()h x单调递减，x⎫∈+∞⎪⎭时，()0h x'>，()h x单调递增.综上0a≤时，()h x在()0,+∞单调递减，a>时，()h x在⎛⎝单调递减，在⎫+∞⎪⎭单调递增. ----------------(6分) (3)由题意：()21ln1xex a xe x-<--，问题等价于()211lnxea x xx e-->-在()1,+∞恒成立，设()1x x xe e exk x x e xe -=-=，若记()1x k x e ex =-，则()1x k x e e =-'，当1x >时，1()0k x '>，()1k x 在()1,+∞单调递增，()()1110k x k >=，即()0k x >，若0a ≤，由于1x >，故()21ln 0a x x --<，故()()f x g x >，即当()()f x g x <在()1,+∞恒成立时，必有0a >. 当0a >时，设()()21ln h x a x x =--，1>，则102a <<时，由(2)知x ⎛∈ ⎝，()h x单调递减，x ⎫∈+∞⎪⎭，()h x 单调递增，因此()10h h <=，而0k >，即存在1x =>，使()()f x g x >， 故当102a <<时，()()f x g x <不恒成立.1≤，即12a ≥时，设()()211ln x e s x a x x x e =---+，()2112x es x ax x x e+'=--， 由于2ax x ≥且()10x k x e ex =->，即1x e e x <，故1x e e x->-，因此，故()s x 在()1,+∞单调递增.所以()()10s x s >=时， 即12a ≥时，()()f x g x <在()1,+∞恒成立. 综上：1,2a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()()f x g x <在()1,+∞恒成立. ----------------(12分)。
2016年高二数学下学期期中考试试卷集锦.doc
2016年高二数学下学期期中考试试卷集锦学习数学的一个必须的步骤就是做题。
因为数学比起理论学习，更像是一门技能，这种技能就如同无数的生活技能一样，同学们只有在不断的亲身实践中才能掌握。
很多同学每天总是喊着减负的口号不愿意面对书山题海，但是同学们也要了解一定，数学需要做题。
下面介绍2016年高二数学下学期期中考试试卷集锦。
一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的.）1．，，（▲）A．B．C．D．2．，则是的（▲）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．与向量平行，则锐角等于（▲ ）A．B．C．D．．且，则的值为（▲ ）．. . .5.已知定义在上，若是奇函数，是偶函数，当时，，则（▲）A．B．C．0D．，若，则的取值范围是（▲ ）A．B．C．D．7．等差数列的前项和为，如果存在正整数和，使得，，则（▲ ）A．的最小值为B．的最大值为C．的最小值为D．的最小值为8．已知点在锐角内，且. 若，，，且实数满足，则（▲ ）A．B．C．D．二、填空题（本大题共7小题，第9题6分，10-15题每题4分，满分30分.）9.设函数的定义域为___▲______，值域为__▲______，不等式的解集为____▲_____.10．在等比数列中，已知，则数列的公比▲ ，▲ .11.已知为正六边形，若向量，则___▲____;___▲____.(用坐标表示)12．已知函数是R上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，则＝▲ ，＝▲13. 设为实数，为不超过实数的最大整数，记，则的取值范围为，现定义无穷数列如下：，当时，；当时，．当时，对任意的自然数都有，则实数的值为．与的夹角是，且，则的最小值是___▲ .15. 已知集合，且，其中．若任意，均有，求实数的最大值▲ .三、解答题（本大题共4小题，满分38分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.己知集合，，，若是的充分不必要条件，求的取值范围17．在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且，求的；若，的取值范围.18.已知数列满足，.(1) 求数列的通项公式；(2) 设，数列的前项和记为，求证：对任意的，.19.已知函数.1）若在区间上恒成立，求的取值范围；（2）若对于任意的，存在,使得，求的取值范围．希望同学们可以认真对待2016年高二数学下学期期中考试试卷集锦。
2015-2016学年度第二学期高二理科数学期中考试试题
高二下学期期中数学试卷（理）满分：150分 考试时间：120分钟出卷人：高二数学备课组一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分.在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.复数ii z +=1在复平面内对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.函数x x f ln 2)(=在2=x 处切线的斜率为（ ）A.1B. 2C. 4D. 2ln 23.观察下列各式：312555=，1562556=，7812557=，...，则20165的末四位数字为（ ）A.3125B.5625C.0625D.81254.如果2ln 3)12(1+=+⎰dx xx a，则实数=a （ ） A.2 B.3 C.4 D.65.设随机变量X 的分布列为4,3,2,1,)21()(===i a i X P i ，则实数a 的值为（ ） A.1 B.158 C.1516 D.78 6.若x x x x f ln 42)(2--=，则0)('>x f 的解集为（ ）A.),0(+∞B.),2(+∞C.),2()0,1(+∞-D.)0,1-(7.袋中有5个黑球和3个白球，从中任取2个球，则其中至少有1个黑球的概率是（ ） A.285 B.2810 C.2815 D.2825 8.102)1(x x +-的展开式中3x 的系数为（ ）A.-30B.30C.-210D.2109.将5个颜色互不相同的球球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球球方法有（ ）A.60种B.30种C.25种D.20种10.设⎰-=π0)cos (sin dx x x k ，若8822108...)1(x a x a x a a kx ++++=-，则=+++821...a a a （ ）A.-1B.0C.1D.25611.在5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中至少有2只鞋子原来是同一双的可能取法种数为（ ）A.30B.90C.130D.14012.已知函数132)(23+-=ax ax x f ，234)(+-=x a x g ，若对任意给定的]2,0[∈m ，关于x 的方程)()(m g x f =在区间]2,0[上总存在两个不同的解，则实数a 的取值范围是（ ） A.)1-,-(∞ B.),1(+∞ C.),1()1-,(+∞-∞ D.]1,1-[二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.曲线6623+--=x x x y 的斜率最小的切线方程为____________________．14.在数字1，2，3，4，5的排列1a 2a 3a 4a 5a 中，满足：21a a <，32a a >，43a a <，54a a >的排列个数是_________.15.设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-<-=0,0,)1()(6x x x x x x f ，则当0>x 时，)]([x f f 的表达式的展开式中的常数项为________.16.对于三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，定义：)(''x f 是函数)(x f y =的导数)('x f 的导数，若方程0)(''=x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”.有机智的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心，且‘拐点’就是对称中心”.请你将这一机智的发现作为条件，求：（1）函数133)(23++-=x x x x f 的图像对称中心为___________；（2）若函数12212532131)(23-+-+-=x x x x x g ， 则=+++)20162015(...)20162()20161(g g g ___________. 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）（1）若x x C C -=1620220，求实数x 的值； （2）已知53)1()1(x ax -++的展开式中3x 的系数为-2，求实数a 的值.18.（本小题满分12分）已知函数n mx x x x f ++-+=2)2ln()(在点1=x 处的切线与直线0173=++y x 垂直，且 0)1(=-f ；（1）求实数m 和n 的值；（2）求函数)(x f 在区间]3,0[上的最小值.19. （本小题满分12分）已知箱中有5个粉球和4和黑球，且规定：取出一个粉球得2分，取出一个黑球得1分.现从该箱中任取（无放回，且每球取得的机会均等）3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和.（1）求得分X 的分布列；（2）求得分大于4分的概率.20.（本小题满分12分）21.已知数列}{n a 满足)(21+-∈⋅=N n n a n n ，是否存在等差数列}{n b 使n nn n n n n C b C b C b C b a ++++=...332211对一切的正整数n 都成立？并证明你的结论.21.（本小题满分12分）已知R a ∈，函数x e x x g x xa x f x +-=-+=)1ln ()(,1ln )(（其中e 为自然常数）. （1）判断函数)(x f 在],0(e 上的单调性；（2）是否存在实数),0(0+∞∈x ，使曲线)(x g y =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出0x 的值；若不存在，请说明理由。
