有理数的定义

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有理数概念辨析

有理数是一个数学术语，指的是可以表示为整数和分数形式的数字。

有理数概念包括以下几个方面的辨析：
1.有理数的定义：有理数是可以表示为两个整数之比的数字，其
中分母不为零。

这个定义包括两个部分：第一是有理数可以表示为整数之比，第二是分母不为零。

例如，所有的整数都是有理数，因为它们可以表示为两个整数之比，其中分母为1。

另外，所有的有限小数也是有理数，因为它们可以表示为两个整数之比，其中分母不为零。

2.有理数的分类：根据有理数的定义，有理数可以分为整数和分
数两个类别。

整数可以看作是分母为1的分数，因此整数和分数一起构成了有理数的全部内容。

整数包括正整数、负整数和零，而分数包括正分数和负分数。

3.有理数的性质：有理数有一些重要的性质，包括可加性、可乘
性和可除性。

这些性质可以通过有理数的定义来证明。

例如，如果有理数a和b，那么它们的和、差、积和商都是有理数。

此外，有理数还有一个重要的性质是稠密性，即任意两个有理数之间都存在第三个有理数。

4.有理数的运算：有理数的四则运算包括加、减、乘、除和乘
方。

这些运算都可以通过定义进行计算。

例如，如果有理数a 和b，它们的和、差、积和商可以分别表示为a+b、a-b、ab
和a/b。

此外，有理数还可以进行乘方运算，即对于任何一个有理数a和一个正整数n，a的n次方是有理数。

通过对有理数的概念进行辨析，我们可以更好地理解有理数的定义、分类、性质和运算，从而更好地应用它们来解决数学问题。

有理数的知识点总结

有理数的知识点总结一、有理数的定义及基本性质：有理数是指所有可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和零。

有理数可以用一组整数的比值表示成两种形式：分数形式（也称作比例效应）和小数形式（也称作数列形式）。

有理数的集合通常记作Q。

有理数具有以下基本性质：1. 有理数的加法、减法、乘法和除法仍然是有理数，也就是说，有理数集合对于这四种运算是封闭的。

2. 有理数满足交换律和结合律，在加法和乘法运算中，a+b =b+a，(a+b)+c = a+(b+c)；在乘法运算中，a×b = b×a，(a×b)×c= a×(b×c)。

3. 有理数乘法和除法具有倒数性质，即对于任意非零有理数a，存在一个有理数b使得a×b = 1。

4. 有理数乘法符合分配律，即对于任意有理数a、b和 c，a×(b+c) = a×b + a×c。

5. 有理数具有唯一分解性质，即任何一个非零有理数都可以唯一表示为两个整数的比值，而且这个比值对于最简分数形式是唯一的。

二、有理数的四则运算：1. 有理数的加法和减法：对于两个有理数a/b和 c/d，它们的加法定义为(a/b) + (c/d) = (ad+bc)/bd，减法定义为(a/b) - (c/d) = (ad-bc)/bd。

在进行加法和减法运算时，通常需要化简结果为最简分数形式。

2. 有理数的乘法和除法：对于两个有理数 a/b和 c/d，它们的乘法定义为(a/b) × (c/d) =ac/bd，除法定义为(a/b) ÷ (c/d) = ad/bc（其中c/d≠0）。

在进行乘法和除法运算时，同样需要化简结果为最简分数形式。

三、有理数的大小比较：在有理数集合中，任何两个有理数都可以通过大小比较运算来确定它们的相对大小。

有理数的大小比较有以下几个基本原则：1. 相同符号的有理数比较大小，绝对值越大的数为更大的数；2. 不同符号的有理数比较大小，正数大于零，零大于负数；3. 相同符号的两个有理数的绝对值比较，绝对值较小的数较小。

有理数的知识点整理

有理数的知识点整理一、有理数的概念1. 定义- 整数和分数统称为有理数。

整数包括正整数、0、负整数，例如3、0、-5等；分数包括有限小数和无限循环小数，有限小数如0.25，无限循环小数如0.3̇。

2. 有理数的分类- 按定义分类：- 有理数cases(整数begin{cases}正整数0负整数)分数cases(正分数负分数)end{cases}- 按性质符号分类：- 有理数cases(正有理数begin{cases}正整数正分数)0负有理数cases(负整数负分数)end{cases}二、数轴1. 定义- 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，缺一不可。

