管理运筹学作业答案(韩大卫)MBA
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min ω = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 ⎧x1 + x2 + x3 + 2x4 ≥ 100
s.t.⎪⎪⎪⎨2x1x1++23xx2 3++xx5 4++24xx7 5++36x8x6≥+1020x7 ≥ 100
⎪⎩x j ≥ 0( j = 1,2,⋯,8)
4 7 −1
行域的极点。
P50 1—8
1
A(2.9) 1
B(2.1) 1
C(1.2) 2
余料
0
2
3
4
5
6
7
8
1
1
2
0
0
0
0
100
2
0
0
1
0
2
3
100
0
3
1
4
6
2
0
100
0.3 0.9 0.4 0.5 0.2 0.8 1.1
解：设按第 j 种截法下料 x j ( j = 1,2,⋯,8)根，该问题的 LP 模型为：
⎪ ⎩
x1
,
x2
≥
0
x2
（1）
Q 1
P （2）
x1
-5
0
Z=0
-1
Z=10
解：目标函数等值线与函数约束（2）的边界线平行，由图可知则该 LP 问题为多重解（无 穷多最优解）。
∵
⎧x1 ⎩⎨x1
− −
x2 = 0 5x2 = −5
⇒
⎪⎧x1 ⎨ ⎪⎩x2
= =
5 4
5 4
则
X
* 1
=
⎛ ⎜
5
,
5
T
⎞ ⎟
21 0
1 3 −1 = 0 ，所以 X1 = (5,15,0,20,0)T 不是基本解，也就不是基本可行解，故不是该
4 7 −2
可行域的极点。
（3）对于 X 3 = (15,5,10,0,0)T ，是可行解。此时基变量为 x1, x2 , x3 ，由此得到的基矩阵为
2 1 −1
1 3 0 = 0 ，所以 X 3 = (15,5,10,0,0)T 不是基本解，也就不是基本可行解，故不是该可
1/2
− 1/6
2/3
0
0
− 1/3
0
1/3
0
0
− 1/2 −1/2
由于出现非基变量的检验数为
0，故该
LP
问题有多重解。
X
* 1
=
⎜⎛ ⎝
4 5
,
9 5
,0
T
⎞ ⎟ ⎠
,
X
* 2
=
(2,0,3)T
-8-
运筹学作业答案
则最优解为：
X*
=
µX
* 1
+ (1 −
µ
)X
* 2
=
µ
⎛ ⎜
4
,
9
,0
T
⎞ ⎟
⎝5 5 ⎠
解：化标准形为：
⎧− s.t.⎪⎨−
x1 + x2 0.5x1 +
+ x3 x2 +
=1 x4 =
2
⎪⎩x1, x2 , x3 , x4 ≥ 0
cj
CB
XB
b
2
2
0
0
θi
x1
x2
x3
x4
0
x3
1
−1
1
1
0
0
x4
2
− 0.5
1
0
1
σj
2
2
0
0
∵σ1 = 2 > 0, 而它所对应的系数列向量α1 = (−1,−0.5)T < (0,0)T
0
x2
3
0
1
0
1 -5/11 -1/11 7/11
0
x3
1
0
0
1
0 1/11 -2/11 3/11
σj
0
0
0
0 −1 −1 −1
- 10 -
运筹学作业答案
由第一阶段最终单纯形表可得 z / * = 0 ，故原 LP 问题存在可行基，转入第二阶段继续求解。
第二阶段：求解原 LP 问题。
cj
−2
−1
1
,
z
*
⎝4 4⎠
=
−10 （射线 QP 上所有点均为最优点）
P48 1—2（4）
min z = −10x1 −11x2
⎧3x1 + 4x2 ≤ 10(1)
s.t.⎪⎪⎪⎨5x1x1−+22x2x
