三角形知识点总结
三角形的知识点归纳总结
三角形的知识点归纳总结三角形是平面几何中最基本的图形之一，它有着丰富的性质和知识点。
下面将对三角形的知识点进行归纳总结。
一、基本概念1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的闭合图形，它的边由三个非共线的点确定。
2. 三角形的元素：三角形有三条边和三个顶点，三角形的三个内角和为180度。
3. 三角形的分类：根据边长和角度的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形和钝角三角形等多种类型。
二、边长关系1. 三角形边长的关系：在任意三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
2. 等边三角形：等边三角形的三边长度相等。
3. 等腰三角形：等腰三角形的两边长度相等，两个底角也相等。
4. 直角三角形：直角三角形有一个内角是90度，满足勾股定理。
5. 锐角三角形：锐角三角形的三个内角都小于90度。
6. 钝角三角形：钝角三角形的一个内角大于90度。
三、角度关系1. 三角形内角和定理：任意三角形的三个内角和为180度。
2. 等角三角形：等角三角形的三个内角相等。
3. 外角和定理：三角形的一个内角的外角和等于180度。
4. 锐角三角形的性质：锐角三角形的三个内角都是锐角，且最小的内角对应最小的边。
5. 钝角三角形的性质：钝角三角形的一个内角是钝角，且最大的内角对应最长的边。
四、重要定理1. 三角形的中线定理：三角形的三条中线交于一点，且这个点到三个顶点的距离相等，且等于中线的一半。
2. 三角形的高线定理：三角形的三条高线交于一点，且这个点到三个顶点的距离相等。
3. 三角形的角平分线定理：三角形的三条角平分线交于一点，且这个点到三个顶点的距离相等。
五、面积公式1. 三角形面积的计算：三角形的面积可以使用海伦公式或底边高公式进行计算。
2. 海伦公式：设三角形的边长为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S等于sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))。
3. 底边高公式：设三角形的底边长为b，高为h，则三角形的面积S等于1/2 * b * h。
八年级数学《三角形》知识点
21D CB AD CBAD CB A八年级数学《三角形》知识点⒈ 三角形的定义三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示.注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接；（2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的“△”没有意义． ⒉ 三角形的分类 (1)按边分类 (2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义 （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：是△ABC 的BC 上的中线. =DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的重心。
④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部；③三角形三条角平分线交于三角形内部一点；这个点叫做三角形的内心。
④用量角器画三角形的角平分线．（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：是△ABC 的BC 上的高线. ⊥BC 于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°.注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外；三角形等腰三角形不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三角形斜三角形锐角三角形钝角三角形_ C_ B _ A③三角形三条高所在直线交于一点．这个点叫做三角形的垂心。
中考三角形知识点总结
中考三角形知识点总结一、三角形的概念与分类。
1. 概念。
- 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 三角形有三个顶点、三条边和三个内角。
2. 分类。
- 按角分类。
- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。
直角三角形可以用“Rt△”表示，直角所对的边称为斜边，其余两条边称为直角边。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
- 按边分类。
- 不等边三角形：三边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两边相等的三角形。
相等的两边叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
- 等边三角形：三边都相等的三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都相等，且每个角都是60°。
二、三角形的性质。
1. 三角形内角和定理。
- 三角形的内角和为180°。
- 直角三角形的两个锐角互余。
2. 三角形的外角性质。
- 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
- 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
3. 三角形的三边关系。
- 三角形任意两边之和大于第三边。
- 三角形任意两边之差小于第三边。
4. 等腰三角形的性质。
- 等腰三角形的两腰相等。
- 等腰三角形的两底角相等（简称为“等边对等角”）。
- 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称为“三线合一”）。
5. 等边三角形的性质。
- 等边三角形的三条边相等。
- 等边三角形的三个角都相等，并且每个角都是60°。
三、三角形中的重要线段。
1. 中线。
- 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
- 三角形的三条中线相交于一点，这点叫做三角形的重心。
重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
2. 角平分线。
- 三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
- 三角形的三条角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等。
什么是三角形知识点总结
什么是三角形知识点总结一、三角形的形状与性质1. 三角形的定义三角形是一个由三条边和三个角组成的多边形。
每个角的度数都是180度。
根据边的长度、角的大小和形状，三角形可以分为不同的种类。
2. 三角形的性质（1）三角形的内角和等于180度。
（2）三角形的外角和等于360度。
（3）三角形的两边之和大于第三边。
（4）三角形的两角之和大于第三角。
（5）三角形的任意一边都小于其余两边之和。
二、三角形的分类1. 根据边的长度（1）等边三角形：三条边的长度相等。
（2）等腰三角形：两条边的长度相等。
（3）普通三角形：三条边的长度各不相同。
2. 根据角的大小（1）锐角三角形：三个角都小于90度。
（2）直角三角形：一个角为90度，另外两个角之和为90度。
（3）钝角三角形：至少有一个角大于90度。
