特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉(高中数学知识点总结)

1 2010年高考复习方法指导〈数学复习版〉 高中数学知识点总结 1．对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合|lg|lg(,)|lgAxyxByyxCxyyxABC，，，、、中元素各表示什么？ 2．进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合2|230|1AxxxBxax，，若BA，则实数a的值构成的

集合为 答：1103，， 3．注意下列性质： （1）集合12naaa，，……，的所有子集的个数是2n （2）若ABABAABB，； （3）德摩根定律：UUUUUUABABABABCCCCCC， 4．你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于x的不等式250axxa的解集为M，若3M且5M，求实数a的取值范围。

223530531925553505aMaaaMa·∵，∴，，·∵，∴ 5．可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”（）、“且”（）和“非”（） 若pq为真，当且仅当pq、均为真 若pq为真，当且仅当pq、至少有一个为真 若p为真，当且仅当p为假 6．命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 2

原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7．对映射的概念了解吗？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许B中有元素无原象。） 8．函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9．求函数的定义域有哪些常见类型？

例：函数24lg3xxyx的定义域是 答：022334，，， 10．如何求复合函数的定义域？ 如：函数()fx的定义域是ab，，0ba，则函数()()()Fxfxfx的定义域是_____________。答：aa， 11．求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如：1xfxex，求()fx令1tx，则0t，∴21xt，∴212()1tftet，∴212()10xfxexx

12．了解反函数的定义。 13．反函数的性质有哪些？ ①互为反函数的图象关于直线y＝x对称； ②保存了原来函数的单调性、奇函数性； ③设()yfx的定义域为A，值域为C，aA，bC，则1()()fa=bfba，∴111()()()()ffafbaffbfab， 14．如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ ()yfu（外层），()ux（内层），则()yfx

当内、外层函数单调性相同时，()fx为增函数，否则()fx为减函数 3

如：求212log2yxx的单调区间。 设22uxx，由0u，则02x且12logu，211ux，如图 当(01]x，时，u，又12logu，∴y 当[12)x，时，u，又12logu，∴y ∴„„） 15．如何利用导数判断函数的单调性？ 在区间ab，内，若总有'()0fx，则()fx为增函数。（在个别点上导数等于零，不影响函数的单调性），反之也对，若'()0fx呢？ 如：已知0a，函数3()fxxax在1，上是单调增函数，则a的最大值是 A．0 B．1 C．2 D．3

令2'()33033aafxxaxx，则3ax或3ax，

由已知()fx在1，上是增函数，则13a，即3a，∴a的最大值为3 16．函数()fx具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （()fx定义域关于原点对称） 若()()fxfx总成立()fx为奇函数函数图像关于原点对称 若()()fxfx总成立()fx为偶函数函数图像关于y轴对称 注意如下结论： （1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 （2）若()fx是奇函数且定义域中有原点，则(0)0f

如：若22()21xxaafx·为奇函数，则实数a ∵()fx为奇函数，xR，又0R，∴(0)0f，即0022021aa·，∴1a

u O 1 2 x 4 又如：()fx为定义在(11)，上的奇函数，当(01)x，时，2()41xxfx，求()fx在(11)，上的解析式。

令10x，，则01x，，2()41xxfx 又()fx为奇函数，∴22()4114xxxxfx

又(0)0f，∴2,(10)41()0,02,0141xxxxxfxxx，， 17．你熟悉周期函数的定义吗？ 若存在实数0TT（），在定义域内总有()fxTfx，则()fx为周期函数，T是一个周期。 如：若()fxafx，则 答：()fx是周期函数，2Ta为()fx的一个周期。 又如：若()fx图像有两条对称轴xa，xb即()()fbxfbx，()()faxfax，则()fx是周期函数，2||ab为一个周期

如图： 18．你掌握常用的图象变换了吗？ ()fx与()fx的图像关于y轴对称

()fx与()fx的图像关于x轴对称

()fx与()fx的图像关于原点对称

()fx与1()fx的图像关于直线yx对称

()fx与(2)fax的图像关于直线xa对称

()fx与(2)fax的图像关于点(,0)a对称 5

将()yfx图像(0)(0)aaaa左移个单位右移个单位()()yfxayfxa(0)(0)bbbb上移个单位下移个单位()()yfxabyfxab 注意如下“翻折”变换：()|()|,()(||)fxfxfxfx

如：2()log1fxx 作出2|log1|yx及2log|1|yx的图像 19．你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？ （1）0ykxbk一次函数： （2）反比例函数：0kykx推广为0kybkxa是中心'()Oab，的双曲线。

（3）二次函数2224024bacbyaxbxcaaxaa的图像为抛物线

顶点坐标为2424bacbaa，，对称轴2bxa 开口方向：0a，向上，函数2min44acbya 0a，向下，2max44acbya 应用：①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程20axbxc，0时，两根12xx、为二次函数2yaxbxc的图像与x轴的两个交点，也是二次不等式20(0)axbxc解集的端

点值。 ②求闭区间［m，n］上的最值。 ③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

如：二次方程20axbxc的两根都大于

y y=log2x

O 1 x

(k<0) y (k>0) y=b O’(a,b)

O x x=a

y (a>0) O k x1 x2 x y y=ax(a>1) (01) 1

O 1 x (06

02()0bkkafk







，一根大于k，一根小于()0kfk

（4）指数函数：01xyaaa， （5）对数函数：log01ayxaa， 由图象记性质！（注意底数的限定！） （6）“对勾函数”0kyxkx 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ 20．你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算：01(0)aa，1(0)ppaaa，

(0)mnmnaaa，1(0)mnnmaaa

对数运算：logloglog00aaaMNMNMN·， 1logloglogloglognaaaaaMMNMMNn，

对数恒等式：logaxax 对数换底公式：logloglogloglogmncaaacbnbbbam 21．如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） 如：（1）xR，()fx满足()()()fxyfxfy，证明()fx为奇函数。 先令0(0)0xyf，再令yx，…… （2）xR，()fx满足()()()fxyfxfy，证明()fx为偶函数。 先令[()()]()xytfttftt，∴()()()()ftftftft， ∴()()ftft……

y O x k k