2 ≤ 8(2) ≤ 2(3)
⎪⎩x1, x2 ≥ 0
-2-
运筹学作业答案
x2
z = −11
Z=0
Q （3）
=
3 2
⎧ ⎪
x3
⎪
+
5 4
x4
− 15 2
x5
=
15 2
⇒
⎪ ⎨
x1
⎪
+
1 4
x4
−
1 2
x5
=
7 2
⎪ ⎪⎩
x
2
−
1 4
x4
+
3 2
x5
=
3 2
则
x5
为进基变量，
2 3
为主元
-5-
运筹学作业答案
z
=
8+
1 3
x2
−
1 3
x4
=8+
1⎛3 ⎜
3⎝2
+
1 4
x4
−
3 2
x5
⎞ ⎟
−
⎠
1 3
x4
=
17 2
max z = −2x1 − 3x2 − x3 − Mx6 − Mx7
⎧x1 + 4x2 + 2x3 − x4 + x6 = 8 s.t.⎪⎨3x1 + 2x2 − x5 + x7 = 2
⎪⎩x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥ 0
cj
− 2 −3 −1
0
0
−M −M
CB X B b
0
0
1
20
0
0
0
1
−3
0
30/4
0
1
0
——
0
−1
1
5
0
−6
0来自百度文库
1
−1 − 2
0
1/2
1/2
0
-1/2 1/2
0
-9/2 -3/2
∵σ j ≤ 0 ，则最优解为： X * = (15,5,0)T , z* = 75
-7-
运筹学作业答案
P70 2—2（4） 解：建立该 LP 问题的大 M 法辅助问题如下：
s.t.⎪⎪⎪⎨−4xx11
+ x2 − x2
+ 6x3 ≥ 6 + x3 + x4
=
−4
⇒
⎪⎩x1 ≥ 1, x2 ≥ 0
P49 1—5
解：把x1 ≥ 1看作一函数约束
令自由变量x3 = x3/ − x3// , x4 = x4/ − x4//
max z = −3x1 − 4x2 − 2x3/ + 2x3// − x4/ + x4//
3m 3
σj
− 24 0
1 −m
− 24
−m
−+ 24
0
2
9
− 3 x2 5
0
4
− 2 x1 5
1
− 3 /10
1 （3/5）
1/10
− 1 / 10
3/10
0
− 2 / 5 1/5 − 2 / 5 −1/ 5
2/5
σj
0
−1 x3 3
0
− 2 x1 2
1
σj
0
0
0 − 1/ 2 −1/2
5/3
1 − 1/ 2 1/6
⎧x1 − x2 ≥ 0(1) s.t.⎪⎨3x1 − x2 ≤ −3(2)
⎪ ⎩
x1
,
x2
≥
0
x2
（2）
R2
（1）
3 -1
0
解：∵ R1 ∩ R2 = Φ ，则该 LP 问题无可行解。
P48 1—2（3）
-1-
R1 x1
运筹学作业答案
min z = 2x1 −10x2
⎧x1 − x2 ≥ 0(1) s.t.⎪⎨x1 − 5x2 ≥ −5(2)
第一次迭代： max{2,1} = 2(= σ1 ) 则 x1为进基变量（此时 x2 仍为非基变量）
⎧x3 = 15
⎧x3 = 15 ≥ 0
⎪⎨6x1 + x4 = 24
⇒
⎪ ⎨
x4
=
24 − 6x1
≥
0
⎪ ⎩
x1
+
x5
=
5
⎪ ⎩
x5
=5−
x1
≥
0
⇒
⎪⎧x1 ⎨ ⎪⎩x1
≤ ≤
24 6
5 1
则 x4 为进基变量，6 为主元
cj
0
0
0
0 −1 −1 −1
θi
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
−1 x5
2 （1） −1
2
−1 1
0
0
2
−1 x6
6
2
1
−3
1
0
