多项式矩阵的最小多项式的快速算法
幂等矩阵的最小多项式_概述及解释说明
幂等矩阵的最小多项式概述及解释说明1. 引言1.1 概述幂等矩阵是线性代数中的一个重要概念，其最小多项式是对于一个给定的矩阵，满足多项式在这个矩阵上取值为零的最低次数的多项式。
在实际应用中，幂等矩阵在线性变换、图论、密码学等领域发挥着关键作用。
因此，对于幂等矩阵及其最小多项式的深入理解和求解方法的探究具有重要意义。
1.2 文章结构本文分为五个部分进行讨论。
首先，在引言部分，我们将对文章主题进行概述，并介绍文章的结构与目标。
接下来，在“幂等矩阵的最小多项式概述”部分，我们将详细介绍幂等矩阵和最小多项式的定义，并引入幂等矩阵的最小多项式概念。
然后，在“幂等矩阵的性质与特征”部分，我们将讨论幂等矩阵的一些特点和性质，并探讨特征值和特征向量与幂等矩阵之间的关系，以及在线性变换中幂等矩阵的应用举例。
接着，在“幂等矩阵的求解方法”部分，我们将总结一般情况下求解幂等矩阵最小多项式的方法，并专门介绍方阵和非方阵情况下求解幂等矩阵最小多项式的方法。
最后，在“结论及展望”部分，我们将对本文的研究成果进行总结，并提出存在的问题与未来的展望。
1.3 目的本文旨在全面概述和解释幂等矩阵的最小多项式相关内容，探讨幂等矩阵的性质与特征，介绍不同情况下求解幂等矩阵最小多项式的方法，并对研究成果进行总结。
通过本文的学习和理解，读者可以对幂等矩阵及其最小多项式有更深刻的认识，并能够应用所学知识解决实际问题。
此外，文章还将指出一些存在的问题，并提出未来进一步研究和探索的方向，为相关领域中进一步深入研究奠定基础。
2. 幂等矩阵的最小多项式概述2.1 幂等矩阵定义幂等矩阵是指满足AA=A的方阵。
换句话说，幂等矩阵乘以自己得到的结果与原矩阵相等。
幂等矩阵在线性代数和矩阵理论中有着重要的应用。
2.2 最小多项式定义对于一个方阵A，其最小多项式可以通过以下方式定义：首先找到所有使得p(A)=0成立的次数最低的多项式p(x)，其中p(x)≠0是一个非零多项式。
基于矩阵的特征多项式与最小多项式相关的探讨
基于矩阵的特征多项式与最小多项式相关的
探讨
矩阵的特征多项式和最小多项式是矩阵理论中非常重要的概念。
特征多项式是一个关于矩阵λ的多项式，通过对特征多项式进行因式
分解，可以得到矩阵的特征值，从而研究矩阵的性质和行为。
而最小
多项式则是一个次数最低的关于矩阵的多项式，其根是矩阵的特征值。
最小多项式可以被用来确定矩阵是否可对角化以及矩阵的Jordan标准形。
特征多项式与最小多项式之间存在着密切的联系。
特征多项式是
最小多项式的一个因子，从而它们共享同样的特征值。
特别地，当矩
阵的特征值都是简单的时候，特征多项式和最小多项式是一样的。
因此，在计算矩阵的特征值时，我们可以通过计算最小多项式的根来得
到这些值。
此外，特征多项式和最小多项式也可以被用来求解矩阵的逆和某
些矩阵函数。
例如，如果一个矩阵M的最小多项式是p(x)，那么M的
逆可以通过计算：
$$
(M^{-1})=\frac{1}{\lambda_1}P(M)
$$
其中P(x)是一个关于x的多项式，它的根是矩阵M的特征值。
类似地，当我们需要计算一些关于矩阵的函数时，我们也可以使用特征多项式
和最小多项式来进行计算。
总之，特征多项式和最小多项式是矩阵理论中的核心概念，它们
提供了丰富的信息，可以被用来研究矩阵的性质和行为，以及求解矩
阵的逆和某些矩阵函数。
熟练掌握这些概念对于矩阵理论和线性代数
的研究非常重要。
方阵最小多项式的求法与应用
方阵最小多项式的求法与应用［摘要］:本文首先介绍了方阵A的最小多项式，进而给出了最小多项式的四种求法，最后讨论了最小多项式的两个应用.［关键词］:方阵；最小多项式;不变因子Minimal polynomial of a square matrix and its applicationsFENG Yu-xiang(Class L Grade 2001, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Associate Prof. LI Zhi-hui［Abstrac t］ :The minimal polynomial of square matrix A is discussed, and fourmethods of solution for the minimal polynomial are presented・ Further more ,theapplications of the minimal polynomial are studied・［Keywords］ : squaie matrix; minimal polynomial; invariant operation—、引言文献［1］中研究了方阵最小多项式的若干性质，并给出最小多项式的三种求法.