2021-2022学年上海市浦东新区部分校八年级(上)期中数学试卷(附答案详解)

2021-2022学年上海市浦东新区部分校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共5小题，共10.0分）1.下列二次根式中，最简二次根式的是()A. √abB. √5.5C. √3b+1D. √242.下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是()A. 13√8和5√13B. √a和√a2C. √2a和√2a2D. √8和√23.在下列方程中，是一元二次方程的是()A. ax2−2x−1=0B. x2=−1C. (x+2)(x−2)−x2=0D. 2x2−1x−3=04.已知关于x的一元二次方程(a−1)x2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是()A. a<2B. a>2C. a<−2D. a<2且a≠15.下列命题中，真命题是()A. 全等三角形的对应边相等B. 等腰三角形的对称轴是底边上的高C. 两边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形全等D. 同位角相等二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）6.使√(2−x)(x+1)=√2−x⋅√x+1成立的条件是______．7.化简：√24x3y4=______．8.计算：√m−3⋅√3−m=______．9.分母有理化：√3+2=______．10.关于x的一元二次方程ax2+x+a2+3a=0有一个根为0，那么a的值为______ ．11.当x=______时，代数式x2+4x的值等于−3．12.在实数范围内因式分解：2x2−3x−1=______ ．13.已知关于x的方程x2−(a+2)x+a−2b=0的判别式等于0，且x=12是方程的根，15.将命题“等角对等边”改写成“如果…，那么…”的形式：______ ．16.如图，AB=AC，D是BC上一点，当______或______时，AD⊥BC．17.等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2−6x+m=0的两个实数根，则m的值是______．三、解答题（本大题共9小题，共70.0分）18.计算：−43√18÷2√8×13√54．19.计算：aa−√ab −√a√a+√b．20.解方程：(x+2)(x−3)=6．21.解方程：3x2−4x−1=0．22.要使关于x的方程ax2−4(a−1)x+4a=0有实数根，整数a取得的最大值是多少？23.如图，点D、E、F在BC上，∠B=∠C，∠BAD=∠CAE，BD=EC，F是DE的中点．求证：AF⊥BC．24.将进价为40元的商品加价25%出售能卖出500个，若以后每涨1元，其销售量就减少10个，如果使利润为8000元，售价应该定为多少元？25.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE//AC，过点E作EF⊥AD于点O，交BC的延长线于F，连接AF，求证：AF=DF．26.如图1，已知在△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=a，在线段AC上有动点M，在射线CB上有动点N，且AM=BN，联结MN交AB于点P．(1)当点M在边AC(与点A、C不重合)上，线段PM与线段PN之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．(2)如图2，过点M作边AB的垂线，垂足为点Q，随着M、N两点的移动，线段PQ的长能确定吗？若能证明，请求出PQ的长；若不能确定，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A．√ab的被开方数中的因式不是整式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B.√5.5的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；C.√3b+1是最简二次根式，故本选项符合题意；D.√24=√22×6的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．根据最简二次根式的定义逐个判断即可．本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，注意：满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．2.【答案】D【解析】解：A、13√8=23√2，5√13=53√3，不属于同类二次根式，故本选项不符合题意；B、√a2=√2aa与√a不属于同类二次根式，故本选项不符合题意；C、2=|a|√2与√2a不属于同类二次根式，故本选项不符合题意；D、√8=2√2与√2属于同类二次根式，故本选项符合题意；故选：D．根据二次根式的性质进行化简，根据同类二次根式的概念判断即可．本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．3.【答案】BC.整理后包含二次项，是一元一次方程，故此选项不符合题意；D.是分式方程，故此选项不符合题意．故选：B．根据一元二次方程的定义(含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程)进行判断即可．本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)．4.【答案】D【解析】解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=(−2)2−4×(a−1)=4−4a+4=8−4a>0，解得a<2，又∵方程(a−1)x2−2x+1=0为一元二次方程，∴a−1≠0，即a≠1，故选D．若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2−4ac>0，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．