三维网格分割--基础知识汇总
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特征描述符：用来描述图形几何特征的符号。如高斯曲率（GC）、外直径特征函 数（SDF）、平均测地距离（AGD）、保角因子（CF）、图形文脉（SC），其中 GC、AGD和CF描述三维网格的外部特征，而SDF和SC描述三维网格的内部特征。
刚性：物体外部形状不随着移动等外界因素发生变化（如平移、旋转） 非刚性：物体会在外界因素的影响下形状发生变化（如缩放） 鲁棒性（robustness）：即稳健性，表征控制系统对特性或参数摄动的不敏感性。
区均域值生漂长移法(：MS选)：定通不过同迭区代域搜的索种特子征元空素间（中如样顶本点点、最三密角集曲的面区片域信，息搜等索）点，沿然 后着在样种本子点区密域度的增周加围的根方据向一漂定移的到生局长部规密则度进最行大区点域。生优长点，：直该到方覆法盖完整全个依区靠域 为特止征。空优间点中：的思样想本简点单进，行实分现析速，度无快需；先缺验点知：识易，产收生敛过速分度割快。。
H
min F Wh Pcons W1,W2, ,WH
W1 , ,WH h1
s.t. Wh 0 diag Wh 0, h 1, 2, , H
其中：Pcons W1,W 2,
,WH
W W
2,1
1,1
单特征组合分 割W：1 求11解亲W和1矩1阵2 可转化为W如1 下N 2优化问 题：
三维网格分割及其相关基本概念
相似性
度量 分
割
的
特征选
一 般
择
分割算 法选取
过
程
结果验 证
分割准 则
三维网格分割及其相关基本概念
表面测地线距离：是指三维模型的两个顶点在模型表面的最短距离，它不仅可以有
效的克服三维模型噪声的干扰，而且与三维模型的坐标系方向无关。但不易计算， 常用特征描述之间的欧氏距离代替。
W
W2m11inWWh F2 12Wh
, W2 N2
WHs.t11.
WWh H
012,diagWWHh
N2
0
W 2,1
F WW N2 j1 h
,
jX h2W, h
Xh
2 F
WhTWh
1,1
W , j 表示表示的第j个列向量W，
三维网格分割组合分割-亲和力聚合谱聚类
亲和力聚合谱聚类（AASC）：寻求描述网格过分割面片多特征融合的亲和矩 阵，利用谱聚类算法对所有补丁块进行一致分割。
算法步骤： (1) 网格模型预处理； (2) 计算网格每对面片的最短距离权值 (3) 为每一面片分配其属于每一个分割片的可能性值； (4) 计算出一个模糊分解，使其分为三个部分（包括模糊部分);
三维网格分割组合分割—子空间聚类
子空间聚类的三维图形的组合分割：对于过分割图形，利用分组直接对原始 补丁块进行分割，并且获得相应的对应关系。算法核心：获得亲和矩阵。
1i,1 i k, Si S 2i, Si都是连续的 3i j,1 i, j k, Si和S j都没有面片的交集
4
S k
i1 i
S
Binary 分解：k-way 分解中 k=2，即分解成两部分 S1和S2
三维网格分割经典聚类算法
分割的本质是聚类：求解优化问题所有可能的近似求解方案,按照算法原理可分为区 域生长算法、分层聚类、代聚类法、谱分析法、骨架抽取法等。
子空间聚类：将高维数据集聚类成多个低维线性子空间，并且找到找到低维子 空间相应的每个聚类点。
具体实现步骤：
• 利用归一化切割将输入网格切割成一定数目
1
的补丁块
• 计算每个补丁块的特征向量
2
• 在多特征空间对所有布丁块进行子空间聚类
3
• 从而获得网格的一致分割
三维网格分割组合分割—子空间聚类
多特征组合分割：求解亲和矩阵可转化为如下优化问题：
三维网格分割及其相关基本概念
基于图论的最优划分准则:就是使划分成的两个子图内部相似度最大, 子图之间的 相似度最小。
N-cut：规范割集准则：
Shi 和 Malik 在2 00 0年根据谱图理论建立了 2 - w ay 划分的规范割目标函数 ( N cut )