本文试图通过对文献［1］中的结果进一步研究，给出它相应的改进算法，并提出一种新的求法•与此同时，讨论了最小多项式在矩阵的相关计算和证明中的应用，为最小多项式的应用提供了新的思想.本文所讨论的矩阵和多项式均为复数域C上n阶方阵和多项式.二、最小多项式的性质及求法山哈密尔顿定理可知，对于一n阶矩阵A , /(2) = |/t£-^|是人的特征多项式，则/") = A” 一(5 + …+ …+(_l)”|4|E = 0,即就是任给数域P 上的一个“级矩阵A,总可以找到数域P上的多项式f(x),使得/(A) = 0.如果多项式于(对使得f(A) = 0 ,我们就称/(X)为矩阵A的零化多项式.X然A的零化多项式很多的，于是我们有定义1设A e C WXH，次数最低的首项为1的A的零化多项式称为A的最小多项式，记为TJZ).最小多项式有以下一些基本性质：定理1[1]设则(1)A的任一零化多项式都能被屮.4(刃整除；(2)A的最小多项式出4(刃是唯一的；(3)相似矩阵最小多项式相同.2. 1由特征多项式求最小多项式定理2[1]血是A的特征多项式零点的充分条件是心为A的最小多项式出° (刃的零点.证明：见参考文献[1].推论1若"阶方阵4的特征多项式被分解为不同的一次因式方幕的乘积：/(2) = (A-21p (2 一九2严…(入-九$严,其中人是A的相异的特征值，叫是特征值人的重数，且=儿则A的最小多r-1项式具有如下形式：T A (2)=(兄一人屮(兄一儿)么…(兄一 &.)必，其中％ < 7H, (/ = 1,2,- -,5)为正整数.推论1实际上给出了山方阵人的特征多项式，求最小多项式的方法.例1求矩阵'2 1 1'A= 1 2 11 1 2_的最小多项式.解：因为A的特征多项式为/(2) = (A-l)2(A-4),根据推论1便可知，A的最小多项式有以下两种可能：(兄一1)(兄一4) , (2 —1)~(A — 4)'1 1 f ・-2 1 10 0 o'(A-E)(A-4E) =1 1 1 1 -2 1 = 0 0 0 =01 1 11 1 -20 0 0因此，A 的最小多项式为(2-1)(2-4).例2求矩阵的最小多项式./(2) = 24 + 4才 一4822 一3202-512 广⑷=4(才 + 3才 _ 242_ 80)由辗转相除法求得(/(刃,广(刃)=才+82 + 16 于是/(2)_ 才 + 4才-4822 一3202-512(/")/")) 22+82 + 16二，一4兄一32二(兄 + 4)(几一8)于是 /(2) =(2 + 4)3(A-8)A 的最小多项式有以下三种可能：(A + 4)(几一8), (A + 4)~ (兄一8), (兄 + 4)' (A — 8)由于-1 一3 3 一-3 -1 一 3 3 3 -3 -1 -3 一3 3 一3 一A =有时/(刃在分解时比较困难，但由推论1可知, A 的最小多项式实质包含A 的特征多项式中的所有不同的一次因式之积, 故可先求出册丽2 + 13 一3 3 3 几+1 3 一3 -3 3 兄+1 -33一3 3 A +1=24 +4才 一48才-3202-512 解：\AE-A\ =而(A + 4E)(A-8£) = 0,因此A的最小多项式为(2 + 4)(2 -8).2. 2按最小多项式的定义及存在性求最小多项式定理3［1］任意〃阶矩阵A都存在最小多项式T4(/l).证明：参见文献［1］.这个定理告诉我们一种求最小多项式的方法，这种方法的步骤是:第一步试解A =若能解出血，则人的最小多项式为若A = A0E关于血无解，则做第二步试解A2 = 2()£ + 兄］E若能解出血与则A的最小多项式为T4(/l) = 22-A0-/l12若不能解出心与仏，则做第三步试解A5 = A0£ + 21A +若能解出心，入与则，则A的最小多项式为若不能解出九，人与禺，则再做第四步试解2+A3A3A4=20E+AI A+A2A等等，直到求出儿(,=0」2…，〃小使矩阵方程成立为止(山哈密尔顿凯莱定理，这样的过程最多只有〃步即可终多止）这时用几代替A ,便得到所求最小项式TJ2）.例2求矩阵111-111-10 A =0-111-10 11的最小多项式.解: (1)试解A = ^E,显然关于兄。
最小多项式求法
最小多项式求法最小多项式求法（LeastSquaresMethod，简称LSM）是问题求解的广泛应用技术，特别是对于数据拟合和解线性方程组的求解等问题有着重要的用途。
它的基本思想是在给定的数据集合上，求出使得残差的平方和最小的参数集合，从而获得回归方程或解方程组解。
最小多项式求法包含了很多求解方案，目前主要有最小二乘法、最小平方根法、最小抽样准差法、经验最小二乘法、改进最小二乘法等。
最小多项式求法的原理和步骤如下：（1）确定模型模型的确定是最小多项式求法的第一步，即确定拟合函数或近似函数的形式。