2015_2016学年高二数学下学期期中试题
第12题图第10题图2015学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．已知复数z 满足()3425i z +=，则z =_________. 2.半径为1的球的表面积为_____________.3. 若抛物线px y 22=的焦点与椭圆15922=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.4. 设k 是实数,若方程22144x y k k -=-+表示的曲线是双曲线,则k 的取值范围为． 5. 直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是______.6.设βα,是方程022=+-m x x 的两个虚根，且8||||=+βα，则实数=m ________.7. 圆锥的侧面展开图为扇形，已知扇形弧长为2π_____.8. 在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．9．已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+b y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.10．某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示，其中俯视图是中心角为60︒的扇形，则该几何体的侧面积为________.11. 某地球仪上北纬30︒纬线长度为12πcm ，该地球仪的表面上北纬30︒东经30︒对应点A 与北纬30︒东经90︒对应点B 之间的球面距离为cm （精确到0.01）．12．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E 为正方形边上的动点，现将ADE ∆所在平面沿AE 折起，使点D 在平面ABC 上的射影H 在直线AE 上，当E 从点D 运动到C ，再从C 运动到B ，则点H 所形成轨迹的长度为______.13．抛物线24(0)y mx m =>的焦点为F ，点P 为该抛物线上的动点，又点)0,(m A -，则PFPA的最小值为.14.直线⊥m 平面α，垂足是O ，正四面体ABCD 的棱长为4，点C 在平面α上运动，点B 在直线m 上运动，则点O 到直线AD 的距离的取值范围是_________.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．给出下列命题，其中正确的命题是（ ）A ．若z C ∈，且20z <，那么z 一定是纯虚数B ．若1z 、2z C ∈且120z z ->，则21z z >C ．若z R ∈，则2z z z ⋅=不成立D ．若x C ∈，则方程23=x 只有一个根16．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是有一条边水平的等边三角形，则这个三角形一定是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上都有可能17．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别是)0,(),0,(21c F c F -，若215-=ac，则称椭圆C 为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的序号是（ ） ①在黄金椭圆C 中，c b a ,,成等比数列；②在黄金椭圆C 中，若上顶点、右顶点分别为B E ,，则0190=∠EB F ；第20题图③在黄金椭圆C 中，以),0(),,0(),0,(),0,(b E b D a B a A --为顶点的菱形ADBE 的内切圆过焦点21,F F ．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③18．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点Q P A ,,的平面截该正方体所得的截面记为S 。
高二数学(文)下册期中试卷(带答案).doc
高二数学（文）下册期中试卷（带答案）0.1 0.20.2 0.20.3 0.30.2 0.20.2 0.1某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试，分数分布如右表：（Ⅰ）若成绩120分以上（含120分）为优秀，求从乙班参加测试的90分以上（含90分）的同学中，随机任取2名同学，恰有1人为优秀的概率；（Ⅱ）根据以上数据完成下面的×列联表：在犯错概率小于0.1的前提下，你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关系？其优秀不优秀总计甲班19. (本小题满分10分已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的值20. (本小题满分12分)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋1ax ＋b(a＞0)．(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝32x，求a，b 的值．21. （本小题共12分）已知椭圆: 过点A（2，0），离心率，斜率为直线过点M（0，2），与椭圆C交于G，H两点（G在M，H之间），与轴交于点B.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P为轴上不同于点B的一点，Q为线段GH的中点，设△HPG的面积为，△BPQ面积为，求的取值范围.22．（本小题共12分）已知函数, .（Ⅰ）若函数在时取得极值，求的值；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间.2015-2016学年度下学期有色一中期中考试文科数学试卷（高二）1.-5BACCC，6-10 CBABB。
11-12AD13. 14. 15. 3，16 017．解：（1）、设则直线代入整理得由距离公式6分（2）、12分18．解：（I）乙班参加测试的90分以上的同学有6人，记为A、B、C、D、E、F．成绩优秀的记为A、B．从这六名学生随机抽取两名的基本事件有：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}共15个……3分设事件G表示恰有一位学生成绩优秀，符合要求的事件有{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}共8个 (5)分所以…………6分优秀不优秀总计甲班4 16 20乙班2 18 20总计6 34 40…………8分…………10分在犯错概率小于0.1的前提下，没有足够的把握说明学生的数学成绩是否优秀与班级有关系．…………12分19.解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程可化为又，[所以曲线的直角坐标方程为。
人教版2016年高二数学(文)下学期期中试卷及答案