3. 根据边和角的关系（1）等腰锐角三角形：两个角相等且都小于90度。
（2）等腰直角三角形：一边为90度，另外两边相等。
（3）等腰钝角三角形：两个角相等且至少有一个角大于90度。
三、三角形的周长和面积计算公式1. 周长的计算三角形的周长为三条边的和，即P=a+b+c。
2. 面积的计算（1）正弦定理：S=1/2*a*b*sinC。
（2）余弦定理：S=1/2*a*b*cosC。
（3）海伦公式：S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c)，其中p为半周长。
四、三角形的重心、外心、内心和垂心1. 重心三角形内的一点，使其到三个顶点的距离的平方和最小，这个点叫做三角形的重心。
重心离三个顶点的距离成比例为1:1:1。
2. 外心三角形外接圆的圆心叫做外心。
外心是垂直于三角形的三条边的交点。
3. 内心三角形内切圆的圆心叫做内心。
内心到三角形三条边的距离相等。
4. 垂心三角形三条高的交点叫做垂心。
垂心到三条边的距离的积最小。
五、三角形的基本定理和应用1. 勾股定理勾股定理是三角形中的一条重要定理，它描述了直角三角形中三条边的关系。
勾股定理的表达式为a²+b²=c²。
三角形全部知识点的总结
第一章考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线1、线段垂直平分线的性质立理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质左理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆左理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
2、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
角的平分线有下面的性质定理：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3垂线的性质：性质1:过一点有且只有一条直线与已知直线垂宜0性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
考点二、平行线1、平行线的概念在同一个平而内，不相交的两条直线叫做平行线。
同一平而内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
4、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等；（2）两直线平行，内错角相等：（3）两直线平行，同旁内角互补。
考点三、投影与视图1、投影投影的是义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。
平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。
中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。
2、视图当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。
物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。
主视图：在正而内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。
俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。
左视图：在侧而内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。
第二章三角形考点一.三角形1、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：「不等边三角形三角形彳r底和腰不相等的等腰三角形I等腰三角形-等边三角形三角形按角的关系分类如下：「直角三角形（有一个角为宜角的三角形）三角形丿r锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
完整版)三角形知识点总结
完整版)三角形知识点总结三角形知识点总结三角形是由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形，有三条边，三个内角和三个顶点。
组成三角形的线段称为三角形的边，相邻两边所组成的角称为三角形的内角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
三角形用符号表示为△ABC，其中三个顶点用大写字母A、B、C表示，XXX可用边AB所对的角C的小写字母c表示，AC可用b表示，BC可用a表示。
需要注意的是，三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接。
单独的△没有意义。
根据边和角的不同，三角形可以分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形，以及锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
三角形的主要线段包括中线、角平分线、高和中垂线。
三角形的中线是连结一个顶点和它对边中点的线段，三角形的三条中线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（重心），中线把三角形分成两个面积相等的三角形。
角平分线是一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段，三角形的角平分线全在三角形的内部且交于三角形内部一点（内心），角平分线上的点到角的两边距离相等。
三角形的高是从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。
三角形的三条高所在直线交于一点（垂心）。
三角形的中垂线是过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段，三角形的三条中垂线交于一点（外心）。
总之，三角形的基础知识包括定义、表示和分类，而主要线段包括中线、角平分线、高和中垂线。
理解和掌握这些知识点对于学好三角形及其相关知识非常重要。
的概念和性质定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
性质：等边三角形的三个内角均为60度，也是等腰三角形。
5、三角形的不等式定理三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
注意：这个定理是判断一个三角形是否存在的基本条件，也是判断三条线段能否组成三角形的依据。
高三解三角形知识点总结
高三解三角形知识点总结三角形是初高中数学中的重要内容，也是解析几何的基础。
在高三阶段，解三角形是一个较为复杂且庞大的知识体系。
解三角形的方法有很多种，如余弦定理、正弦定理、海伦公式等，它们是解决三角形问题的重要工具。
在此，我将对高三解三角形的知识进行总结，包括基本概念、解法和应用。
一、三角形的基本概念1. 三角形的定义：三条线段相交于一个公共点，所形成的图形就是三角形。
2. 三角形的内角和外角：三角形的内角和是180度。
三角形内每个角的补角称为该角的外角，三角形的外角和是360度。
3. 三角形的分类：根据边长和角度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形和一般三角形。
二、解三角形的基本原理1. 余弦定理：余弦定理是解三角形的重要工具之一。
对于任意三角形ABC，设a、b、c分别为三边的边长，α、β、γ分别为三个内角，则余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2ab * cosγ。