5.【答案】A【解析】解：A、全等三角形的对应边相等，正确，是真命题，符合题意；B、等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、两边及其夹角相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；故选：A ．利用全等三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解全等三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定方法及平行线的性质，难度不大．6.【答案】−1≤x ≤2【解析】解：由题意得：2−x ≥0且x +1≥0．∴−1≤x ≤2．故答案为：−1≤x ≤2．根据二次根式有意义的条件(被开方数大于或等于0)解决此题．本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件(被开方数大于或等于0)是解决本题的关键．7.【答案】2xy 2√6x【解析】解：原式=√(2xy 2)2⋅6x =2xy 2√6x ．故答案为：2xy 2√6x ．直接根据二次根式的性质化简即可．此题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解决此题关键．8.【答案】0【解析】解：由题意可得：{m −3≥03−m ≥0， 解得：m =3，故原式=0×0=0．故答案为：0．直接利用二次根式有意义的条件得出m 的值，进而代入求出答案．此题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式乘法，正确得出m 的值是解题关键．9.【答案】2−√3【解析】解：√3+2=√3−2(√3+2)(√3−2)=2−√3．分子分母同乘以有理化因式2−√3．要将√a+√b中的根号去掉，要用平方差公式(√a+√b)(√a−√b)=a−b．10.【答案】−3【解析】解：根据题意，得a2+3a=0，且a≠0解得，a=−3；故答案是：−3．根据一元二次方程的解的定义，将x=0代入已知方程，列出关于a的一元二次方程，通过解方程即可求得a的值．本题主要考查了方程的解的定义．方程的根即方程的解，就是能使方程左右两边相等的未知数的值．11.【答案】−1或−3【解析】解：根据题意知x2+4x=−3，则x2+4x+3=0，∴(x+1)(x+3)=0，∴x+1=0或x+3=0，解得x=−1或x=−3，故答案为：−1或−3．先根据题意得出x2+4x=−3，整理成一般式，再利用因式分解法求解即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．12.【答案】2(x −3+√174)(x −3−√174)【解析】解：令2x 2−3x −1=0，解得：x =3±√174， 则原式=2(x −3+√174)(x −3−√174).故答案为：2(x −3+√174)(x −3−√174). 令原式为0求出x 的值，即可确定出因式分解的结果．此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.【答案】−138【解析】解：由题意可得：Δ=[−(a +2)]2−4×(a −2b)=0，即a 2+8b +4=0，再将x =12代入原方程得：2a −8b −3=0，根据题意得：{a 2+8b +4=02a −8b −3=0 两方程相加可得a 2+2a +1=0，解得a =−1，把a =−1代入2a −8b −3=0中，可得b =−58，则a +b =−138．故答案为−138．由Δ=[−(a +2)]2−4×(a −2b)=0得一关于a ，b 的方程，再将x =12代入原方程又得一关于a ，b 的方程．联立两个方程组成方程组，解方程组即可求出a 、b 的值．此题考查了根的判别式，以及方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为解方程组的问题．14.【答案】10%【解析】解：设平均每次降价率是x，依题意得：5(1−x)2=4.05，解得：x1=0.1=10%，x2=1.9(不合题意，舍去)．故答案为：10%．设平均每次降价率是x，利用经过两次降价后的价格=原价×(1−平均每次降价率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出平均每次降价率是10%．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【解析】解：因为条件是：有两个角相等，结论为：这两个角所对的边也相等．所以改写后为：如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．故答案为：如果有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可．本题主要考查了命题的定义，难度适中，正确理解定义是关键．16.【答案】∠BAD=∠CAD BD=CD【解析】解：AB=AC，D是BC上一点，当∠BAD=∠CAD或BD=CD时，AD⊥BC．故答案为：∠BAD=∠CAD，BD=CD根据等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17.【答案】8或9【解析】解：设等腰△ABC的腰长为a，底边长为b，当a=4，则4和b是关于x的方程x2−6x+m=0的两个实数根，∴4+b=6，4×b=m，∴b=2，m=8；当b=4，则a和a是关于x的方程x2−6x+m=0的两个实数根，∴a+a=6，a×a=m，故答案为：8或9．分类讨论：设等腰△ABC 的腰长为a ，底边长为b ，当a =4，则4和b 是关于x 的方程x 2−6x +m =0的两个实数根，根据根与系数的关系得到4+b =6，4×b =m ；当b =4，则a 和a 是关于x 的方程x 2−6x +m =0的两个实数根，根据根与系数的关系得到a +a =6，a ×a =m ，然后分别解方程即可．本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的判别式Δ=b 2−4ac ：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．