2015--2016学年度下学期期中考试文科数学试卷（高二） 命题人一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合()UAC B = （ ）A {}3,6B {}2,5C {}2,5,6D {}2,3,5,6,8 2.已知i 为虚数单位,则复数2i1i+= （ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --3. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用茎叶图表示，如图，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为（ ） A 20、18 B 13、19 C 19、13 D18、204．执行如图所示的程序框图，如果输入输出P Q=RP=Q R 为P 除以Q 的余数否是Q=0?输入正整数P,Q结束开始P=153,Q=63, 则输出的P 的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 9 D. 275、.已知非零平面向量,a b ，“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c cos sin 0B b A +=，则B =( ) A.π6B. π3C.2π3D.5π67. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则5a = ( )A. 16-B. 16C. 31D. 328. 已知中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的离心率e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为( )A ．2212x y -= B ．22123x y -= C. 2214x y -= D. 221x y -=9．下列四种说法中，正确的个数有（ ）① 命题“R x ∈∀,均有0232≥--x x ”的否定是：“R x ∈∃0,使得023020≤--x x ”； ② R m ∈∃，使()22m mf x mx+=是幂函数，且在),0(+∞上是单调递增；③ 不过原点)0,0(的直线方程都可以表示成1x ya b+=； ④ 回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为ˆy＝1.23x ＋0.08 A 3个 B 2个 C. 1个 D. 0个10．抛物线22y nx =（n ＜0）与双曲线22214x y m -=有一个相同的焦点，则动点(),m n 的轨迹是（ ）A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．直线的一部分11．设椭圆)0(12222＞＞b a b y a x =+的离心率为e ＝21，右焦点为(),0F c ，方程20ax bx c +-=的两个实根分别为1,x 和2x ，则点()1,2P x x ( )A ．必在圆222x y +=内B ．必在圆222x y +=外C ．必在圆222x y +=上D ．以上三种情形都有可能12. 在平面直角坐标系中,点P 是直线:1l x =-上一动点,点F(1,0),点Q 为PF 的中点,点M满足MQ PF ⊥且MP OF λ= ,过点M 作圆()2232x y -+=的切线,切点分别A,B,则|AB|的最小值为( )A . 3B .32 C .D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上13. 已知双曲线221x y m-=过抛物线28y x =的焦点，则此双曲线的渐近线方程为 14. 设曲线3()2f x ax a =-在点()1,a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为 ．15. 设,x y 满足约束条件0,, 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是________； 使z 取得最大值时的点(,)x y 的坐标是________。
高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析
高二下学期期中考试数学试卷-附带参考答案和解析本试卷共5页 22小题 满分150分.考试用时120分钟.考生注意事项：1．试卷分第Ⅰ卷和第Ⅰ卷 第Ⅰ卷用2B 铅笔涂在答题卡上 第Ⅰ卷用黑色钢笔 签字笔在答题卡上作答2．质量监测时间120分钟 全卷满分150分．一、选择题：本大题共8小题 每小题5分 共40分 每小题只有一项是符合题目要求的．1．已知集合(){}2log 20A x x =∈-≤N {A x y =∈N ，则A B ⋃=（ ）A ．{}0,1,2B ．{}1,2C ．{}0,1D ．{}1【答案】C【分析】根据对数的单调性 一元二次不等式的解法 结合并集的定义进行求解即可. 【详解】由(){}2log 20021121x x x A -≤⇒<-≤⇒≤<⇒=由{}210110,1x x B -≥⇒-≤≤⇒=所以A B ⋃={}0,1 故选：C2．复数z 满足()1i i z += i 为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A ．1z = B ．z 在复平面内对应的点位于第二象限 C ．z 的实部为12D ．z 的虚部为1i 2【答案】C【分析】根据复数的除法运算求出复数z 即可求得其模以及实部和虚部 以及对应的点所在象限 一一判断各选项 即得答案.【详解】因为()1i i z += 故i i (1i)11i 1i (1i)(1i)22z ⋅-===+++-则z ==A 错误 z 在复平面内对应的点为11(,)22位于第一象限 B 错误z 的实部为12C 正确z 的虚部为12D 错误故选：C ．3．在ABC 中 点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点 点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =（ ）A ．2133CA CB -+ B ．1526CA CB -C ．1233CA CB -+D 5162CA CB -+．【答案】D【分析】方法一：利用平面向量基本定理得到答案方法二：设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 建立空间直角坐标系 写出点的坐标 设m A CA nCB E =+ 从而得到方程组 求出答案.【详解】方法一：如图 由题意得23CE CD = 34AD AB =故()22123333AE AC CE AC CD AC AD AC AC AD =+=+=+-=+()111151323262AC AB CA CB CA CA CB =+=-+-=-+方法二：不妨设ABC 是等腰直角三角形 且4CA CB == 以C 为坐标原点建立平面直角坐标系 如图所示 则()()()()20,0,0,4,4,0,3,1,2,3C A B D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭则()()0,4,4,0CA CB == 设m A CA nCB E =+故()()102,0,44,03m n ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以1042,43n m ==- 解得51,62m n =-=故5162CA C A B E -=+．故选：D ．4．函数()()()2sin 0,ππf x x ωϕωϕ=+>-<<的部分图像如图所示，则ω ϕ的值分别是（ ）A ．2 π6- B ．2 π3-C ．2π3D ．4 5π6-【答案】B【分析】根据三角函数图像与性质求ω ϕ的值即可. 【详解】设()f x 的周期为T则由图像知35π9π3πππ4123124T T ⎛⎫=--==⇒= ⎪⎝⎭所以2π2Tω==，则()()2sin 2f x x ϕ=+ 因为()f x 在5π12x =处取得最大值 所以5π2π2π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈ 得π2π,Z 3k k ϕ=-+∈因为ππϕ-<< 所以π0,3k ϕ==-.故选：B5．在数列{}n a 中的相邻两项n a 与()*1n a n +∈N 之间插入一个首项为1n a n- 公差为1n -的等差数列的前n 项记构成的新数列为{}n b 若21n a n =+，则{}n b 前65项的和为（ ） A ．252-B ．-13C ．272-D ．-14【答案】A【分析】根据题意 得到数列{}n b 中n a 及其后面n 项的和为n S ()()1112n n n n S n a n+=+-⨯求解. 【详解】解：数列{}n b 为：1122233331121,1,,,1,,,,1,,,233n n a a a a a a a a a a a n-------1231,,,,1,,n n n n n n a a a a a n nn+-----设n a 及其后面n 项的和为n S ，则()()()1111123222n n n n n S n a n n ++=+-⨯=-=- 所以数列{}n S 是以1为首项 公差为12-的等差数列.所以{}n b 前65项的和为1210710125222S S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭+++==-故选：A.6．冬季是流感高发期 其中甲型流感病毒传染性非常强．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参考数据．某市疾控中心数据库统计分析 可以用函数模型()2rtW t =来描述累计感染甲型流感病毒的人数()W t 随时间t Z t ∈（单位：天）的变化规律 其中指数增长率r 与基本再生数0R 和世代间隔T 之间的关系近似满足01R rT =+ 根据已有数据估计出04R =时 12T =．