工程优化设计

工程优化设计最优化确实是寻求最好成果或最优目标，从所有可能筹划中选择的最合理的一种筹划。

在进行工程设计、物质运输或资本分派等工作中，应用最优化技巧，能够赞助我们选择出最优筹划或作出最优决定打算。

今朝，最优化方法在工程技巧、主动操纵、体系工程、经济筹划．企业治理等各方面都获得了广泛应用。

最优化设计是从可能设计中选择最合理的设计，以达到最优目标。

搜寻最优设计的方法确实是最优化设计法，这种方法的数学理论确实是最优化设计理论。

最优化设计方法是现代设计方法的一种。

微积分中碰到的函数极值问题是最简单的最优化问题。

I.1函数的极值最简单的最优化设计问题，确实是微积分中的求函数极值问题。

它是应用数学的一个分支，已渗入渗出到科学、技巧、工程、经济各范畴。

例1.1边长为a的正方形钢板，设计制成正方形无盖水槽，如图：1.1所示，在四个角处剪去相等的正方形，若何剪法使水槽容积虽大年夜？解：设剪去的正方形边长为x，与此响应的水槽容积为解出两个驻点x=a/2和x=a/6 第一个驻点没有实际意义。

现在判别第二个驻点是否为极大年夜点。

因为V"(X=a/6)=-4a<0说明x=a/6的驻点是极大年夜点。

结论是，每个角剪去边长为a／6的正方形可使所制成的水槽容积最大年夜。

一样记为Max V（x）。

例1.2图1.2所示的对称两杆支架，由空心圆管构成。

顶点遭受的荷载为2P，支座间距为2L，圆管壁厚为6。

设密度为P，弹性模量为E，屈从极限为(T。

问若何设计圆管平均直径d 和支架高度H，使支架的重量最轻？解：以圆管平均直径d和支架高度H为两个未知变量。

支架总重量的数学表达式为W(H.d)= 2B pbd最轻支架重量w，一样记为mix W。

式(1.2)中变量d和H还必须知足以下前提：图1.1正方形钢板图I 2两杆支架(1)圆管的压应力小于或等于压杆稳固临界应力Φcr。

由材料力学可知，压杆稳固的临界应力为由此得稳固束缚前提(2)圆管压应力小于或等于材料的屈从极限Φy，由此得强度束缚前提(3)变量d和H为有界变量，由此得几何束缚前提dmin≤d≤dmax，Hmin≤H≤Hmax式中：dmin、dmax、Hmin、Hmax分别为d和H的下界值、上界值。

上述支架的最优设计问题表示为：求设计变量d和H，一样记为X(或{X})=[d H] T =[X1 X2]T式(1.2)中W(d，H)，一样记为W(x)，称为目标函数。

使目标函数最小记为知足以下束缚前提gl(X)=g2(X )=g3(x)= dmin-d≤0g4( X) =d-dmax≤095(X )= Hmin-H≤096(X )= H- Hmax≤0一样记为s．t G i (X)≤0，i=1，2，…，m用运算函数极值的分析法，寻求那个问题的最优解。

若假定最优化设计产生在构件中应力达到屈从极限的情形，即选定强度束缚方程式（1.4)为等式情势，即将上式代人目标函数W的方程式(1.2)中，消去变量d，使目标函数成为一个变量H的函数W=运算函数w对变量H的一阶导数，并使之等于零，求得使重量W为最小值时的H解。

即由即当H等于L时，支架总重量最小。

以上两个例题差不多上微积分中典范的极值问题，它们因此简单，却代表了经典最优设计出两类问题。

第一，无束缚极值问题（例1.1所示）。

maxF(x1, x2…xn)或：mixF(x1, x2…xn)那个地点的F（x1, x2…xn）是定义在n维空间上的可微函数。

假如F(X)在x=xo处知足F(X) - F( Xo)<0，且a≤x≤b，a≤Xo≤b (1 6)则称F(x)在[a，b]上的x=xo处有一相对极大年夜值或局部极大年夜值，式(1.6)中的e为一正的小量。

