函数单调性的应用
函数的单调性及应用
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目录
• 函数的单调性定义 • 函数的单调性性质 • 函数的单调性应用 • 反函数的单调性 • 单调性在实际问题中的应用 • 总结与展望
01 函数的单调性定义
增函数的定义
增函数的定义
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任 意$x_{1}, x_{2}$（$x_{1} < x_{2}$）， 都有$f(x_{1}) < f(x_{2})$，则称函数 $f(x)$在其定义域内是增函数。
06 总结与展望
函数单调性的重要性
数学基础
单调性是函数的重要性质之一，是数学分析、微积分等学科的 基础概念，对于理解函数的变化规律和性质具有重要意义。
解决实际问题
单调性在解决实际问题中也有广泛应用，如经济学、生物学、 工程学等领域的研究中，单调性可以帮助我们更好地理解和描
述事物的发展趋势和变化规律。
判断函数值大小
通过比较原函数和反函数的单调性，可以判 断两个函数值的大小关系。
优化问题
在某些优化问题中，可以利用反函数的单调 性来寻找最优解。
05 单调性在实际问题中的应 用
在经济问题中的应用
总结词
单调性在经济分析中有着广泛的应用，可以 帮助我们理解经济现象和预测未来的趋势。
详细描述
在经济学中，单调性可以用于研究商品价格 的变化趋势、消费者需求的变化趋势、劳动 力市场的供求关系等。通过分析这些经济变 量的单调性，我们可以更好地理解经济规律 ，预测未来的经济走势，为决策提供依据。
单调性法
利用函数的单调性，可以确定函数在某个区间 内的最大值或最小值，从而求解最值问题。
导数法
通过求导数，可以判断函数的单调性，从而确 定函数的最值。
函数单调性的应用
3 ∵y＝f(x)是开口向下的抛物线，对称轴为 x＝ . 2 3 3 ∴f(x)在(－∞， ］上是增函数，在［ ，＋∞)上是减函数. 2 2
3x (2)∵f(x)＝3|x|＝ －3x
(x≥0) (x＜0)
由一次函数的单调性可得：f(x)在(－∞，0］上是减函数， 在［0，＋∞)上是增函数.
∵2≤x1＜x2≤5. ∴x1－x2＜0，x 2－1＞0，x 1－1＞0. ∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x 2)＜f(x 1). x ∴f(x)＝ 在区间［2,5］上是减函数. x－1
x (2)由(1)可知 f(x)＝ 在区间［2,5］上是递减的， x－1 故任意的 x∈［2,5］均有 f(5)≤f(x)≤f(2)， 2 ∴f(x) max＝f(2)＝ ＝2. 2－1 5 5 f(x) min＝f(5)＝ ＝ . 5－1 4
判断函数单调性的方法:
1、图象法 2、定义法
证明函数单调性的方法: 定义法
定义法判断证明函数单调性的一般步骤： 取值 作差 变形 判断符号 下结论
函数单调性的证明
证明函数 f(x)＝ x在［0，＋∞)上是增函数.
【解析】 设 x1，x2∈［0，＋∞)，且 x1<x 2. 则 f(x1)－f(x2)＝ x1－ x2＝ x1－x2 . x1＋ x2
函数单调性的应用
已知函数 f ( x )
x ，x∈［2,5］. x 1
(1)判断该函数在区间［2,5］上的单调性，并给予证明； (2)求该函数在区间［2,5］上的最大值与最小值.
【解析】
x (1)f(x)＝ 在区间［2,5］上是减函数. x－1
证明：任意取 x1，x2∈［2,5］且 x1＜x 2， x1 x2 则 f(x1)＝ ，f(x2)＝ . x1－1 x2－1 f(x2)－f(x1)＝ x1－x2 x2 x1 － ＝ . x2－1 x1－1 (x2－1)(x1－1)
函数的单调性的应用
y u,u 1 ,v x2 2x 3 v
在（-，-1）上v是减函数且u,v恒为正
在（3，+）上是增函数且u,
3
在（-，-1）上是增函数
在（3，+）上是减函数
y=
1 在（-，-1）上是增函数，
x2 2x 3
在（3，+）上是减函数
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解：先求定义域：
y f (u)
u 2x x2
u在（-，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数
而y=f(u)在R上是减函数
y f (2x x2 )在（-，1）上是减函数
在（1，+）上是增函数
例2：判断函数y
1 的单调性 x2 2x 3
解：定义域：x2 2x 3 0 x (, 1) (3, )
函数的单调性
１．函数单调性的判定． ２．函数单调性的证明． ３．函数单调性的应用．
一．函数单调性的判定方法：
１.利用已知函数的单调性 ２.利用函数图象 ３.复合函数的判定方法 ４.利用定义
例1.若函数f(x)在实数集上是减函数,求f(2x-x2) 的单调区间以及单调性.