2. 正弦定理：正弦定理也是解三角形的重要工具之一。
对于任意三角形ABC，设a、b、c分别为三边的边长，α、β、γ分别为三个内角，则正弦定理可以表示为：a/sinα = b/sinβ = c/sinγ。
3. 海伦公式：海伦公式是解三角形的另一种重要方法，用来求解三角形的面积。
对于三角形ABC，设a、b、c分别为三边的长度，s为半周长，则海伦公式可以表示为：S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))。
三、解三角形的常用方法1. 根据已知边长求角度：当已知三角形的两条边及夹角时，可以利用余弦定理或正弦定理求解第三边和其他两个角度。
2. 根据已知角度求边长：当已知三角形的一个角度及两边时，可以利用余弦定理或正弦定理求解第三边和其他两个角度。
3. 根据已知边长和面积求角度：当已知三角形的两条边和一定面积时，可以利用海伦公式求解第三边，然后根据余弦定理或正弦定理求解剩余的两个角度。
解三角形最全知识点总结
解 三 角 形正弦定理要点1 正弦定理在一个三角形中，各边和所对角的正弦值的比相等，即a sinA ＝b sinB ＝csinC.要点2 解三角形三角形的三个角A ，B ，C 和三条边a ，b ，c 叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形. 正弦定理可以解决的问题1.已知两角及一边解三角形，只有一解.2.已知两边及一边的对角解三角形，可能有两解、一解或无解.方法1:计算法.方法2：已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：要点3 正弦定理的变式CB A c b a sin :sin :sin ::)1(=RA aC B A c b a C A c a C B c b B A b a 2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin )2(==++++=++=++=++A c C aB cC b A b B a sin sin ;sin sin ;sin sin )3(===B Cb A C ac A B a C B c b C A c B A b a sin sin sin sin ;sin sin sin sin ;sin sin sin sin )4(======（边化角）C R c B R b A R a sin 2;sin 2;sin 2)5(===要点5 常用结论1．A ＋B ＋C ＝π.2．在三角形中大边对大角，大角对大边．3．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．4．sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2.5．∠A >∠B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B .6．若A 为最大的角，则A ∈[π3，π)；若A 为最小的角，则A ∈(0，π3]；若A 、B 、C 成等差数列，则B ＝π3.7.sin A ＝sin B ⇔A ＝B ； sin(A －B )＝0⇔A ＝B ； sin2A ＝sin2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a<bsinA a ＝bsinA bsinA ＜a ＜b a ≥b a ＞b a ≤b 解个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解（角化边）R c C R b B R a A 2sin ;2sin ;2sin )6(===要点4 三角形的面积公式 Bac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆题型一 解三角形例1 已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B.例2(1)在△ABC 中，(1)a ＝6，b ＝2，B ＝45°，求C ；(2)A ＝60°，a ＝2，b ＝233，求B ；(3)a ＝3，b ＝4，A ＝60°，求B.题型二 判断三角形解的个数(1)在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝45°.则满足此条件的三角形的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数个(2)在△ABC 中，已知b ＝30，c ＝15，C ＝26°，则此三角形解的情况是( ) A ．一个解 B ．两个解 C ．无解 D ．无法确定(3)已知△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若这个三角形有两解，求x 的取值范围【解析】 例1 ∵a sinA ＝c sinC ，∴a ＝csinA sinC ＝10×sin45°sin30°＝10 2.B ＝180°－(A ＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.又∵b sinB ＝c sinC ，∴b ＝csinB sinC ＝10×sin105°sin30°＝20sin75°＝20×6＋24＝5(6＋2)．例2(1)由正弦定理a sinA ＝b sinB ，得sinA ＝asinB b ＝6×222＝32.又0°<A<180°，且a>b ，∴A>B.∴A ＝60°或120°.∴C ＝75°或C ＝15°. (2)由正弦定理，得sinB ＝bsinAa＝233×322＝22.∵a ＝2＝323>b ，∴A>B ，∴B ＝45°. (3)由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝4×323＝23>1.∴这样的角B 不存在．练习(1)A ． (2) B. (3)2<x<2 2题型三 判断三角形的形状 例3 (1)在△ABC 中，已知a 2tanB ＝b 2tanA ，试判断△ABC 的形状．(2)在△ABC 中，若sinA ＝2sinB ·cosC ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ；(3)在△ABC 中，cosA a ＝cosB b ＝cosCc.【解析】 (1)由已知，得a 2sinB cosB ＝b 2sinAcosA.由正弦定理a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB(R 为△ABC 的外接圆半径)，得4R 2sin 2AsinB cosB ＝4R 2sin 2BsinAcosA.∴sinAcosA ＝sinBcosB ，∴sin2A ＝sin2B.∵2A ∈(0，2π)，2B ∈(0，2π)，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．(2)由已知a 2＝b 2＋c 2.∴A ＝90°，C ＝90°－B.由sinA ＝2sinB ·cosC ，得1＝2sinB ·cos(90°－B)．∴sinB ＝22(负值舍去)．∴B ＝C ＝45°.∴△ABC 为等腰直角三角形．(3)由已知，得cosA sinA ＝cosBsinB.∴cosA ·sinB ＝cosB ·sinA.∴tanA ＝tanB.∵A ，B ，C ∈(0，π)，∴A ＝B.同理可证：B ＝C.∴△ABC 为等边三角形．题型四 正弦定理中的比例性质例4 (1)已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，求a －2b ＋csinA －2sinB ＋sinC.