1
0
3
−1 x7
7
1
1
1
1
0
0
1
7
σj
4
1
0
1
0
0
0
0
x1
2
1 −1
2
−1 1
0
0 -----
−1 x6
2
0 （3） − 7
3 −2 1
0
2/3
−1 x7
5
0
2
−1
−
1 4
x4
−
1 2
x5
此时：
X2
=
⎛ ⎜ ⎝
7 2
,
3 2
,
15 2
,0,0
⎞ ⎟ ⎠
T
,
z
2
= 17 2
此时σ
j
≤
0 ，则 X *
=
⎛ ⎜
7
,
3
⎞ ⎟
T
,
z
*
⎝2 2⎠
= 17 2
（图解法略） 注意由方程组形式求的每个基本可行解与图解法求得的可行域的极点之间的一一对应关系。
P70 2—2（1）
max z = 2x1 + 2x2
则 x2 为进基变量
⎧
⎪x3 = 15 − 5x2 ≥ 0
⎪
⎪ ⎨
x1
⎪
=
4
−
1 3
x2
≥
0
⎪ ⎪⎩
x5
=1−
2 3
x2
≥
0
⎧ ⎪
x
2
≤
15 5
⇒
⎪ ⎨
x
2
≤
4 1/ 3
⎪
⎪⎩x2
≤
1 2/3
⎧
⎪5x2 + x3 = 15
⎪
⎪ ⎨
x1
⎪
+
1 3
x2
+
1 6
x4
=
4
⎪ ⎪⎩
x2
−
1 4
x4
+
3 2
x5
x1
（1）
（2）
解：由图可知
Q
点为最优点。∵
⎧3x1 ⎩⎨5x1
+ +
4x2 2x2
= 10 =8
⇒
⎧ ⎪
x1
⎨
⎪⎩x2
= 67 = 137
则
X
*
=
⎛ ⎜
6
,
13
⎞ ⎟
T
, z*
=
−29
⎝7 7 ⎠
P48 1—3（2）
min z = 3x1 + 4x2 + 2x3 + x4
⎧3x1 + x2 + x3 ≤ 7
+ (1 − µ)(2,0,3)T
⎛ ⎜
2
−
6µ
⎞ ⎟
⎜ 5⎟
=
⎜ ⎜
9µ
5
⎟ ⎟
⎜ ⎜⎜
3
− 3µ
⎟ ⎟⎟
⎝
⎠
(0 ≤ µ ≤ 1)
ω* = 7
-9-
运筹学作业答案
P71 2—2 （5）
解：目标函数化标准形为： max z = −2x1 − x2 + x3 + x4
函数约束添加人工变量 x5 , x6 , x7 ，拟采用两阶段法求解。 第一阶段：两阶段法辅助问题目标函数为： max z / = −x5 − x6 − x7
cj
CB
XB
0
x4
0
x5
0
x6
σj
0
x4
6
x1
0
x6
σj
0
x4
6
x1
−3
x2
σj
6
−3
3
b
x1
x2
x3
60
3
1
1
10 （1） − 1
2
20
1
1
−1
6
−3
3
30
0
4
−5
10
1
−1
2
10
0 （2） − 3
0
3
−9
10
0
0
1
15
1
0
1/2
5
0
1
-3/2
0
0
-9/2
0
0
0
θi
x4
x5
x6
1
0
0
20
0
1
0
10
x1
x2
x3
x4
x5
x6
θi x7
− M x6 8
1
（4）
2
−1
0
1
− M x7 6
3
2
0
0
−1
0
σj
6m − 3 2m −1 4m − 2
−m
−m
0
0
2
1
3
0
− 3 x2 2 1/4
1
1/2 − 1/ 4 0
1/4
0
8
− M x7 2 （5/2）
0
−1 1/2 −1 −1/ 2
4/ 1
5
5m 5
m3
运筹学作业答案
第 1 章 线性规划基本性质
P47 1—1（2）
解：设每天从 i 煤矿 (i = 1,2) 运往 j 城市 ( j = 1,2,3) 的煤为 xij 吨，该问题的 LP 模型为：
23
∑ ∑ minω =
cij xij = 9x11 + 7x12 + 10x13 + 8x21 + 6.5x22 + 8x23