2. 数轴上的点与有理数的关系- 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数（还有无理数）。

例如，2可以用数轴上原点右边距离原点2个单位长度的点来表示；-1.5可以用原点左边距离原点1.5个单位长度的点来表示。

3. 利用数轴比较有理数的大小- 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

例如，在数轴上3在1的右边，所以3 > 1；-2在-3的右边，所以-2>-3。

三、相反数1. 定义- 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

0的相反数是0。

例如，3和-3互为相反数，-(1)/(2)和(1)/(2)互为相反数。

2. 性质- 互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a + b=0。

例如，5+(-5) = 0。

- 在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。

例如，3和-3在数轴上到原点的距离都是3个单位长度。

四、绝对值1. 定义- 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作| a|。

例如，|3| = 3，| - 3|=3。

2. 性质- 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

(完整版)有理数的乘法知识点总结

(完整版)有理数的乘法知识点总结有理数的乘法知识点总结1. 有理数的定义有理数是可以表示为分数形式的数，分为正有理数、负有理数和 0。

2. 有理数的乘法有理数的乘法满足以下性质：- 正数与正数相乘，结果仍为正数。

- 负数与负数相乘，结果仍为正数。

- 正数与负数相乘，结果为负数。

- 任何数与 0 相乘，结果都为 0。

3. 有理数的乘法的计算方法3.1 有理数的乘法运算法则- 正数与正数相乘，直接相乘并保留正号。

- 负数与负数相乘，直接相乘并保留正号。

- 正数与负数相乘，直接相乘并改变结果的符号为负号。

3.2 有理数的乘法性质- 乘法交换律：a * b = b * a，对于任意有理数 a 和 b 成立。

- 乘法结合律：(a * b) * c = a * (b * c)，对于任意有理数 a、b 和c 成立。

- 乘法分配律：a * (b + c) = (a * b) + (a * c)，对于任意有理数 a、b 和 c 成立。

4. 带有变量的有理数的乘法带有变量的有理数的乘法遵循与实数乘法相同的规则，即乘法交换律、结合律和分配律。

需要注意的是，当变量的符号与数的符号不同时，结果为负数。

5. 实际应用有理数的乘法在日常生活中的应用非常广泛，例如：- 购物时计算打折后的价格。

- 解决家庭预算问题。

- 勾股定理中的边长关系。

6. 总结有理数的乘法遵循特定的规则，可以通过直接相乘并根据符号进行判断来计算结果。

了解有理数的乘法规则可以帮助我们更好地理解数学问题，并在实际应用中得到运用。

7上数学《有理数》定义解析

1.1正数和负数（1）正数：大于0的数叫正数。

（2）负数：在正数前面加“-”的数叫负数（3）0既然不是正数也不是负数1.2有理数及其大小比较（1）整数范围：负整数，正整数，0统称为整数（2）有理数：可以写成分数形式的数，所以有理数包含整数（有限小数和无限循环小数也可以化成分数形式）（3）原点：在直线上任取一个点表示0，这个点就叫作原点。

（4）正方向：从原点向右或向上为正方向（5）负方向：从原点向左或向下为负方向（6）单位长度：数轴上0和1或任意两个相邻整数之间的距离。

（一个单位长度就表示1，但一个单位长度有多长并不固定）（7）数轴：规定了原点，正方向，单位长度的直线叫数轴（8）相反数：绝对值相等正负号相反的两个数互为相反数。

（3，—3）（9）0的相反数还是0（10）绝对值：一个数在数轴上所对应点到原点的距离。

（11）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

（12）有理数比大小原则：正数大于0；0大于负数；正数大于负数；两个负数比较时绝对值大的反而小（-3＞-5；-3的绝对值是3，-5的绝对值是5，-5的绝对值大于-3的绝对值，所以反而-3＞-5）（13）倒数的定义：数学上设一个数x与其相乘的积为1的数。