(2)在△ABC 中，若(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，求sinA ∶sinB ∶sinC ． 【解析】 (1)∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°.∵a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝1sin30°＝2，∴a ＝2sinA ，b ＝2sinB ，c ＝2sinC.∴a －2b ＋c sinA －2sinB ＋sinC＝2. (2)若(b ＋c)∶(c ＋a)∶(a ＋b)＝4∶5∶6，则存在常数k(k>0)，使得b ＋c ＝4k ，c ＋a ＝5k ，a ＋b ＝6k ，解得a ＝72k ，b ＝52k ，c ＝32k. ，则有a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，所以sinA ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝7∶5∶3题型五 三角形的面积公式例5 (1)在△ABC 中，A ＝30°，c ＝4，a ＝3，求△ABC 的面积． (2)若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，求边AB 的长．(3)在△ABC 中，已知AB ＝2，BC ＝5，△ABC 的面积为4，若∠ABC ＝θ，求θcos .(4)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cos B 2＝255，求△ABC 的面积S.【解析】(1)由正弦定理，得sinC ＝csinA a ＝4sin30°3＝23.，∵c>a ，A 为锐角，∴角C 有两解．①当角C 为锐角时，cosC ＝1－sin 2C ＝53，sinB ＝sin(180°－30°－C)＝sin(150°－C)＝sin150°cosC －cos150°sinC ＝12·53＋32·23＝16(5＋23)， ∴S △ABC ＝12acsinB ＝12×3×4×16(5＋23)＝5＋23；②当角C 为钝角时，cosC ＝－53，sinB ＝sin(150°－C)＝16(23－5)， ∴S △A B C ＝12acsinB ＝23－ 5.综上可知：△ABC 的面积为23＋5或23－ 5.(2)在△ABC 中，由面积公式，得S ＝12BC ·CA ·sinC ＝12×2·AC ·sin60°＝32AC ＝3，∴AC＝2.∴△ABC 为等边三角形，∴AB ＝2.(3)∵S △ABC ＝12AB ·BCsin ∠ABC ＝12×2×5×sin θ＝4，∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin 2θ＝±35.(4)因为cosB ＝2cos 2B2－1＝35，故B 为锐角，sinB ＝45.所以sinA ＝sin(π－B －C)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－B ＝7210.由正弦定理得c ＝asinC sinA ＝107，所以S ＝12acsinB ＝12×2×107×45＝87.1．1.2 余 弦 定 理要点1 余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即：C ab b a c cos 2222-+=；A bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+=要点2 余弦定理的推论bc a c b A 2cos 222-+=；ac b c a B 2cos 222-+=；ab c b a C 2cos 222-+= 要点3 由余弦定理如何判断三角形形状是锐角三角形是锐角是钝角三角形是钝角是直角三角形是直角ABC A c b a ABC A c b a ABC A cb a∆⇒⇔+∆⇔⇔+>∆⇔⇔+=<222222222要点4 利用余弦定理可以解决的问题（1）已知两边和夹角解三角形（2）已知两边及一边的对角解三角形 （3）已知三边解三角形题型一 已知两边和夹角解三角形例1 （1）在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A.【解析】 方法一：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－4 3. ∴c ＝6－ 2.又b>a ，∴B>A.∴A 为锐角．由正弦定理，得sinA ＝a c sinC ＝26－2×6－24＝12.∴A ＝30°.方法二：∵cos15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin15°＝sin(45°－30°)＝6－24， 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝4＋8－22×(6＋2)＝8－4 3.∴c ＝6－ 2.∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0°<A<180°，∴A ＝30°.题型二 已知两边及一边的对角解三角形例2（1）在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a.（2）在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，A ＝45°，解此三角形． 【解析】（1）方法一：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2accosB ，得32＝a 2＋(33)2－2a ×33×cos30°.∴a 2－9a ＋18＝0，得a ＝3或6. 当a ＝3时，A ＝30°，∴C ＝120°.当a ＝6时，由正弦定理，得sinA ＝asinBb＝6×123＝1.∴A ＝90°，∴C ＝60°.方法二：由b<c ，B ＝30°，b>csin30°＝33×12＝332知本题有两解．由正弦定理，得sinC ＝csinB b ＝33×123＝32.∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，A ＝90°，由勾股定理，得a ＝b 2＋c 2＝32＋（33）2＝6. 当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，∴a ＝3.（2）由a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，得22＝(2)2＋c 2－22ccos45°， c 2－2c －2＝0，解得c ＝1＋3或c ＝1－3(舍去)．∴c ＝1＋ 3.cosB ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋（1＋3）2－（2）22×2×（1＋3）＝32.∴B ＝30°，C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°.题型三 已知三边解三角形例3 在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝3，c ＝5，求最大角和sinC.【解析】 ∵a>c>b ，∴A 为最大角．∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32＋52－722×3×5＝－12.又∵0°<A<180°，∴A ＝120°.∴sinA ＝sin120°＝32. 由正弦定理，得sinC ＝csinAa＝5×327＝5314.∴最大角A 为120°，sinC ＝5314. 