则该 LP 问题无最优解（无界解）。
-6-
运筹学作业答案
补充作业：
max z = 6x1 − 3x2 + 3x3
⎧3x1 + x2 + x3 ≤ 60
求解下列
LP
问题：
s.t.⎪⎪⎪⎨32xx11
− +
2x2 3x2
+ −
4x3 3x3
≤ ≤
20 60
⎪⎩x1, x2 , x3 ≥ 0
解：标准化后求解过程如下：
1
θi
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
−2
x1
3
1
0
0
0
-----
−1
x2
3
0
1
0
（1）
3
1
x3
1
0
0
1
0
------
σj
0
0
0
2
−2
x1
3
1
0
0
0
1
x4
3
0
1
0
1
1
x3
1
0
0
1
0
σj
0
−2
0
0
此时σ j ≤ 0, 故原 LP 问题的最优解为： X * = (3,0,1,3)T ,ω * = 2
⎧
⎪5x2 + x3 = 15
⎪
⎪ ⎨
x1
⎪
+
1 3
x2
+
1 6
x4
=
4
⎪2 ⎪⎩ 3
x2
−
1 6
x4
+
x5
=1
此时：
z
=
2x1
+
x2
=
2⎜⎛ 4 − ⎝
1 3
x2
−
1 6
x4
⎟⎞ + ⎠
x2
=
8+
1 3
x2
−
1 3
x4
X1 = (4,0,15,0,1)T , z1 = 8
1 第二次迭代：σ 2 = 3 > 0
i=1 j =1
⎧x11 + x12 + x13 = 200
⎪ ⎪
x21
+
x22
+
x23
=
250
s.t.⎪⎪⎨ ⎪
x11 x12
+ +
x21 x22
= 100 = 150
⎪ ⎪
x13
⎪⎩xij
+ ≥
x23
0(i
= 200 = 1,2; j
=
1,2,3)
P48 1—2（2）
max z = x1 + x2
-4-
运筹学作业答案
第 2 章 单纯形法
P70 2—1（2）
max z = 2x1 + x2
⎧5x2 + x3 = 15
解：标准化为
s.t.⎪⎪⎪⎨6x1x1++x22
x2 +
+ x5
x4 = =5
24 ，容易得
X0
=
(0,0,15,24,5)T , z0
=
0
⎪⎩x1, x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
2 −1 0
1
5/2
σj
0
5
−8
5 −3 0
0
0
x1
8/3
1
0
-1/3
0
1/3 1/3
0 -----
0
x2
2/3
0
1
-7/3
1 -2/3 1/3
0 -----
−1
x7 11/3
0
0 （11/3） 0
1/3 -2/3
1
1
σj
0
0
11/3
0 -2/3 -5/3 0
0
x1
3
1
0
0
0 4/11 3/11 1/11
-3-
运筹学作业答案
解：可行域的极点与基本可行解是一一对应的。
（ 1 ） 对 于 X 2 = (9,7,0,0,8)T ， 不 满 足 约 束 条 件 4x1 + 7x2 − x3 − 2x4 − x5 = 85 ， 即
X 2 = (9,7,0,0,8)T 不是可行解，也就不是基本可行解，故不是该可行域的极点。 （2）对于 X1 = (5,15,0,20,0)T ，是可行解。此时基变量为 x1, x2 , x4 ，由此得到的基矩阵为
⎧3x1 + x2 + x3/ − x3// + x5 = 7
⎪ ⎪4x1
+
x2
+ 6x3/
− 6x3//
−
x6
=
6