假如F (X)在x=Xo处知足F(X) - F(Xo)≤0.，且a≤X≤b,a≤Xo≤b (1.7)则称F(X)在[a，b]上的X=Xo处有一绝对极大年夜值或全域极大年夜值。

假如将式(1.6)和式(1.7)中第一式的“<”或“≤”改为“>”或“≥”，则称F(X)在X=Xo 处罚别有一相对极小值和绝对极小值。

只有当F’(Xo)=0时，x= xo处才能知足极大年夜或极小的前提式(1.6)，但这只是必要前提，而不是充分前提。

相对极小的须要前提是F’(Xo)=0时，而其充要前提是F’(Xo)=0时，F”(Xo)>0时；反之，相对极大年夜的须要前提是F’(Xo)=0，而其充要前提则是F’(Xo)=0，F”(Xo) <0。

假如F”(Xo) =0，则相对极大年夜或相对极小的充要前提还要依照更高次的级数项决定。

例如，当F’(Xo)= F”(Xo)=0，而F( Xo)≠0时，X=xo是F(X)的一个拐点。

适应上，把极大年夜点和极小点统称为顶点，把极大年夜点、极小点和拐点合在一路，统称为驻点：顶点上的函数值统称为极值，驻点上的函数值统称为驻值。

总之，求极值点的方法是从如下的含有n个未知数x1、x2、…、xn的非线性方程组中解出驻点，然后剖断或验证这些驻点足不足极值点。

第二，有束缚的极值问题（例1.2所示）。

minW(X),X = [x1、x2、…、xn]T或maxW(X),X = [x1、x2、…、xn]T知足于Gj (X) = 0 j = 1,2，…，m那个问题的一个直截了当解法是把m个等式束缚看作m个方程组，应用它们把n个设计变量中的m个，例如x1、x2、…、xm用其余n - m个来表示，然后把函数关系X1=x1（Xm+1、Xm+2、…、Xn）, X2=x2（Xm+1、Xm+2、…、Xn）、…Xm=Xm（Xm+1、Xm+2、…、Xn）代人目标函数中，w (X)就只依附于Xm+1、Xm+2、…、Xn，问题成为无束缚的。

工程实际中提出的专门多宏大年夜而复杂的极值问题，变量与束缚的个数不是几个，而是几十个、几百个，甚至上千个；束缚也不跟于等式，还显现了不等式．近二三十年来，人们差不多创建了新的理论和方法来求解这种大年夜型问题，这确实是近代最优化理论和方法。

1.2通俗设计与最优化设计构造优化设计是相关于传统的构造设计而言的。

传统的构造设计，要求设计者依照设计要乞降实践体会，参考类似的工程设计，经由过程确信去制造设计筹划；然落后行强度、刚度、稳固性等各方面的运算。

那个地点的运算本质上是对给定的筹划作力学分析，起一种安稳校核的感化，仅仅证实了原筹划的可行性。

因此，设计者有前提时老是还要研究几个可能的筹划来进行比较，从而对构造构造、材料选择、构件尺寸、构造外形等进行修改，以便获得更为合理的筹划。

通俗（传统）的构造设计，力学分析只起到一种校核的办事感化。

它有着两方面的缺点：一是工作繁复、效力低；二是因为时刻和设计者体会的限制，确信的最终筹划往往不是幻想的最优筹划，而仅为可行筹划。

因此通俗的设汁法度榜样和方法，能够或许适应临盆逐步成长的必定时期上的须要，然则跟着临盆的灵敏成长，新兴科学技巧的赓续显现，人们新的设计思惟的丰富、充分后也逐步意识到：只是做到分析构造是远远不敷的，而更重要的义务还在于要设计构造。

