《结构动力学》-第十一章-结构动态特性的灵敏度分析及动力修改解析
结构动力学ch1
第一章 绪论
§1.1结构动力学基本特征 §1.2离散化方法 §1.3结构振动方程建立
3
§1.1结构动力学基本特征
1、结构动力计算的特点
结构力学
静荷载 :大小、方向或位置不随时间而变， 或变得很慢
结构动力学
动荷载：荷载的大小、方向和作用位置
随时间而变化。
绝大多数实际荷载都是动荷载，但是：
θt
偏心质量m,偏心距e,匀角速度θ 惯性力:P=m θ2e,其竖向分量和
水平分量均为简谐荷载.
P(t )
P
t
t
简谐荷载（harmonic load） 一般周期荷载(periodic load)
非简谐周期荷载：荷载随时间周期性变化，但不能简单用三 角函数来表示。
如： ①平稳情况下波浪对堤坝的动水压力，
设计师莫伊塞夫闻讯后愧疚不已，尽管在设计中他已经作了 当时所要求的全部抗风静力核算，美国政府与公众也没有追究 他的个人责任，但他还是一病不起，几年后就去世了。
13
§1.1结构动力学基本特征
幸运的是，这次
事故没有人员伤亡，
而且当时在现场的
一位摄影师，拍下
了旧塔科马桥风毁
的全过程，给桥梁
抗风动力研究留下
10
§1.1结构动力学基本特征
Tacoma悬索桥风毁事故
Tacoma海湾(Tacoma Narrows)位于美国西海岸的华盛顿 州，1940年在这里建成了一座悬索桥(Old Tacoma Narrows Bridge)，史称旧塔科马悬索桥，见图1-1-1。
该桥为三跨连续加劲梁悬索桥．主跨853m，宽11.9m， 加劲粱为H型板梁，梁高只有2.45m。该桥的宽跨比为1／ 71.6，高跨比为1／348，是当时最细长的桥梁，并且该桥的 H型板粱的抗扭刚度几乎等于零。
结构动力学
由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称
为该函数的变分。
从图中可看出，q 实际上代表了虚位移。
(2) 变分与微分的区别
变分：自变量不变，仅由于函数本身形式
的微小改变而得到的函数的改变；
微分：由于自变量的 q 微增量而引起 的函数的微增 量。
o
p, q=q(t)+εη(t)
δq dq q=q(t)
p dt t
miai ri
i 1
k d T j1 dt q j
T q j
q
j
(9)
n
n
n
k
Fi ri miai ri 0 (2)
Fi ri Qjq j (3)
i 1
i 1
i 1
j 1
将此结果代入(2)式中得：
k
j 1
d dt
T q j
T q j
Qj q j
0
(10a)
当主动力有势力时： 式中得：
——又称为达朗伯拉格朗日方程
3. Hamilton原理
(1) 变分的概念
微分：设有一连续函数q=q(t)，其中t为自变
量，q为因变量；
当t有微增量dt时，引起函数的微增量dq，称
为该函数的微分，
q
且： dq q'(t)dt
或: q' (t ) dq dt
p, q=q(t)+εη(t)
δq dq q=q(t)
式中：P(t)可以包括：(1) 弹性约束力；(2) 粘滞阻
尼力；(3) 外荷载等等, mv(t) 为惯性力。
即：质量点m在其所受的外力及惯性力
F I mv(t)
下的作用下平衡，这称为达朗贝原理。
结构动力学问题
结构动力学问题结构动力学问题问题一：什么是结构动力学问题？结构动力学问题是指在工程领域中研究建筑结构或其他物体在外力作用下的运动和响应的问题。
它涉及到结构的振动、应力分布、破坏等方面。
问题二：结构动力学问题的分类有哪些？1.自由振动问题：研究结构在无外界作用力下的振动情况。
2.强迫振动问题：研究结构在外界周期性或非周期性作用力下的振动情况。
3.破坏问题：研究结构在外界作用力超过其承载能力时的破坏过程。
4.随机振动问题：研究结构在随机激励下的振动情况，如地震荷载等。
5.稳定性问题：研究结构稳定性失效和局部失稳的问题。
问题三：结构动力学问题的解决方法有哪些？1.数值模拟方法：通过建立结构的数学模型，应用数值计算方法求解结构的动力响应。
常用的方法包括有限元法、边界元法等。
2.实验方法：通过搭建实验平台，对结构施加外力，测量结构的动态响应，从而得到结构的振动特性。