s.t.⎪⎨x1 + x2 − x3/ + x3// − x4/ + x4// = 4
⎪⎪x1 − x7 = 1
⎪⎩x1, x2 , x3/ , x3// , x4/ , x4// , x5, x6 , x7 ≥ 0
s.t.⎪⎪⎪⎨2x1x1++23xx2 3++xx5 4++24xx7 5++36x8x6≥+1020x7 ≥ 100
⎪⎩x j ≥ 0( j = 1,2,⋯,8)
4 7 −1
行域的极点。
P50 1—8
1
A(2.9) 1
B(2.1) 1
C(1.2) 2
余料
0
2
3
4
5
6
7
8
1
1
2
0
0
0
0
100
2
0
0
1
0
2
3
100
0
3
1
4
6
2
0
100
0.3 0.9 0.4 0.5 0.2 0.8 1.1
解：设按第 j 种截法下料 x j ( j = 1,2,⋯,8)根，该问题的 LP 模型为：
⎪ ⎩
x1
,
x2
≥
0
x2
（1）
Q 1
P （2）
x1
-5
0
Z=0
-1
Z=10
解：目标函数等值线与函数约束（2）的边界线平行，由图可知则该 LP 问题为多重解（无 穷多最优解）。
∵
⎧x1 ⎩⎨x1
− −
x2 = 0 5x2 = −5
⇒
⎪⎧x1 ⎨ ⎪⎩x2
= =
5 4
5 4
则
X
* 1
=
⎛ ⎜
5
,
5
T
⎞ ⎟
21 0
1 3 −1 = 0 ，所以 X1 = (5,15,0,20,0)T 不是基本解，也就不是基本可行解，故不是该
4 7 −2
可行域的极点。
（3）对于 X 3 = (15,5,10,0,0)T ，是可行解。此时基变量为 x1, x2 , x3 ，由此得到的基矩阵为
2 1 −1
1 3 0 = 0 ，所以 X 3 = (15,5,10,0,0)T 不是基本解，也就不是基本可行解，故不是该可
1/2
− 1/6
2/3
0
0
− 1/3
0
1/3
0
0
− 1/2 −1/2
由于出现非基变量的检验数为
0，故该
LP
问题有多重解。
X
* 1
=
⎜⎛ ⎝
4 5
,
9 5
,0
T
⎞ ⎟ ⎠
,
X
* 2
=
(2,0,3)T
-8-
运筹学作业答案
则最优解为：
X*
=
µX
* 1
+ (1 −
µ
)X
* 2
=
µ
⎛ ⎜
4
,
9
,0
T
⎞ ⎟
⎝5 5 ⎠
解：化标准形为：
⎧− s.t.⎪⎨−
x1 + x2 0.5x1 +
+ x3 x2 +
=1 x4 =
2
⎪⎩x1, x2 , x3 , x4 ≥ 0
cj
CB
XB
b
2
2
0
0
θi
x1
x2
x3
x4
0
x3
1
−1
1
1
0
0
x4
2
− 0.5
1
0
1
σj
2
2
0
0
∵σ1 = 2 > 0, 而它所对应的系数列向量α1 = (−1,−0.5)T < (0,0)T
0
x2
3
0
1
0
1 -5/11 -1/11 7/11
0
x3
1
0
0
1
0 1/11 -2/11 3/11
σj
0
0
0
0 −1 −1 −1
- 10 -
运筹学作业答案
由第一阶段最终单纯形表可得 z / * = 0 ，故原 LP 问题存在可行基，转入第二阶段继续求解。
第二阶段：求解原 LP 问题。
cj
−2
−1
1
,
z
*
⎝4 4⎠
=
−10 （射线 QP 上所有点均为最优点）
P48 1—2（4）
min z = −10x1 −11x2
⎧3x1 + 4x2 ≤ 10(1)
s.t.⎪⎪⎪⎨5x1x1−+22x2x
2 ≤ 8(2) ≤ 2(3)
⎪⎩x1, x2 ≥ 0
-2-
运筹学作业答案
x2
z = −11
Z=0
Q （3）
=
3 2