Ncut
A,
B
cut( A, B)
assoc A,V
cut( A, B)
assoc B,V
其中cut A, B wu, v, assoc A,V wu,t
uA,vB
uA,tV
该准则不仅能够衡量类内样本间的相似程度, 也能衡量类间样本间 的相 异程度。
三维网格分割及其相关基本概念
K-way 分解：将网格S 分解k 个组成部分k个组成部分 S1, S2 , , Sk 其中
三维网格分割经典聚类算法
模糊聚类分割算法：2003 年，Katz 等人提出了模糊聚类的层次分解算法，将 复杂模型进行由粗到精，得到分割片层次树，一层一层的处理，最终分割成边 界线平滑、有意义的若干个较为简单的部分。层次树的根表示整个网络模型 S。 在每个节点，首先确定需要进一步分割为更精细分割片的数目，然后执行个Kway 分割。优点：该算法可以得到有意义的部分子模型，且没有出现锯齿现象， 算法也不会产生过分分割效果。
欧几里德距离：两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 bБайду номын сангаасx21,x22,…,x2n)间的欧氏距离：
n
d12
x1k x2k 2
k 1
也可以用表示成向量运算的形式： d12 a ba bT
泥土移动距离（EMD）：用于求解某个特征空间两个多维分布之间相似性。给定两个直 方图分布，一个分布t可以看做一堆泥土的集合，另一个分布g可以看做很多洞的集 合，不同的土与洞之间的地面距离不同，从而EMD距离用来计算用土填满洞的最 小工作量。
(b)SDF space (c)GD space (d)AGD space (e)concatenated (f)Our fused (g)Weights
➢三维网格模型分割及其相关概念 ➢三维网格模型分割经典聚类方法 ➢三维网格模型组合分割
王茂正
三维网格分割及其相关基本概念
三维网格模型分割：简称网格分割，是指根据一定的几何及拓扑特征，将封闭的网 格多面体依据其表面几何、拓扑特征、分解为一组数目有限、各自具有简单形状意 义的、且各自连通的子网格片。
三维网格模型分割应用领域：点云重建网格、网格简化、层次细节模型、几何压缩 与传输、交互编辑、纹理映射、网格细分、几何变形、动画对应关系建立、局部区 域参数化以及逆向工程、索引检索等。
刚性：物体外部形状不随着移动等外界因素发生变化（如平移、旋转） 非刚性：物体会在外界因素的影响下形状发生变化（如缩放） 鲁棒性（robustness）：即稳健性，表征控制系统对特性或参数摄动的不敏感性。
区均域值生漂长移法(：MS选)：定通不过同迭区代域搜的索种特子征元空素间（中如样顶本点点、最三密角集曲的面区片域信，息搜等索）点，沿然 后着在样种本子点区密域度的增周加围的根方据向一漂定移的到生局长部规密则度进最行大区点域。生优长点，：直该到方覆法盖完整全个依区靠域 为特止征。空优间点中：的思样想本简点单进，行实分现析速，度无快需；先缺验点知：识易，产收生敛过速分度割快。。
H
min F Wh Pcons W1,W2, ,WH
W1 , ,WH h1
s.t. Wh 0 diag Wh 0, h 1, 2, , H
其中：Pcons W1,W 2,
,WH
W W
2,1
1,1
单特征组合分 割W：1 求11解亲W和1矩1阵2 可转化为W如1 下N 2优化问 题：
三维网格分割及其相关基本概念
相似性
度量 分
割
的
特征选
一 般
择
分割算 法选取
过
程
结果验 证
分割准 则
三维网格分割及其相关基本概念
表面测地线距离：是指三维模型的两个顶点在模型表面的最短距离，它不仅可以有
效的克服三维模型噪声的干扰，而且与三维模型的坐标系方向无关。但不易计算， 常用特征描述之间的欧氏距离代替。
W
W2m11inWWh F2 12Wh
, W2 N2
WHs.t11.