3.分析方法：通过对结构形状和材料特性进行分析，推导出结构的动态响应方程，并通过求解方程得到结构的动态特性。
问题四：结构动力学问题的应用领域有哪些？1.建筑工程：研究建筑结构在地震、风载等外界作用下的稳定性和安全性。
2.桥梁工程：研究桥梁结构在车辆荷载、风载、地震等作用下的动态响应和疲劳寿命。
3.航天航空工程：研究飞机、火箭等航空器的结构振动和疲劳寿命。
4.汽车工程：研究汽车车身和悬架等结构在行驶过程中的振动特性和稳定性。
问题五：为什么解决结构动力学问题很重要？解决结构动力学问题可以帮助工程师更好地设计和优化结构，确保结构的稳定性和安全性。
通过深入研究结构的动态响应和破坏过程，可以提高结构的抗震、抗风等能力，降低事故风险，保障人员和财产的安全。
此外，研究结构的振动特性也有助于改善结构的舒适性和使用性能，提升人们的生活质量。
问题六：结构动力学问题的挑战是什么？1.复杂性挑战：结构动力学问题涉及到多个因素的相互作用，如结构几何形状、材料特性、外界荷载等，因此求解过程复杂。
基于频率灵敏度分析的木工机床结构动力学修改与重分析方法
Ｔｈ ｅｈ ｄ ｏ ｎ Ｉ ｉ ｓｇ ｎ ａ ａｙ ｉ ｎ ｔ ｅ Ｓ ｒ ｃ ｕ ｅｏ ｅ Ｍ ｔ ｏ ｆＤｙ ａ Ｉ ｃ Ｄｅ ｉ ｎ ａ ｄ Ｒｅ ｎ ｌ ｓｓｏ ｈ ｔ ｕ ｔ ｒ ｆ ｌ
收 稿 日期 ：０ ７ ｏ — ３ ２ ０ 一 ４ ２
定性 的改进手 段 ， 从而得到一个具 有更好静 、 动态特性 的产 品设计 方案。这种定性 的动态设计方法虽然 在一 定程度 上提高 了机床 的动 态性能 ，但却无法定量 地分
析机床需要 改进的具体位置 及参数 ，且无法说 明改进
后 的具体效果 。为解决这一问题 ， 本文提 出了一种基于
Ｗ ｏ ｄ ｒ ｉ ｇ Ｍ ａ ｈ ｎ ｏ ｓ ｄ ｏ ｅ ｓｔ ｉ ａ ｙ ｉ ｏ ｗｏ ｋ ｎ ｃ ｉ ｅ Ｔｏ ｌＢａ ｅ ｎ Ｓ ｎ ｉ ｖ ｔ Ａｎ ｌｓｓ ｉ ｙ
ＬＩ Ｃ ｅ ｇ ＨＵＡ ｕ Ｕ ｈ ｎ ， Ｊｎ （ ｏｔｅｓ Ｆ ｒ ｔ ｎｖｒ ｔ Ｈ ｉ ｎｊ ｎ ａｂｎ１０ ４ ， ｈｎ ） Ｎ ｒ ａｔ ｏｅ ｒ Ｕ ｉ ｓｙ ｅｌ ｇｉ ｇＨ ｒｉ ５ ００ Ｃ ｉａ ｈ ｓｙ ｅ ｉ， ｏ ａ
１ 概
述
工程实 际情 况 ，给出其动态特性 的要求或预定 的动 态 设计 目标 ，再 针对模型 中所确定 的机床薄弱环节 提出
木工机床 的动 态性能分析主要是指对 木工机床 动
力学模型进行 的性 能分析和 以增强机 床动态性能 为 目
的的结构优化设计 。它涉及现代机械结 构动态分析方 法、 计算机技术 、 产品结构动力学理论 等众多学科 。 目 前， 还没有形成一套 完整的结构动态设计 理论 、 方法 和 体系 。一般而言 ， 设计者首先要对需要改进 的产品结 构 实物进行动力学建模 ， 并作动态特 性分析 。然后 ， 据 根
《结构动力学》PPT课件
P
sin t
计算步骤: 1.求振型、频率;
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求组合系数;
N
y(t)
Y
i
Di
(t )
i 1
15
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解:
1 5.692
6
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所 附加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y(x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）
j
Y T j
2 j
K
* j
/
M
* j
k Y j
2 j
Y
T j
mY j
折算体系
13
一.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) Yi Di (t)
EI
D2 (t)
2 2
D2
(t )
P2* (t)
/
M
* 2
D2 (t)
0.1054
10 2
Pl 3 EI
s in t
例一.求图示体系的稳态振幅.
