开关变换器的状态空间平均建模
PWM开关变换器的建模方法综述
X k ( t) e
( 7)
式中 , w s = 2 /T; X k ( t )是时变傅里叶系数, 称为动态向 量。其第 k 次系数 , 或称第 k 向量, 可由平均运算得到: X k ( t) = 1 T
t t-T
x( )e
- jkw s
d = 〈 x〉 k ( t)
( 8)
可以将动态向量法应用到开关电路中 , 假设其时 域模型可以表示成: d x ( t) = f { x ( t ), u ( t) } dt
式中, i为近似阶数 ; 为小量标记, 表示 x i 是比 x i - 1高 一阶的小量 , 当需要给定数值时令 =1 ; x 0 和 x i 分别 为 x 的主分量和第 i阶分量。 x i 可用傅里叶级数表示 为: xi =
k E ir
( aki e + aki e
jk
- jk
)
( 14 )
式中, = w t = 2 t /T; E ir是 x i 的频率集, 文献 [ 2 ] 给出 了具体求法。 类似于式 ( 13) , 由式 ( 2 ) 定义的开关函数可以用 等效小参量展开为: q = q0 + 其中, q 0 = b0 + b1 e + cc q 1 = b2i e
收稿日期 : 2005 10 17 作者简介 : 陈 果 ( 1982- ), 男 , 江西 樟树人 , 在 读硕士研 究生 , 研究方向为 PFC 的鲁棒控制与小信号建模技术 。 22
通信电源技术
2006 年 1 月 25 日第 23 卷第 1 期
陈
果 等:
P WM 开关变换器的建模方法综述
T e lecom Pow er T echno log ies Jan . 25, 2006, V o.l 23 No. 1
开关变换器的建模与控制
开关变换器的建模与控制
开关变换器是电力系统中重要的电力转换装置，具有转换、控制、保
护电力系统的功能。
1. 开关变换器的建模
（1）建模方法：对于开关变换器，主要通过物理建模法来进行建模，
模型中涉及的物理量可以包括电压、电流、功率、电阻等。
（2）建模要点：建模中要考虑有关开关变换器拓扑结构、工作状态及
其电气特性等信息，以及不同控制方式中模型参数的不同，并使建模
结果能够准确反映出开关变换器物理状态。
2. 开关变换器的控制
（1）控制原理：开关变换器控制系统是一个综合性的、采用控制反馈
技术的复杂自动控制系统，基本控制原理就是收集被控对象的运行参数，然后经过现场的计算机处理后，对被控对象的工作过程进行调节，达到设定的目标。
（2）控制方式：该系统可以采用串口、以太网等各种技术，实现远程
控制，具有上位控制、自动控制等控制方式，可以实现自动控制，也
可以实现智能控制，可根据需要进行调整。
3. 优缺点
（1）优点：开关变换器由于其匹配性好、体积小、转换效率高等优点，
在电力系统中有着广泛的应用。
它可以有效地保护电力系统，并改善电力质量。
（2）缺点：开关变换器也不是完美的，它存在着准确度下降和高温失效等缺点，有时可能会对电力系统的运行产生不良影响。
综上所述，开关变换器的建模与控制可以有效地应用于电力系统，但还需注意它在使用过程中的缺点，从而确保系统的正常运行。
PWM变换器平均模型
一三相PWM变换器分类二变换器的状态平均模型2.1 （不带3倍，星型滤波电容）—《逆变器小信号输入阻抗分析及应用》图1变换器基本拓扑忽略开关过程，即将开关器件和反并联二极管组合看成一个理想开关，则三相变换器的开关网络等效成三个单刀双掷开关的并联。
对单相开关进行分析，设S p为相电压开关，其开关函数为闭合时为1,断开时为0,对应的约束条件为：S p * S in =1对应的相电压和相电流为：将开关网络化为平均模型后：(3)<4)F U —T *通过开关平均得到每一相的平均模型，将其按电路结构和其他部分连接后即可得到整个三相变换器的平均模型。