⎧ ⎪
x3
⎪
+
5 4
x4
− 15 2
x5
=
15 2
⇒
⎪ ⎨
x1
⎪
+
1 4
x4
−
1 2
x5
=
7 2
⎪ ⎪⎩
x
2
−
1 4
x4
+
3 2
x5
=
3 2
则
x5
为进基变量，
2 3
为主元
-5-
运筹学作业答案
z
=
8+
1 3
x2
−
1 3
x4
=8+
1⎛3 ⎜
3⎝2
+
1 4
x4
−
3 2
x5
⎞ ⎟
−
⎠
1 3
x4
=
17 2
max z = −2x1 − 3x2 − x3 − Mx6 − Mx7
⎧x1 + 4x2 + 2x3 − x4 + x6 = 8 s.t.⎪⎨3x1 + 2x2 − x5 + x7 = 2
⎪⎩x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 ≥ 0
cj
− 2 −3 −1
0
0
−M −M
CB X B b
0
0
1
20
0
0
0
1
−3
0
30/4
0
1
0
——
0
−1
1
5
0
−6
0来自百度文库
1
−1 − 2
0
1/2
1/2
0
-1/2 1/2
0
-9/2 -3/2
∵σ j ≤ 0 ，则最优解为： X * = (15,5,0)T , z* = 75
-7-
运筹学作业答案
P70 2—2（4） 解：建立该 LP 问题的大 M 法辅助问题如下：
s.t.⎪⎪⎪⎨−4xx11
+ x2 − x2
+ 6x3 ≥ 6 + x3 + x4
=
−4
⇒
⎪⎩x1 ≥ 1, x2 ≥ 0
P49 1—5
解：把x1 ≥ 1看作一函数约束
令自由变量x3 = x3/ − x3// , x4 = x4/ − x4//
max z = −3x1 − 4x2 − 2x3/ + 2x3// − x4/ + x4//
3m 3
σj
− 24 0
1 −m
− 24
−m
−+ 24
0
2
9
− 3 x2 5
0
4
− 2 x1 5
1
− 3 /10
1 （3/5）
1/10
− 1 / 10
3/10
0
− 2 / 5 1/5 − 2 / 5 −1/ 5
2/5
σj
0
−1 x3 3
0
− 2 x1 2
1
σj
0
0
0 − 1/ 2 −1/2
5/3
1 − 1/ 2 1/6
⎧x1 − x2 ≥ 0(1) s.t.⎪⎨3x1 − x2 ≤ −3(2)
⎪ ⎩
x1
,
x2
≥
0
x2
（2）
R2
（1）
3 -1
0
解：∵ R1 ∩ R2 = Φ ，则该 LP 问题无可行解。
P48 1—2（3）
-1-
R1 x1
运筹学作业答案
min z = 2x1 −10x2
⎧x1 − x2 ≥ 0(1) s.t.⎪⎨x1 − 5x2 ≥ −5(2)
第一次迭代： max{2,1} = 2(= σ1 ) 则 x1为进基变量（此时 x2 仍为非基变量）
⎧x3 = 15
⎧x3 = 15 ≥ 0
⎪⎨6x1 + x4 = 24
⇒
⎪ ⎨
x4
=
24 − 6x1
≥
0
⎪ ⎩
x1
+
x5
=
5
⎪ ⎩
x5
=5−
x1
≥
0
⇒
⎪⎧x1 ⎨ ⎪⎩x1
≤ ≤
24 6
5 1
则 x4 为进基变量，6 为主元
cj
0
0
0
0 −1 −1 −1
θi
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
−1 x5
2 （1） −1
2
−1 1
0
0
2
−1 x6
6
2
1
−3
1
0
1
0
3
−1 x7
7
1
1
1
1
0
0
1
7
σj
4
1
0
1
0
0
0
0
x1
2
1 −1
2