模态分析意义
模态分析意义模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。
这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。
通常，模态分析都是指试验模态分析。
振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。
如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。
因此，模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。
机器、建筑物、航天航空飞行器、船舶、汽车等的实际振动千姿百态、瞬息变化。
模态分析提供了研究各种实际结构振动的一条有效途径。
首先，将结构物在静止状态下进行人为激振，通过测量激振力与胯动响应并进行双通道快速傅里叶变换（FFT）分析，得到任意两点之间的机械导纳函数（传递函数）。
用模态分析理论通过对试验导纳函数的曲线拟合，识别出结构物的模态参数，从而建立起结构物的模态模型。
根据模态叠加原理，在已知各种载荷时间历程的情况下，就可以预言结构物的实际振动的响应历程或响应谱。
近十多年来，由于计算机技术、FFT 分析仪、高速数据采集系统以及振动传感器、激励器等技术的发展，试验模态分析得到了很快的发展，受到了机械、电力、建筑、水利、航空、航天等许多产业部门的高度重视。
已有多种档次、各种原理的模态分析硬件与软件问世。
在各种各样的模态分析方法中，大致均可分为四个基本过程：（1）动态数据的采集及频响函数或脉冲响应函数分析1）激励方法。
试验模态分析是人为地对结构物施加一定动态激励，采集各点的振动响应信号及激振力信号，根据力及响应信号，用各种参数识别方法获取模态参数。
激励方法不同，相应识别方法也不同。
结构动力学克拉夫
结构动力学克拉夫结构动力学是研究结构在外力作用下的变形和运动规律的学科。
它能够揭示结构的响应特性，并应用于工程和建筑物的设计、分析和优化等领域。
在结构动力学中，克拉夫方法是一种常用的数值分析方法，可以有效地求解结构的动力响应。
下面将详细介绍克拉夫方法的原理和应用。
克拉夫方法是一种离散激励动力分析方法，适用于求解线性多自由度系统的动力响应。
克拉夫方法的基本原理是离散化结构，将其简化为一系列互相连接的质点，然后通过求解质点的加速度、速度和位移来获取结构的动态特性。
克拉夫方法中引入了模态分析的概念，将结构的振型表示为一系列正交的模态，并通过求解每个模态的响应来得到结构的总响应。
在应用克拉夫方法进行结构动力分析时，首先需要建立结构的有限元模型。
该模型需要包括结构的几何形状、材料特性和边界条件等信息。
然后，通过解结构的动力方程可以得到结构的模态频率和振型。
一般情况下，结构的模态频率并不是均匀分布的，其中低频模态对结构的响应起主导作用。
因此，在求解结构的总响应时，可以只考虑前几个重要的低频模态。
在进行克拉夫分析时，需要给定一个外力激励。
这个外力激励可以是单个点的冲击载荷、均匀分布的动力载荷或者地震作用等。
通过将外力激励进行傅里叶变换，可以将其转化为频域中的振动谱。
然后，根据每个模态的频率和阻尼比，可以得到每个模态的响应谱。
最后，通过叠加所有模态的响应谱，可以得到结构的总响应谱。
这个总响应谱描述了结构在给定的外力激励下的动力响应特性。
克拉夫方法的优点是能够考虑结构的动态特性和边界条件，同时对结构的几何形状和材料特性并不敏感。
它可以用来分析和优化各种类型的结构，包括桥梁、建筑物、风力发电机塔等。
克拉夫方法可以帮助工程师预测结构的响应，并在设计阶段进行结构的优化，以提高结构的稳定性和安全性。
然而，克拉夫方法也有一些局限性。
首先，克拉夫方法仅适用于线性多自由度系统，对于非线性或者含有阻尼的系统，需要进行额外的处理。
结构动力学1 56页
Dynamics of Structures
雷庆关 2011年3月
2019/12/11
Dynamics of Structures
1
参考教材
1.《结构力学(Ⅱ)》龙驭球、包世华主编，高等教育出版社 2.《结构动力学及其应用》陆伟民、刘雁编著，同济大学出版社 3.《结构动力学》包世华编著，武汉理工大学出版社 4.《结构动力学》杨茀康编著，人民交通出版社
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载）
结构 （系统）
输出 （动力反应）
输出 （动力反应）
控制系统 （装置、能量）
2019/12/11Dynamics of Structures
本课程主要介绍结构的反应分析,其主要任务是：
讨论结构在动力荷载作用下反应的分析方法。 寻找结构固有动力特性、动力荷载和结构反应三者 间的相互关系，即结构在动力荷载作用下的反应规 律，为结构的动力可靠性（安全、舒适）设计提供 依据。
两个质点 一个DOF
两个质点 三个DOF
复杂体系可通过附加链 杆法确定体系的自由度
（2）体系动力自由度与其超静定次数无关