状态空间方程：d. d/系统的三相交流输出是三相平衡电压源:「“I'ni COS£ju/t7Tn c (]w ( OJ / 一 3) (7)"(2L7m cns( wt + 2^/3)进行DQ 坐标变换，公式得到等效平均模型:最后引入直流输入扰动％，得到小信号模型:图3旋转Dq 坐标系下小信号模型2.1 （带3倍，角型滤波电容）—《逆变器的建模与双环控制策略》本文以三相电压型逆变器为出发点，用开关函数法建立有源逆变器的小信号 数学模型■w讥■ ■ti.Wa 1■ 1<i/厂 礼R('AaJ5、6化到旋转坐标系下:图2旋转Dq 坐标系下平均模型开关状态表示有源逆变器交流侧三相线电压与直流电压的关系如下:线电流i ab 、i bc 、i ca 和相电流满足:开关函数表示交流侧三相电流与直流电流的关系如下：L RL| | ■B •J.Q-q公式2345代入公式67,整理得状态方程（线电流、线电压）：=■云%K'd~dty K i€1RcX7)%4写出三相电压型逆变器交流侧状态方程为（电容电压、电容电流）由于开关函数为不连续函数，对以上状态方程求开关周期平均:图5三相静止坐标系下三相逆变器的等效受控源模型通过坐标变换将三相静止坐标系转换成与电网基波频率同步旋转的两相坐标系:图6三相逆变器同步坐标系等效受控源模型。
开关网络的平均模型
开关网络的平均模型DC/DC PWM转换器的基本组成部分，除了线性时不变元件外，还有开关网络（由开关晶体管V和整流二极管D组成）。
其中，V在〔0，dTs〕时段运行，D则在〔dTs，Ts〕时段运行。
开关管V和二极管D按开关函数k（t）运行，两者不会同时处于导通或同时处于关断状态。
由状态空间平均法已知，在DC/DC PWM高频开关转换器中开关晶体管V和整流二极管D组合而成的开关网络平均电路模型，可以用占空比d控制的受控电流源d（t）i和受控电压源d（t）u的组合表示。
i和u 为相应支路的平均变量，d为开关函数k（t）的平均值。
求开关网络的平均电路模型时，主要假设如下：（1）输出电压的纹波很小，可以忽略（设滤波电容无ESR），支路变量x（t）（如电感电流或电容电压）可以用平均变量x近似表示。
（2）平均变量的变化很慢，即它的变化频率小于开关频率fs的一半，或在一个开关周期内基本不变。
为了能够得到各种PWM转换器的基本电路都能适用的开关网络平均模型，可以研究标准的开关网络单元。
实际上，PWM转换器的开关网络单元都可以归结成一个三端网络。
已经有不少的学者研究了不同的开关网络单元的组成及其平均模型。
例如，E。
Landsman提出了规范型开关单元（CanONical Switching Cell），它是一个由开关管V、二极管D、电感L 和电容C组成的三端网络。
V。
Voperian则提出了更为简单的三端 PWM开关模型，仅仅由有源开关V和无源开关（二极管）D组成。
下面将主要介绍三端PWM开关模型法（简称 PWM开关法）。
分析条件是：不考虑各元器件的寄生参数，PWM开关转换器的运行模式为CCM。
开关变换器的时间平均等效电路
第4章 开关变换器的时间平均等效电路开关变换器的状态空间平均建模和分析方法存在计算复杂、物理概念不清晰和不直观的缺点。
为了简化开关变换器的建模和分析，更直观、方便的分析开关变换器电路，有必要研究开关变换器的等效电路建模和分析方法。
本章所讨论的开关变换器的时间平均等效电路(Time Averaging Equivalent Circuit, TAEC)建模和分析方法，可以有效简化开关变换器的建模与分析过程。
开关变换器时间平均等效电路建模和分析方法的关键是采用受控电压源或者受控电流源等效替代开关变换器中的开关元件，得到电路结构不变的等效电路，从而可以很方便地使用基本的电路分析方法对开关变换器的直流稳态和交流小信号特性进行分析。
4.1 开关变换器的时间平均等效电路原理在讨论开关变换器时间平均等效电路建模和分析方法之前，先做如下假定： （1） 开关变换器是唯一可解的； （2） 开关变换器工作于周期稳态；（3） 开关变换器的开关频率f s 远大于开关变换器的最大特征频率f 0，即f s >> f 0。
在上述假设条件下，可以对开关变换器进行时间平均等效变换。
N CN SN SN C (a) (b)图4.1 开关变换器及其时间平均等效开关变换器时间平均等效电路建模分析的基本思想是：将开关变换器中所有开关元件抽取出来，形成线性时不变动态子网络N C 和开关子网络N S ，如图4.1(a)所示。
