高数习题集(附答案)
1 第一章 函数与极限
§1 函数
必作习题
P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17
必交习题
一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从
出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。
(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；
(2) 作出函数)(t v v =的图形。
二、 证明函数1
2+=
x x y 在),(+∞-∞内是有界的。
三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin
)(2= ；
(2)1
212)(+-=x x x f ；
(3))1ln()(2++=x x x f 。
四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。
3 §2 初等函数
必作习题
P31－33 1，8，9，10，16，17
必交习题
一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：
(1))(x e f ；
(2))(ln x f ；
(3))(arcsin x f ；
(4))(cos x f 。
二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e
f -；
(2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；
(3)设x
x f -=
11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x
三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。
四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,
20,
2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。
5
§3 数列的极限
必作习题
P42 3 (3) (4)，4，5，6
必交习题
一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n x n =
；
(2)n n n n x n ++++++=
22212111 ；
(3)n
x n x n n n
)1(1211122-=+++=-， 。
二、已知n
x n
n )1(1-+=，用定义证明：0lim =∞→n n x
§4 函数的极限
必作习题
P50 1 (2) (4)，2(2)，3，4，7，9
必交习题 一、用极限的定义证明：41
22 lim 21=--→x x x 。
二、用极限的定义证明：656 lim =+∞→x
x x 。
7
三、研究下列函数在0=x 处的左、右极限，并指出是否有极限： (1)x x x f ||)(=
；
(2)⎪⎩
⎪⎨⎧<+=>-=0,10,
00,1)(2x x x x x x f
四、用极限的定义证明：2)106( lim 22
=+-→x x x
§5 无穷大与无穷小 §6 极限运算法则
必作习题
P54-55 3，4，5； P63 1，2，3
必交习题
一、举例说明(当0→x 时)：(1)两个无穷小的商不一定是无穷小；(2)无界量不一定为无穷
大量。
二、求下列数列的极限： (1))121( lim 222n
n n n n -+++∞→ =
(2)n
n n n n 6565 lim 1
1++++∞→=
(3))3
)1(27191311( lim 11
--∞→-++-+-n n n =
9
三、求下列函数的极限： (1)1
1 lim 1--→x x x =
(2)h
x h x h 3
30)( lim -+→=
(3)))(( lim x a x x x -++∞
→=
(4))1311( lim 31x
x x ---→=
四、设21
2)1( lim 2334-=-++++∞→x x bx x a x ，求b a ,。
§7 极限存在准则 ，两个重要极限 §8 无穷小的比较
必作习题
P 71 1，2，4； P 74 1，2，3，4
必交习题
一、 求下列极限： (1) x
x x 3sin lim ∞→=
(2)a
x a x a x --→22sin sin lim =
(3)114sin lim 0-+→x x x =
(4)114 lim +∞→⎪⎭
⎫ ⎝⎛++x x x x =
(5)x
x x x 1011 lim ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+→=
二、用极限存在准则求证下列极限：
(1)设1(0=>i a i ～),m },,m ax {1m a a M =；证明： M a a a n n
m n n n =+++∞→ 21lim
11
(2)设31>x ，),2,1(3)1(31 =++=+n x x x n
n n 。证明此数列收敛，并求出它的极限。
三、确定k 的值，使下列函数与k x ，当0→x 时是同阶无穷小： (1)
x x +-+111；
(2)53243x x -；
(3)x x sin 1tg 1--+。
四、已知11 lim 21=-++→x b a x x ，求b a 和. 。
三、用极限定义证明：
(1) 若)(∞→→n a x n ，则对任一自然数k ，也有)(∞→→+n a x k n ；
(2) 若)(∞→→n a x n ，则)(||||∞→→n a x n ，并举例说明反之未必成立；
(3) 若)(0||∞→→n x n ，则)(0∞→→n x n 。
四、 设数列}{n x 有界，又0 lim n =∞→n y ，证明0 lim n =∞
→n n y x 。
13
§9 函数的连续性与间断点
必作习题
P80 1，2，3
必交习题
一、当0=x 时下列函数)(x f 无定义，试定义)0(f 的值，使)(x f 在0=x 连续： (1)1111)(3-+-+=
