一道经典不等式的一题多解,拓展思维(欧建华)
一道真题引出的高考数学中计算的小技巧
一道真题引出的高考数学中计算的小技巧 中山市第二中学 欧建华07全国(文、理)这里只对第二问进行分析，下面是全国卷的标准答案：(拟对红色部分进行分析)（Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． (a) 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+ 2222122212243(1)1(1)()432k BD k x x k x x x x k +⎡⎤=+-=++-=⎣⎦+g g ； (b) 因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-， 所以，2222143143(1)12332k k AC k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==+⨯+． 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦g ≥． (c) 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD 的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． (d)[析]这道题目从总体上来看，中等难度，题型经典，对大多数学生来讲想到怎么做是不难的，但是要真正做对（包括结果正确，分类完整）是很有难度的，这点从多次课堂试验可以看得出来。
在此对以上这道真题中所涉及的几个小小计算技巧做一个简单的分析，总共有四个点： (a) 整理化简技巧做数学大题，必定会遇到整理化简的时候，许多学生在化简的时候经常出现这样那样的失误，原因很简单，计算量一大，一个方程就占了两三行，这样最容易出错。
(a)式中，要把直线方程(1)y k x =+代入椭圆方程22132x y +=中，容代入后易得到 22223(1)60x k x ++-=到了这一步许同学会开始打草稿，其实不必要，打草稿太费时间。
多解高中数学一题多解之不等式专项
多解高中数学一题多解之不等式专项
纵观高中数学，每一道所谓的难题都有至少两种以上的方法去解决它。
高考客观压轴题也是如此。
一种是常规解题思路的方法。
学生容易思考，但是运算量大，耗时比较久。
一种是非常经典的方法，可以秒杀，但是学生如果不经过长期的训练很难想到此种方法。
一题多解旨在开发学生的思维，激发学生潜能，举一反三，灵活应用，达到完全驾驭数学的目的。
不等式专项
例题一
方法1
方法2
点评
求目标函数的最值，必须先准确地作出线性约束条件表示的可行域，再根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点，进而求出目标函数的最值．
例题二
例题三
方法1:方程思想(换元)
方法2:待定系数法
方法3:数形结合(线性规划)
点评
利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径.
例题四
总结升华
例题五
不等式选讲部分内容专项1
方法1
方法2
方法3
2
方法1
方法2
3
方法1：放缩法
方法2：数学归纳法
4
5
方法1：放缩法
方法2：反证法
文章来源：高论数学，作者：高卫；如存在文章/图片/音视频使用不当的情况，或来源标注有异议等，请联系编辑微信：ABC-shuxue第一时间处理。
对一道不等式题的多解探究
或 x > (1− p)max ， −2 ≤ p < 0 ， 易得 x < 1，或 x > 3 ； ③若1 > 1− p ，即 p > 0 时， x <1− p 或 x >1， 又因为 | p |≤ 2 ，所以 x < (1− p)min ， 或x >1，0< p ≤ 2， 易得 x < −1 ，或 x > 1 ． 综上， x < −1 ，或 x > 3 ． 分析 1 为什么这里对 p 分三类解答后，还要对 三个结果求交集呢？题目中要求不等式 x2 + px +1 > 2x + p 对于满足 | p |≤ 2 的所有 p 都成立，也就是说当 p = 0 ，−2 ≤ p < 0 以及 0 < p ≤ 2 时不等式都成立，反 过来说，只有当 x < −1 ，或 x > 3 时，不等式 x2 + px + 1 > 2x + p 对于满足 | p |≤ 2 的所有 p 都成立，因此这里 要取交集． 解法 2 （从参变分离看） 原不等式化为 x2 − 2x +1 > p − px= p(1− x) ， 即 (x −1)2 > − p(x −1) 对任意的 | p |≤ 2 恒成立． ①若 x −1 =0 ，即 x = 1 时， 0 > 0 ，不成立； ②若 x −1 > 0 ，即 x > 1 时， − p < x −1 对任意的 | p |≤ 2 恒成立， 所以 x −1 > (− p)max ， | p |≤ 2 ，
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福建中学数学
2019 年第 11 期
易知 (− p)max = 2 ， 所以 x −1 > 2 ，即 x > 3 ；
在初中数学一题多解中培养学生数学思维的探讨
在初中数学一题多解中培养学生数学思维的探讨在初中数学教学中，碰到多解的数学问题是很常见的。
多解问题能够培养学生的数学思维，激发他们的兴趣，提高他们的解决问题的能力。
多解问题能够激发学生的求知欲。
解决一个数学问题可能有多种方法，不仅能够增加学生的求知欲，还能够培养他们的探究精神。
学生们在解决多解问题的过程中，可能会提出不同的思路，互相交流讨论，从而开拓思维，激发学习的兴趣。
多解问题能够培养学生的逻辑思维。
解决多解问题需要学生具备良好的逻辑思维能力，只有通过分析、比较不同的解决方法，才能选择最合适的方法。
学生们在解决多解问题的过程中，需要思考逻辑关系，找出不同解决方法之间的联系和差异，培养他们的逻辑思维能力。
在教学中，教师可以通过多种方式来引导学生进行多解问题的学习：教师可以提供多个不同的解决方法。
教师可以将自己的解决方法告诉学生，并鼓励学生自己尝试找出其他解决方法。
这能够激发学生的学习兴趣，培养他们的探究精神。
教师可以组织学生之间的小组讨论。
学生可以互相交流各自的解决思路，并比较不同的方法。
在讨论中，学生们可以学习到其他同学的优秀思路，拓宽自己的思维。
教师还可以鼓励学生进行问题拓展。
学生可以尝试修改问题的条件或者扩大问题的范围，寻找更多的解决方法。
这能够培养学生的创新能力和问题解决能力。
多解问题在初中数学教学中具有很重要的作用。
通过解决多解问题，学生们可以增加求知欲，培养探究精神；培养逻辑思维，提高批判性思维；培养创新能力，提高问题解决能力。
教师应该在教学中注重多解问题的引入和培养学生的数学思维。
高三数学《一题多解一题多变》试题及详解答案 .
