矩阵分析课后习题解答(整理版)

第一章 线性空间与线性变换

（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）

（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）

1.9.利用子空间定义，)(A R 是m C 的非空子集，即验证)(A R 对m C 满足加法和数乘的封闭性。 1.10.证明同1.9。

1.11.rankA n A N rankA A R -==)(dim ,)(dim （解空间的维数）

1.13.提示：设),)(-

⨯==n j i a A n

n ij （，分别令T

i X X ),0,0,1,0,0(K K ==(其中1位于i X 的第i 行），代入0=AX X T ，得0=ii a ；令T ij X X )0,0,10,0,1,0,0(K K K ==（其中1位于ij X 的第i 行和第j 行）

，代入0=AX X T ，得0=+++jj ji ij ii a a a a ，由于0==jj ii a a ，则0=+ji ij a a ，故

A A T -=，即A 为反对称阵。若X 是n 维复列向量，同样有0=ii a ，

0=+ji ij a a ，

再令T ij i X X ),0,1,0,0,,0,0(K K K ='=(其中i 位于ij X 的第i 行，1位于ij X 的第j 行），代入0=AX X H ，得0)(=-++ij ji jj ii a a i a a ，由于

0==jj ii a a ，ij ji a a -=，则0==ji ij a a ，故0=A

1.14.AB 是Hermite 矩阵，则AB BA A B AB H H H ===)(

1.15.存在性：令2

,2H

H A A C A A B -=+=，C B A +=，其中A 为任意复矩阵，可验证C C B B H H -==,

唯一性：假设11C B A +=，1111,C C B B H H -==，且C C B B ≠≠11,，由

111

1C B C B A H

H H -=+=，得C A A C B A A B H

H =-==+=

2

,211（矛盾) 第二章 酉空间和酉变换

（注意实空间与复空间部分性质的区别）

2.8 法二：设~

2121),,()0,0,1,0,0)(,,(X e e e e e e e n T

n i K K K K ==（1在第i 行）；

~

2121),,()0,0,1,0,0)(,,(Y e e e e e e e n T

n j K K K K ==（1在第j 行）

根据此题内积定义⎩

⎨

⎧≠===j i j

i X Y e e H j i 01),~

~（ 故n e e e K ,,21是V 的一个标准正交基。

（注意，在无特别定义的情况下，内积的定义默认为X Y Y X H =),(） 2.15 先求得C 使Λ=AC C H ，假设CB P =，使I AP P H =，则有Λ=-1)(H BB ，依次式求得B ，进而求得P 。(此方法不一定正确）

2.16 将），，（321ααα进行列变换化为阶梯型知可取21αα，为其中两个

基，另两个基可取T T

)1,0,0,0(,0,1,0,043==

αα）（，化标准正交基略。 2.17 略

第二章 矩阵的分解

注：例2.9（1）中的Jordan 标准型有误，⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣

⎡=111

1

J ，Jordan 标准型不唯一，各Jordan 块之间可以互换，互换的原则是：同一特征值对应的Jordan 块之间可以互换；不同特征值对应的Jordan 块整体可以互换。 3.7、3.8同3.1 3.11 方法同上

3.12 由O A k =知A 的特征值全为0（x x A x Ax x k k λλ=⇒=≠∀,0），则I A +的特征值全为1，根据行列式与特征值的关系，则1=+I A 3.27 略

3.29 见课本P67例3.17 3.30 见课本P69例3.19

第三章 范数及其应用

4.12 （1）22

A A A m F ≥=，{}22222,min

B A B A B A AB F F ≤≤

（2）22

221

)()(m ax A A n

A A A tr A A n A n F F H H i ≤⇒

=≥=λ ∞

≤≤≤m m F A n A A A 1

2易证。

第七章 广义逆矩阵