最常采用的拟合函数或近似函数为多项式函数和指数函数。
通过实际推测和分析，要根据多项式函数的次数及指数函数的指数来确定模型。
（2）确定误差函数接下来，要确定误差函数，即将拟合函数与实际数据进行比较，以确定误差值。
一般而言，最小多项式求法都是采用最小二乘法，即用平方和最小的方式确定误差函数。
（3）求解最小误差根据上文确定的误差函数，用求解极值问题的方法，求出最小误差值，得到最小多项式求法的拟合多项式函数表达式及相应的参数值和拟合系数。
（4）绘制散点图在得出最小多项式求法之后，一般会绘制出散点图，并将这个多项式拟合函数在散点图上描绘出来。
如果比较合理，则说明最小多项式求法的拟合结果是合理的；如果不合理，则说明结果是不正确的。
综上所述，最小多项式求法是一种常用的求解方案，它可以用于线性、非线性方程组的求解，也可以应用于数据拟合，可以求出拟合函数表达式及其参数值和拟合系数，有助于更准确地分析和处理数据。
尽管最小多项式求法的求解过程本身比较简单，但它所用到的数学原理比较深奥，需要具有一定的数学知识和技能，才能正确的运用最小多项式求法求解问题。
并且，也有一些其他的求解方案，如Broyden法、拟牛顿法和改进的拟牛顿法等，这些求解方案都有各自的优缺点，根据实际问题情况，可以采用相应的方案求解。
而且，作为一种数据分析技巧，最小多项式求法也可以与机器学习和人工智能相结合，用于更加智能化的数据处理和分析。
极小多项式和友矩阵
极⼩多项式和友矩阵将学习到什么介绍了极⼩多项式和友矩阵的相关概念以及基础性质。
极⼩多项式多项式p(t) 称为使A∈M n零化，如果p(A)=0. 保证了：对每个A∈M n, 存在⼀个n次的⾸ 1 多项式p A(t)（特征多项式），使得p A(A)=0. 当然可能也存在⼀个更低次数的⾸ 1 多项式使A零化. 我们要找出使A零化的最低次数的⾸ 1 多项式. 下⾯这个定理表明这个要找的多项式是唯⼀的. 定理 1：设给定A∈M n. 则存在唯⼀⼀个最⼩次数的⾸ 1 多项式q A(t) 使A零化. q A(t) 的次数⾄多为n. 如果p(t) 是任何⼀个使p(A)=0 成⽴的⾸ 1 多项式，那么q A(t) 整除p(t), 即对某个⾸ 1 多项式h(t) 有p(t)=h(t)q A(t). 证明：次数不⼤于n没什么好说的，因为存在n次的⼀定满⾜. 如果p(t) 是任何⼀个使A零化的⾸ 1 多项式，⼜如果q(t) 是⼀个使A零化的m次（设为最低次）⾸ 1 多项式，那么p(t) 的次数是m或者更⾼. Euclid 算法确保存在⼀个⾸ 1 多项式h(t) 以及⼀个次数严格⼩于m的多项式r(t) 使得p(t)=q(t)h(t)+r(t). 但是 0=p(A)=q(A)h(A)+r(A)=0h(A)+r(A), 所以r(A)=0. 如果r(t)不是零多项式，我们就能将它规范化得到⼀个次数⼩于m的⾸ 1 零化多项式，这是⼀个⽭盾. 所以r(t) 是零多项式，从⽽q(t) 整除p(t), 商为h(t). 如果存在两个最⼩次数的使A零化的⾸ 1 多项式，这个论证表明它们每⼀个都整除另外⼀个，由于它们次数相同，其中⼀个必定是另⼀个的纯量倍数. 但由于两者都是⾸ 1 的，纯量因⼦必为 +1, 从⽽它们是相等的. 定义 1：设给定A∈M n. 使A零化的唯⼀的最⼩次数⾸ 1 多项式q A(t) 称为A的极⼩多项式. 推论 1：相似矩阵有相同的极⼩多项式 证明：如果A,B,S∈M n, 且A=SBS−1, 那么q B(A)=q B(SBS−1)=Sq B(B)S−1=0, 所以q B(t) 是⼀个使A零化的⾸ 1 多项式，从⽽q A(t) 的次数⼩于或等于q B(t) 的次数. 但是B=S−1AS，所以相同的推理表明q B(t) 的次数⼩于或等于q A(t) 的次数. 从⽽q A(t) 与q B(t) 都是使A零化的最⼩次数的⾸ 1 多项式，故⽽由定理 1 知它们是相等的.需要注意的是，矩阵A与B有相同的极⼩多项式，不代表它们⼀定相似，⽐如A=J2(0)⊕J2(0)∈M4与B=J2(0)⊕02(0)∈M4. 推论 2：对每⼀个A∈M n, 极⼩多项式q A(t) 整除特征多项式p A(t). 此外，q A(λ)=0 当且仅当λ是A的特征值，故⽽p A(t)=0 的每个根都是q A(t) 的根. 证明：由于p A(A)=0, 则存在⼀个多项式h(t) 使得p A(t)=h(t)q A(t). 这个分解式使得q A(t)=0 的每个根都是p A(t)=0 的你根这⼀事实变得显然，从⽽q A(t)=0 的每个根都是A的特征值. 如果λ是A的⼀个特征值，⼜如果x是与之相伴的特征向量，那么Ax=λx, 且 0=q A(A)x=q A(λ)x, 所以q A(λ)=0.