−1 1
0
0 -----
−1 x6
2
0 （3） − 7
3 −2 1
0
2/3
−1 x7
5
0
2
−1
−
1 4
x4
−
1 2
x5
此时：
X2
=
⎛ ⎜ ⎝
7 2
,
3 2
,
15 2
,0,0
⎞ ⎟ ⎠
T
,
z
2
= 17 2
此时σ
j
≤
0 ，则 X *
=
⎛ ⎜
7
,
3
⎞ ⎟
T
,
z
*
⎝2 2⎠
= 17 2
（图解法略） 注意由方程组形式求的每个基本可行解与图解法求得的可行域的极点之间的一一对应关系。
P70 2—2（1）
max z = 2x1 + 2x2
则 x2 为进基变量
⎧
⎪x3 = 15 − 5x2 ≥ 0
⎪
⎪ ⎨
x1
⎪
=
4
−
1 3
x2
≥
0
⎪ ⎪⎩
x5
=1−
2 3
x2
≥
0
⎧ ⎪
x
2
≤
15 5
⇒
⎪ ⎨
x
2
≤
4 1/ 3
⎪
⎪⎩x2
≤
1 2/3
⎧
⎪5x2 + x3 = 15
⎪
⎪ ⎨
x1
⎪
+
1 3
x2
+
1 6
x4
=
4
⎪ ⎪⎩
x2
−
1 4
x4
+
3 2
x5
x1
（1）
（2）
解：由图可知
Q
点为最优点。∵
⎧3x1 ⎩⎨5x1
+ +
4x2 2x2
= 10 =8
⇒
⎧ ⎪
x1
⎨
⎪⎩x2
= 67 = 137
则
X
*
=
⎛ ⎜
6
,
13
⎞ ⎟
T
, z*
=
−29
⎝7 7 ⎠
P48 1—3（2）
min z = 3x1 + 4x2 + 2x3 + x4
⎧3x1 + x2 + x3 ≤ 7
+ (1 − µ)(2,0,3)T
⎛ ⎜
2
−
6µ
⎞ ⎟
⎜ 5⎟
=
⎜ ⎜
9µ
5
⎟ ⎟
⎜ ⎜⎜
3
− 3µ
⎟ ⎟⎟
⎝
⎠
(0 ≤ µ ≤ 1)
ω* = 7
-9-
运筹学作业答案
P71 2—2 （5）
解：目标函数化标准形为： max z = −2x1 − x2 + x3 + x4
函数约束添加人工变量 x5 , x6 , x7 ，拟采用两阶段法求解。 第一阶段：两阶段法辅助问题目标函数为： max z / = −x5 − x6 − x7
cj
CB
XB
0
x4
0
x5
0
x6
σj
0
x4
6
x1
0
x6
σj
0
x4
6
x1
−3
x2
σj
6
−3
3
b
x1
x2
x3
60
3
1
1
10 （1） − 1
2
20
1
1
−1
6
−3
3
30
0
4
−5
10
1
−1
2
10
0 （2） − 3
0
3
−9
10
0
0
1
15
1
0
1/2
5
0
1
-3/2
0
0
-9/2
0
0
0
θi
x4
x5
x6
1
0
0
20
0
1
0
10
x1
x2
x3
x4
x5
x6
θi x7
− M x6 8
1
（4）
2
−1
0
1
− M x7 6
3
2
0
0
−1
0
σj
6m − 3 2m −1 4m − 2
−m
−m
0
0
2
1
3
0
− 3 x2 2 1/4
1
1/2 − 1/ 4 0
1/4
0
8
− M x7 2 （5/2）
0
−1 1/2 −1 −1/ 2
4/ 1
5
5m 5
m3
运筹学作业答案
第 1 章 线性规划基本性质
P47 1—1（2）
解：设每天从 i 煤矿 (i = 1,2) 运往 j 城市 ( j = 1,2,3) 的煤为 xij 吨，该问题的 LP 模型为：
23
∑ ∑ minω =
cij xij = 9x11 + 7x12 + 10x13 + 8x21 + 6.5x22 + 8x23
则该 LP 问题无最优解（无界解）。
-6-
运筹学作业答案
补充作业：