x x x f ；
(2)x
x x f 1sin sin )(⋅=。
二、指出下列函数的间断点并判定其类型： (1)311)(x x x f ++=
；
(2))
1(||)(22--=x x x x x f ；
(3)⎪⎩
⎪⎨⎧≤<-+>=-0
1)1ln(0)(1
1x x x e x f x 。
三、确定b a 和，使函数)
1)(()(---=x a x b e x f x 有无穷间断点0=x ；有可去间断点1=x 。
四、设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，且对任何21,x x 有
)()()(2121x f x f x x f +=+，
证明：若0)(=x x f 在连续，则),()(+∞-∞在x f 上连续。
15
§10 连续函数的运算与初等函数的连续性
§11 闭区间上连续函数的性质
必作习题
P85-86 1，2，3；
P91 1，2，3
必交习题 一、 欲使
⎪⎩
⎪⎨⎧->++-=-<+=1)ln(111)(22x x x b x x x a x f ，，，
在1-=x 处连续，求b a ,。
二、求下列极限：
(1)x
a a x x ln )ln( lim 0-+→=
(2)x
x x e x 1)( lim 0+→=
(3)x (x-x cos 21)sin
lim 33-→ππ=
17 (4)x x x 2sin 1
)(cos lim →=
三、证明方程=-x x 351至少有一根介于1和2之间。
四、设函数)(x f 在区间]2,0[a 上连续，)2()0(a f f =，证明在区间],0[a 上至少存在一
点0x 使得)()(00a x f x f +=。
高数模拟习题集含参考答案
高等数学模拟题 A ．上册： 上册期中（一） 一、试解下列各题： 1．求 。 2．求。 3．设处连续，在处不连续，试研究在处的连续性。 4．求 在上的最大值与最小值。 二、试解下列各题： 1．判断的奇偶性。 2．[5 分]设 ，其中，求。 3．[5分]设 ，求。 4．[5分]验证罗尔定理对 在上的正确性。 三、试解下列各题： 1．[6分]设函数由方程 所确定，且，其中 是可导函数，，求的值。 2．求极限。 3．求的极值。 四、设圆任意一点M （点M 在第一象限）处的切 线与轴，轴分别交于A 点和B 点，试将该切线与两坐标轴所围成的三角形AOB 的面积S 表示为的函数。 1cos cos 21cos 2cos 8lim 223 -+--→ x x x x x π242320 )1()1(lim x x x x --+→0)(x x x f =在)(x g 0x )()()(x g x f x F +=0x x x x f +=2 )(]1,1[-) 11(11ln 11)(<<-+-+-=x x x e e x f x x )] 1ln 1ln(1ln[x x x y ++=10< 《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du . 5. 曲线3 2 6y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=⎰ 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞⎰ dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+⎰⎰dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→ . 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y 在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ⎰ -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ⎰ -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ⎰⎰ sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x . 2. 设)(x f 在闭区间[],b a 上连续，且,0)(>x f dt t f dt t f x F x x b ⎰⎰ +=0 ) (1)()( 证明：方程0)(=x F 在区间),(b a 内有且仅有一个实根. 范文范例 学习指导 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。 三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。 范文范例 学习指导 §2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x 三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，???>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。 第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从 出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式； (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。 三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ； (2)1 212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。 §2 初等函数 必作习题 P31－33 1，8，9，10，16，17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域： (1))(x e f ； (2))(ln x f ； (3))(arcsin x f ； (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ； (3)设x x f -= 11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x 三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设⎩⎨⎧>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。 