当开关变换器满足上述条件(1) ~ (3)时，可以分别采用受控电压源或受控电流源代替开关子网络N S 中的开关元件，得到由受控电压源和受控电流源构成的等效开关子网络N 'S ，如图4.1(b)所示。
当受控电压源或受控电流源的值分别是一个开关周期内它所代替的开关元件两端的电压或流过该开关元件的电流平均值，且在等效变换过程中，没有形成电流源（电感）割集和电压源（电容）回路，则在时间平均意义下，开关变换器N 可以等效为由线性时不变动态子网络N C 和等效开关子网络N 'S 构成的开关变换器时间平均等效电路。
状态空间平均法建模
状态空间平均法建模状态空间平均法建模是一种常用的系统建模方法，主要应用于线性时不变系统的建模。
该方法通过对系统的输入和输出信号进行采样，将其离散化，并将连续时间下的状态方程转化为离散时间下的状态方程，从而实现对系统进行建模和分析。
状态空间平均法建模的基本思想是将系统分解为若干个子系统，每个子系统都可以表示为一个状态方程。
这些子系统之间通过输入和输出信号进行连接，形成一个整体的系统。
在进行状态空间平均法建模时，需要依次完成以下步骤：1. 确定系统变量首先需要确定系统中所有的变量，包括输入信号、输出信号以及状态变量。
输入信号是指对系统施加的外部刺激，例如电压、电流等；输出信号是指从系统中获得的响应信号，例如电压、电流等；状态变量是指描述了整个系统行为特征的内部变量。
2. 确定状态方程根据已知信息和物理原理，可以得到各个子系统的状态方程。
对于线性时不变系统而言，其状态方程可以表示为：x(k+1) = Ax(k) + Bu(k)y(k) = Cx(k)其中x(k)表示第k个采样时刻的状态变量，A、B、C分别为系统的状态矩阵、输入矩阵和输出矩阵，u(k)表示第k个采样时刻的输入信号，y(k)表示第k个采样时刻的输出信号。
3. 确定离散时间下的状态方程通过对连续时间下的状态方程进行离散化处理，可以得到离散时间下的状态方程。
常用的离散化方法有欧拉法和Z变换法等。
4. 确定系统传递函数通过对系统进行建模，可以得到系统传递函数。
对于线性时不变系统而言，其传递函数可以表示为：H(z) = C(zI - A)^-1B其中z为复平面上任意一点，I为单位矩阵。
5. 进行模型分析通过对建立好的模型进行分析，可以得到系统的稳定性、频率响应等信息。
常用的分析方法包括极点分布法、Nyquist图法等。
总之，状态空间平均法建模是一种有效的系统建模方法，在实际工程中得到了广泛应用。
在进行建模时需要注意选择合适的采样周期和离散化方法，并且需要对所得到的模型进行验证和修正。
第三章高等电力电子
第三章开关变换器的建模分析3.1概述一般的讲，开关变换器的建模方法通常可分为两大类：一类称为数字仿真法，一类称为解析建模法。
数字仿真法是指利用各种仿真工具软件以求的变换器某些特性数字解得方法。
数字仿真法常常要利用数字计算机辅助来完成，即利用现有的通用电路分析算法，对开关变换器进行计算机仿真分析。
解析建模法是指利用数学分析的方法以求得变换器运行特性的解析表达式，使之能对变换器进行定量的分析。
从时域的角度划分，开关变换器的建模方法又可以划分为连续建模法、离散建模法和离散连续综合建模法。
最常用的连续建模分析方法就是小信号分析方法，只要包括电路平均法、状态空间平均法和PWM开关法。
Middlebrook和Wester首先建立了描述基本开关变换器（buck、boost、buck-boost）电路的近似连续模型，即称为电路平均法建模。
这种电路平均法建模主要依据开关变换器的平均开关特性，得出了基于电路拓扑的开关变换器系统低频特性。
由于是基于电路拓扑的建模方法，使其具有较好的直观性并在标准电路仿真软件中如saber、spice中获得了广泛应用。
Middlebroo k和cuk在1977年利用状态空间的概念描述了开关变换器的低频特性，即利用统一的状态空间描述替代了开关网络的状态空间描述，从而消除了开关过程的影响，获得了开关变换器在一个开关周期内的平均特性。
