实变函数第五章复习题及解答

第五章 复习题

一、判断题

1、设()f x 是定义在[,]a b 上的实函数，由于()b

a V f 总存在，所以()f x 一定是[,]a

b 上的有

界变差函数。（× ）

2、设()f x 是定义在[,]a b 上的实函数，()f x 是[,]a b 上的有界变差函数⇔()b

a V f <+∞。

（√ ）

3、设()f x 是[,]a b 上的单调函数，则()f x 一定是[,]a b 上的有界变差函数。（√ ）

4、设()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 既可表示成两个递减函数的差，也可表示成两个递增函数的差。（√ ）

5、有界变差函数一定是几乎处处连续的函数，也一定是几乎处处可微的函数。（√ ）

6、设()f x 是定义在[,]a b 上的实函数，[,][,][,]a b a c c b =⋃，a c b <<，则

()()()b

c

b

a

a

c

V f V f V f =+。

（√ ） 7、设[,][,][,]a b a c c b =⋃，a c b <<，则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数的充要条件是()f x 既是[,]a c 上的有界变差函数，也是[,]c b 上的有界变差函数。

（√ ） 8、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x 既是[,]a b 上的一致连续函数，也是()f x 是[,]a b 上的连续函数。

（√ ） 9、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x 一定是[,]a b 上的有界变差函数。（√ ） 10、若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 一定是[,]a b 上的绝对连续函数。（× ） 11、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，()g x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()()f x g x ±，()()f x g x 都是[,]a b 上的绝对连续函数。

（√ ） 12、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x '在[,]a b 上勒贝格可积。（√ ）

二、填空题

1、叙述有界变差函数的Jordan 分解定理 闭区间上的有界变差函数必可分解成两个单调递增函数的差或两个单调递减函数的差 。

2、若()f x 在[,]a b 上单调递增，则

[,]

()d a b f x x '⎰

小于或等于 ()()f b f a -。

3、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则[,]

()d a b f x x '⎰

等于 ()()f b f a -。

三、证明题

1、若()f x 是[,]a b 上的单调函数，则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，且

()()()b

a

V f f b f a =-。

证明：不妨设()f x 是[,]a b 上的单调增函数，任取[,]a b 的一个分割

011:i i n T a x x x x x b -=<<

<<<<=

则

1101

1

()()[()()]()()n

n

i i i i n i i f x f x f x f x f x f x --==-=-=-∑

∑

()()()()f b f a f b f a =-=-，

所以，11

()sup

()()()()n

b

i i a

T

i V f f x f x f b f a -==-=-∑

。

2、若()f x 在[,]a b 上满足：存在正常数K ，使得对任意12,[,]x x a b ∈，都有

1212()()f x f x K x x -≤-，

则 （1）()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，且()()b

a V f K

b a ≤-；

（2）()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数。

证明：（1）由题设，任取[,]a b 的一个分割

011:i i n T a x x x x x b -=<<

<<<<=

则

1111

1

1

()()()()n

n n

i i i i i i i i i f x f x K x x K x x K b a ---===-≤-=-=-∑

∑∑，

所以，()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，且11

()sup

()()()n

b

i i a

T

i V f f x f x K b a -==-≤-∑

。

（2）在[,]a b 内，任取有限个互不相交的开区间(,)i i x y ，1,2,

,i n =。由于

1

1

1

()()n

n n

i i i i i i i i i f x f y K x y K x y ===-≤-=-∑

∑∑，

于是，对任意0ε>，取K

ε

δ=

，则当

1

n

i i

i x y

δ=-<∑时，有

1

1

()()n

n

i i i i i i f x f y K x y ε==-≤-<∑

∑，

即()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数。

3、若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，则()f x 是[,]a b 上的有界变差函数。

证明：由()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数，取1ε=，存在0δ>，对任意有限个互不

相交的开区间(,)i i x y ，1,2,

,i n =，只要1

n i i i x y δ=-<∑时，有1

()()1n

i i i f x f y =-<∑。

现将[,]a b 等分，记分点为011i i n a a a a a a b -=<<

<<<<=，使得每一等份的

长度小于δ。易得1()1i

i a a V f -≤，即()f x 是1[,]i i a a -上的有界变差函数。又11

[,][,]n

i i i a b a a -==

，

所以，1

1

()()i

i n

a b

a

a i V f V f n -==

≤<+∞∑，即()f x 是[,]a b 上的有界变差函数。

4、若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则 （1）全变差函数()x

a V f 是[,]a

b 上的递增函数；

（2）()()x

a

V f f x -也是[,]a b 上的递增函数。

证明：（1）对任意12,[,]x x a b ∈，21x x >，注意到21

()0x x V f ≥，有

2121

1

()()()()x x x x a

a

x a

V f V f V f V f =+≥，

即()x

a

V f 是[,]a b 上的递增函数。

（2）对任意12,[,]x x a b ∈，21x x >，注意到2

1

1()()()x i i x V f f x f x -≥-，有

212

1

2121()()[()()]()[()()]x x x a

a

x V f f x V f f x V f f x f x ---=--