《高等数学》练习测试题库及答案 一．选择题 1. 函数 y= 1 x 2 +1 是（） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2. 设 f(sin x )=cosx+1,则 f(x)为（） 2 A2x 2 －2B2－2x 2 C1＋x 2 D1－x 2 3. 下 列 数 列 为 单 调 递 增 数 列 的 有 （） A ．0.9，0.99，0.999，0.9999 B ． 3 ， 2 ， 5 ， 4 ? n 2 3 2 4 5 C ．{f(n)},其中 f(n)= ? 1 + n , n 为奇数 D.{ n +1 } ? n 2n ? ，n 为偶数 ?1 - n 4. 数列有界是数列收敛的（） A ．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5. 下列命题正确的是（） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两 发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6. lim sin(x 2 - 1) = （） x →1 x - 1 A.1 B.0 C.2 D.1/2 7. 设lim(1+ k ) x = e 6 则 k=() x →∞ x A.1 B.2 C.6 D.1/6 8. 当 x → 1 时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） A.x 2 -1 B.x 3 -1 C.(x-1) 2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连 续的（）A.必要条件B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1 时，y=（） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx 要使f（x）在点：x=0 连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、eC、-eD、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0 的函数为（） A、xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x 必不连续 B、f(x)×g(x)在点x 必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x 必不连续 D、在点x0必不连续 14、设f(x)=在区间(-∞,+∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 满足（） A、a＞0,b＞0 B、a＞0,b＜0 C、a＜0,b＞0 D、a＜0,b＜0 第一章习题 习题1.1 1.判断下列函数是否相同: ①定义域不同; ②定义域对应法则相同同; 2.解 25.125.01)5.0(,2)5.0(=+=-=f f 5.解 ① 10,1,12 22≤≤-±=-=y y x y x ② +∞<<-∞+= +=-=-=y b e b c x e c bx c bx e c bx e a y a y a y a y ,,,),ln(ln 6.解 ① x v v u u y sin ,3,ln 2=+== ② 52,arctan 3 +==x u u y 习题1.2 4.解:① 无穷大 ② 无穷小 ③ 负无穷大 ④ 负无穷大 ⑤ 无穷小 ⑥ 无穷小 5.求极限： ⑴ 21lim 2lim 3)123(lim 1 3 1 3 1 =+-=+-→→→x x x x x x x ⑵ 5 1 )12(lim ) 3(lim 123lim 2 222 2=+-=+-→→→x x x x x x x ⑶ 0tan lim =∞→x x a x ⑷ -∞=∞-- =------=----=+--→→→→3 2 ) 1)(4(1lim )1)(4()1(2lim )1)(4(122lim 4532lim 11121x x x x x x x x x x x x x x x ⑸ 41 23lim )2)(2()2)(3(lim 465lim 22222- =+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⑹ ) 11)(11() 11(lim 11lim 22220 2 20 x x x x x x x x +++-++=+-→→ 2)11(lim )11(lim 202220-=++-=-++=→→x x x x x x ⑺ 3 11311lim 131lim 22 =+ +=+++∞→+∞→x x x x x x ⑻2132543232lim 25342332lim =⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⋅+⎪ ⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⋅+⋅⋅+⋅+∞→+∞→x x x x x x x x ⑼ 133)1)(1()2)(1(lim 12lim 1311 lim 2132131-=-=+-+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝ ⎛+-+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x ⑽011 lim )1()1)(1(lim )1(lim =++=++++-+=-+∞→∞→∞ →n n n n n n n n n n n n n 《高等数学Ⅰ》练习题 一、单项选择题 (1) f(x)在x 0连续是0 )(lim x x x f → 存在的（ ）。 