据此回答 累计感染甲型流感病毒的人数增加至()0W 的3倍至少需要（参考数据：lg 20.301≈ lg30.477≈）（ ）A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【答案】B【分析】先求得r 然后根据“()0W 的3倍”列方程 化简求得需要的时间. 【详解】依题意 01R rT =+ 且04R =时 12T =即14112,4r r =+⨯= 所以()142tW t = ()10W =令()1423tW t == 两边取以10为底的对数得14lg 340.477lg 2lg 3, 6.34lg 20.301t t ⨯==≈≈ 所以至少需要7天. 故选：B7．如图 在长方形ABCD 中 2AB = 1BC = E 为DC 的中点 F 为线段EC （端点除外）上的动点．现将AFD △沿AF 折起 使平面ABD ⊥平面ABC 在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥ K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】设DF x = 求得x 关于t 的表达式 根据x 的取值范围求得t 的取值范围. 【详解】如图 在平面ADF 内过点D 作DH AF ⊥垂足为H 连接HK ．过点F 作//FP BC 交AB 于点P ．设FAB θ∠= AE AC == 所以cos θ∈⎝⎭．设DF x =，则12x <<．因为平面ABD ⊥平面ABC 平面ABD ⋂平面ABC AB =DK AB ⊥ DK ⊂平面ABD 所以DK ⊥平面ABC又AF ⊂平面ABC 所以DK AF ⊥． 又因为DHAF ⊥DKDH D = DK DH ⊂平面DKH 所以AF ⊥平面DKH 所以AF HK ⊥ 即AH HK ⊥．在Rt ADF 中 AF DH因为ADF △和APF 都是直角三角形 PF AD = 所以Rt Rt ADF FPA ≌△△ AP DF x ==．因为AHD ADF ∽△△,1AH DH AH AH AD DF ===所以cos AH AP AK AF θ=== 得1x t=． 因为12x << 所以112t<< 所以112t <<．故选：C【点睛】方法点睛：线面垂直 面面垂直转化的过程中 要从线面垂直得到面面垂直 需要“经过一个平面的垂线” 要从面面垂直得到线面垂直，则需要“在一个平面内 垂直于交线” 在答题过程中 要注意使用正确的符号语言.8．在直角坐标系xOy 内 圆22:(2)(2)1C x y -+-= 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A．⎡⎣ B．44⎡--⎣C．22⎡--⎣D．2⎡-⎣【答案】A【分析】由题意首先得出旋转后的直线为1:0l x y m 然后由直线与圆的位置关系列出不等式即可求解. 【详解】连接OP 设POx θ∠=（即以x 轴正方向为始边 OP 为终边的角）由题意对于直线:0l x y m ++=上任意一点(),P x y存在R a θ=∈ 使得()cos ,sin P a a θθ 则直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后 点()cos ,sin P a a θθ对应点为1ππcos ,sin 22P a a θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 即()1sin ,cos Pa a θθ- 因为()cos ,sin P a a θθ在直线:0l x y m ++=上 所以满足cos sin 0a a m θθ++= 设11sin ,cos x a y a θθ==- 所以110y x m -++= 即()1sin ,cos P a a θθ-所在直线方程为1:0l xy m而圆22:(2)(2)1C x y -+-=的圆心 半径分别为()2,2,1r = 若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点所以圆心()2,2C 到直线1:0l x y m 的距离1d r =≤= 解得m ≤故选：A.【点睛】关键点睛：关键是求出旋转后的直线 从而即可顺利得解.二 多选题9．某校举行演讲比赛 6位评委对甲 乙两位选手的评分如下： 甲：7.5 7.5 7.8 7.8 8.0 8.0 乙：7.5 7.8 7.8 7.8 8.0 8.0 则下列说法正确的是（ ）A ．评委对甲评分的平均数低于对乙评分的平均数B ．评委对甲评分的方差小于对乙评分的方差C ．评委对甲评分的40%分位数为7.8D ．评委对乙评分的众数为7.8 【答案】ACD【分析】由平均数 方差 百分位数 众数的概念及求法分别求解判断即可. 【详解】选项A 评委对甲评分的平均数7.57.57.87.88.08.017.87.8630x +++++==-<甲评委对乙评分的平均数7.57.87.87.88.08.017.87.8660x +++++==+>乙所以x x <甲乙 故A 正确选项B 由A 知 两组数据平均数均约为7.8且纵向看 甲组数据与乙组数据仅一组数据7.5,7.8不同 其余数据相同 又甲组数据7.5与平均数的差明显大于乙组数据7.8与平均数的差 且差距较大 故与平均数比较 甲组数据波动程度明显大些即评委对甲评分的方差大于对乙评分的方差 故B 错误 选项C 由640% 2.4⨯=不是整数则评委对甲评分的40%分位数为从小到大第3个数据 即：7.8 故C 正确 选项D 评委对乙评分中最多的数据 即众数为7.8 故D 正确.故选：ACD.10．下列说法正确的是（ ）A ．“α为第一象限角”是“2α为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件 B ．“π2π6k α=+ Z k ∈”是“1sin 2α=”的充要条件C ．设ππ,Z 4M k k αα⎧⎫==±∈⎨⎬⎩⎭ π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件D ．“sin 0θ>”是“θtan 02>”的必要不充分条件 【答案】AC【分析】对于A 利用象限角 求得角α的范围 可判定充分性 取π3α= 验证必要性即可 对于B 考查1sin 2α=时 α的取值范围 可判定必要性不成立 对于C 根据集合M N 的关系即可判定 对于D 根据条件求得α的取值范围即可判断. 【详解】对于A,因为α为第一象限角 所以π2π2π,Z 2k k k α<<+∈ 则πππ,Z 4k k k α<<+∈, 当k 为偶数时 α为第一象限角 当k 为奇数时 α为第三象限角 所以充分性成立 当π3α=时 α为第一象限角，则2π23α= 为第二象限角 即必要性不成立 故A 正确 对于B 当π2π6k α=+ Z k ∈时 1sin 2α=成立，则充分性成立当1sin 2α=时 π2π6k α=+或5π2π6k α=+ Z k ∈, 故必要性不成立，则B 错误对于C ()41πππ,Z ,Z 44k M k k k αααα⎧⎫⎧⎫⎪⎪==±∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭而π,Z 4k N k αα⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭则MN 故则“M θ∈”是“N θ∈”的充分不必要条件 故C 正确对于D,当sin 0θ>时 2π2ππ,Z k k k θ<<+∈, 则πππ,Z 22k k k θ<<+∈ 则θtan 02> 故充分性成立 当θtan02>时 πππ,Z 22k k k θ<<+∈则2π2ππ,Z k k k θ<<+∈ 则sin 0θ>成立 所以“sin 0θ>”是“θtan 02>”的充要条件 故D 错误 故选：AC.11．椭圆C 的标准方程为22121,,82x y F F +=为椭圆的左 右焦点 点()2,1P ．12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 与1212,,PF PF F F 分别相切于点,,D E H ，则（ ）A ．126PF F S =△ B ．13x C ．1233y = D ．226PD PE ==【答案】BCD【分析】根据椭圆中焦点三角形的性质求解12PF F S再结合三角形内切圆的几何性质逐项判断即可得结论.【详解】椭圆C ：22182x y +=，则22,2,826a b c ===-= 所以()()126,0,6,0F F又()2,1P 所以点P 再椭圆上 连接12,,,,,ID IE IH IP IF IF则121211122PF F p SF F y =⋅=⨯ 故A 不正确由椭圆的定义可得122PF PF a +==又12PF F △的内切圆圆心为(),I I I x y 所以内切圆半径I r y = 由于121212PF F IF F IF PIF PSSSS=++()(121212121111122222I I I I I F F y PF y PF y y F F PF PF y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⋅++=⋅故3I r y === 故C 正确又1122,,PD PE DF F H EF HF ===所以12121212PF PF PD DF PE EF PD F H PE HF PD PE F F +=+++=+++=++=则2PD = 所以PD PE == 故D 正确又2PF == 所以222HF EF PF PE ==-又H I x x = I x = 即1x 故B 正确. 