高三《一题多解 一题多变》题目一题多解 一题多变（一）原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤，得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<，得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <40≤≤∴m变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911822,∈+++=x nx mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴ 5==n m∴ 当m y =时，08==mn x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒ （2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 一题多变（二）已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=，因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式q q a a s n n 一一11=，qq a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+ 则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）变题：已知54=αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒ 变1：54=αsin ，求αtan解：054>=αsin ，所以α是第一或第二象限角若是第一象限角，则3453==ααtan ,cos若是第二象限角，则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ，所以当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan当α时第一、第四象限角时，21mm α一=tan当α是第二、第三象限角时，21mm α一一=tan一题多解 一题多变（三）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（四）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法2112+=+=)-()(x x x x x f ，当01=xx -时，1=x ，此时 )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（五）题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、，椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥，下面结论正确的是———————————————————————（ ）（A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个（C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在解法一：以21F F 为直径构圆，知：圆的半径b c r =<==43，即圆与椭圆不可能有交点。
08年广东高考理科数学压轴题点评——欧建华
08年广东高考理科数学压轴题点评中山大学 欧建华21、设p ，q 为实数，α、β是方程02=+-q px x 的两个实根，数列}{n x 满足p x =1，q p x -=22，21---=n n n qx px x (=n 3,4,…)。
（1）证明：p =+βα，q =αβ； （2）求数列}{n x 的通项公式； （3）若1=p ，41=q ，求}{n x 的前n 项和n S ；【分析】本题数列的通项比较特殊，数列的每一项均由前两项通过21---=n n n qx px x 确定，对于未触过此类数列，或不熟悉此类数列的考生有较大的难度，因此解决本题的关键在于式子21---=n n n qx px x 的处理之上。
仔细分析本题，有考生会问，本题第二问是求数列}{n x 的通项公式，而题干中所提到的方程02=+-q px x 似乎没什么关系。
事实上，如果本题改为：“设p ，q 为实数，数列}{n x 满足p x =1，q p x -=22，21---=n n n qx px x (=n 3,4,…)。
（1）求数列}{n x 的通项公式； （2）若1=p ，41=q ，求}{n x 的前n 项和n S ；”显然是也可以的，但这样明显大大提高了解题难度。
正因如此本题的方程“02=+-q px x ”及第一问“证明：p =+βα，q =αβ；”其实只是一种辅助作用：一是暗示考生本题的解决与方程“02=+-q px x ”的两个根α、β是有关的；二是提示解决本题的一个方法，即数列特征方程的方法。
【解答】 （1）证明：由于α、β是方程02=+-q px x 的两个实根，故该方程也可表示为0)(=--βαx x ）（可就是 0)(2=++-αββαx x 对比系数可得⎩⎨⎧==+qpαββα （2）解：由已知，有21---=n n n qx px x ① 又由（1）,可知⎩⎨⎧=+=αββαq p ② 把②代入①得 21)(---+=n n n x x x αββα整理后，有 )(211----=-n n n n x x x x αβα ③ 在式③中，令 1--=n n n x x y α ④ 于是 1-=n n y y β （=n 3,4,…） ⑤ 根据⑤式，把数列n y 看成公比为β的等比数列，于是就有)(12222x x y y n n n αββ-==-- ⑥由已知条件 ⎩⎨⎧-==qp x px 221 ⑦ 在式②与式⑦中，消去参数p 、q ，整理得nn n y ββαααββαβ=+--+=-)]()[(22⑧把④式代入⑧式，有 nn n x x βα=--1 ⑨根据⑨式，有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-⋯⋯=-=-=--------2122321211βαβαβαβαx x x x x x x x n n n n n n n n n ⑩联立⑩中各式，得数列}{n x 的通项公式为⎪⎩⎪⎨⎧+--==++=-∑nn n ni in i n n x λβαβαβα)1(110时当时当λβαβα==≠ （3）解：由于1=p ，41=q ，代入②式，得21==βα根据（2）里分析，数列}{n x 的通项公式可写成 nn n x 21+=现令 ∑=-+++⋯+++==ni nn n n n n x S 1132212242322上式两边同时乘21，有143221224232221++++⋯+++=n nn n n S两式相减得143221)21212121(2221++-+⋯++++=n nn n S上式两同时乘2，整理得数列}{n x 的前n 项和为n nn n S 2323--⋅=【点评】这是一道考查考生对数列掌握程度的好题，高考数列题，特别是大题，单独考查等差、等比数列几乎是不可能的。