A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D. 无关条件 (2) x→∞时，f(x)=)1(sin x 3cosx 是21x 的（ ）。 A.等价无穷小 B.高阶无穷小 C.同阶但不等价无穷小 D. 低阶无穷小 (3) f(x 0+0)与f(x 0-0)存在且相等，是)(lim 0 x f x x →存在的（ ）。 A.必要条件 B.充分条件 C. 无关条件D. 充要条件 (4) f +(0)=f -(0)=a ，则x x f x f x x 2)()2(lim 0-→ =（ ）。 A. 2a B. 0 C. a D. a /2 (5) f(x)在x 0连续是f’(x 0)存在的（ ）。 A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D. 无关条件 (6) 若f(x)在x 0取得极小值，则f(x)在x 0必然满足（ ）。 A. 在x 0连续 B. f’(x 0)=0 C. f’(x 0)=0且f 〃(x 0)>0 D. f’(x 0)=0或f’(x 0)不存在 (7) 在给定区间上满足拉格朗日中值定理条件的函数是（ ）。 A. f(x)=|x|，x ∈[-1,1] B. f(x)=32)1(-x ，x ∈[0,9] C. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=>0,20,sin x x x x ，x ∈[0,2π] D. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=>+0 ,10,)1ln(x x x x ，x ∈[0,1] (8) 若f(x)可微，下列各式中，不成立的是（ ）。 A. f(x)=f(0)+f’(0)x+o(x) B. ln (1+x 2)≈x , |x|<<1 C. e x ≈x, |x|<<1 D. f(2a+△x)-f(2a)≈f’(2a)△x, |△x|<<1 《高等数学》练习题及答案解析 第一课时 一、单选题 1、函数4()31f x x =+，则f(1)的值为：（D ） A 、0 B 、1 C 、3 D 、4 解析：采用代入法，将x=1代入原函数，可得f(1)的值为：/*4*/ 2、函数y =的定义域为：（D ） A 、(-∞，-2] B 、[2，+∞) C 、[-∞,+∞] D 、(-∞，-2]U[2，+∞) 解析：根据幂函数性质，要使得该函数有意义， 该函数的定义域为：/*(-∞，-2]U[2，+∞)*/。 3、下列函数不是周期函数的是：（c ） A 、y=cos(x -2) B 、y=1+sin πx C 、y=xsinx D 、y=2tan3x 解析：根据周期函数的定义，可计算得知，/*y=xsinx*/不是周期函数 4、指出函数y=lgx 在(0，+∞)的区间内的单调性：（A ） A 、单调递增 B 、单调递减 C 、没有单调性 D 、无法确定 解析：根据函数单调性的性质，y=lgx 是以10为底的对数函数，在其定义域内是递增的。因此是/*单调递增*/。 5、设函数f(x)=lnx ，则f(x)-f(y)=（D ） A 、f(x+y) B 、f(x -y) C 、f(xy) D 、f(x/y) 解析：根据对数函数的运算法则，f(x)-f(y)=lnx -lny=ln(x/y)=f(x/y)，因此，f(x)-f(y)的值为：/*f(x/y)*/。 二、判断题 1、函数y=sinx 是以2π为周期的函数（A ） A 、正确 B 、错误 解析：函数y=sinx 是周期函数，以2π为周期。因此该表述是/*正确*/的 2、函数y=cosx 是奇函数（B ） A 、正确 B 、错误 解析：函数y=cosx 关于Y 轴对称，因此，函数y=cosx 是偶函数，所以原题的表达是/*错误*/的。 3、函数1()f x x =在开区间（0,1）内无界。（A ） A 、正确 B 、错误 解析：根据函数的有界性，可知该函数在指定区间内无界。因此该表述是/*正确*/的 三、多选题 1、函数的表达法有：（A 、B 、C ） A 、解析法 B 、列表法 C 、图形法 D 、反函数法 《高等数学》练习测试题库及答案 一．选择题 1.函数y= 1 1 2+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ． 23 ，32，45，5 4 C ．{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 21 2+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 ) 1sin(lim 21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ） A.x 2-1 B. x 3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （ ） A 、是连续的 B 、无界函数 C 、有最大值与最小值 D 、无最小值 11、设函数f （x ）=（1-x ）cotx 要使f （x ）在点：x=0连续，则应补充定义f （0）为（ ） A 、 B 、e C 、-e D 、-e -1 12、下列有跳 跃间断点x=0的函数为（ ） A 、 xarctan1/x B 、 arctan1/x 高等数学(一)》习题及答案高等数学（一）作业 一、求下列函数的定义域 1) y=cosx。x∈[0,2π) 2) y=ln(x+1)。x>-1 二、用区间表示变量的变化范围： 1) x≤6.(-∞,6] 2) (x-1)^2≤1.[0,2] 3) 1+x≤4.[-5,3] 三、求下列极限 1) lim[(1+x)^1/3]/x。x→∞ lim[(1+1/x)^1/3]/1.(as x→∞。1/x→0) 1 2) lim[(x+h)^2-x^2]/h。h→0 lim[(2xh+h^2)]/h。(as h→0.2xh+h^2→0) 2x 3) lim[n^2/(n^2+1)]。n→∞ lim[1/(1+1/n^2)]。(as n→∞。1/n^2→0) 1 4) lim[(2-1/x+x^2)]。