状态空间平均法在忽略了开关变换器的高频动态特性的同时，采用了状态空间方程描述，较适合于基本变换过程的状态分析。
Sanders等学者对状态空间平均法的建模过程进行了拓展，提出了一种规则化的平均电路模型的建模方法，该方法不仅适用于传统的有关器件和线性元件组成的开关变换电器，而且适用于除开关器件外仍包含其他非线性元件的开关变换电路。
另一方面，vivperian提出了一种面向电路结构的PWM开关法，其主要思想是将开关变换器中的开关网络简化为一个三端开关（称之为PWM开关），面对于包含此开关网络的变换器，其PWM开关的端口特性是不变的，将PWM开关用其等效电路所替代。
状态空间平均法建立小信号模型
二、建立小信号模型的方法
建模方法
基本建模法 状态空间平均法 开关元件平均模型法 开关网络平均模型法
求平均变量
建模思想
分离扰动 线性化
3
三、状态空间平均法
双向Buck-Boost变换器电路拓扑参见图1，有 Buck方向和Boost方向两种工作模式。下面分别建 立Buck方向和Boost方向的小信号模型，以及双向 Buck-Boost 变换器的小信号模型。
xt
1
T Ts
s
t dTs t
A1
x
Ts B1 u
Ts d
dTs Ts
A tdTs
2
x
Ts B2 u
d
Ts
13
1.2 求出平均变量
整理得状态空间平均方程：
•
x dA1 d ' A2 x dB1 d ' B2 vs Ax Bvs
采用同样的分析方法可得：
y dC1 d 'C2 x
d
y C x C1 C2 X d
22
1.4 线性化
将相应的系数矩阵带入上式，得：
•
x
•
iL
• uc
0
1 C2
1 L 1
R2C2
iL
uc
D L 0
v1
V1
L
0
d
y
v2 i1
0 D
1 0
iL
uc
0 1
0 0
IL UC
d
uc
i1
Q1
L
iL
+
D1
+
V1
Q2
D2
V2
-
-
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第3章 开关变换器的状态空间平均建模开关变换器是通过调整开关元件的工作状态实现开关变换器输出电压的调整，在一个开关周期内，开关变换器是一个周期性时变电路，但在每一个开关工作状态，开关变换器又可以看作是一个线性电路。
因此，不能用常规的线性电路理论对开关变换器进行分析，而必须研究适用于开关变换器的建模分析方法。
3.1 CCM 开关变换器的状态空间平均模型3.1.1 CCM 开关变换器的状态空间方程及其近似解对于在开关周期T 内有两个开关工作状态的开关变换器，即开关变换器工作在CCM 模式，可以分别写出它在每一个开关工作状态的状态方程，并进行求解。
工作状态1：在一个开关周期的[0，DT ]时间段，开关变换器的状态方程为：d ()()()d t t t t=+11x A x B u(3.1a)工作状态2：在一个开关周期的[DT ，T ]时间段，开关变换器的状态方程为：d ()()()d t t t t=+22x A x B u(3.1b)其中：x (t )是状态向量；u (t )是输入向量；A 1、A 2、B 1、B 2分别是工作状态1和工作状态2对应的状态矩阵和输入矩阵。
（I ）开关工作状态1对应的状态方程的解为()()0d tte t t e ττ⎰111A A u x =x()+B(3.2)当开关变换器的开关频率(f s =1/T )远大于状态方程的特征频率f 0，即f s >> f 0时，存在下述线性近似关系DT DT e +≈11A I A(3.3)将式(3.3)代入式(3.2)，可得00()()0()d 0d DTDTDT DTet DT et eττττ+=+⎰⎰111A A A 111I A B u x()=x()+B u x() (3.4a)当开关变换器的输入向量u (t )在一个开关周期内是常数，或相对于开关频率是慢变化量时，可以用u (t )在一个开关周期内的平均值u 等效，于是，由式(3.4a)可得22120DTDT D T DT e++1A 111A x()=x()B u B