为什么excel中norminv(rand()-mean-standard-dev)可以产生符合正态分布的随机数教学文案

均值为1，标准差为0.3的正态分布概率密度函数图

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5 5.2 5.4 5.

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1.2

1.4

4 4.2 4.4 4.6 4.8

5 5.2 5.4 5.

6 5.8600.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

均值为1，标准差为0.3的正态分布概率分布函数图

首先看norminv 函数作用：

norminv(v,mean,standard_dev)的作用是求出在均值为mean ，标准差为standard_dev 的正态分布函数曲线上对应纵轴为v 那个横轴数值。

即norminv 本质是正态概率分布函数的反函数。

然后找一个具体数值进行分析。

对于我们给定的均值为5，标准差为0.3的正态分布有()5.250.7977P X ≤=。 那通过y=norminv(rand(),5,0.3)（即让v=rand(),即让v 通过01均匀分布函数发生器rand （）产生，或者说v 分布符合01均匀分布）产生的随机数是否有()5.250.7977P y ≤=，或者说为什么当我们让v 通过01均匀分布函数发生器rand （）产生，就有()5.250.7977P y ≤=？

分析解释：

我们知道由于v 通过01均匀分布函数发生器rand （）产生，所以P(v ≤k)=k ，所以

()0.79770.7977

P v ≤=，即v 出现在正态概率分布函数纵轴[0,0.7977]范围内的概率是0.7977.根据norminv 本质是正态概率分布函数的反函数可知，y=norminv(rand(),5,0.3)出现在正态概率分布函数图像横轴(-∞,5.25]范围内的概率也是0.7977，即()5.250.7977

P y ≤=

（详细解释如下：根据()0.79770.7977P v ≤=可知，当做足够多次随机试验，比如做

^106N =次随机试验，

会有大约^0.79770.7977106k N =⋅=⨯次v 落在[]0,0.7977之间，在这个k 次v 落在[]0,0.7977随机试验中，根据norminv 函数性质知必然有y 落在(],5.25-∞，其他N-k 次v 在[]0,0.7977之外的随机试验，必然有y 在区间(],5.25-∞之外，所以y 落在(],5.25-∞概率是0.7977k N

=，即()5.250.7977P y ≤=，也就是说当v 通过01均匀分布随机数发生函数rand()产生时， y=norminv(v,5,0.3)落在(],5.25-∞的概率是0.7977，即()5.250.7977P y ≤=）

对于其他数值分析类似，可以得出相同的结论。

所以随机变量y=norminv(rand(),5,0.3)概率分布函数与均值为5，标准差为0.3的正态概率分布函数完全相同，从而也可以推出随机变量y 概率密度函数均值为5，标准差为0.3的正态概率密度函数完全相同。所以y 分布就是（或者说符合）均值为5，标准差为0.3的正态概率分布。