高等数学考试题库(附答案)

《高数》试卷1（上）

一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.

1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.

（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x =

（C ）()f x x = 和 ()()

2

g x x =

（D ）()||

x f x x

=

和 ()g x =1 2．函数()()sin 42

0ln 10x x f x x a x ⎧+-≠⎪

=+⎨⎪

=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.

（A ）0 （B ）1

4

（C ）1 （D ）2

3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）.

（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.

（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微

5．点0x =是函数4

y x =的（ ）.

（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点

6．曲线1

||

y x =

的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．

211

f dx x x

⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰

的结果是（ ）. （A ）1f C x ⎛⎫

-+ ⎪⎝⎭

（B ）1f C x ⎛⎫

--+ ⎪⎝⎭

（C ）1f C x ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

（D ）1f C x ⎛⎫

-+ ⎪⎝⎭

8．

x x dx

e e -+⎰的结果是（ ）.

（A ）arctan x

e C + （B ）arctan x

e

C -+ （C ）x x e e C --+ （

D ）ln()x x e e C -++

9．下列定积分为零的是（ ）.

（A ）4

24arctan 1x dx x π

π-+⎰ （B ）44

arcsin x x dx ππ-⎰ （C ）112x x

e e dx --+⎰ （D ）()121sin x x x dx -+⎰ 10．设()

f x 为连续函数，则()1

2f x dx '⎰等于（ ）.

（A ）()()20f f - （B ）

()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1

202

f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -

二．填空题（每题4分，共20分）

1．设函数()21

00x e x f x x a x -⎧-≠⎪

=⎨⎪=⎩

在0x =处连续，则a =

.

2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5

6

π，则()2f '=.

3．21

x

y x =-的垂直渐近线有条. 4．

()21ln dx

x x =

+⎰.

5．

()4

22

sin cos x

x x dx π

π

-

+=

⎰.

三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限

①21lim x

x x x →∞+⎛⎫

⎪⎝⎭ ②()

20sin 1

lim x

x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分 ①

()()

13dx

x x ++⎰ ②()220dx a x a >-⎰ ③x xe dx -⎰

四．应用题（每题10分，共20分） 1． 作出函数32

3y x x =-的图像.

2．求曲线2

2y x =和直线4y x =-所围图形的面积.

《高数》试卷1参考答案

一．选择题

1．B 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．D 8．A 9．A 10．C 二．填空题 1．2- 2．3

3

- ３． ２ ４．arctanln x c + ５．２ 三．计算题 １①2

e ②

1

6

2.11x

y x y '=+- 3. ①

11

ln ||23

x C x +++ ②22ln ||x a x C -++ ③()1x e x C --++

四．应用题

１．略 ２．18S =

《高数》试卷2（上）

一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).

(A) ()f x x =和()2

g x x = (B) ()21

1

x f x x -=-和1y x =+

(C) ()f x x =和()2

2

(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2

ln f x x =和()2ln g x x =

2.设函数()()

2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪

-⎪⎪

==⎨

⎪->⎪⎪⎩

，则()1

lim x f x →=（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在

3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()

00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)

2

π

(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln

2⎛⎫

⎪⎝⎭

(B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)

1,ln 22⎛⎫

⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫

- ⎪⎝⎭

5.函数2x

y x e

-=及图象在()1,2内是( ).

(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的

6.以下结论正确的是( ).

(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.

7.设函数()y f x =的一个原函数为12x

x e ,则()f x =( ).

(A) ()121x

x e - (B) 12x

x e - (C) ()121x x e + (D) 12x

xe 8.若

()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).

(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则

1

2x f dx ⎛⎫

' ⎪⎝⎭

⎰

=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫

- ⎪⎢⎥⎝⎭

⎣⎦

10.定积分

b

a

dx ⎰

()a b <在几何上的表示( ).

(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯ 二.填空题(每题4分,共20分)

1.设 ()()2ln 101cos 0

x x f x x

a x ⎧-⎪

≠=⎨-⎪=⎩

, 在0x =连续,则a =________.

2.设2

sin y x =, 则dy =_________________sin d x . 3.函数211

x

y x =

+-的水平和垂直渐近线共有_______条. 4.不定积分ln x xdx =⎰

______________________.

5. 定积分21

2

1sin 1

1x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)

1.求下列极限:

①()10

lim 12x

x x →+ ②arctan 2

lim 1x x x

π

→+∞

-

2.求由方程1y

y xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:

①3

tan sec x xdx ⎰

②

()22

0dx a x a

>+⎰

③2x x e dx ⎰ 四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数3

13

y x x =-的图象.(要求列出表格)

2.计算由两条抛物线：2

2

,y x y x ==所围成的图形的面积.