也确实是说，人们不仅要说明世界，更要改革世界。

往常的构造力学研究，重要着眼于分析和运算各类构造在外界身分感化下的受力和变形等力学反响，现在则迈出一大年夜步，把构造优化设计也作为研究的目标和义务。

设计这一概念，从全然上来说，是和分析不合的：设计经常表示为反复的分析。

例如，关于静定构造，要设计得能知足一组给定的许可应力，只进行一次分析就已足够，设计者选择的截面就能使构造重量为最轻．从汗青上来看，工程人员设计静定构造在超静定构造之前，这可能说明什么缘故设计超静定构造时也是起首进行构造分析的缘故。

最早，也许是最粗拙的方法，先假定截面特点，再进行构造分析，然后用分析成果来选择一组新的截面特点。

经由过程如许反复轮回的运算，往往可获得一个可行的设计。

反复修改设计是传统设计的特点。

关于实际的超静定构造，这种方法是专门繁琐且须要求解联立方程。

再者，最后获得的一组截面，在专门大年夜程度上取决于最初假定的误差程度。

是以，所求得的一组截面下必定是最好的，工程构造建起来后或者是重量大年夜，或者是造价高。

一样设计单位往往迫于时刻紧而不克不及进行多筹划比较来选择最合适的截面。

经由过程设计，不仅要使产品具有优胜的机能，同时还要知足临盆的工艺性、应用的靠得住性和安稳性，且达到费用最省、消费最低和误差最小等目标。

这确实是一切设计活功的最终目标。

传统的构造设计的另一特点是所有介入运算的量必须以常量显现，构造优化设计是所有介入运算的量部分以变量显现，在知足规范和规定的前提下，形成全部可能的构造设计筹划域。

在那个设计筹划域中有浩渺的可行设计筹划和浩渺的弗成行设计筹划。

应用数学手段，按设计者预定的要求，从域中选出一个不只可行且做好的设计筹划称为优化设计。

因而优化设计所得的设计筹划，不仅是传统设计中的可行的设计筹划，同时是浩渺可行筹划中最优的设计筹划．那个地点所说的最优，是相对设计者预定的要求而言曲。

构造最优设计把力学概念和优化技巧作了有机结合。

实践证实，构造最优设计能缩短设计周期、节俭人力、进步设计质量和程度，最终取得明显的经济效益和社会效益。

构造优化设计与通俗的构造设计采取的是雷同的全然理论，应用的是同样的运算公式，遵守的是同样的设计规范和施工技巧或者构造规定，因而具有雷同的安稳度。

构造最优化设计与传统的构造设计有一样的设计过程，也要经由设计（拟定各部尺寸）、校核（是否知足规范等要求），修改设计、再校核，如斯反复进行，直到找到幻想筹划为止。

所不合的是，传统设计过程的安稳性、经济性缺乏衡量的标准，而最优设计是在一个明白特定指标（如构造的体积最小、重量最轻、造价最省）下来说明构造的经济性与安稳性。

传统设计的设计、校核关系是松散的，且一样仅反复进行一两次即停止，而最优设计则是按必定的数学模式将两者慎密地接洽在一路，立即设计问题转化为严格的数学筹划问题求解，可应用运算机连续快速作出筹划比较，从数百个力案比较中，找到最优设计筹划，此外，只要在最优设计的电算法度榜样中稍加补偿（增长前后处理功能）就专门便利地实现将运算、设计画图全过程的主动化。

从输人数据到图形输出，只须要少量的时刻，这是传统设计所弗成比较的。

评判设计优、劣的标准，在优化设计中称为目标函数；构造设计中的量，以变量情势介入的称为设计变量；设计时应遵守的几何、强度、刚度、稳固等前提称为束缚前提；选择设计变量，确信目标函数，列出束缚前提，称为建立优化设计的数学模型。

优化设计数学模型建立在解决不合的工程实际问题的差不多七，有不合的情势。

对不合的数学模型，选择不合的最优化方法。

1.3构造最优化设计的全然概念1.3.1设计变量、目标函数、束缚前提最优化设计的显现，改变了以往被动设计的局面，它能够在规定的束缚前提下，知足确信的目标要求来设计构造的有关参数。