u(3.4b)对于f s >> f 0，可以忽略式(3.4b)中的T 2项，从而得到下述线性近似关系0DT DT DT e ≈+11A u x()x()B(3.4c)（II ）开关工作状态2对应的状态方程的解为()()()d tDTt DT et t eDT ττ-⎰22A 2A u x =x()+B (3.5)同理，由式(3.5)可得： ()00T T TTTD D D D D D T D T T e e DT eeDT e''''+'=+11222A A 22A A A 22uu u ux()=B B x()+x()+B B (3.6)其中)(T D D T DT DT e ''=+2A 121u u A B I B(3.7)忽略式(3.7)中的T 2项，可得)(T D D T DT DT DT e ''≈=+2A 1211u u uA B I B B (3.8)将式(3.8)代入式(3.6)，得)()0(T D D T T e D D +'+'12A A 12u x()=x()+B B(3.9)式(3.9)对应的状态方程为：)d d ()(D D D tt t D ''++1212A A u x()=x()+B B(3.10)其中t x()为开关变换器在一个开关周期内状态向量的平均值，式(3.10)即为描述CCM 开关变换器在一个开关周期内的状态空间平均方程。
值得注意的是，在上述分析过程中，存在两个基本的假定：（1）开关变换器的开关频率(f s = 1/T )远大于状态方程的特征频率f 0，即f s >> f 0；（2）开关变换器的输入向量u (t )在一个开关周期内是常数，或是相对于开关频率的慢变化量。
上述假定，对PWM 开关变换器是始终成立的。
3.1.2 CCM 开关变换器的状态空间平均方程以上分析了开关变换器在一个开关周期内两个开关工作状态的状态方程，及其近似解的表达式。
类似地，可以得到描述开关变换器所有变量行为的状态方程和输出方程及其平均等效方程。
当开关变换器工作于CCM 时，开关变换器在一个开关周期内存在两个开关工作状态，针对每一个开关工作状态，建立其对应的状态方程和输出方程。
工作状态1：在一个开关周期的[0，dT ]时间段，开关管导通，二极管关断，在这一时间段内，开关变换器的状态方程和输出方程为：d ()()()d ()()()t t t tt t t =+=+1111x A x B u y C x E u (3.11a)工作状态2：在一个开关周期的[dT ，T ]时间段，开关管关断，二极管导通，在这一时间段内，开关变换器的状态方程和输出方程为：d ()()()d ()()()t t t tt t t =+=+2222x A x B u y C x E u (3.11b)其中：x (t )是状态向量；u (t )是输入向量；y (t )是输出向量；A 1，A 2，B 1，B 2分别是工作状态1和工作状态2对应的状态矩阵和输入矩阵；C 1，C 2，E 1，E 2分别是工作状态1和工作状态2对应的输出矩阵和传递矩阵。
式(3.11)描述了CCM 开关变换器在一个开关周期内的状态方程，当开关变换器的开关频率远大于特征频率时，可以认为状态向量在一个开关周期内保持不变；此外，当开关变换器的输入向量u (t )在一个开关周期内保持不变，或是相对于开关频率的慢变化量时，在一个开关周期内，状态向量x (t )和输入向量u (t )可以分别用它们在一个开关周期内的平均值()t x 和()t u 近似。
通过在一个开关周期内对所有变量进行时间平均（加权平均），可以得到CCM 开关变换器在一个开关周期内的状态空间平均方程为：d ()()(()())()(()())d t d t t t d t t t t'=+++1122x A x B u A x B u (3.12a)其中()1()d t d t '=-。