（1的倒数是1；0没有倒数）（1）原则：①符号相同的两个数相加，和的符号不变，和的绝对值等于加数的绝对值的和。

[例如3+5=8；-3+（-6）=-9，-3的绝对值是3，-6的绝对值是6。

都是负数取-号，3+6=9，所以最后是-9]②绝对值不相等的异号相加，和的符号取绝对值大的那个，最后的值是两个加数绝对值作差。

[（-3）+5；-3的绝对值是3,5的绝对值是5，所以取正号，作差是5-3=2，所以最后的结果是2。

]③互为相反数相加等于0④一个数和0相加，仍然得这个数。

（2）运算技巧：先定号再算绝对值。

（3）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。

字母表示为：a+b=b+a（4）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。

高三复习-有理数的定义和分类

有理数的定义和分类
一、有理数的定义和分类
1、定义：整数和分数统称为有理数，正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。

2、分类：
$有理数\begin{cases}整数\begin{cases}正整数，如：1,2,3... \\ 0 \\ 负整数，如:-1,-2,-3... \end{cases} \\分数\begin{cases} 正分数，如: \dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, 5.3... \\ 负分数，如: -4 \dfrac{1}{2},-3.6,- \dfrac{6}{7}... \end{cases} \end{cases}$
$有理数\begin{cases} 正有理数\begin{cases} 正整数\\ 负整数\end{cases} \\ 0 \\ 负有理数\begin{cases} 负整数\\ 负分数\end{cases} \end{cases}$
二、例题
1、在0,1，-2，-3.5这四个数中，是负整数的是（）
A. 0 ㅤㅤ
B.1 ㅤㅤ
C. -2 ㅤㅤ
D. -3.5
答案：C解析：只有-2是负整数，故选C.
2、指出下列各数中的正数、负数、整数和分数:
$-17，+6，-1，-0.81，3，0，\dfrac{2}{3}，2\dfrac{3}{5}，0.8，-8.75$
解析：
正数：$+6，3，\dfrac{2}{3}，2 \dfrac{3}{5}，0.8；$负数：$-17，-1，-0.81，-8.75；$整数：$+6，-1，3，0;$分数：$-0.81，\dfrac{2}{3}，2\dfrac{3}{5}，0.8，-8.75.$。

有理数和无理数区别是什么

有理数和无理数区别是什么
01
有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。

有理
数的小数部分是有限或为无限循环的数。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

简单来讲，能够用分数表达的数就是有理数，不能
用分数表达的数就是无理数。

实数（R）可以分为有理数（Q）和无理数，其中无理数就是无限不循
环小数，有理数就是有限小数和无限循环小数；其中有理数又可以分为整
数（Z）和分数；整数按照能否被2整除又可以分为奇数（不能被2整除
的整数）和偶数（能被2整除的整数）。

有理数（Q）
有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

正整数和正分
数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。

因而有理数集的数
可分为正有理数、负有理数和零。

由于任何一个整数或分数都可以化为十
进制循环小数，反之，每一个十进制循环小数也能化为整数或分数，因此，有理数也可以定义为十进制循环小数。

比如4=4.0,4/5=0.8。

无理数（R-Q）
无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

若将它写成小
数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有
非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。

二者区别
简单来讲，能够用分数表达的数就是有理数，不能用分数表达的数就是无理数。

有理数和无理数的定义是什么有哪些区别

有理数和无理数的定义是什么有哪些区别有理数和无理数是相对的两种概念，那两者之间有什么区别呢?下面是由小编编辑为大家整理的“有理数和无理数的定义是什么有哪些区别”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