故选：BCD.12．已知函数()()e xf x a x =+ ()()lng x x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．当1a =时 函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增C ．当1a =时 若存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立，则实数m 的最小值为0D ．当1a =时 若()()12(0)f x g x t t ==>，则()121ln x x t +⋅的最小值为1e【答案】BC【分析】对A 选项：由极值点的性质结合导数讨论单调性即可得 对B 选项：结合导数讨论单调性即可得 对C 选项：结合()f x 单调性 可转化为当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立 求出()1ln x x +最小值即可得 对D 选项：采用同构法可确定12e xx = 再将多变量化为单变量后结合导数讨论单调性即可得.【详解】对A 选项：()()()e e 1e x x xf x x a x a +=+'=++若函数()y f x =存在两个极值，则函数()f x '必有两个变号零点令()()1e 0x f x x a =++='，则()1e xa x =-+令()()1e xh x x =-+，则()()2e xh x x +'=-则当2x >-时 ()0h x '< 当<2x -时 ()0h x '> 故()h x 在(),2∞--上单调递增 在()2,∞-+上单调递减故()()()221221e e h x h -≤-=--+=又当1x >-时 ()()1e 0xh x x =-+<恒成立当x →-∞时 ()0h x →故当210,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭函数()f x '有两个变号零点即若函数()y f x =存在两个极值，则实数a 的取值范围为210,e⎛⎫ ⎪⎝⎭故A 错误对B 选项：当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ ()11ln ln 1x g x x x x x='+=+++ 令()()x g x μ='，则()22111x x x x xμ'-=-= 则当()0,1x ∈时 ()0x μ'< 当()1,x ∞∈+时 ()0x μ'> 故()x μ在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增故()()120g x g '='≥> 故函数()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故B 正确对C 选项：当1a =时 ()()e 1xf x x =+()()()e e 11e 1x x x f x x x =++=++'令()()m x f x ='，则()()2e xm x x +'=则当<2x -时 ()0m x '< 当2x >-时 ()0m x '> 故()m x 在(),2∞--上单调递减 在()2,∞-+上单调递增故()()2212e 110e f x f -≥-=-+=-'>' 故()f x 在R 上单调递增则存在1x ≥ 使不等式()()2()ln f mx fxx x ≥+成立等价于存在1x ≥ 使不等式()2ln mx x x x ≥+成立则当1x ≥时 有()1ln m x x ≥+成立由当1a =时 ()(1)ln g x x x =+ 且()y g x =在(0,)+∞上单调递增 故()11ln10m ≥+= 即实数m 的最小值为0 故C 正确对D 选项：当1a =时 由B C 可知 ()f x ()g x 均为定义域上的增函数 由()00f = ()10g = 故有1>0x 21x >由()()12f x g x =，则()()1122e 11ln xx x x +=+即()()()111122e 1e 1ln e 1ln x x x x x x +=+=+ 故12e xx =又()()111e 10xf x t x ==+> 故()121ln ln x x t t t +⋅=令()ln n x x x =，则()1ln n x x x ='+ 令()()1ln p x n x x x==+'则()22111x p x x x x='-=- 则当()0,1x ∈时 ()0p x '< 当()1,x ∞∈+时 ()0p x '> 故()p x 在()0,1上单调递减 在()1,∞+上单调递增 即()()10n x n ''≥= 故()n x 在()0,∞+上单调递增 故()n x 无最小值 即()121ln x x t +⋅无最小值 故D 错误. 故选：BC.【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题 其中D 选项中涉及到多变量问题的求解 求解此类问题的基本思路是根据已知中的等量关系 将多变量转化为单变量的问题 从而将其转化为函数最值问题的求解. 三 填空题13．()622x x y y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中42x y 的系数为 ．（用数字作答）【答案】40-【分析】由二项式定理得到()62x y -的通项公式 结合2xy+得到34,T T 得到42x y 的系数. 【详解】()62x y -的通项公式为()()66166C 2C 2rrr r r r r r T x y x y --+=-=-令2r =得 ()22424236C 260T x y x y =-= 此时4242602120x y x y ⋅=令3r =得 ()33333346C 2160T x y x y =-=- 此时3342160160xx y x y y-⋅=- 故42x y 的系数为12016040-=- 故答案为：40-14．设数列{}n a 满足12a = 26a = 且2122n n n a a a ++-+= 若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122021202120212021a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦． 【答案】2020【分析】根据题意 得到()()2112n n n n a a a a +++---= 得到{}1n n a a +-为等差数列 求得其通项公式 结合累加法 得到(1)n a n n =+ 求得2021112021()1n a n n =-+ 再利用裂项求和 求得12202120212021202120212021(2020,2021)2022a a a +++=⨯∈ 即可求解. 【详解】因为2122n n n a a a ++-+= 可得()()2112n n n n a a a a +++---= 又因为12a = 26a = 可得214a a -=所以数列{}1n n a a +-是首项为4 公差为2的等差数列 所以14(1)222n n n a n a +-=+-⨯=+ 当2n ≥时 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+(1)22(1)2222(1)2n n n n n n +=+-++⨯+=⨯=+ 且当1n =时 12a =也成立 所以()1n a n n =+ 所以202111120212021()(1)1n a n n n n =⨯=-++ 所以122021202120212021111112021[(1)()()]22320212022a a a +++=-+-++- 120212021(1)2021(2020,2021)20222022=-=⨯∈所以1220212021202120212020a a a ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦. 故答案为：2020.15．已知椭圆 22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点为12,F F ．直线y kx =与椭圆C 相交于,P Q 两点 若112PF QF = 且12π3PFQ ∠= ，则椭圆C 的离心率为． 【分析】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形 再根据椭圆的定义求出12,PF PF 再在12PF F △中 利用余弦定理求出,a c 的关系即可得解.【详解】由椭圆的对称性可得四边形12PFQF 为平行四边形，则21PF QF =由12π3PFQ ∠= 得12π3F PF ∠= 因为112PF QF = 所以122PF PF = 又122PF PF a += 所以1242,33a aPF PF == 在12PF F △中 由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠ 即2222164421442993323a a a a ac =+-⨯⨯⨯=所以c a =即椭圆的离心率c e a ==16．