WWh H
012,diagWWHh
N2
0
W 2,1
F WW N2 j1 h
,
jX h2W, h
Xh
2 F
WhTWh
1,1
W , j 表示表示的第j个列向量W，
三维网格分割组合分割-亲和力聚合谱聚类
亲和力聚合谱聚类（AASC）：寻求描述网格过分割面片多特征融合的亲和矩 阵，利用谱聚类算法对所有补丁块进行一致分割。
算法步骤： (1) 网格模型预处理； (2) 计算网格每对面片的最短距离权值 (3) 为每一面片分配其属于每一个分割片的可能性值； (4) 计算出一个模糊分解，使其分为三个部分（包括模糊部分);
三维网格分割组合分割—子空间聚类
子空间聚类的三维图形的组合分割：对于过分割图形，利用分组直接对原始 补丁块进行分割，并且获得相应的对应关系。算法核心：获得亲和矩阵。
1i,1 i k, Si S 2i, Si都是连续的 3i j,1 i, j k, Si和S j都没有面片的交集
4
S k
i1 i
S
Binary 分解：k-way 分解中 k=2，即分解成两部分 S1和S2
三维网格分割经典聚类算法
分割的本质是聚类：求解优化问题所有可能的近似求解方案,按照算法原理可分为区 域生长算法、分层聚类、代聚类法、谱分析法、骨架抽取法等。
子空间聚类：将高维数据集聚类成多个低维线性子空间，并且找到找到低维子 空间相应的每个聚类点。
具体实现步骤：
• 利用归一化切割将输入网格切割成一定数目
1
的补丁块
• 计算每个补丁块的特征向量
2
• 在多特征空间对所有布丁块进行子空间聚类
3
• 从而获得网格的一致分割
三维网格分割组合分割—子空间聚类
多特征组合分割：求解亲和矩阵可转化为如下优化问题：
三维网格分割及其相关基本概念
基于图论的最优划分准则:就是使划分成的两个子图内部相似度最大, 子图之间的 相似度最小。
N-cut：规范割集准则：
Shi 和 Malik 在2 00 0年根据谱图理论建立了 2 - w ay 划分的规范割目标函数 ( N cut )
Ncut
A,
B
cut( A, B)
assoc A,V
cut( A, B)
assoc B,V
其中cut A, B wu, v, assoc A,V wu,t
uA,vB
uA,tV
该准则不仅能够衡量类内样本间的相似程度, 也能衡量类间样本间 的相 异程度。
三维网格分割及其相关基本概念
K-way 分解：将网格S 分解k 个组成部分k个组成部分 S1, S2 , , Sk 其中
三维网格分割经典聚类算法
模糊聚类分割算法：2003 年，Katz 等人提出了模糊聚类的层次分解算法，将 复杂模型进行由粗到精，得到分割片层次树，一层一层的处理，最终分割成边 界线平滑、有意义的若干个较为简单的部分。层次树的根表示整个网络模型 S。 在每个节点，首先确定需要进一步分割为更精细分割片的数目，然后执行个Kway 分割。优点：该算法可以得到有意义的部分子模型，且没有出现锯齿现象， 算法也不会产生过分分割效果。
欧几里德距离：两个n维向量a(x11,x12,…,x1n)与 bБайду номын сангаасx21,x22,…,x2n)间的欧氏距离：
n
d12
x1k x2k 2
k 1
也可以用表示成向量运算的形式： d12 a ba bT
泥土移动距离（EMD）：用于求解某个特征空间两个多维分布之间相似性。给定两个直 方图分布，一个分布t可以看做一堆泥土的集合，另一个分布g可以看做很多洞的集 合，不同的土与洞之间的地面距离不同，从而EMD距离用来计算用土填满洞的最 小工作量。
(b)SDF space (c)GD space (d)AGD space (e)concatenated (f)Our fused (g)Weights
➢三维网格模型分割及其相关概念 ➢三维网格模型分割经典聚类方法 ➢三维网格模型组合分割
王茂正
三维网格分割及其相关基本概念
三维网格模型分割：简称网格分割，是指根据一定的几何及拓扑特征，将封闭的网 格多面体依据其表面几何、拓扑特征、分解为一组数目有限、各自具有简单形状意 义的、且各自连通的子网格片。
三维网格模型分割应用领域：点云重建网格、网格简化、层次细节模型、几何压缩 与传输、交互编辑、纹理映射、网格细分、几何变形、动画对应关系建立、局部区 域参数化以及逆向工程、索引检索等。