上⾯这个推论表明，如果特征多项式p A(t) 被完全分解成\begin{align} \label{e1}p_A(t)=\prod_{j=1}d(t-\lambda_i){s_i},\quad 1 \leqslant s_i \leqslant n, \quad s_1+s_2+\cdots+s_d =n\end{align}其中λ1,λ2,⋯,λd各不相同，那么极⼩多项式q A(t) 必定有形式\begin{align} \label{e2}q_A(t)=\prod_{i=1}d(t-\lambda_i){r_i}, 1\leqslant r_i \leqslant s_i\end{align}这就从理论上对寻求给定矩阵A的极⼩多项式给出⼀个算法： 1. ⾸先计算A的特征值，包括它们的重数，这或许通过求出特征多项式并将其完全分解即可得到. ⽤某种⽅法确定分解式. 2. 存在有限多个形如的多项式. 从所有r i=1 的乘积出发，⽤显⽰计算来确定使A零化的最⼩次数的乘积，这就是极⼩多项式.从数值计算上来说，对于⼤矩阵计算过于复杂，但在处理简单的⼩矩阵的徒⼿计算时还是⾮常有效的.在A∈M n的标准型与A的极⼩多项式之间存在密切的联系. 假设A=SJS−1是A的 Jordan 标准型，⼜⾸先假设J=J n(λ) 是单独⼀个 Jordan 块. A的特征多项式是 (t−λ)n, 由于当k<n时有 (J−λI)k≠0, 所以J的极⼩多项式仍然是 (t−λ)n. 然⽽，如果J=J n1(λ)⊕J n2(λ)∈M n（其中n1⩾）, 则J的特征多项式仍然是(t-\lambda)^n, 但现在有(J-\lambda I)^{n_1}=0, 且没有更低次的幂变为零. 这样⼀来，J的极⼩多项式是(t-\lambda)^{n_1}. 如果对特征值\lambda有多个 Jordan 块，则有相同结论：J的极⼩多项式是(t-\lambda)^r, 其中r是与\lambda对应的最⼤ Jordan 块的阶. 如果J是⼀般的 Jordan 矩阵，其极⼩多项式必定包含因⼦(t-\lambda_i)^{r_i}（对每⼀个不同的特征值\lambda_i）；⽽r_i必定是与\lambda_i对应的最⼤ Jordan 块的阶；没有更低的幂能零化与\lambda_i对应的所有 Jordan 块，⽽且也不需要更⾼的幂. 由于相似矩阵有相同的极⼩多项式，我们就证明了下⾯的定理. 定理 2：设A \in M_n是⼀个给定的矩阵，其不同的特征值是\lambda_1\cdots \lambda_d. 则A的极⼩多项式是\begin{align} \label{e3}q_A(t)=\prod_{i=1}d(t-\lambda_i){r_i}\end{align}其中r_i是A的与特征值\lambda_i对应的最⼤ Jordan 块的阶.实际上，这个结果在计算极⼩多项式时没有太多的帮助，因为通常确定⼀个矩阵的 Jordan 标准型⽐确定它的极⼩多项式更为困难.的确，如果仅仅知道矩阵的特征值，它的极⼩多项式就可以通过简单的试错法确定. 然⽽，这个结果有⼀些有重要理论价值的推论.由于⼀个矩阵可对⾓化当且仅当它所有 Jordan 块的阶均为 1, 所以矩阵可对⾓化的⼀个充分必要条件就是式\ref{e3}中所有的r_i=1. 推论 3：设A \in M_n有不同的特征值\lambda_1\cdots \lambda_d. ⼜令\begin{align} \label{e4} q(t)=(t-\lambda_1)(t-\lambda_2)\cdots (t-\lambda_d) \end{align}那么，A可对⾓化当且仅当q(A)=0这个判别法对于判断⼀个给定的矩阵是否可以对⾓化是有实际⽤途的，只要我们知道它不同的特征值：构造多项式\ref{e4}并观察它是否使A零化. 如果它使A零化，它必定就是A的极⼩多项式，这是因为没有更低次数的多项式能以A的所有不同特征值作为其零点了. 如果它不能使A零化，那么A不可对⾓化. 将此结果总结成若⼲等价的形式是有益的. 推论 4：设A \in M_n, ⽽q_A(t)是它的极⼩多项式，则以下诸结论等价： (a) q_A(t)是不同线性因⼦的乘积 (b) A的每⼀个特征值作为q_A(t)=0的根的重数都是 1 (c) 对A的每个特征值\lambda, 都有q'_A(\lambda) \neq 0 (d) A可以对⾓化友矩阵对给定的A\in M_n, 我们迄今正在考虑的是寻求使A零化的最⼩次数的⾸ 1 多项式. 但是对于其逆，我们能说什么呢？给定⼀个⾸1 多项式\begin{align}\label{e5}p(t)=t n+a_{n-1}t{n-1}+a_{n-2}t^{n-2}+\cdots+a_1t+a_0\end{align}是否存在⼀个矩阵A, 使得它以p(t)作为它的极⼩多项式呢？若如是，则A的⼤⼩必定⾄少是n \times n. 