已知A M N 是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则·AM AN 的取值范围是 ． 【答案】1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据正方体的性质可得·3cos ,a AM AN AM AN =≤结合夹角的定义可得3a ≤ 可得其最大值 根据数量积的运算可知24≥-MN a 可得其最小值.【详解】正方体表面上任意两点间距不超过体对角线长度d 则,AM AN d ≤ 故·3cos ,a AM AN AM AN =≤ 而[]cos ,1,1AM AN ∈- 故3a ≤如图建立空间直角坐标系 取()0,0,0A ,M N 重合为()1,1,1时 则()()1,1,11,1,13a =⋅= 取得最大值3由对称性 设A 在下底面 (),,AM x y z = (),,AN a b c =由A 在下底面知0,0,0z c zc ≥≥≥ 当且仅当,M N 也在下底面时取等 此时,,A M N 共面时 设MN 中点为E ，则EM EN =-()()()()()2222··4MN a AM AN AE EM AE EN AE EN EN==++=-≥-=-当且仅当,A E 重合时取等又因为2MN ≤ 可得2142-≥-≥a MN 例如11,,022A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()()1,0,0,0,1,0M N ，则11111·,,0,,022222a AM AN ⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以·AM AN 的取值范围是1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.四 解答题（共70分）17．（本题10分）如图 在ABC 中 6AB AC == 点D 是边BC 上一点且,cos AD AB CAD ∠⊥=2AE EB =(1)求BCE 的面积 (2)求线段AD 的长. 【答案】(1)(2)=AD【分析】（1）根据13BCE ABC S S =△△求解即可（2）解法1：在ABC 中根据余弦定理求出BC 结合等腰三角形的性质求cos B 在ABD △中勾股定理求AD 即可 解法2：由A BCABDACDSSS=+求得AD .【详解】（1）12,3BCEABCAE EB SS =∴=而11πsin 66sin 222ABCSAB AC BAC CAD ⎛⎫=⋅⋅∠=⨯⨯⨯∠+ ⎪⎝⎭ 18cos 18CAD =∠== 1423BCEABCSS ∴==（2）解法1：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠= π1cos cos sin 23CAB CAD CAD ⎛⎫∴∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭在ABC 中 22212cos 3636266963BC AB AC AB AC CAB ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BC ∴=∴在等腰ABC 中12cos BCB BA ==∴Rt ABD △中6cos ,BA BBD BD BD===∴=AD ∴==解法2：()1cos 0,π,sin 3CAD CAD CAD ∠=∠∈∴∠== 由A BCABDACDSSS=+得1166sin 22AD AD CAD =⨯⨯+⨯⨯⋅∠,即()11166223AD AD =⨯⋅+⋅⋅⋅解得=AD18．（本题12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S 11a = 且满足()()11112n n n S nS n n ++=-+.(1)求数列{}n a 的通项公式(2)设()23cos πn a n n b a n =+⋅ 求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)n a n =(2)()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数【分析】（1）利用构造法和等差数列的定义与通项公式可得()12n n n S +=结合1n n n a S S -=-即可求解（2）由（1）知()()213nnn b n =-+- 利用分组求和法计算即可求解. 【详解】（1）根据题意 ()()11112n n n S nS n n ++=-+ 所以1112n n S S n n +-=+由于1111S a ==，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1 公差为12的等差数列所以()111122n S n n n +=+-⨯= 所以()12n n n S += 当2n ≥时 1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=. 验证1n =时11a =满足通项公式 故数列{}n a 的通项公式为n a n =.（2）由（1）知()()()223cos π13n n na n nb a n n =+⋅=-+-.设()21nn -的前n 项和为n A ，则当n 为偶数时 ()22222212341n A n n =-+-+-⋅⋅⋅--+()()()()()()2121434311n n n n ⎡⎤⎡⎤=-++-++⋅⋅⋅+--+-⎣⎦⎣⎦ ()()1123412n n n n +=++++⋅⋅⋅+-+=. 当n 为奇数时 ()()2211122n n n n n n A A n n --+=-=-=-设()3n-的前n 项和为n B ，则()()()131333134nn nB +⎡⎤-⋅-----⎣⎦==+. 因为=+n n n T A B 所以()()()()11133,,24133,.24n n n n n n T n n n ++⎧++--⎪⎪=⎨++-⎪--⎪⎩为偶数为奇数 19．（本题12分）如图 在四棱锥P ABCD -中 PAD 为等边三角形 AD CD ⊥ //AD BC 且22AD BC ==CD =PB = E 为AD 中点．(1)求证：平面PAD ⊥平面ABCD(2)若线段PC 上存在点Q 使得二面角Q BE C --的大小为60︒ 求CQCP的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12【分析】（1）首先连接PE 根据线面垂直的判定定理证明PE ⊥平面ABCD 再利用面面垂直的判定定理证明平面PAD ⊥平面ABCD . （2）设()01CQ CP λλ=≤≤,再利用向量法求二面角Q BE C --的平面角 再列方程得到12λ= 即得CQCP 的值．【详解】（1）证明：连接PEPAD 是边长为2的等边三角形 E 是AD 的中点PE AD ⊥∴PE =//DE BC DE BC = AD CD ⊥ ∴四边形BCDE 是矩形BE CD ∴==222PE BE PB ∴+= PE BE ∴⊥又AD BE E = AD BE ⊂平面ABCDPE ∴⊥平面ABCD又PE ⊂平面PAD∴平面PAD ⊥平面ABCD ．（2）以E 为原点 以EA EB EP 为坐标轴建立空间直角坐标系 如图所示：则(00P()C -()0B ()0,0,0E ()0EB ∴=， ()100BC =-，，(1CP = 设()01CQCPλλ=≤≤则()1BQ BC CQ BC CP λλ=+=+=- 设平面QBE 的法向量为(),,m x y z =则00m EB m BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()010x y z λ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，，令1z = 得()301m λλ=-，，又PE ⊥平面ABCD()001n ∴=，，为平面BEC 的一个法向量cos 3m n m n m nλ⋅∴==，二面角Q BE C --的大小为60︒12= 解得12λ=． 12CQ CP ∴=． 20．（本题12分）2023年秋末冬初 呼和浩特市发生了流感疾病. 为了彻底击败病毒 人们更加讲究卫生讲究环保. 某学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动 现从中抽取200名学生 记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图 根据图形 请回答下列问题：(1)若从成绩低于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩 求5人中成绩低于50分的人数 (2)以样本估计总体 利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数(3)首轮竞赛成绩位列前10%的学生入围第二轮的复赛 请根据图中信息 估计入围复赛的成绩（记为K ）. 