高中数学拔尖一题多解第2讲：恒成立(含解析)
一题多解第2讲多姿多彩恒成立，精彩各异策略多典型例题【例1】(I) x a x y 对任意的,0x y 恒成立,求a 的取值范围;对任意的,0x y 恒成立,求k 的取值范围.【例2】已知函数 2242cos 1sin 1(0)x f x x x x x,若 f x M 恒成立,则M 的取值范围是。
【例3(1)a x ay 对任意,(0,)x y 恒成立,则实数a 的取值范围是。
【例4】设,a b c n N ,且11na b b c a c恒成立,n 的最大值是。
【例5】若关于x 的不等式e (1)0xa xb 在R 上恒成立,求(1)a b 的最大值.【例6】已知函数1()1(0)f x x x,若存在实数,()a b a b ,使()y f x 的定义域为(,)a b 时,值域为(,)ma mb ,则实数m 的取值范围是（）A.14mB.104mC.14m且0m D.14m【例7】设函数222()()ln 2f x x a x a,其中0,x a R ,存在0x R ,使得045f x 成立,则实数a 的值是（）A.15B.25C.12D.1【例8】设()f x 为定义在R 上的奇函数,且0x 时,2()f x x .若对任意的[,2],()x t t f x t 2()f x 恒成立,则实数t 的取值范围为。
【例9】已知函数2()1,f x x ax a a R ,若对于任意的(0,4)a ,存在0[0,2]x ,使得t0f x 成立,则实数t 的取值范围为。
强化训练1.已知函数321()1(,)3f x x ax bx a bR 在区间[1,3] 上是减函数,求a b 的最小值.2.设a R ,若0x 时,均有2[(1)1]10a x x ax 成立,求a 的值.3.已知函数()ln f x a x x ,对任意的1,e ,()0ex f x恒成立,则a 的范围为。
4.已知(1)1ln 0a x x 对于任意的1,22x恒成立,则a 的最大值为。
一道不等式习题想到的一题多解
一题多解 培养学生的思维能力解题教学是整个数学教学中的一个重要环节。
.在解题教学过程中，不仅要向学生传授数学的基础知识和解题的基本技能，更需要通过解题教学来培养学生的逻辑思维能力，进一步使数学思想的传授由简单的抽象的理性的说教转化成具体的感性的具有可操作性的客观存在。
通过数学学习,发展学生的智力，培养学生的能力，提高学习的兴趣，使他们养成良好的学习习惯，为进一步学习创造良好的条件。
一题多解是促进学生思维能力发展的有效途径之一，可以培养学生的思维准确性,提高学生的思维灵活性，增强学生思维的深刻性。
下面通过一道习题来谈谈如何培养学生的思维能力。
【例】已知0,0>>y x ，且32=+y x ，求yx 11+的最值。
法一：（柯西不等式）分析：由于新课程标准中不等式选讲的加入，使柯西不等式重新回到人们的眼中，这个重要而好用的结论更应是老师和学生的首选。
【柯西不等式：设n n b b b a a a ,,,,,,,2121 是实数，则))((2222122221n n b b b a a a ++++++ ≥22211)(n n b a b a b a ++ 】解：因为0,0>>y x ，所以构造两组数 y x 2 ；y x 11，有柯西不等式知：])2()[(22y x +])1()1[(22y x +≥2)121(y yx x + 即)2(y x +)11(y x +≥2)21(+ 所以322311+≥+y x 。
应用此法考察了学生的基础知识以及知识的灵活应用。
法二：（“1”的代换）分析：初见这道题容易让我们想到平均值定理，这也是这道题最常见的解法。
这种方法需要学生掌握代换的基本方法，对1的灵活应用。
【均值定理：若+∈R b a ,，则ab b a ≥+2，当时b a =等号成立】 解：因为32=+y x ，所以稍加变形1323=+y x ，这样y x 11+中的1就可以用1323=+y x 代换。
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矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。
如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。
㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。
(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。
如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。
对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。
二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。
2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。
㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。
2、矿产品价格稳定性及变化趋势。
三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。
2、矿区矿产资源概况。
3、该设计与矿区总体开发的关系。
㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。
2、矿床开采技术条件及水文地质条件。