考虑\begin{align} \label{e6} A=\begin{bmatrix} 0 &&&& -a_0 \\ 1 & 0 &&& -a_1 \\ & 1 & \ddots && \vdots \\ && \ddots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 &&& 1 & -a_{n-1}\end{bmatrix} \in M_n \end{align}并注意到\begin{align} & I e_1 &= \, &e_1 =\quad A^0e_1 \notag \\ & A e_1 &= \, &e_2 = \quad Ae_1 \notag\\ & A e_2 &= \, &e_3 =\quad A^2 e_1 \notag \\ & A e_3 &= \, &e_4 = \quad A^3 e_1 \notag \\ & \,\,\, \vdots & \notag \\ & A e_{n-1} &= \,& e_n =\quad A^{n-1}e_1 \notag \end{align}进⼀步有\begin{align}Ae_n &=-a_{n-1}e_n-a_{n-2}e_{n-1}-\cdots -a_1e_2-a_0e_1 \notag \\&=-a_{n-1}A{n-1}e_1-a_{n-2}A{n-2}e_1 -\cdots -a_1Ae_1-a_0 e_1 \notag \\&=(A^n-p(A))e_1\end{align}于是\begin{align}p(A)e_1 &=(a_0e_1+a_1Ae_1+a_2A^2e_1+\cdots +a_{n-1}A{n-1}e_1)+A ne_1 \notag \\&=(p(A)-A n)e_1+(A n-p(A))e_1 \notag \\&=0\end{align}此外，对每个k=1,2,\cdots,n有p(A)e_k=p(A)A^{k-1}e_1=A^{k-1}p(A)e_1=A^{k-1}0=0. 由于对每个基向量e_k有p(A)e_k=0,我们断定有p(A)=0. 从⽽p(t)是使A零化的n次⾸ 1 多项式. 如果存在⼀个更低次数m<n且使A零化的多项式q(t)=t^m+b_{m-1}t^{m-1}+\cdots+b_1t+b_0, 那么\begin{align}0&=q(A)e_1=A me_1+b_{m-1}A{m-1}e_1+\cdots+b_1Ae_1+b_0e_1 \notag \\&=e_{m+1}+b_{m-1}e_m+\cdots+b_1e_2+b_0e_1=0\end{align}⽽这是不可能的，因为e_1,\cdots,e_{m+1}是线性⽆关的. 我们断⾔：n次多项式p(t)是使A零化的最低次数的⾸ 1 多项式，所以它就是A的极⼩多项式. 特征多项式p_A(t)也是⼀个使A零化的n次⾸ 1 多项式，故⽽定理 1 确保p(t)也是矩阵\ref{e6}的特征多项式. 定义 2：矩阵\ref{e6}称为多项式\ref{e5}的友矩阵.我们已经证明了下⾯的结论： 定理 3：每⼀个⾸ 1 多项式既是它的友矩阵的极⼩多项式，⼜是它的友矩阵的特征多项式.如果A \in M_n的极⼩多项式的次数为n，那么\ref{e3}中的指数满⾜r_1+\cdots+r_d=n；也就是说，与每⼀个特征值对应的最⼤的 Jordan 块就是与每⼀个特征值对应的唯⼀的 Jordan 块. 这样的矩阵是⽆损的. 特别地，每⼀个友矩阵都是⽆损的. 当然，不⼀定每个⽆损的矩阵A\in M_n都是友矩阵，但是A与A的特征多项式的友矩阵C有同样的 Jordan 标准型（与每⼀个不同的特征值\lambda_i对应的只有⼀个分块J_{r_i}(\lambda_i)）, 所以A与C相似. 定理 4：设A \in M_n有极⼩多项式q_A(t)以及特征多项式p_A(t). 则下⾯诸结论等价： (a) q_A(t)的次数为n (b) p_A(t)=q_A(t) (c) A是⽆损的 (d) A与p_A(t)的友矩阵相似应该知道什么极⼩多项式存在且唯⼀相似矩阵具有相同的极⼩多项式，反之不成⽴友矩阵是以事先给定多项式为极⼩多项式的矩阵Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/SuppMathOperators.js每⼀个⾸ 1 多项式既是它的友矩阵的极⼩多项式，⼜是它的友矩阵的特征多项式。
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵是一种在线性代数中使用的特殊矩阵，可以表示多项式函数。
它们与普通矩阵非常相似，但它们的元素是多项式而不是实数。
它们可以用于多项式函数的求解，最小二乘法等数学操作。