max z = 6x1 − 3x2 + 3x3
⎧3x1 + x2 + x3 ≤ 60
求解下列
LP
问题：
s.t.⎪⎪⎪⎨32xx11
− +
2x2 3x2
+ −
4x3 3x3
≤ ≤
20 60
⎪⎩x1, x2 , x3 ≥ 0
解：标准化后求解过程如下：
1
θi
CB
XB
b
x1
x2
x3
x4
−2
x1
3
1
0
0
0
-----
−1
x2
3
0
1
0
（1）
3
1
x3
1
0
0
1
0
------
σj
0
0
0
2
−2
x1
3
1
0
0
0
1
x4
3
0
1
0
1
1
x3
1
0
0
1
0
σj
0
−2
0
0
此时σ j ≤ 0, 故原 LP 问题的最优解为： X * = (3,0,1,3)T ,ω * = 2
⎧
⎪5x2 + x3 = 15
⎪
⎪ ⎨
x1
⎪
+
1 3
x2
+
1 6
x4
=
4
⎪2 ⎪⎩ 3
x2
−
1 6
x4
+
x5
=1
此时：
z
=
2x1
+
x2
=
2⎜⎛ 4 − ⎝
1 3
x2
−
1 6
x4
⎟⎞ + ⎠
x2
=
8+
1 3
x2
−
1 3
x4
X1 = (4,0,15,0,1)T , z1 = 8
1 第二次迭代：σ 2 = 3 > 0
i=1 j =1
⎧x11 + x12 + x13 = 200
⎪ ⎪
x21
+
x22
+
x23
=
250
s.t.⎪⎪⎨ ⎪
x11 x12
+ +
x21 x22
= 100 = 150
⎪ ⎪
x13
⎪⎩xij
+ ≥
x23
0(i
= 200 = 1,2; j
=
1,2,3)
P48 1—2（2）
max z = x1 + x2
-4-
运筹学作业答案
第 2 章 单纯形法
P70 2—1（2）
max z = 2x1 + x2
⎧5x2 + x3 = 15
解：标准化为
s.t.⎪⎪⎪⎨6x1x1++x22
x2 +
+ x5
x4 = =5
24 ，容易得
X0
=
(0,0,15,24,5)T , z0
=
0
⎪⎩x1, x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
2 −1 0
1
5/2
σj
0
5
−8
5 −3 0
0
0
x1
8/3
1
0
-1/3
0
1/3 1/3
0 -----
0
x2
2/3
0
1
-7/3
1 -2/3 1/3
0 -----
−1
x7 11/3
0
0 （11/3） 0
1/3 -2/3
1
1
σj
0
0
11/3
0 -2/3 -5/3 0
0
x1
3
1
0
0
0 4/11 3/11 1/11
-3-
运筹学作业答案
解：可行域的极点与基本可行解是一一对应的。
（ 1 ） 对 于 X 2 = (9,7,0,0,8)T ， 不 满 足 约 束 条 件 4x1 + 7x2 − x3 − 2x4 − x5 = 85 ， 即
X 2 = (9,7,0,0,8)T 不是可行解，也就不是基本可行解，故不是该可行域的极点。 （2）对于 X1 = (5,15,0,20,0)T ，是可行解。此时基变量为 x1, x2 , x4 ，由此得到的基矩阵为
⎧3x1 + x2 + x3/ − x3// + x5 = 7
⎪ ⎪4x1
+
x2
+ 6x3/
− 6x3//
−
x6
=
6
s.t.⎪⎨x1 + x2 − x3/ + x3// − x4/ + x4// = 4
⎪⎪x1 − x7 = 1
⎪⎩x1, x2 , x3/ , x3// , x4/ , x4// , x5, x6 , x7 ≥ 0