【答案】(1)2人 (2)71 (3)88K ≥【分析】（1）利用分层抽样的定义求解即可 （2）利用平均数公式求解即可（3）根据题意设入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈，则()900.0250.050.1K -⨯+= 求出K 的值即可. 【详解】（1）成绩在[)40,50的人数为0.011020020⨯⨯=（人） 成绩在[)50,60的人数为0.0151020030⨯⨯=（人） 则按分层抽样方法从成绩低于60分的同学中抽取5人成绩低于50分的人数为20522030⨯=+（人）. 故5人中成绩低于50分的人数为2人（2）由()0.010.0150.0150.0250.005101a +++++⨯= 得0.030a = 则平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故该校学生首轮竞赛成绩的平均数约为71分（3）根据频率分布直方图可知：[]90,100的频率为0.005100.05⨯= [)80,90的频率为0.025100.25⨯=所以入围复赛的成绩一定在[)80,90可知入围复赛的成绩的临界值为[)80,90K ∈则()900.0250.050.1K -⨯+= 解得88K =故估计入围复赛的成绩为88K ≥分.21．（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>> 斜率为2的直线l 与x 轴交于点M l 与C 交于A B 两点 D 是A 关于y 轴的对称点．当M 与原点O 重合时 ABD △面积为169． (1)求C 的方程(2)当M 异于O 点时 记直线BD 与y 轴交于点N 求OMN 周长的最小值．【答案】(1)22142x y += (2)2【分析】（1）设出各点坐标 表示出面积后 结合面积与离心率计算即可得（2）要求OMN 的周长，则需把各边长一一算出 即需把M x N y 算出 设出直线方程与椭圆方程联立得与横坐标有关韦达定理 借助韦达定理表示出M x N y 可得OMN 各边边长 结合基本不等式即可求得最值.【详解】（1）当M 与原点O 重合时 可设()00,A x y ，则有()00,B x y -- ()00,D x y -且002y x = 即有AD BD ⊥, 则()()00001116229ABD S AD BD x x y y =⋅=++=即201649x = 又00x > 故023x =，则043y = 即有22416199a b +=即c a =则22222a c b c ==+ 故222a b = 即有224161189b b += 解得22b = 故24a = 即C 的方程为22142x y +=（2）设直线l 方程为2y x t =+ 令0y = 有2t x =- 即2M t x =- 设点()11,A x y ()22,B x y ，则()11,D x y - 联立直线与椭圆方程：222142y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 有2298240x tx t ++-= ()222Δ64362414480t t t =--=->即t -<有1289t x x -+= 212249t x x -= BD l 为()122212y y y x x y x x -=-+-- 令0x = 故21222122122221122121212N x y x y x y x y x y x y x y x y y y x x x x x x -+-+++=+==--++ 由2y x t =+ 故()()2112211212121212224x x t x x t x y x y x x t x x x x x x ++++==++++ 其中2121224198429t x x t t x x t -==-+-+ 即12442N t y t t t ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭则22OMN N M t C y x t =+=+2≥=当且仅当2t =±时等号成立故OMN周长的最小值为2+【点睛】本题考查了椭圆的方程 在求解直线与椭圆的位置关系问题时 常用方法是设而不求 借助韦达定理等手段 将多变量问题转变为单变量问题 再用基本不等式或函数方式求取范围或最值.22．（本题12分）已知函数21()ln 2f x x x ax =+-． (1)当12a =时 求在曲线()y f x =上的点(1,(1))f 处的切线方程 (2)讨论函数()f x 的单调性(3)若()f x 有两个极值点1x 2x 证明：()()121222f x f x a x x -<--． 【答案】(1)3230x y --=(2)详见解析(3)详见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义求出（2）求出导函数()1(0)f x x a x x '=+-> 在定义域()0,∞+内分类讨论解含参不等式即可求出 （3）由题意得2a > 12x x a += 121=x x 而()()1212f x f x x x --1212ln ln 12x x a x x -=-- 只需证明1212ln ln 2x x x x -<- 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭ 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立即可． 【详解】（1）由题可知 当12a =时 211()ln 22f x x x x =+- ()112f x x x ∴=+-' ∴(1)0f = 3(1)2f '= ∴切点为(1,0) 切线的斜率为32 ∴切线方程为：30(1)2y x -=- 即3230x y --=（2）对函数()f x 求导可得 ()1(0)f x x a x x '=+->． 当2a ≤时 ()120f x x a a x=+-≥-≥'．则()f x 在(0,)+∞上单调递增． 当2a >时 ()2110x ax f x x a x x -+=+-=='．则1x =2x = 令()0f x '>，则10x x << 或2x x >．()0f x '<，则12x x x <<综上：当2a ≤时 ()f x 在(0,)+∞上单调递增当2a >时 ()f x在⎛ ⎝⎭和∞⎫+⎪⎪⎝⎭上单调递增 ()f x在⎝⎭上单调递减． （3）()f x 有两个极值1x 2x1x ∴ 2x 是方程210x ax -+=的两个不等实根则2a > 12x x a += 121=x x()()2211122212121211ln ln 22x x ax x x ax f x f x x x x x ⎛⎫+--+- ⎪-⎝⎭=-- ()()()121212*********ln ln ln ln 122x x x x x x a x x x x a a x x x x -+-+---==+--- 1212ln ln 12x x a x x -=--． 要证：()()121222f x f x a x x -<--．即证：1212ln ln 2x x x x -<-． 不妨设1210x x >>> 即证：11111ln ln 2x x x x ⎛⎫+<- ⎪⎝⎭． 即证：1111ln x x x <-对任意的1(1,)x ∈+∞恒成立． 令1()ln f x x x x =-+ (1)x >．则()22211110x x f x x x x -+=--=-<'． 从而()f x 在(1,)+∞上单调递减 故()(1)0f x f <=．所以()()121222f x f x a x x -<--．【点睛】本题考查了切线方程问题考查函数的单调性问题考查导数的应用以及分类讨论思想训练了构造函数法证明不等式的成立属难题.。
高二数学下学期期中试题
金山中学2016学年度第二学期高二年级数学学科期中考试卷（考试时间：120分钟满分：150分）一.填空题（1--6每小题4分，7--12每小题5分，共54分）1、在空间中，若直线与无公共点，则直线、的位置关系是▲。
2、直线与的夹角的大小为▲。
(结果用反三角函数表示)3、已知m为实数，i为虚数单位，若，则= ▲。
4、复数满足（为虚数单位），则的最大值为▲。
5、在正四棱锥中，所有棱长都为2，则侧面与底面所成的二面角的大小为▲。
(结果用反三角函数表示)6、已知抛物线：，直线：，则直线被抛物线截得的弦长为▲。
7、已知复数满足（其中为虚数单位），则对应点位于第三象限的的值为▲。
8、在水平放置的平面上画一个边长为2的正三角形，在“斜二测”画法中线段AB的长度为▲。
9、如图，已知圆锥的底面半径为，点为半圆弧的中点，点为母线的中点．若与所成角为，则此圆锥的侧面积为▲。
10、过定点的直线与双曲线的右半支只有一个交点，则该直线的倾斜角的取值范围是▲。
11、在棱长为1的正方体中，为线段上的动点，写出所有正确结论的代号▲。
①三棱锥M﹣DCC1的体积为定值；②DC1⊥D1M；③∠AMD1的最大值为90°；④AM+MD1的最小值为2。
12、《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（左右、前后对称如图），下底面宽丈，长丈，上棱丈，平面，与平面的距离为丈，则它的体积是▲（立方丈）。