例4：作出函数f(x)= x2 6x 9+ x2 6x 9 的图象，并指出函数f(x)的单调区间
分析：作出函数图象，直观地判断函数的单调区间
y
解： 原函数可化为：
-2x x -3
f(x)=|x-3|+|x+3|= 6 2x
-3<x<3 Y=-2x x3
函数的基本性质单调性的应用
函数的基本性质单调性的应用函数的单调性是函数在定义域上的性质，描述了函数图像随着自变量的增减而变化的规律。
应用函数的单调性可以帮助我们分析函数的性质，解决各类数学问题。
下面将对函数的基本性质单调性的应用进行分类总结。
一、判断函数的增减性：1.定义法：根据函数定义，若对于任意x1、x2∈定义域，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，则函数f(x)在该定义域上严格递增。
若f(x1)>f(x2)，则函数f(x)在该定义域上是严格递减。
2.导数法：对于可导函数f(x)，若在定义域上f'(x)≥0，则函数f(x)在该定义域上是递增的；若f'(x)≤0，则函数f(x)在该定义域上是递减的。
3.不等式法：对于不等式f(x1)≤f(x2)，如果我们能够证明当x1<x2时，则不等式成立，那么函数f(x)在该定义域上是递增的；如果我们能够证明当x1<x2时，则不等式反向成立，那么函数f(x)在该定义域上是递减的。
二、判断函数的最大值和最小值：1.极值点：对于可导函数f(x)，当f'(x)=0时，x就是函数f(x)的一个极值点。
若在x点的左侧f'(x)>0，右侧f'(x)<0，则x是函数f(x)的一个局部最大值点；若在x点的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0，则x是函数f(x)的一个局部最小值点。
2.二阶导数：对于二次可导函数f(x)，当f''(x)>0时，函数f(x)在该点上是凹的，存在一个局部极小值；当f''(x)<0时，函数f(x)在该点上是凸的，存在一个局部极大值。
通过判断二阶导数的正负，可以得出函数的凹凸性及极值点。
三、求解方程和不等式：1.方程求解：对于严格递增（递减）函数f(x)，f(x)=k（k为常数）的方程只有一个解。
2.不等式求解：对于不等式f(x)≤0，f(x)≥0，若函数f(x)在定义域上递减，则不等式解集由定义域内满足f(x)≤0（≥0）的x组成。
函数单调性的七种应用
函数单调性的七种应用
一、内容提要如果函数f()对于区间(a,b)内任意两个值1和2,当1
如果对于区间(a,b)内任意两个值1和2,当1f(2),那么f()叫做在区间(a,b)内是单调减少的,区间(a,b)叫做函数f()的单调减少区间。
在其中一区间单调增加或单调减少的函数叫做这个区间的单调函数,
这个区间叫做这个函数的单调区间。
二、函数单调性的应用
函数的单调性既属于数学的基础知识,也是解决数学问题的重要工具。
许多数学问题,比如,确定参变量的范围、证明不等式、求解三角方程、高
次方程、超越方程、求解高难度的不等式,以及确定函数的周期,都要用到
函数的单调性。
上面我所提到的这些问题看上去用初等方法解决起来都较
为困难。
但是,如果采用函数的单调性来求解的话,那将变得很简单、可行。
三、例题分析
例1:f()=,其中a是实数,n是任意给定的自然数且n≥2,如果f()当
∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围。
解:要使f()有意义必须且只须1+2+3…(n-1)+na>0恒成立,从而a>
①,令①右端为式g(),则g()在(-∞,1]上单调递增。
从而有
g()≤g(1),∈(-∞,1]而g(1)=
∴g()≤≤(∵n≥2)
由式①可得a>
例2:设00时,有f()在(0,1)上是增函数。
则f()0
解:改写原不等式为
()3+>3+5
令f()=3+5,则原不等式即为
f()>f()⑥
∵f()是实数集R上的单调增函数
∴不等式⑥等价于不等式>
解之得原不等式的解为-1。
函数单调性及其应用的研究
函数单调性及其应用的研究
函数单调性指的是函数在其定义域上的增减性质。
具体来说，如果函数f的定义域上的任意两个自变量x1和x2满足x1<x2，则有f(x1)<f(x2)（即f单调递增），或者f(x1)>f(x2)（即f单调递减）。
如果函数既不单调递增也不单调递减，则称之为不单调。
函数单调性的研究在数学分析、微积分、数值分析、优化等领域中有着广泛的应用。
以下是一些具体的应用：
1. 函数单调性可以帮助我们确定函数的最值和极值，从而指导我们在实际问题中找到最优解。
2. 在微积分中，函数单调性可以帮助我们证明一些基本定理，例如中值定理、罗尔定理等。
3. 函数单调性还可以为数值计算提供依据。
如果我们知道函数f在一个区间上单调递增或递减，那么我们就可以使用二分法等技术来快速找到这个区间内的零点或极值点。
4. 在优化问题中，函数单调性可以帮助我们确定最优解空间的边界和方向，从而指导我们设计更加高效的优化算法。
总之，函数单调性是数学中一个非常重要的概念，它不仅可以帮助我们求解各种实际问题，还可以为理论研究提供有力的工具和方法。
函数单调性及其应用
函数单调性及其应用