题型四 判断三角形的形状 例4 （1）在△ABC 中，cos 2A2＝b ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，判断△ABC 的形状．（2）在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，且2cosA ·sinB ＝sinC ，试确定△ABC的形状．【解析】（1）方法一：在△ABC 中，∵cos 2A2＝b ＋c 2c ，∴1＋cosA 2＝b 2c ＋12，∴cosA ＝b c.又由余弦定理知cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2.∴a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 是以C 为直角的直角三角形．方法二：由方法一知cosA ＝b c ，由正弦定理，得b c ＝sinB sinC，∴cosA ＝sinBsinC .∴sinCcosA ＝sinB ＝sin[180°－(A ＋C)]＝sinAcosC ＋cosAsinC.∴sinAcosC ＝0，∵A ，C 是△ABC 的内角，∴sinA ≠0.∴只有cosC ＝0，∴C ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形．（2）方法一(角化边)：由正弦定理，得sinC sinB ＝cb.由2cosA ·sinB ＝sinC ，得cosA ＝sinC 2sinB ＝c 2b .cosA ＝c 2＋b 2－a 22bc ，∴c 2b ＝c 2＋b 2－a 22bc.即c 2＝b2＋c 2－a 2，∴a ＝b.又∵(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，∴(a ＋b)2－c 2＝3b 2，∴4b 2－c 2＝3b 2，∴b ＝c. ∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．方法二(边化角)：∵A ＋B ＋C ＝180°，∴sinC ＝sin(A ＋B)．又∵2cosA ·sinB ＝sinC ，∴2cosA ·sinB ＝sinA ·cosB ＋cosA ·sinB. ∴sin(A －B)＝0.又∵A 与B 均为△ABC 的内角，∴A ＝B.又由(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)＝3ab ，得(a ＋b)2－c 2＝3ab ，a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab.即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cosC ＝12.而0°<C<180°，∴C ＝60°.又∵A ＝B ，∴△ABC 为等边三角形．1．2 应用举例(第一课时)解三角形的实际应用举例要点1 基线(1)定义：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线．(2)性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．要点2 仰角和俯角在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，要点3 方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B点的方位角为α.要点4 方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图中∠ABC为北偏东60°或为东偏北30°；正南方向：指目标在正南的方向线上．依此类推正北方向、正东方向和正西方向．要点5 坡度坡面的铅直高度和水平宽度L 的比叫做坡度(或叫做坡比)．即坡角的正切值.要点6 测量距离的基本类型及方案类别两点间不可通或不可视两点间可视但点不可达两点都不可达图形方法用余弦定理用正弦定理在△ACD中用正弦定理求AC 在△BCD中用正弦定理求BC 在△ABC中用余弦定理求AB结论AB＝a2＋b2－2abcosC AB＝asinCsin（B＋C）①AC＝asin∠ADCsin（∠ACD＋∠ADC）②BC＝asin∠BDCsin（∠BCD＋∠BDC）③AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB要点7测量高度的基本类型及方案类别点B与点C，D共线点B与点C，D不共线图形方法先用正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形求出AB在△BCD中先用正弦定理求出BC，在△ABC中∠ACB可知，即而求出AB结论AB＝a1tan∠ACB－1tan∠ADBAB＝asin∠BDC×tan∠ACBsin（∠BCD＋∠BDC）题型一 有关距离问题例1 要测量对岸A ，B 两点之间的距离，选取相距 3 km 的C ，D 两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，求A ，B 之间的距离．【解析】 如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝∠ACB ＋∠BCD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3.在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝∠ADB ＋∠ADC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝5，∴A ，B 之间的距离为 5 km.题型二 测量高度例2 A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD. 【解析】 如图，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin15°＝AD sin45°，得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)． ∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，∴CD ＝AD ＝800(3＋1)≈2 186(m)．所以，山高CD 为2 186 m.题型三 测量角度例3 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼救信号，我海军护航舰在A 处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C 处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10 3 海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间．【解析】 如图所示，设所需时间为t 小时，则AB ＝103t ，CB ＝10t. 在△ABC 中，根据余弦定理，则有AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BCcos120°， 可得(103t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t 2－t －1＝0， 解得t ＝1或t ＝－12(舍去)．舰艇需1小时靠近货船．此时AB ＝103，BC ＝10，在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin ∠CAB ＝AB sin120°.所以sin ∠CAB ＝BCsin120°AB ＝10×32103＝12.所以∠CAB ＝30°.所以护航舰航行的方位角为75°.1．