二.选择题（每小题5分，共20分）13、若关于的实系数一元二次方程的一个根为，则这个一元二次方程可以是▲。
（A）（B）（C）（D）14、经过一定圆外一定点，并且与该圆相切的动圆圆心的轨迹是▲。
（A）圆（B）椭圆（C）直线（D）双曲线15、在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是▲。
（A）（B）（C）（D）16、已知点在以原点为圆心的单位圆上运动，则点的轨迹类型是▲。
高二下学期期中考试数学试卷含答案
若复数 ，则 ． 若复数 ， 满足 ，则 ．
其中真命题的是（）
A. B. C. D.
【答案】AC
11.已知函数 在 单调递增，则k的取值为（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】AB
12.国家环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量 与时间 的关系 ，用 的大小评价在 这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，给出下列四个结论正确的是（）
丙说：标有1的卡片在甲手中；丁说：甲拿到标有3的卡片．
结果显示：甲、乙、丙、丁4个人的预测都不正确，那么丁拿到卡片上的数字为（）
A 1B.2C.3D.4
【答案】C
7.函数 极大值点为（）
A. B. C. D.
【答案】A
8.已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，漏选的得3分，错选或不选的得0分．
【答案】见解析
20.已知函数 的图象为曲线C．
（1）求过点 与曲线C相切的直线方程．
（2）求过点 与曲线C相切的直线方程．
【答案】（1） 或 ；（2） 或 .
21.已知函数 ，讨论 在定义域内的单调性．
【答案】答案见解析
22.设函数 ， 为 导函数．
（1）求 单调区间；
（2）令 ，讨论当 时，函数 的零点个数．
【答案】（1） 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 ；（2）只有一个零点．
高中二年级第二学期期中质量测试
高中数学高二数学下学期期中试题
高中数学高二数学下学期期中试题
高中数学高二数学下学期期中试题高中数学高二数学下学期期中试题
一、填空题：
1、已知直线被坐标轴截得线段中点是，则直线的方程是___________ .
2、过点，且与轴、轴的截距相等的直线方程是
_________________ .
3、斜率为3，且与圆相切的直线方程是 .
4、已知BC是圆的动弦，且|BC|=6，则BC的中点的轨迹方程是 ____ __.
5、与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(-3，2)的椭圆方程为_______________.
6、直线与双曲线相交于、两点，则 _________________.
7、过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为
8、抛物线上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为
______________.
9、如果过两点和的直线与抛物线没有交点，那么实数的取值范围是 .
10、若复数z满足z(1+i)=2，则z的实部是__________.
11、，那么以|z1|为直径的圆的面积为_______.
12、复数的值是 .
二、选择题：。
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周三测试题2016.4.13
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的，请将正确的选项涂写在答题卡上．
1．若f（x）=sin﹣cosx，则f′（a）等于（）
A． sinα B． cosα C． sin+cosα D． cos+sinα2． 5个代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有（）
A． A种 B． 45种 C． 54种 D． C种
3．双曲线y=在点（2，）的切线方程是（）
A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+y+1=0 D．x+y﹣1=0 4．如表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则a等于（）
A． 5.1 B． 5.2 C． 5.25 D． 5.4 5．设随机变量ξ服从正态分布N（4，5），若P（ξ＜2a﹣3）=P（ξ＞a+2），则实数a等于（）
A． B． C． 5 D． 3
6．某班组织文艺晚会，准备从A，B等7个节目中选出3个节目演出，要求：A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（）
A． 84 B． 72 C． 76 D． 80
7．某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ等于（）
A． B． C． D． 1
8．由“0”、“1”、“2”组成的三位数码组中，若用A 表示“第二位数字为0”的事件，用B 表示“第一位数字为0”的事件，则P （A|B ）=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．若∁
=∁
（n ∈N ），且（2﹣x ）n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n ，则a 0﹣a 1+a 2﹣…+
（﹣1）n a n 等于（ ）
A ． 81
B ． 27
C ． 243
D ． 729 10．甲乙两人进行乒乓球决赛，比赛采取七局四胜制．现在的情形是甲胜3局，乙胜2局．若两人胜每局的概率相同，则甲获得冠军的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填写在试题的横线上．
11．函数f （x ）=e ﹣x +lnx 的导数为 ．
12．已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B （n ，p ），且E ξ=7，D ξ=6，则p 等于 ．
13．72
()x x x
的展开式中，x 2的系数是 ．（用数字作答）
14．现有五种不同的颜色要对如图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的着色方法有 ．
15．如图，用A 、B 、C 、D 表示四类不同的元件连接成系统M ．当元件A 、B 至少有一个正常工作且元件C 、D 至少有一个正常工作时，系统M 正常工作．已知元件A 、B 、C 、D 正常工作的概率依次为：0.3、0.6、0.5、0.8，元件连接成的系统M 正常工作的概率P （M ）= ．
（14题图） （15题图）
三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个满足下列条件的整数？（Ⅰ）可以组成多少个无重复数字的四位数？
（Ⅱ）可组成多少个恰有两个相同数字的四位数？
17．已知曲线f（x）=x3+ax+b在点（2，﹣6）处的切线方程是13x﹣y﹣32=0．（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）如果曲线y=f（x）的某一切线与直线y=﹣x+3垂直，求切点坐标与切线的方程．
18．为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00﹣22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
（Ⅰ）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00﹣22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？
（Ⅱ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X．求X的数学期望和方差．
附：X2=．
19．在二项式（x﹣）n的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列．（Ⅰ）求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（Ⅱ）设（x﹣）n展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求p+q．
20．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同．
（1）从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；
（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x
1，x
2
，
x 3，随机变量X表示x
1
，x
2
，x
3
中的最大数，求X的概率分布和数学期望E（X）．
21．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体独立地在投票器上选出3
位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．
（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；
（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．。