（3）体系动力自由度决定了结构动力计算的精度
转化
2019/12/11Dynamics of Structures
1.2 单自由度体系的自由振动
1.2.1 单自由度体系自由振动微分方程的建立 1.2.2 自由振动微分方程的解答 1.2.3 结构的自振周期和自振频率 1.2.4 阻尼对自由振动的影响
y
y2
EI
EI 2EI
(a)单自由度
v(t) u(t)
θ(t)
(c)三个自由度
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i
i0
1 s s 2 s 2 s2 m xi yi zi 2
s s s zi xi 式中：m s 为在节点处所加的质量， 、 yi 、 分别 为原结构第i阶模态在节点处的x、y、z方向线位移分量。
定义相对灵敏度：
i i0
0
0
i
i0
i
i ij j0 (5)
n
K M 0 (6)
2 i i
j 1
将式(4)代入式(6)，展开后略去二阶及二阶以上的小量， 并考虑到
K M 0
0 2 i0 0 i0
K M K M 2
s m s Ti 0 1 s s2 s2 s2 ms 2 m xi yi zi 2 i0
s Ti 0 为原结构节点处的第阶模态动能。
对某阶模态而言，哪个节点的模态动能大，哪个节点 即是质量修改的敏感节点。
２、节点加弹簧灵敏度分析 经过推导，可得节点加弹簧灵敏度
2 i0 i0 0 2 i0 0 i
i0
i M 0 i 0 0 (7)
将式(5)式代入(7)，然后左乘以 j 0 T ，并考虑到式(3)，可得
K M
T j0 2 i0 i0 ij
2 j0
i20 2i 0 i ij 0 (8)
0 ij 1
i j i j
当i＝j时，有
i
i 0
i 0 T K i20 M i 0 (9)
2i20
当i≠j时，有
ij
K M (10 )
T j0
i20
i i0 1 1 EA i i L r rn rm 2 L2 L 2i 0 r x, y , z
2 2 i 2 L 2E i 0 rj j m, n r x , y , z
n0 (2)
M I
T 0 0 0
0 T K0 0 i20 (3)
若：
ห้องสมุดไป่ตู้
K K K M M M i i0 i (4)
§11-2 基本原理
系统运动微分方程为：
K X 0 M0 X (1) 0 0 0
各阶固有频率和相应的模态向量为
2 10 i20
2 20
2 n0
0 10 20
i i0
K s K s s Ks 2 2 ri i0
对每个节点S，哪个方向的模态线位移最大，哪个方向就是 该点所加弹簧的方向；对某阶模态，哪个节点的模态线位 移大，则哪个节点即是点加刚度修改的敏感节点。
３、两点间加杆（弹簧）的灵敏度分析 两点间加杆（弹簧）的灵敏度
结构动力修改具有两方面的工程含义：一是计算模型的修 改，二是结构的动力修改。前者是用从模态试验中获得的 结构模态参数测试数据（作为基准）对有限元模型进行修 正，以获得置信度较高、能准确反映结构动态特性的数学 模型。
后者则包含正、反两方面的问题，正问题是指：若对结构 作了小改动，在原结构模态参数已知的条件下，如何快速 有效地获得改动后的结构模态参数。 反问题是指：若原结构动态特性不合要求，如何修改结构 物理参数及确定修改量，使其动特性满足给定的要求。
为了有效地进行结构的动态设计与修改，人们必须了解哪 些物理参数对结构的动特性影响较大（也就是说研究结构 的动特性对这些结构参数的敏感程度）。
比如在结构上何处加质量、何处加弹簧，在哪两点之间加 杆，如何改变单元刚度（几何尺寸、形状等）等，使结构 某些指定的模态参数变化最大。这就是所谓的结构动态特 性的灵敏度分析。灵敏度分析理论为人们有目的的修改结 构指明了方向，从而优化设计、减少费用、缩短设计周期、 提高效率。 灵敏度定义：①应变量的变化／自变量的变化；②应变量 的相对变化／自变量的相对变化。 另有两种称为半灵敏度的定义：①应变量的变化／自变量 的相对变化；②应变量的相对变化／自变量的变化。
第十一章
结构动态特性的灵敏度分析及动力修改
§11-1 引言
由于力学上的假设、简化处理等，所建立的有限元模型往 往与实际结构有着一定的差距：如质量阵中不能确切反映 惯性力的分布、各构件（单元）间的联接、边界的约束条 件、阻尼情况等，都与实际情况并不完全相符； 另外，计算机容量和运算速度，也限制了单元的过细划分 和自由度数的设置。这就使结构的动态特性计算精度不够， 从而必须对有限元模型进行修正。 另一方面，即使有限元模型置信度很高，但随着机械设备向 高速化、轻量化、大型化、复杂化方向的发展，人们不可能 一次设计出高质量的产品，而必须对结构作优化设计，即要 多次修改设计（有限元模型），进行重分析和计算，直到产 品的动特性达到满意的要求。这就是动力修改的问题。
2 i0 2 j0
i0
为了求 ii ，可令
i M i 1 (11)
T
将式(4)、(5)代入式(11)，并考虑到式(3)，可得
1 ii i 0 T M i 0 (12) 2
１、点加质量灵敏度分析 经过推导，可得点加质量灵敏度