多项式矩阵定义多项式矩阵可以定义为由多项式组成的方阵，其形状为m x n，其中m和n是行数和列数。
多项式矩阵的每个元素都是一个多项式，即一个带系数的多次式。
这些多项式可以是单变量多项式，也可以是多变量多项式，但最常用的是单变量多项式。
多项式矩阵的形式多项式矩阵可以以多种形式表示，其中最常见的是乘性标量乘积形式，即在一维空间中表示多项式矩阵。
例如，可以用下面的方程来表示2 3多项式矩阵：A = [a11a12a13a21a22a23]其中a11、a12、a13、a21、a22、a23是这个矩阵的元素。
多项式矩阵的运算多项式矩阵有一些特殊的运算符，如加法、乘法和幂指数。
它可以按照一般矩阵的乘法运算，将两个多项式矩阵相乘并得到一个新的多项式矩阵。
此外，多项式矩阵也可以按照一般矩阵的乘法运算，将一个多项式矩阵与一个标量乘积相乘，并得到一个新的多项式矩阵。
多项式矩阵的应用多项式矩阵可用于解决多项式函数的最小二乘法。
最小二乘法是一种最优线性回归技术，用于求解多项式函数的拟合参数。
使用多项式矩阵，可以轻松地求出多项式函数的函数系数。
多项式矩阵还可以用于解决矩阵函数的最优化问题，它可以用来求解一般矩阵函数的最小值。
例如，可以使用多项式矩阵来求解极小值问题，使用它可以更容易地求解极小值问题。
多项式矩阵在线性代数和数学分析领域中是一个重要的概念，可以用于解决各种数学模型，应用非常广泛。
它们可以用于多项式函数的求解，最小二乘法等数学操作，并且可以用于解决其他多项式函数或极小值问题。
矩阵的最小多项式的求解及其应用
矩阵的最小多项式的求解及其应用冯福存【摘要】首先介绍最小多项式的相关概念及最小多项式的一些基本性质,然后给出求解最小多项式的几种常用方法,最后结合实例归纳总结最小多项式在解题中的几个应用.【期刊名称】《宁夏师范学院学报》【年(卷),期】2017(038)006【总页数】5页(P28-32)【关键词】最小多项式;特征多项式;应用【作者】冯福存【作者单位】宁夏师范学院数学与计算机科学学院, 宁夏固原 756000【正文语种】中文【中图分类】O151.21矩阵可以说贯穿线性代数始终，而矩阵的特征多项式则是高等代数学习中的重点和难点，它与最小多项式的结合又常常成为数学系硕士研究生入学考试的难点和焦点．矩阵最小多项式在求矩阵函数的结果以及观察矩阵的特征值等方面具有重要的应用,大多数教材[1-3]只对矩阵最小多项式的定义做了简单的介绍,如何快速准确地计算出其最小多项式却很少给予系统的讨论，作者在长期的教学实践中，参阅相关文献[4-7]，得到和总结了关于矩阵最小多项式的系列性质，并对计算最小多项式常用的易于掌握的几种方法进行整理、总结和对比，并将教材上的Jordan标准形和最小多项式两个知识点串联到了一起,有利于加深初学者对这两部分内容的理解，以期对读者有所帮助．1 基本概念及性质定义1 设f(x)∈C[x]，A∈Cn×n,若f(A)=0，则称f(x)为A的零化多项式．定义2 设A∈Cn×n,A的零化多项式中次数最低的首项系数为1的多项式称为A的最小多项式．关于矩阵的最小多项式有如下结论：性质1[1] A∈Cn×n，则A存在唯一的最小多项式，记为mA(λ)．性质2 A∈Cn×n，mA(λ)整除A的任一零化多项式，特别的mA(λ)|fA(λ)，(fA(λ)=|λE-A|)．证明设f(λ)是A的任一零化多项式，由带余除法定理可知f(λ)=mA(λ)q(λ)+r(λ),若r(λ)≠0，由f(A)=0，mA(λ)=0可知r(A)=0，则r(λ)为A的最小多项式，与性质1矛盾，故r(λ)=0，即mA(λ)|f(λ)．由Hamilton-Cayley定理[1]知fA(λ)是A的一个零化多项式，故mA(λ)|fA(λ)．性质3[7] A∈Cn×n，A的最小多项式的根必是A的特征多项式的根，反之亦然．性质4[1] 设A∈Cn×n，若A是一个准对角阵并设A1的最小多项式为g1(λ)，A2的最小多项式为g2(λ)，那么A的最小多项式为g1(λ)，g2(λ)的最小公倍式[g1(λ),g2(λ)]．性质5[6] 相似矩阵的最小多项式相同，即最小多项式是相似不变量．性质6[1] k级Jordan块的最小多项式为(λ-a)k．性质7[1] 设Α是复数域上n维线性空间V的线性变换，在V中必定存在一组基，使得Α在这组基下的矩阵是Jordan形．2 最小多项式的求解求矩阵的最小多项式有多种方法，本文主要介绍四种便于掌握的方法．2.1 由特征多项式求最小多项式设A∈Cn×n的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，则A的特征多项式为fA(λ)=|λE-A|=(λ-λ1)k1(λ-λ2)k2…(λ-λs)ks,由性质3可知A的最小多项式必有如下形式：mA(λ)=(λ-λ1)m1(λ-λ2)m2…(λ-λs)ms，上式中mi≤ki(i=1,2,…,s)．