江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试数学试卷(有答案)

江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试

数 学

注意事项：

1.本试卷共160分，考试时间120分钟．

2.答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1.设集合A ＝{x |x >0}，B ＝{x |－2

2.设复数z 满足(1＋i)z ＝1－3i(其中i 是虚数单位)，则z 的实部为________．

3.有A ，B ，C 三所学校，学生人数的比例为3∶4∶5，现用分层抽样的方法招募n 名志愿者，若在A 学校恰好选出9名志愿者，那么n ＝________．

4.史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为________．

5.执行如图所示的伪代码，则输出x 的值为________．

6.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪

⎧x －y ＋1≥0，

2x －y ≤0，x ≥0，

则z ＝x ＋y 的取值范围是________．

7.在四边形ABCD 中，已知AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →

＝－5a －3b ，其中a ，b 是不共线的向量，则四边形ABCD 的形状是________．

8.以双曲线x 25－y 2

4

＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．

9.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于________．

10.设公差不为零的等差数列{a n }满足a 3＝7，且a 1－1，a 2－1，a 4－1成等比数列，则a 10＝________．

11.已知θ是第四象限角，则cos θ＝4

5，那么sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos （2θ－6π）

的值为________．

12.已知直线y ＝a (x ＋2)(a >0)与函数y ＝|cos x |的图象恰有四个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，

y 3)，D (x 4，y 4)，其中x 1

tan x 4

＝________．

13.已知点P 在圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上，A ，B 为圆C ：x 2＋(y －4)2＝4上两动点，且

AB ＝23，则P A →·PB →

的最小值是________．

14.在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A ＋sin 2B ＝2sin 2C ，则1tan A ＋1tan B ＋1

tan C

的最小值为

________．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.(本小题满分14分)在△ABC 中，设a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知向量m ＝(a ，sin C －sin B )，n ＝(b ＋c ，sin A ＋sin B )，且m ∥n .

(1) 求角C 的大小；

(2) 若c ＝3，求△ABC 周长的取值范围．

16.(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD 中，锐角三角形P AD 所在平面垂直于平面P AB ，AB ⊥AD ，AB ⊥BC .

(1) 求证：BC ∥平面P AD ；

(2) 求证：平面P AD ⊥平面ABCD .

(第16题)

17.(本小题满分14分)十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x ∈Z ，1≤x ≤9)从事水果包装、销售．经测算，剩下从

事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x

20

，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平

均为⎝⎛⎭

⎫3－1

4x 万元．(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728) (1) 至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少抽出多少户从事包装、销售工作？

(2) 至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．

18.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3

2

，

且过点⎝

⎛⎭⎫3，1

2，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .

(1) 求椭圆C 的标准方程； (2) 求△PCD 面积的最大值．

(第18题)

19.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝e x －a

2

x 2－ax(a>0)．

(1) 当a ＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立；

(2) 若y ＝f(x)恰好在x ＝x 1和x ＝x 2两处取得极值，求证：x 1＋x 2

2

20.(本小题满分16分)设等比数列{a n }的公比为q(q>0，q ≠1)，前n 项和为S n ，且2a 1a 3＝a 4，数列{b n }的前n 项和T n 满足2T n ＝n(b n －1)，n ∈N *，b 2＝1.

(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；

(2) 是否存在常数t ，使得⎩⎨⎧

⎭

⎬⎫S n ＋12t 为等比数列？请说明理由；

(3) 设c n ＝1

b n ＋4

，对于任意给定的正整数k (k ≥2)，是否存在正整数l ，m (k

c m 成等差数列？若存在，求出l ，m (用k 表示)；若不存在，请说明理由.