类似地，可以得到CCM 开关变换器在一个开关周期内的平均输出方程为：()()(()())()(()())t d t t t d t t t '=+++1122y C x E u C x E u(3.12b)将式(3.12)重新组合成线性连续系统的状态空间方程后，得到CCM 开关变换器在一个开关周期内的平均状态方程和平均输出方程d ()(()())()(()())()d ()(()())()(()())()t d t d t t d t d t t tt d t d t t d t d t t ''=+++''=+++12121212x A A x B B u y C C x E E u (3.13)其中()t x ，()t u 和()t y 是状态向量，输入向量和输出向量在一个开关周期内的时间平均值，d (t )是开关管的导通占空比。
图3.1给出了在一个开关周期内，状态向量x (t )在工作状态1和工作状态2的变化率与在一个开关周期内状态向量的净变化率之间的关系。
从图3.1可以看出，当开关变换器的开关频率远大于电路的特征频率，即状态向量在一个开关周期内的变化很小时，可以用一个开关周期内状态向量的平均值()t x 很好的近似等效状态向量的变化。
式(3.13)所描述的状态空间平均模型可以表示成标准的状态方程形式d ()()()d ()()()t t t t t t t =+=+x Ax Bu y Cx Eu (3.14a)图3.1 状态变量变化的直线近似其中1D D D D D D D D D D'=+'=+'=+'=+'=-12121212A A A B B B C C C E E E (3.14b)比较式(3.14)和式(3.11)可以发现，在开关变换器的状态空间平均模型中，状态方程的状态矩阵A 和输入矩阵B 分别是对应工作状态的状态矩阵A 1，A 2和输入矩阵B 1，B 2的加权平均值；输出方程的输出矩阵C 和传递矩阵E 分别是对应工作状态的输出矩阵C 1，C 2和传递矩阵E 1，E 2的加权平均值。
3.1.3 CCM 开关变换器的直流稳态和交流小信号等效方程基于式(3.13)所给出的状态空间平均方程，对开关变换器的直流稳态和交流小信号特性进行分析。
当开关变换器的输入向量()t u 和控制变量d (t )存在小信号扰动时，即ˆ()()t +t =u U u，ˆ()()d t D d t =+，ˆ()()d t D d t ''=- (3.15a)时，将引起开关变换器中的状态向量和输出向量的小信号扰动，即ˆ()()t t =+x X x，ˆ()()t t =+y Y y (3.15b)其中X ，U ，Y ，D 分别是()t x ，()t u ，()t y ，d (t )的直流分量；ˆx，ˆ()t u ，ˆ()t y ，ˆ()d t 分别是()t x ，()t u ，()t y ，()d t 的交流小信号分量。
对于小信号扰动，存在ˆ<<xX ，ˆ()t <<u U ，ˆ()t <<y Y ，ˆ()d t D << (3.15c)于是，开关变换器的状态空间平均方程为ˆd [()]ˆˆˆ{[()][()]}{()}d ˆˆˆ{[()][()]}{()} t D d t D d t t t D dt D d t t '=++-'+++-1212X +x A A X +x B B U +u(3.16a)ˆˆˆˆ(){[()][()]}{()}ˆˆˆ{[()][()]}{()} t D d t D d t t D dt D d t t '=++-'+++-1212Y +y C C X +x E ΕU +u(3.16b)x x (t将式(3.16)进一步整理后得到ˆd [()]ˆˆˆ()[]()d ˆˆˆ[()()]() t t d t t t t d t =+++12121212X +x AX +BU +Ax(t)+Bu (A -A )X +(B -B )U (A -A )x(B -B )u(3.17a)ˆˆˆˆ()[()()]()ˆˆˆˆ()()()()()()t d t t d t t d t +++-+-+-12121212Y +y(t)=CX +EU Cx(t)+Eu C -C X E E U C C xE E u(3.17b)由于式(3.17)中存在与时间相关的变量ˆ()t x、ˆ()t u 和ˆ()d t 的乘积，因此式(3.17)是关于小信号扰动的非线性函数。