函数单调性是指函数在某个定义域内的取值随着自变量的增加或减少而单调递增或递减的特性。
如果函数在该定义域内只有单调递增或单调递减的情况，则称该函数具有单调性。
应用方面，函数单调性可以用于优化问题的求解、最大值和最小值问题的解决以及一些相关定理的证明。
常见的应用包括：
1. 优化问题的求解。
如果在某个定义域上，函数单调递增，则可以通过增大自变量的取值达到最大化函数值的目的；如果函数单调递减，则可以通过减小自变量的取值达到最大化函数值的目的。
2. 最大值和最小值问题的解决。
如果函数具有单调性，则可以通过确定其定义域上的边界值来确定函数的极值点。
3. 相关定理的证明。
函数单调性对于一些相关定理的证明具有十分重要的作用，例如拉格朗日中值定理和柯西-施瓦茨不等式等。
综上所述，函数单调性在数学领域中具有广泛的应用和重要的意义。
函数的单调性及其应用
函数的单调性及其应用
函数的单调性是指函数在定义域内的取值增减情况。
具体地说，设函数$f(x)$在区间$I$内有定义，如果对于$I$内任意的$x_1$和
$x_2$，只要$x_1<x_2$，就有$f(x_1)<f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$内单调递增；如果对于$I$内任意的$x_1$和$x_2$，只要
$x_1<x_2$，就有$f(x_1)>f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$I$内单调递减。
应用方面，函数的单调性可以帮助我们判断函数的图像和性质，如：
1. 判断函数的最值及其取值范围：单调递增的函数在定义域内
最小值是在端点处取得，最大值是在定义域最大值处取得；单调递
减的函数则恰好相反。
2. 判断函数零点：若函数为单调递增，则只有一个零点；若函
数为单调递减，则只有一个零点。
3. 判断函数的奇偶性：若函数为奇函数，则当$x<0$时单调递减，$x>0$时单调递增；若函数为偶函数，则在整个定义域内都单调
递增或单调递减。
4. 判断函数解析式的符号：已知某函数在某区间单调递增或单
调递减，则我们可以根据函数图像的位置，得到函数解析式的符号。
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浅谈函数单调性的应用
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
浅谈函数单调性的应用
贵州省习水县第一中学袁嗣林
摘要：函数的单调性是函数的一条重要性质，本文概括、总结了五种方法判断函数的
单调性. 同时对每种方法的特点及适用范围、注意事项采用举例的方式作了具体的介绍，这有助于读者更好地理解和掌握这些方法，从而能轻松的解决有关函数单调性的问题.
关键词：函数单调性；判断方法；应用
On the application of monotone functions
Abstract：Monotonicity of the function is an important function of the nature of this sum,
summed up the five methods to determine the function of the monotony, while the characteristics of each method and application, note the use made by way of example the specific introduction, which help readers better understand and master these methods, which can easily solve the problem of monotone functions。
Ked Word：Monotonic function; method to judge; application
函数的单调性是函数的一条重要性质，反映了函数值的变化规律. 在高考中历考弥新，考查的深度远远高于课本。
在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集. 接下来我就来谈谈函数单调性的应用。
一、函数单调性的判别
单调性是函数最重要的性质之一．导数的引入虽然给单调性的研究带来了极大的方便，
但是它并不能解决与单凋性有关的所有问题．本文结合近几年的试题谈谈判断单调性的几种
方法。
．
1.定义法（自变量增大函数值变小为减函数；反之，为增函数）
例1 判断函数的单调性
解因为==，显然当为正数且逐渐增加时, 也逐渐增加，则其倒数逐渐减小，即函数值逐渐减小，所以函数在区间(0，+∞)上为减函数．
2.函数变换法
由上面的定义法我们不难得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若f(x)、g(x)都是单凋增(减)函数，则f(x)+g(x)也是单凋增(减)函数；若f(x)单凋递增，g(x)单凋递减，则f(x)-g(x)单调递增；若f(x)单凋递减，g(x)单凋递增，则f(x)-g(x )单调递减.