《高数》试卷2参考答案

一.选择题：CDCDB CADDD

二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.

2211ln 24

x x x c -+ 5.2π

三.计算题：1. ①2

e ②1 2.2

y

x e y y '=

- 3.①3sec 3

x

c + ②(

)

22ln x a x c +++ ③()222x x x e c -++

四.应用题：1.略 2.13

S =

《高数》试卷3（上）

一、 填空题(每小题3分, 共24分)

1. 函数2

19y x

=

-的定义域为________________________.

2.设函数()sin 4,0,

0x

x f x x a x ⎧≠⎪

=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.

3. 函数221

()32

x f x x x -=-+的无穷型间断点为________________.

4. 设()f x 可导, ()x

y f e =, 则____________.y '=

5. 22

1

lim _________________.25x x x x →∞+=+- 6. 321

4

21sin 1

x x

dx x x -+-⎰=______________. 7. 20_______________________.x t d e dt dx -=⎰ 8. 30y y y '''+-=是_______阶微分方程.

二、求下列极限(每小题5分, 共15分)

1. 01lim sin x x e x →-;

2. 233

lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2x

x x -→∞

⎛⎫+ ⎪⎝⎭

三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)

1. 2

x

y x =

+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dy

dx .

四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)

1. 12sin x dx x ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

⎰. 2.

ln(1)x x dx +⎰.

3.

1

20

x e dx ⎰

五、(8分)求曲线1cos x t y t

=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.

六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.

七、(8分)求微分方程6130y y y '''++=的通解. 八、(7分)求微分方程x y

y e x

'+

=满足初始条件()10y =的特解. 《高数》试卷3参考答案

一．1．3x

< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e

5.12

6.0

7.22x xe -

8.二阶

二.1.原式=0

lim 1x x

x

→= 2.3

11lim

36

x x →=+ 3.原式=1

12221lim[(1)]2x x e x

--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2

y y x ==+

2.cos sin x dy xe dx =-

3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+

'x y x y e y xy y

y x e x xy

++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+

2.原式=2

2

21lim(1)()lim(1)[lim(1)]22

x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰

=2

2111

lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x +-=+--+++⎰⎰

=22

1lim(1)[lim(1)]222

x x x x x C +--+++

3.原式=1

221200111(2)(1)222

x x e d x e e ==-⎰

五.sin 1,122

dy dy t t t y dx dx ππ

=====且

切线：1,1022

y x y x ππ

-=---+=即 法线：1(),102

2

y x y x ππ

-=--+--=即

六.1

2210013(1)()2

2

S x dx x x =+=+=⎰

11

22420

5210

(1)(21)228()5315

V x dx x x dx

x x x ππππ=+=++=++=⎰⎰

七.特征方程:2312613032(cos 2sin 2)

x

r r r i

y e C x C x -++=⇒=-±=+

八.1

1

()dx

dx

x

x x y e

e e

dx C -

⎰⎰=+⎰

1[(1)]x x e C x

=-+ 由10,0y x C ==⇒=

1x

x y e x

-∴=

《高数》试卷4（上）

一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++

-=x x y 的定义域是（ ）.

A []1,2-

B [)1,2-

C (]1,2-

D ()1,2- 2、极限x

x e ∞

→lim 的值是（ ）.

A 、 ∞+

B 、 0

C 、∞-

D 、 不存在 3、=--→2

11)

1sin(lim

x x x （ ）.

A 、1

B 、 0

C 、 2

1-

D 、21

4、曲线 23

-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ ） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（ ）.

A 、)(2

x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、2

2

)()(dx x d =

6、设

⎰+=C x

dx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ ）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2

sin 2x

-

7、⎰=+dx x

x ln 2（ ）.

A 、C x x

++-22ln 212 B 、 C x ++2

)ln 2(21

C 、 C x ++ln 2ln

D 、 C x

x

++-2

ln 1 8、曲线2

x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）.