18.【答案】解：原式=(−43÷2×13)√18÷8×54=−29×9√62=−√6．【解析】由二次根式的乘除法知：√a ÷√b =√a ÷b ，√a ×√b =√ab ，可得答案． 本题考查了二次根式的乘除法，利用了二次根式的乘除法．19.【答案】解：原式=√a)2√a(√a−√b)√a √a+√b =√a√a−√b √a √a+√b=√a √a+√b−(√a−√b)(√a−√b)(√a+√b) =√a ⋅2√b a−b =2√ab a−b． 【解析】先利用因式分解的方法变形得到原式=√a)2√a(√a−√b)−√a √a+b，然后约分后进行通分即可． 本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和乘法公式是解决问题的关键．20.【答案】解：整理为一般式，得：x 2−x −12=0，∴(x −4)(x +3)=0，则x −4=0或x +3=0，解得x 1=4，x 2=−3．【解析】先整理为一般式，再利用十字相乘法将左边因式分解，继而化为两个一元一次方程求解即可．本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．21.【答案】解：∵一元二次方程3x 2−4x −1=0的二次项系数a =3，一次项系数b =−4，常数项c =−1，∴x =−b±√b 2−4ac 2a=4±√16+122×3=2±√73， ∴x 1=2+√73，x 2=2−√73．【解析】利用求根公式x =−b±√b 2−4ac 2a解方程即可． 本题考查了解一元二次方程--公式法．利用求根公式x =−b±√b 2−4ac 2a解方程时，需要弄清楚公式中的字母所表示的含义．22.【答案】解：当a =0时，原方程为4x =0，解得x =0，满足条件；当a ≠0时，Δ=16(a −1)2−16a 2≥0，解得a ≤12，因为a 是整数，所以a 最大值=0．即整数a 取得的最大值是0．【解析】当a =0时，求得x =0，满足条件；当a ≠0时，根据已知得出△≥0，代入求出a 的范围，再求出范围内的最大整数值即可．本题考查了根的判别式，注意：一元二次方程ax 2+bx +c =0(a 、b 、c 为常数，a ≠0)，当b 2−4ac >0时，方程有两个不相等的实数根；当b 2−4ac =0时，方程有两个相等的实数根；当b2−4ac<0时，方程无实数根．23.【答案】证明：∵∠B=∠C，∴AB=AC，在△ABD和△ACE中，{∠B=∠CAB=AC∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE(ASA)，∴AD=AE，∴△ADE是等腰三角形，∵F是DE中点，∴DF=EF，∴AF⊥BC．【解析】证明△ABD≌△ACE(ASA)，由全等三角形的性质得出AD=AE，由等腰三角形的性质可得出结论．此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．24.【答案】解：设涨价x元，则每个的销售利润为(40×25%+x)元，可售出(500−10x)个，依题意得：(40×25%+x)(500−10x)=8000，整理得：x2−40x+300=0，解得：x1=10，x2=30，当x=10时，40×(1+25%)+x=40×(1+25%)+10=60；当x=30时，40×(1+25%)+x=40×(1+25%)+30=80．答：售价应该定为60元或80元．【解析】设涨价x元，则每个的销售利润为(40×25%+x)元，可售出(500−10x)个，利用总利润=每个的销售利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其代入[40×(1+25%)+x]中即可求出售价应该定为60元或80元．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25.【答案】证明：∵DE//AC，∴∠EDA=∠DAC，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE，∵EF⊥AD，∴EF垂直且平分AD，∴F在AD的垂直平分线上，∴AF=DF．【解析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质解答即可．此题考查等腰三角形的判定和性质，关键是根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质解答．26.【答案】解：(1)PM=PN．证明：过点M作MD//BC交AB于点D，∵MD//BC，∴∠MDP=∠NBP，∵AC=BC，∠C=90°，∴∠A=∠ABC=45°，∵MD//BC，∴∠ADM=∠ABC=45°，∴∠ADM=∠A，∴AM=DM．∵AM=BN，∴BN=DM，在△MDP和△NBP中，{∠MDP=∠NBP ∠MPD=∠NPB DM=BN，∴△MDP≌△NBP(AAS)，∴MP=NP；(2)线段PQ的长能确定，理由：过点M作边AB的垂线，垂足为Q，过M作MD⊥AC交AB于D，∴△AMD也为等腰直角三角形，设DM=AM=BN=x，∴AD=√2x，∵MD⊥AC，BC⊥AC，∴DM//CN，故由PM=PN得：BP=DP=12BD，∵AB=a，BD=AB−AD=a−√2x，∴BP=12BD=12a--√22x，∵MQ⊥AB，在等腰直角三角形AMD中，DQ=AQ=12AD=√22x，∴PQ=PD+DQ=12a，∴线段PQ长度确定，与M、N的移动无关，长为12a.【解析】(1)过点M作MD//BC交AB于点D，求出DM=BN，证△MDP≌△NBP即可；(2)线段PQ的长能确定，过点M作边AB的垂线，垂足为Q，过M作MD⊥AC交AB于D，于是得到△AMD也为等腰直角三角形，设DM=AM=BN=x，根据勾股定理得到AD=√2x，根据平行线的判定得到DM//CN，故由PM=PN得：BP=DP=12BD，由AB=a，BD=AB−AD=a−√2x，于是得到BP=12BD，根据等腰直角三角形的性质得到DQ=AQ=12AD=√22x，于是得到PQ=PD+DQ=12a，即可得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。