x→∞ lim[(2x-x^3+1)/x^3]。(as x→∞。1/x→0) 5) lim[arctanx]。x→∞ π/2 6) lim[(1-cos2x)/sinx]。x→2x lim[2sin^2x/2sinx]。(as x→2x。cos2x→1 and sin2x→2sinx) lim[sinx]/1 XXX。(as x→2x。XXX→2sinx) 2cos2x。(using quotient rule) 7) lim[(n+1)(n+2)(2n+1)/(3n)^2]。n→∞ 4/3 8) lim[sin5x/sin2x]。x→∞ XXX oscillates as x→∞) 四、求下列函数的微分： 1) y=Asin(wt+4)。dy/dt=Awcos(wt+4) 高等数学典型题第三版课后练习题含答案前言 高等数学作为一门重要的学科，在各行各业都扮演着重要的角色。对于数学这个学科而言，典型题是很好的一个学习工具。本文提供的高等数学典型题第三版课后习题，也是这样一个很好的学习资源。 课后练习题 第一章函数与极限 1.已知函数f(x)=x−1，求 $$\\lim \\limits_{x \\to 1} \\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$$ 答：$\\lim \\limits_{x \\to 1} \\frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \\lim \\limits_{x \\to 1} \\frac{x-1}{x-1} = 1$ 2.已知函数$f(x)=\\sin(\\frac{\\pi}{2}x)$，证明f(x)在x=1处连续。 答：由于$f(1)=\\sin(\\frac{\\pi}{2})=1$，因此我们只需证明 $$\\lim \\limits_{x \\to 1}f(x) =f(1)$$ 由于$\\sin(\\frac{\\pi}{2}x)$在$x \\to 1$时趋于 $\\sin(\\frac{\\pi}{2})=1$，因此$\\lim \\limits_{x \\to 1}f(x) = 1$。因此，f(x)在x=1处连续。 ……（此处省略部分题目） 第二章导数与微分 1.求曲线y=x3−3x+2在(1,0)处的切线方程。 答：首先，我们求出该曲线在点(1,0)处的导数： f′(x)=3x2−3 代入x=1，有f′(1)=0。因此，该曲线在点(1,0)处的切线斜率为0。又因为在点(1,0)处的曲线的切线方程的系数k为0，因此得到该曲线在点(1,0)处的切线方程为 y=0 2.求函数$f(x)=\\frac{1}{1+x}$在x=0处的导数。 答： $$\\begin{aligned} f'(x)&=\\lim \\limits_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(x+\\Delta x)-f(0)}{\\Delta x }\\\\ &=\\lim \\limits_{\\Delta x \\to 0} \\frac{\\frac{1}{1+\\Delta x}-1}{\\Delta x }\\\\ &=\\lim \\limits_{\\Delta x \\to 0} \\frac{1}{(1+\\Delta x)(1+\\Delta x)}\\\\ &=1 \\end{aligned}$$ 因此，f(x)在x=0处的导数为1。 总结 通过练习上述的数学典型题，可以提高我们的数学能力。当然，考虑到大家的练习需要，本文中提供的练习题答案也是必不可少的。希望本文能够对大家在高等数学学习上有所帮助。 高等数学习题集及解答 第二章 一、 填空题 1、设()f x 在x a =可导，则0()() lim x f a x f a x x →+--= 。 2、设(3)2f '=，则0______________(3)(3) lim 2h f h f h →--= 。 3、设1 ()x f x e -=，则0 _____________(2)(2) lim h f h f h →--= 。 4、已知00cos (),()2,(0)1sin 2 x f x f x x x π '= =<<-，则0_______________________()f x = 。 5、已知2220x y y x +-=，则当经x ＝1、y ＝1时，_______________dy dx = 。 6、()x f x xe =，则_______________ (ln 2)f '''= 。 7、如果(0)y ax a =>是21y x =+的切线，则__________ a = 。 8、若()f x 为奇函数，0()1f x '=且，则0_________________ ()f x '-=。 9、()(1)(2) ()f x x x x x n =+++，则_________________ (0)f '= 。 10、ln(13)x y -=+，则____________________ y '=。 11、设0()1f x '=-，则0 ___________00lim (2)() x x f x x f x x →=---。 12、设tan x y y +=，则_________________________ dy =。 13 、设ln y =_______________(0)y '''=。 14、设函数()y f x =由方程42ln xy x y +=所确定，则曲线()y f x =在点（1，1）处的切线方程是 ______________________ 。 15、1cos 0()0 x x f x x x λ ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，其导数在0x =处连续，则λ的取值范围是 _______________________ 。 16、知曲线323y x a x b =-+与x 轴相切 ，则2b 可以通过a 表示为____________ 。 二、 选择题。 17、设()f x 可导，()()(1sin )F x f x x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的（ ）。 