A 、⎰

1

4

dx x π B 、

⎰1

ydy π

C 、⎰

-1

)1(dy y π D 、⎰

-1

04

)1(dx x π

9、⎰=+1

01dx e e x

x

（ ）. A 、21ln

e + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、2

21ln e + 10、微分方程 x

e y y y 22=+'+'' 的一个特解为（ ）.

A 、x e y 273=

* B 、x e y 73=* C 、x xe y 272=* D 、x e y 27

2

=*

二、填空题（每小题4分）

1、设函数x

xe y =，则 =''y ； 2、如果3

2

2sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .

3、

=⎰

-1

1

3cos xdx x ；

4、微分方程 044=+'+''y y y 的通解是 .

5、函数x x x f 2)(+= 在区间 []4,0 上的最大值是 ，最小值是 ；

三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim 0

； 2、求x x y sin ln cot 2

12

+= 的导数；

3、求函数 1133+-=x x y 的微分；

4、求不定积分⎰++1

1x dx

；

5、求定积分

⎰

e

e

dx x 1ln ； 6、解方程

21x

y x

dx dy -=

；

四、应用题（每小题10分）

1、 求抛物线2

x y = 与 2

2x y -=所围成的平面图形的面积.

2、 利用导数作出函数3

2

3x x y -= 的图象.

参考答案

一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；

二、1、x

e x )2(+； 2、9

4 ； 3、0 ； 4、x

e x C C y 221)(-+= ； 5、8，0

三、1、 1； 2、x 3

cot - ； 3、dx x x 2

32

)

1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e - ； 6、C x y =-+2212 ； 四、1、

3

8

； 2、图略

《高数》试卷5（上）

一、选择题（每小题3分） 1、函数)

1lg(1

2++

+=

x x y 的定义域是（ ）.

A 、()()+∞--,01,2

B 、 ()),0(0,1+∞-

C 、),0()0,1(+∞-

D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（ ）.

A 、 x x c o s l i m 0

→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、x

x 2lim +∞

→

3、=+∞

→x

x x

x )1(

lim （ ）. A 、e B 、2

e C 、1 D 、

e

1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ ）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （ ）.

A 、dx x x )3sin 33cos (+-

B 、dx x x x )3cos 33(sin +

C 、dx x x )3sin 3(cos +

D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（ ）. A 、⎰

++=

-C x dx x 1

1

1αα

α B 、⎰+=C x a dx a x x ln

C 、⎰+=C x xdx sin cos

D 、⎰

++=

C x xdx 2

11

tan

7、计算⎰

xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ ）.

A 、C e

x

+sin B 、C x e x +cos sin

C 、C x e

x

+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin

8、曲线2

x y = ，1=x ，0=y 所围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体体积=V （ ）.

A 、⎰

1

4

dx x π B 、

⎰1

ydy π

C 、⎰

-1

)1(dy y π D 、⎰

-1

04

)1(dx x π

9、设 a ﹥0，则

=-⎰

dx x a a

22（ ）.

A 、2

a B 、

22a π

C 、24

1a 0 D 、241

a π 10、方程（ ）是一阶线性微分方程. A 、0ln

2

=+'x

y

y x B 、0=+'y e y x C 、0sin )1(2

=-'+y y y x D 、0)6(2

=-+'dy x y dx y x

二、填空题（每小题4分）

1、设⎩

⎨⎧+≤+=0,0

,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；

2、设 x

xe y = ，则 =''y ；

3、函数)1ln()(2

x x f +=在区间[]2,1-的最大值是 ，最小值是 ；

4、

=⎰-1

1

3

cos xdx x

；

5、微分方程 023=+'-''y y y 的通解是 .

三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2

311(

lim 21

-+--→x x x x ；

2、求 x x y arccos 12-= 的导数；

3、求函数2

1x

x y -=的微分；

4、求不定积分⎰+dx x

x

ln 21 ；

5、求定积分 ⎰

e

e

dx x 1ln ；

6、求方程y xy y x =+'2

满足初始条件4)2

1(=y 的特解.

四、应用题（每小题10分）

1、求由曲线 2

2x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.

2、利用导数作出函数 4962

3

-+-=x x x y 的图象.

参考答案（B 卷）

一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.

二、1、 2 ，b ； 2、x

e x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、x

x

e C e C 221+.

三、1、

31 ； 2、1arccos 12---x x

x ； 3、dx x x 221)1(1-- ；

4、C x ++ln 22 ；

5、)1

2(2e

- ； 6、x e x y 1

22-= ；

四、1、 2

9

； 2、图略