2 应用举例(第二课时)题型一 有关面积问题三角形面积公式(1)S ＝12a ·h a (h a 表示a 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12 bc sin A ＝12 ac sin B .(3)S ＝12·r ·(a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径 )．(4),))()((c p b p a p p S ---=其中2cb a p ++=例1 （1）已知△ABC 的面积为1，tanB ＝12，tanC ＝－2，求△ABC 的边长以及△ABC 外接圆的面积．（2）在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.①若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； ②若sinB ＝2sinA ，求△ABC 的面积．【解析】（1） ∵tanB ＝12，∴0<B<π2.∴sinB ＝55，cosB ＝255.又∵tanC ＝－2，∴π2<C<π.∴sinC ＝255，cosC ＝－55.则sinA ＝sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋cosBsinC ＝55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255×255＝35. ∵a sinA ＝b sinB ，∴a ＝bsinA sinB ＝35b.则S △ABC ＝12absinC ＝12·35b 2·255＝1. 解得b ＝153，于是a ＝ 3.再由正弦定理，得c ＝asinC sinA ＝2153. ∵外接圆的直径2R ＝a sinA ＝533，∴R ＝536.∴外接圆的面积S ＝πR 2＝25π12.（2）①∵S ＝12absinC ＝12ab ·32＝3，∴ab ＝4. ①∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－2ab －2abcosC ＝(a ＋b)2－12＝4，∴a ＋b ＝4. ② 由①②可得a ＝2，b ＝2.②∵sinB ＝2sinA ，∴b ＝2a.又∵c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝4，∴a ＝233，b ＝433.∴S ＝12absinC ＝233题型二 正余弦定理的综合问题例2 (1)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asinA ＝(2b ＋c)sinB ＋(2c ＋b)sinC.①求A 的大小；②求sinB ＋sinC 的最大值．(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知a 2－c 2＝2b ，且sinAcosC ＝3cosAsinC ，求b.【解析】 (1)①由已知，根据正弦定理，得2a 2＝(2b ＋c)b ＋(2c ＋b)c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA.故cosA ＝－12，∴A ＝120°.②由(1)，得sinB ＋sinC ＝sinB ＋sin(60°－B)＝32cosB ＋12sinB ＝sin(60°＋B)． 故当B ＝30°时，sinB ＋sinC 取得最大值1.(2)由余弦定理，得a 2－c 2＝b 2－2bccosA.又a 2－c 2＝2b ，b ≠0，所以b ＝2ccosA ＋2.① 又sinAcosC ＝3cosAsinC ，∴sinAcosC ＋cosAsinC ＝4cosAsinC. ∴sin(A ＋C)＝4cosAsinC ，sinB ＝4sinCcosA.由正弦定理，得sinB ＝bc sinC.故b ＝4ccosA.② 由①②解得b ＝4.例3 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7. (1)①求cos ∠CAD 的值；②若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．(2)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.①求sin ∠BAD ； ②求BD ，AC 的长．【解析】(1)①在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD22AC ·AD，故由题设知，cos ∠CAD ＝7＋1－427＝277.②设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD.因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝1－⎝⎛⎭⎫2772＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝1－⎝⎛⎭⎫－7142＝32114.于是sin α＝sin(∠BAD －∠CAD)＝sin ∠BADcos ∠CAD －cos ∠BADsin ∠CAD ＝32114×277－⎝ ⎛⎭⎪⎫－714×217＝32.在△ABC 中，由正弦定理，得BC sin α＝AC sin ∠CBA .故BC ＝AC ·sin αsin ∠CBA＝7×32216＝3.(2)①在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B)＝sin ∠ADCcosB －cos ∠ADCsinB ＝437×12－17×32＝3314.②在△ABD 中，由正弦定理，得BD ＝AB ·sin ∠BADsin ∠ADB ＝8×3314437＝3.在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cosB ＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC ＝7.题型三 证明恒等式例4 (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，证明：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sinC.(2)在△ABC 中，记外接圆半径为R.求证：2Rsin(A －B)＝a 2－b2c .(3)已知在△ABC 中，a 2＝b(b ＋c)，求证：A ＝2B.【证明】 (1)由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，b 2＝c 2＋a 2－2cacosB ， 两式相减，得a 2－b 2＝b 2－a 2－2bccosA ＋2cacosB.∴a 2－b 2c 2＝acosB －bcosAc.由正弦定理，知a c ＝sinA sinC ，b c ＝sinB sinC .∴a 2－b 2c 2＝sinAcosB －sinBcosA sinC ＝sin （A －B ）sinC .(2)由正弦定理的变形形式：sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R 及由等号左边的a 2，b 2，c 2，运用余弦定理进行转化，即可得．左边＝2R(sinAcosB －cosAsinB)＝a ·a 2＋c 2－b 22ac －b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝a 2－b2c ＝右边．(3)方法一：∵a 2＝b(b ＋c)，根据正弦定理，得sin 2A ＝sinB(sinB ＋sinC)，即sin 2A －sin 2B ＝sinBsinC. ∴cos2B －cos2A2＝sinBsinC.∴sin(A ＋B)sin(A －B)＝sinBsinC.又在△ABC 中，sin(A ＋B)＝sinC ≠0，∴sin(A －B)＝sinB.∴A －B ＝B 或(A －B)＋B ＝π(舍去)．∴A ＝2B. 方法二：2bcosB ＝2b ×a 2＋c 2－b 22ac ＝b （c 2＋bc ）ac ＝b （b ＋c ）a ＝a ，即2bcosB ＝a ，根据正弦定理，得sinA ＝2sinBcosB ，即sinA ＝sin2B.∴A ＝2B 或A ＋2B ＝π. 若A ＋2B ＝π，则B ＝C.由a 2＝b(b ＋c)，知a 2＝b 2＋c 2. ∴B ＝C ＝π4，A ＝π2，∴A ＝2B.。