若A的特征值均为单根时，mA(λ)=fA(λ)；若A的特征多项式为fA(λ)=(λ-λ1)n 时，mA(λ)=(λ-λ1)m(m≤n)，m为使(λ1I-A)m=0的最小次数．2.2 待定系数法A∈Cn×n，设A的最小多项式为mA(λ)=λm+am-1λm-1+am-2λm-2+…+a1λ+a0(1≤m≤n)，可如下操作：第一步：m=1，试解A=-a0I，看是否有解：若有解a0，则最小多项式为mA(λ)=λ+a0；若无解；则进入下一步；第二步：m=2，试解A2=-a1A-a0I，看是否有解：若有解a0,a1，则最小多项式为mA(λ)=λ2+a1λ+a0；若无解，则进入下一步；第三步：m=3，试解A3=-a2A2-a1A-a0I，看是否有解，若有解a0,a1,a2，则最小多项式为mA(λ)=λ3+a2λ2+a1λ+a0；若无解，则进入下一步；如此循环，直到求出ai(0≤ai≤n)使矩阵方程Am=-am-1Am-1-am-2Am-2-…-a1A-a0I成立为止，以λ代A，以1代I便可得到所求的最小多项式．2.3 初等变换法设A∈Cn×n，λI-A为矩阵A的特征矩阵，这是一个λ-矩阵，对该矩阵施行初等行(列)变换将λI-A化为标准形，通过标准形可求得A的不变因子d1(λ),d2(λ),…,dn(λ)，则mA(λ)=dn(λ)，即λI-A的标准形的最后一个不变因子就是A的最小多项式．也可以先求出λI-A的n-1阶和n阶行列式因子分别为Dn-1(λ)，Dn(λ)，由前面可知A的最小多项式为2.4 利用Jordan标准形求最小多项式文献[8]关于A∈Cn×n的Jordan标准形的求解已做了详细的介绍，设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，如果λi是A的单特征值，则对应一阶Jordan块Ji=(λi)，如果λi是A的ri(ri>1)重特征值，则以λi为对角元素的Jordan块的阶数之和为ri，设以λi为对角元素的Jordan块的最大阶数为di,可得A的最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds．由性质6可知每个Jordan块对应一个一次因式的方幂(初等因子)，即A化为标准形后每个Jordan块与A的初等因子是一一对应的．再由性质4、性质7可知A的最小多项式为所有这些初等因子的最小公倍式．这样，通过A的所有初等因子也可以确定A的最小多项式．这四种求矩阵最小多项式的方法中特征多项式法和待定系数法都有试探的成分，实际操作起来比较麻烦.前者适合低阶的比较简单的矩阵，而后者可适用于任意阶矩阵，计算方法机械，可用计算机编程来处理．如果知道矩阵的Jordan标准形，则可以快速的写出矩阵的最小多项式，但如果不知道矩阵的Jordan标准形而要计算矩阵的Jordan标准形有时也是比较麻烦的．初等变换法和行列式因子法相似，他们都是利用λ-矩阵的相关理论解决问题．3 矩阵最小多项式的应用3.1 计算Ak文献[8]中对于这种问题通过相似变换讨论过，即在n维线性空间V中，任意一个矩阵A∈Cn×n与一个n阶Jordan矩阵相似，存在可逆矩阵P，使得P-1AP=J，则及的形式，可以把一般的矩阵的问题化为Jordan形来讨论，使得问题简化．本文用最小多项式来解决此类问题，令f(λ)=λk，设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，A的最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds，mA(λ)的次数∂(mA(λ))=m.若k≤m，则直接计算Ak，若k>m，由带余除法可得f(λ)=q(λ)mA(λ)+r(λ)，其中,∂r(λ)=r<m．因为mA(A)=0，所以f(A)=r(A)，只需要确定r(λ)便可计算f(λ)，不妨设r(λ)=lm-1λm-1+lm-2λm-2+…+l1λ+l0，通过最小多项式的根待定系数后可确定r(λ)的系数，从而计算f(λ)．可以将这类问题的计算进一步推广为：已知方阵A与任意多项式f(λ)求f(A)，解决方法与前面的讨论完全一致．3.2 求方阵A的全体多项式所生成的线性空间的维数与基对于一个给定的方阵A的矩阵多项式,考察的核心对象是该矩阵的幂的形式.如果矩阵A没有明显的特征，则它的各次幂一般也没有明显的特征，这时就不好确定A 的矩阵多项式的次数，从而无法确定A的矩阵多项式所生成的空间的维数与基．将这类问题的结论以命题的形式给出，对于这一类型的问题只需知道A的最小多项式便可套用命题的结论解决．定理[1][9] A∈Cn×n，A的最小多项式的次数为k,W={f(A)|A∈Cn×n},则有：(1)dimW=k；(2)E,A,A2,…,Ak-1为W的一组基．