数学上，有理数是一个整数a和一个正整数b的比，例如3/8，通则为a/b。

0也是有理数。

有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为一的分数。

无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。

若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

1、两者概念不同。

有理数是整数和分数的统称，正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。

因此有理数的数集可分为正有理数、负有理数和零。

无理数，也称为无限不循环小数。

简单来说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、根号2等。

2、两者性质不同。

有理数的性质是一个整数a和一个正整数b的比，例如3比8，通常为a比b。

无理数的性质是由整数的比率或分数构成的数字。

3、两者范围不同。

有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法4种运算均可进行。

而无理数是指实数范围内，不能表示成两个整数之比的数。

无理数也称为无限不循环小数，常见的无理数主要包括以下几种形式：1、含π的数，如:2π等;2、根式，如：√5等;3、函数式，如：lg2，sin1°等;无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。

无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。

简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率等。

而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比。

有理数和无理数的定义和概念

1、有理数的定义和概念
1.1 定义
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

1.2 概念
1）整数：包括正整数、负整数和0。

例如：1、-2、0等。

2）分数：由分子和分母组成，分子和分母都是整数，且分母不为0。

例如：1/2、-3/4等。

3）有理数可以表示为两个整数之比的形式。

4）有理数具有有限小数或无限循环小数的形式。

例如，0.25（有限小数）是有理数，0.333…（无限循环小数）也是有理数。

2、无理数的定义和概念
2.1 定义
无理数是无限不循环小数。

2.2 概念
1）不能表示为两个整数之比的形式。

2）常见的无理数有：
①圆周率π，约为3.1415926…，它是一个无限不循环小数。

②自然对数的底数e，约为2.71828…，也是无限不循环小数。

③开方开不尽的数，如√2、√3 等。

3）无理数的小数部分是无限不重复的，没有规律可循。

有理数知识点

有理数知识点一、关键信息项1、有理数的定义：整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。

2、有理数的分类：按定义分类：分为整数和分数。

按性质分类：分为正有理数、0、负有理数。

3、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

4、相反数：绝对值相等，符号相反的两个数。

5、绝对值：数轴上表示数 a 的点与原点的距离。

6、有理数的大小比较：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。

两个负数，绝对值大的反而小。

7、有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数同 0 相加，仍得这个数。

8、有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。

9、有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同 0 相乘，都得 0。

10、有理数的除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0。

11、乘方：求 n 个相同因数乘积的运算，叫做乘方。

12、科学记数法：把一个大于 10 的数表示成 a×10^n 的形式（其中a 大于或等于 1 且小于 10，n 是正整数）。

二、详细内容11 有理数的定义有理数是能够表示为两个整数之比的数，包括整数和分数。

整数可以看作是分母为 1 的分数。

例如，5 可以表示为 5/1，－3 可以表示为－3/1。

分数则是形如 m/n（m、n 为整数，且 n 不等于 0）的数，例如1/2、－3/4 等。

111 有理数与无理数的区别无理数是不能表示为两个整数之比的数，例如圆周率π、根号2 等。

有理数和无理数共同构成了实数集合。

12 有理数的分类121 按定义分类整数：包括正整数、0、负整数。

正整数如 1、2、3 等；负整数如－1、－2、－3 等。

分数：包括正分数和负分数。

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有理数的定义
有理数可分为整数和分数。

英文：rational number读音：yǒu lǐ sh整数和分数统称为有理数 ,任何一个有理数都可以写成分数m/n(m ,n都是整数 ,且n0)的形式。

任何一个有理数都可以在数轴上表示。

其中包括整数和通常所说的分数 ,此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。

这一定义在数的十进制和其他进位制(如二进制)下都适用。

数学上 ,有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio) ,通常写作 a/b ,故又称作分数。

希腊文称为 ,原意为成比例的数(rational number) ,但中文翻译不恰当 ,逐渐变成有道理的数。

无限不循环小数称之为无理数(例如：圆周率)有理数和无理数统称为实数。

所有有理数的集合表示为Q。

以下都是有理数：
(1) 整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。

(2)分数包含了：正分数、负分数统称为分数。

(3)小数包含了:有限小数、无限循环小数。

而且分数也统称小数 ,因为分小互化。

如3 ,-98.11 ,5.72727272 ,7/22都是有理数。

全体有理数构成一个集合 ,即有理数集合 ,用粗体字母Q表示 ,较现代的一些数学书那么用空心字母Q表示。

有理数集是实数集的子集 ,即Q?R。