5.1有价证券投资

某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如下表所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其它证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4信用等级数字越小，信用程度越高；

（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益（%）

A 市政 2 9 4.3

B 代办机构 2 15 5.4

C 政府 1 4 5.0

D 政府 1 3 4.4

E 市政 5 2 4.5

（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？

（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？

（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

问题（1）分析

问题分析这个优化问题的目标是有价证券回收的利息为最高,要做的决策是投资计划。即应购买的各种证券的数量的分配。综合考虑：特定证券购买、资金限制、平均信用等级、平均年限这些条件，按照题目所求，将决策变量、决策目标和约束条件构成的优化模型求解问题便得以解决。

模型建立

决策变量用X1、X2、X3、X4、X5、分别表示购买A、B、C、D、E证券的数值，单位：百万元

目标函数以所给条件下银行经理获利最大为目标。则，由表可得：

MAX Z=0.043X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5 （1）

约束条件为满足题给要求应有：

X2+X3+X4> = 4 (2)

X1+X2+X3+X4+X5<=10 (3)

2X1+2X2+X3+X4+5X5<1.4*(X1+X2+X3+X4+X5) (4)

9X1+15X2+4X3+3X4+2X5<5(X1+X2+X3+X4+X5) (5)

且X1、X2、3X、X4、X5均非负。

模型求解

将（1）（2）（3）（4）（5）构成的线性规划模型输入LINDO如下：

MAX 0.043X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5

St

X2+X3+X4> = 4

X1+X2+X3+X4+X5<=10

6X1+6X2-4X3-4X4+36X5<=0

4X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0

End

求解并进行灵敏度分析，得到：

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 0.2983637

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 2.181818 0.000000

X2 0.000000 0.030182

X3 7.363636 0.000000

X4 0.000000 0.000636

X5 0.454545 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 3.363636 0.000000

3) 0.000000 0.029836

4) 0.000000 0.000618

5) 0.000000 0.002364

NO. ITERATIONS= 0

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 0.043000 0.003500 0.013000

X2 0.027000 0.030182 INFINITY

X3 0.025000 0.017333 0.000560

X4 0.022000 0.000636 INFINITY

X5 0.045000 0.052000 0.014000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 4.000000 3.363636 INFINITY

3 10.000000 INFINITY 4.567901

4 0.000000 105.714287 20.000000

5 0.000000 10.000000 12.000000

即A，C，E证券分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.455百万元。最大税后收益为0.298百万元。

问题（2）分析

问题分析

由（1）中的“影子价格”可知，若投资增加100万元，收益可增加0.0298百万元。大于以2.75%的利率借到100万元的利息，所以应借贷。

模型建立

故可安（1）的模型将第2个约束右端改为11，求解即可。

模型求解

得到：证券A、C、E分别投资2.40百万元,8.10百万元,0.50百万元，最大收益为0.3007百万元问题（3）分析及求解

由(1)的结果中目标系数的允许范围可知,证券A的税前收益可增加0.35%，故证券A的税前收益增加4.5%，投资不应改变；证券C的税前收益了减0.112%（按50%纳税），故证券C的税前收益可减4.8%，故投资应改变。