高等数学课后习题及参考答案 （第四章） 习题4-1 1. 求下列不定积分: (1)⎰dx x 21 ; 解 C x C x dx x dx x +-=++-==+--⎰⎰1 12111222. (2)⎰dx x x ; 解 C x x C x dx x dx x x +=++= =+⎰ ⎰2123 23 52 12 31. (3)⎰dx x 1; 解 C x C x dx x dx x +=++-= =+-- ⎰⎰ 212 11 1121 21 . (4)⎰dx x x 32; 解 C x x C x dx x dx x x += ++= =+⎰ ⎰3 313737 3 210 313 71. (5)⎰dx x x 21; 解 C x x C x dx x dx x x +⋅-=++-= =+-- ⎰⎰12312 511125 25 2 . (6)dx x m n ⎰; 解 C x m n m C x m n dx x dx x m n m m n m n m n ++=++= =++⎰ ⎰ 111. (7)⎰dx x 35; 解 C x dx x dx x +==⎰⎰4334 5 55. (8)⎰+-dx x x )23(2; 解 C x x x dx dx x dx x dx x x ++-=+-=+-⎰⎰⎰⎰22 3 3123)23(2322. (9)⎰ gh dh 2(g 是常数); 解 C g h C h g dh h g gh dh += +⋅= = ⎰⎰ - 22212122 121 . (10)⎰-dx x 2)2(; 解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰423 1 44)44()2(23222. (11)⎰+dx x 22)1(; 解 C x x x dx dx x dx x dx x x dx x +++=++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰352424223 2 512)12()1(. (12)dx x x ⎰-+)1)(1(3; 解 ⎰⎰ ⎰⎰⎰⎰- + -=-+-=-+dx dx x dx x dx x dx x x x dx x x 23 21 2323)1()1)(1( C x x x x +-+-=25 23 35 2 3231. (13)⎰ -dx x x 2 )1(; 解 C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-=+-=+-=-⎰⎰ ⎰ - 25 23 2 1 2 32 1212 2 5 2 342)2(21)1(. (14)⎰+++dx x x x 1 1 332 24; 解 C x x dx x x dx x x x ++=++ =+++⎰ ⎰arctan )1 13(1 133322224. (15)⎰+dx x x 2 2 1; 高等数学1C 习题解答 习题一 一．单项选择题 1、A 2、D 3、C 二．填空题 1、2 2)1(133-+-x x x 2、（－9，1） 三．计算题 1、（1）解 函数要有意义，必须满足 ⎩⎨⎧≥-≠0102 x x 即⎩ ⎨⎧≤≤-≠110 x x 定义域为]1,0()0,1(⋃- （2）解 函数要有意义，必须满足 ⎪⎪⎩ ⎪ ⎪⎨⎧ ≤≤-≠≥-111003x x x 解得1-≤x 或31≤≤x 3．（1）解 由1 -=x e y 得 1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y （2）解 由11+-= x x y 得 y y x -+=11 交换x 、y 得反函数为x x y -+=11 4．（1）解 只有t=0时，能；t 取其它值时，因为 112 >+t ，x arcsin 无定义 （2）解 不能，因为11≤≤-x ，此时121 -=x y 无意义 5．解（1）12arccos 2 -====x w w v v u e y u (2) 令22y y y += 则11ln 21+=+==x u u v v y x w e m m x v v u e y w u 2) sin(3 2==+=== 6．解 ⎪⎩ ⎪⎨⎧-≤+≤<-+->-=1 101) 1(0)]([2 2x x x x x x x f g 7．解 设c bx ax x f ++=2 )( 所以⎪⎩ ⎪ ⎨⎧==++=++41242c c b a c b a 解得 2 521 4 -== =b a c 习题二 一．单项选择题 1、A 2、B 3、D 二．填空题 1、>1 2、单调增加 三．计算题 1、（1）解 因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数 （2）解 因为)()1ln(11ln )1ln()(222 x f x x x x x x x f -=-+-=-+=++=- 所以函数是奇函数 （3）解 )(0)1(000) 1(0100 01)(x f x x x x x x x x x x x f -=⎪⎩ ⎪ ⎨⎧>+-=<--=⎪⎩⎪⎨⎧<---=->-+-=- 所以函数是奇函数 2．解 因为 x x y 2cos 2 1 21sin 2 -= = 而x 2cos 的周期为π，所以x y 2 sin =是周期函数，周期为π 3．解 由h r V 231π= 得23r v h π= 表面积： )0(919221226224222 222≥++=++=+⋅+=r r v r r r r v r r r r h r s πππππππ 四 证明 )() 1() 1(11)(x f e e e e e e x f x x x x x x -=+-=+-=--- 习题三 一．单项选择题 1、C 2、C 3、B 4、C 二．填空题 1、1 2、a 3、≥ 4、2，0 5、1 三．判断正误 1、对； 2、对； 3、错 四．（1） 证明 令1 2 +=n n x n ε<=<+=-n n n n n x n 1 1022 只要ε1> n ，取]1 [ε =N 当N n >时，恒有ε<-0n x 所以01 lim 2=+∞→n n n高等数学练习题(附答案)
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