不等边三角形的知识点总结
不等边三角形的知识点总结1. 不等边三角形的性质不等边三角形的性质与等边三角形和等腰三角形有所不同。
以下是不等边三角形的一些重要性质：1）三条边长不相等：不等边三角形的三条边长分别为a、b、c，且a≠b≠c。
2）三个内角不相等：不等边三角形的三个内角分别为A、B、C，且A≠B≠C。
3）总角和为180度：不等边三角形的三个内角的和为180度，即A+B+C=180°。
4）边长关系：不等边三角形的任意两边之和大于第三边，即a+b>c、a+c>b、b+c>a。
5）高度关系：不等边三角形的三条高分别对应三边，它们之间的关系是：h_a = 2S/c、h_b = 2S/a、h_c = 2S/b。
2. 不等边三角形的计算公式在不等边三角形中，可以通过已知的边长、内角或面积来求解其他的未知量。
以下是一些常用的不等边三角形的计算公式：1）边长：利用勾股定理可以求解不等边三角形的边长，即a^2 + b^2 = c^2。
2）内角：三角形内角和公式A+B+C=180°中，可以利用已知的两个内角求解第三个内角。
3）面积：利用海伦公式可以求解不等边三角形的面积，即S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p为周长的一半。
4）高度：利用三角形的面积公式S=1/2*底*高，可以求解不等边三角形的高。
5）三角函数：利用正弦定理、余弦定理等三角函数的定理可以求解不等边三角形的各种属性。
3. 不等边三角形的应用不等边三角形在现实生活中有着广泛的应用，特别是在建筑、工程、地理等领域。
以下是一些不等边三角形的应用场景：1）建筑：在建筑设计中，不等边三角形常常用于计算建筑物的斜面、屋顶的倾斜角度等。
2）工程：在工程测量中，不等边三角形可以用来计算地形的高度、坡度等。
3）地理：在地理学中，不等边三角形可以用来计算地球上各个地点之间的距离、角度等。
4）导航：在航海、航空等领域，不等边三角形可以用来计算航线的长度、角度、方向等。
初一三角形知识点总结
初一三角形知识点总结一、三角形的定义三角形是由三条边和三个顶点组成的多边形，它是最简单的多边形之一。
三角形的边是有向线段，顶点是有名字和大小的点。
三角形是平面上的闭合图形，它有许多特殊的性质和定理，是几何学研究的重要对象之一。
二、三角形的分类根据三角形的边长和角度的大小，三角形可以分为不同的类型。
常见的三角形分类包括等腰三角形、等边三角形、直角三角形、钝角三角形和锐角三角形。
根据对顶角的不同，三角形还可以分为不同的类型，如等腰直角三角形和等腰钝角三角形等。
三、三角形的性质1. 三角形的内角和等于180度。
这是三角形的重要性质之一，也是许多三角形定理的基础。
2. 等腰三角形的底边上的角相等。
等腰三角形是具有两条边相等的三角形，它的底边上的角是相等的。
3. 直角三角形的内角和满足勾股定理。
直角三角形是具有一个直角的三角形，它的内角和满足勾股定理，即a^2 + b^2 = c^2，其中a、b、c分别为直角三角形的两条直角边和斜边。
4. 等边三角形的三条边相等。
等边三角形是具有三条边相等的三角形，它的三条边都是相等的。
四、三角形的定理在初一阶段，学生主要学习平行线与三角形的性质和定理，包括同位角定理、内错角定理和外错角定理等。
这些定理在三角形的相关计算和证明中起着重要的作用，学生需要熟练掌握这些定理并能灵活运用。
五、三角形的计算在初一阶段，学生主要学习三角形的周长和面积的计算。
三角形的周长是指三条边的长度之和，而三角形的面积是指三角形内部的面积。
三角形的面积计算可以通过高度和底边的关系、海伦公式等方法进行计算。
总之，三角形是几何学中的重要图形之一，它具有许多重要的性质和定理。
在初一阶段，学生需要系统学习三角形的相关知识，包括定义、分类、性质、定理和计算等内容。
通过系统的学习和练习，学生可以更好地掌握三角形的相关知识，为将来的学习打下坚实的基础。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 图形的初步认识 考点一、线段垂直平分线，角的平分线，垂线 1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 2、角的平分线及其性质
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 角的平分线有下面的性质定理： (1)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 (2)到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。 3 垂线的性质： 性质 1 ：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 性质 2： 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短。 简称： 垂线段最短。 考点二、平行线
1、平行线的概念 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。同一平面内，两条直线的位置关系 只有两种：相交或平行。
4、平行线的性质 (1)两直线平行，同位角相等； (2)两直线平行，内错角相等； (3)两直线平行，同 旁内角互补。 考点三、投影与视图 1、投影 投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。 平行投影：由平行光线(如太阳光线)形成的投影称为平行投影。
中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。 2、视图 当我们从某一角度观察一个实物时， 所看到的图像叫做物体的一个视图。 物体的三视图 特指主视图、俯视图、左视图。
主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。 俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。 左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。 第二章 三角形
考点一、三角形 1、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下： 不等边三角形 三角形 等腰三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形按角的关系分类如下： 直角三角形(有一个角为直角的三角形) 三角形 斜三角形 钝角三角形(有一个角为钝角的三角形) 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角 边相等的直角三角形。