3.3 求解常系数线性微分方程组关于常系数线性微分方程组的求解和解的理论可参看文献[10],读者会发现比较繁杂，要求掌握矩阵函数和矩阵的微分和积分的知识才能看懂和进行相关的计算．本文给出一种较简单直观的方法来求解线性齐次微分方程组．对于常系数线性微分方程组(其中x(t)=(x1(t),x2(t),…,xn(t))T，i=1,2,…,n，A为n 阶数字方阵)的求解本质是求解它的基解矩阵，基解矩阵其本质就是一个矩阵函数．根据矩阵函数的定义，一般矩阵函数f(A)是用在A的特征值上和f(λ)一致的多项式g(λ)所对应的矩阵多项式g(A)来表示的．但是，这样的g(λ)并不是唯一的，因此用来定义矩阵函数f(A)的g(A)也不是唯一的，但借助于A的最小多项式后这样的g(A)是唯一的，从而f(A)也是唯一的．设A的所有不同的特征值为λ1,λ2,…,λs，最小多项式为mA(λ)，次数为∂(mA(λ))=m，由带余除法可得g(λ)=p(λ)mA(λ)+r(λ)，由矩阵函数的定义，利用拉格朗日插值公式可求解f(A)．(i)当A的最小多项式没有重根时(1)其中(ii)当A的最小多项式有重根时设此时最小多项式为mA(λ)=(λ-λ1)d1(λ-λ2)d2…(λ-λs)ds，其中d1+d2+…+ds=m≤n，则其中mi(A)=(A-λ1I)d1(A-λ2I)d2…(A-λi-1I)di-1(A-λ1I)di+1…(A-λ1I)ds,；j=1,2,…,ds．4 应用举例例1 求下列矩阵的最小多项式．解计算得|λI-A|=(λ-1)4，r(λI-A)=2,可知对应特征值1的特征向量有2个，所以矩阵A的Jordan标准形由2个Jordan块构成，但无法判断Jordan块是一个1阶和3阶，还是2个2阶的，采用文献[8]中的波尔曼法计算可得A的Jordan标准形为由本文确定最小多项式的Jordan标准形方法可得矩阵A的最小多项式为mA(λ)=(λ-1)3．例2 解下列线性微分方程组其中解矩阵A的最小多项式为mA(λ)=(λ-4)(λ-2)．由微分方程理论可知所求方程组解的形式为X=eAtc，其中c=(c1,c2,c3)，ci(i=1,2,3)不全为零．下面只需计算矩阵函数f(A)=eAt和向量c，为此，令f(λ)=eλt，λ1=4,λ2=2.最小多项式无重根，由公式(1)可得其中于是得故一般解为X=eAtc．当t=0时，由初值条件可得c1=0，c2=1，c3=1．故满足初始条件的解为参考文献:【相关文献】[1] 北京大学数学系代数与几何教研室前代数小组．高等代数[M]．北京：高等教育出版社，2013．[2] 库洛什．高等代数教程[M]．北京：高等教育出版社，1983．[3] 蓝以中．线性代数引论[M]．北京：北京大学出版社，1998．[4] YU Bo,ZHANG Jintao,XU Yanyan．The RCH Method for Computing Minimal Polynomials of Polynomial Matrices[J]．J.Syst.Sci .Complex，2015,25:190-209.[5] 夏必腊.方阵最小多项式的性质与求法[J].高等数学研究,2003,6(3):34-39．[6] 张跃辉．矩阵理论与应用[M]．北京：科学出版社，2011．[7] 魏洪增．矩阵理论与方法[M]．北京：电子工业出版社，2005．[8] 冯福存．矩阵的Jordan标准形及其应用[J]．绵阳师范学院学报，2016,35(5):11-15．[9] 林志兴，杨忠鹏．线性组合与积相等矩阵对及其多项式表示[J]．浙江大学学报(理学版)，2015,42(3):261-267．[10] 王高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程[M]．北京：高等教育出版社，2006．。
矩阵的多项式形式
矩阵的多项式形式
矩阵的多项式形式指的是将矩阵表示为多项式的形式，即将一个矩阵用一个多项式来表示。
这种形式在矩阵计算中十分常见，例如在求解线性方程组、矩阵求逆、特征值和特征向量等问题中都有所应用。
矩阵的多项式形式可以用两种方法表示：一种是将矩阵表示为其特征多项式的形式，另一种是将矩阵表示为其最小多项式的形式。
特征多项式是一个关于λ的多项式，它的根是矩阵的特征值。
用特征多项式表示矩阵的好处在于可以简化计算，例如可以用伯努利-霍尔公式(Bernoulli-Horn formula)快速计算矩阵的幂。
最小多项式是一个次数最低的关于λ的多项式，它的根是矩阵的特征值和Jordan块大小的倒数。
用最小多项式表示矩阵的好处在于可以唯一地确定矩阵的Jordan标准形。
总之，矩阵的多项式形式是矩阵计算中的重要概念，可以方便地进行矩阵计算和矩阵分解。
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