第10讲 图形的位似

第10讲 图形的位似
【学习目标】1、熟记位似图形的概念及性质；知道利用位似的性质可以将一个图形放大或缩小；
2、位似图形坐标的变化规律
【学习过程】
一： 问题一：位似图形的有关概念
1、观察下图，有相似多边形吗？如果有，这种相似图形有什么特征？
二、归纳总结：
知识点1、位似多边形的概念：
如果两个相似多边形任意一组对应顶点P ，P ’所在的直线都经过同一点O ，且有OP ’=k ·OP （k ≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O 叫做位似中心，k 就是相似比。

例如下图：
知识点2、位似多边形的性质：
位似多边形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比； 位似多边形上对应点和位似中心在同一条直线上； 位似多边形上的对应线段平行或在同一条直线上；
位似多边形是特殊的相似图形，因此位似图形具有相似图形的一切性质。

注意：对某一图形进行放大（或缩小），使得放大（或缩小）前后的两个图形是位似图形。

【例题解析】
例1、△ABC 与'''C B A △关于点O 位似，BO=3，6' O B (1)若AC=5，求''C A 的长；
(2)若△ABC 的面积为7，求'''C B A △面积。

知识点3、位似多边形的画法： 步骤：（1）确定位似中心；
（2）确定原图形的关键点。

通常是多边形的顶点； （3）确定相似比；
（4）找出新图形的对应关键点；
（5）顺次连接各点，得到放大或缩小的图形。

例2、把图1中的四边形ABCD 缩小到原来的
2
1
． 作法一：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ； （2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；
（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′， 使得
2
1
OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； 顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，
作法二：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ； （2）过点O 分别作射线OA ， OB ， OC ，OD ；
（3）分别在射线OA ， OB ， OC ， OD 的反向延长线上取点A ′、B ′、C ′、D ′， 使得
2
1
OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='； （4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的 四边形A ′B ′C ′D ′，如图3．
作法三：（1）在四边形ABCD 内任取一点O ；
二、尝试应用
1．画出所给图中的位似中心．
′
A
B C A
B C
′
′
2、如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．
3．（2009年广西南宁）三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成影子.现测得20cm 50cm OA OA '==，，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是 ．
4.（2010丹东市）如图，ABC △与A B C '''△是位似图形，且位似比是1:2，若AB =2cm ，则A B ''= cm ，并在图中画出位似中心O ．
5．把右图中的五边形ABCDE 扩大到原来的2倍．
四、自主探究 问题一：
（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,3)，B(6,0)．以原点O 为位似中心，相似比为3
1
，把线段AB
缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
A
A ′ O 灯
三角尺
投影
（2）如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以点O 为位似中心，相似比为2，将△ABC 放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
问题二：
1、如图，四边形ABCD 的坐标分别为A （－6，6），B （－8，2），C （－4，0），D （－2，4），画出它的一个以原点O 为位似中心，相似比为 1
2
的位似图形．
知识点4、平面直角坐标系中的位似变换： 1、位似多边形对应点的坐标变化规律
在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横纵坐标都乘以同一个数k （k ≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比是k 。

注意：（1）这是以原点为位似中心的位似变换中图形的变化规律；
（2）当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为k ；当位似图形在原点两侧时，其对应顶点的坐标
的比为-k ；
（3）当k ＞1时，图形扩大为原来的k 倍；当0＜k ＜1时，图形缩小为原来的k
1．（2009年福州）如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是（ ）
A ．2DE=3MN ，
B ．3DE=2MN ，
C ．3∠A=2∠F
D ．2∠A=3∠F
2. (2010年福建省德化县)如图，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，如果小“鱼”上一个“顶点”的坐标为()a b ，，那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为 （ ）
Ａ、(2)a b --，Ｂ、(2)a b --，
Ｃ、(22)a b --，Ｄ、(22)b a --，
六、补偿提高
1．（2009年山西省）如图，ABC △与A B C '''△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是 ．
2、如图，图中的小方格都是边长为l 的正方形，
△ ABC 与△''
A B '
C 是关于点0为位似中心的位似图形，
它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心点0；
A B'C的相似比；
(2)求出∆ABC与△''
A B C，使它与∆ABC的相似比等于l．5．
(3)以点0为位似中心，再画一个△
111
例3、画图，将图中的△ABC作下列运动，画出相应的图形．
（1）沿y轴正向平移2个单位；
（2）关于y轴对称；
（3）以B点为位似中心，放大到2倍．
2、位似与平移、轴对称、旋转三种变换的联系与区别
位似、平移、轴对称、旋转都是图形变换的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变换都是全等变换，而位似变换是相似（扩大、缩小或不变）变换。

3、平移、轴对称、旋转、位似变换的坐标变化规律
（1）平移变换：对应点的横、纵坐标加上或减去平移的单位长度；
（2）轴对称变换：以x轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以y轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数；
（3）旋转变换：一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横、纵坐标都互为相反数；
（4）位似变换：当以原点为位似中心时，变换前后两个图形对应点的横、纵坐标之比的绝对值等于相似比。

【经典练习】
1．用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（）
A．只能选在原图形的外部； B．只能选在原图形的内部；
C．只能选在原图形的边上； D．可以选择任意位置。

2．已知：E（－4，2），F（－1，－1），以O为位似中心，按比例尺1∶2，把△EOF缩小，则点E的对应点E′的坐标为（）
A．（2，－1）或（－2，1） B．（8，－4）或（－8，4）
C．（2，－1） D．（8，－4）
3．如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF 与△ABC的面积比是（）
A．1︰2 B．1︰4 C．1︰5 D．1︰6
4.（2014•武汉，第6题3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C的坐标为（）
5、（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm 的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
6、（2013福建省福州21）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，P是BC边上一点，△PAD的面积为1/2，设AB=x，AD=y
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若∠APD=45°，当y=1时，求PB•PC的值；。