2、三角形的三边关系定理及推论 (1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。 推论：三角形的两边之差小于第三边。 3、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于 180°。 推论： ①直角三角形的两个锐角互余。 ②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。 ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 注： 在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。 4、三角形的面积 1 三角形的面积= ×底×高 2 考点二、全等三角形 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 。 2、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：
(1)边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角 边”或“SAS”)
(2)角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边 角”或“ASA”)
(3) 边边边定理： 有三边对应相等的两个三角形全等 (可简写成 “边边边”或“SSS”)。 直角三角形全等的判定：
对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有 HL 定理(斜边、直角边定理)：有斜 边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“ HL”)
锐角三角形(三个角都是锐角的三角形) 3、全等变换 只改变图形的位置，不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： (1)平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 (2)对称变换：将图形沿某直线翻折 180°，这种变换叫做对称变换。 (3) 旋转变换： 将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置， 这种变换叫做旋转变换。 考点三、等腰三角形 1、等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的性质定理及推论： 定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角) 推论 1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。 即等腰三角形的顶角平分线、 底边上的中线、底边上的高重合。
推论 2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于 60°。 2、三角形中的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 (1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。 (2)要会区别三角形中线与中位线。 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。 三角形中位线定理的作用： 位置关系：可以证明两条直线平行。 数量关系：可以证明线段的倍分关系。 常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有： 结论 1 ：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。 结论 2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。 结论 3 ：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。 结论 4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。 结论 5 ：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。
第三章 解直角三角形
考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 2 、在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4 直角三角形两直角边 a， b 的平方和等于斜边 c 的平方， 即 a2 + b2 = c2
5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中 项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° CD 2 = AD. BD AC2 = AD. AB CD⊥AB BC2 = BD. AB
6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB . CD=AC . BC 考点二、锐角三角函数的概念 (3~8 分) 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°
① sin A = 三A的对边 = a 斜边 c
三A的邻边 b ② cosA = = 斜边 c ③ tanA = 三A的对边 = a 三A的邻边 b 三A的邻边 b
3、各锐角三角函数之间的关系 (1) 互余关系： sinA=cos(90° —A)，cosA=sin(90° —A)，tanA=cot(90° —A)，cotA=tan(90° —A) (2) 平方关系： sin 2 A + cos2 A =1 (3) 倒数关系： tanA . tan(90°—A)=1 sin A (4) 弦切关系： tanA= cos A
第四章 图形的相似
考点一、比例线段 1、比例的性质 (1)基本性质 ①a： b=c： d 一 ad=bc ②a： b=b： c 一 b2 = ac
三角函数 sinα cosα 0° 0
1
90° 1 0 60° 3 2 1 2 3 45° 2 2 2 2 1 30° 1 2
3 2
3 3
④ cotA = = 三A的对边 a 2、一些特殊角的三角函数值 (2)更比性质(交换比例的内项或外项) a b = (交换内项)
c d a c d c = = (交换外项)
b d b a = (同时交换内项和外项)
= = (4) 合比性质： = = b d b d
(5) 等比性质： a = c = e = … = m (b + d + f + … + n 士 0) a + c + e + … + m = a
b d f n b + d + f + … + n b 3、黄金分割 把线段 AB 分成两条线段 AC， BC (AC>BC)， 并且使 AC 是 AB 和 BC 的比例中项， 5 1 叫做把线段 AB 黄金分割， 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， 其中 AC= AB 0.618AB 2
考点二、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 考点三、相似三角形 1、相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示 2、相似三角形的基本定理
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原 三角形相似。
相似三角形的等价关系： (1)反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC； (2)对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC
c a (3)反比性质(交换比的前项、后项)：
a c b d
a c a 士 b c 士 d
b d a c d b