例2 判断函数的单调性.
解设，显然当x>0时，函数g(x)单凋递增，而函数f(x)单调递减．由上面的运算法则知函数f(X)在区间(0，+∞)上为增函数.
3.复合函数法
设函数f(x)由两个函数g(x)与h(X)复合而成，则g(x)与h(x)单调性相同时，f(x)单调递增；g( x)与h(x)单调性不同时，f(x)单调递减，即通常所说的同增异减．多层复合，依此类推．
例3已知函数y=f(x)的图象与函数的图象关于直线对称，记，若y=g(x)在区间[ 1/2，2]上是增函数，则实数a的取值范围( )
(A)（０，+∞） (B)（0，1)U(1，2) (C) (D)
解因为，
所以-1
取特殊值
令则. 当，此时递增，又函数g （t）的图象开口向上，对称轴为，所以二次函数g（t）递增，故函数g（x）递增，满足题意.排除A.同理取特殊值，排除B，C可知选D.
4．作差比较法
根据定义证明函数单调性是判断函数单调性的最重要的方法。
其步骤为：(1)设值：即在单调区间上设出两个不相等的自变量、，且< ；(2)比较：即比较)与大小，通常采用作差或作商的方法；(3)判断：即根据定义结合前两个步骤得出结论．例4 (由2001年新课程卷题改编) 设，求证f(x)在(O，+∞)上是增函数.
证明设0<< ，则- =+-（+）
=（-）+（-）
=（）
由> 0，> 0，-> 0，+ 0，10，1-0
所以-< 0，即)<.从而，f(x)在(0，+∞)上是增函数.
5．等价变形法
根据单调性定义，易知增函数的等价形式是或（-）
[ ] 0有时直接用定义判断函数单凋性困难较大，采用等价形式则能帮我们化难为易.
例5 设f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且对任意的a、b∈[-1，1]，当“a+b≠0时，都有，试判断单调性.
解设，∈[-1，1]，且<，则-∈ [-1，1]，
依题意有=
故）在 [-1，1]上是增函数.
二、单调性在解题中的应用
单调性有广泛的应用，主要用于如下几个方面：
1.比较两个数的大小
例6比较和的大小
分析从题设的两个对数，便联想起y= 在在(O，+∞)上是单调增函数，因此．只要比较两个真数的大小，原题就可获解.
解，解得
当时，有0<<．因函数y= 在上单调递增，故，
.
2.证明与正整数有关的命题
例7 已知，且，，n 2 求证.
证明构造函数，因为x>-1且x≠ 0，
故-==
所以，
所以是单调递减函数.
3.解方程
例8 解方程
解
在它们共同的定义域里，为单调递增函数，为单调递减函数．
又显然=，
所以方程=仅有一解．X=1．故原方程的解是x=1．
4.证明不等式
在证明不等式中，通过联想构造函数，将常量作为变量的瞬时状态，置于构造函数的单调区间内，利用其单调性证明一些不等式，十分便捷．
例9 已知a、b、c∈R ，|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证ab+bc+ca+1>0
解构造函数f(x )=(b+c)x +bc+1，只需证 x∈(-1，1)时f(x)>0恒成立．当b+c=时， =1一b2 >O恒成立．
当b+c≠ 0时，一次函数= (b+c)x+bc+1，在x∈(-1，1)上是单调的．
因为=bc+b+c+1= (b+1)(c+1)>0，，f(-1)= bc-b-c+1=(b-1)(c-1)>0，
所以=(b+c)x+bc+1在 x∈(-1，1)上恒大于零.
综上，当|a|<1时，(b+c)a+bc+1>0恒成立，从而得证．
例10 已知f(x)为R上的减函数,则满足的实数x的取值范围( )
A B C D
解析借助单调性将不等式转换为自变量应满足的关系式.很容易可以做出选C.
5.求参数的取值范围
例11已知f(x)是奇函数，在实数集R上又是单调递减函数，且时
求t的取值范围.
分析：因已知函数f（x）是奇函数将已知不等式移项后可得
根据是减函数脱去，然后由式子特征构造相应单调函数.
解<设x=sin0<x<1 化简：
-3tx<-1 解得t>.
6.已知函数在某区间上单调求参数的取值范围此类问题的本质就是转化为不等式恒成立问题
例12 已知a为实数若在和上都是递增的，求a的取值范围．
解在和上非负.
的图象为开口向上且过点(O，-4)的抛物线，由条件得
即
所以a的取值范围为[-2，2].。