微积分习题答案上海同济大学数学

微积分习题答案Chapter-3_上海同济大学数学三

1．解：(1) 2

00000()12()lim lim lim .2t t t t s t t t t t v v g v gt t t t

∆→∆→∆→∆∆∆+∆==-=-∆∆∆ (2)由 00t v v gt =-=有0;v t g =

(3)由0t v v gt =-有01(2).2

T v g t v ==。 3．求曲线y =x (1-x )在横坐标为1处的切线的斜率。

解：由y =1-2x 可知当x =1时，y =-1。

5．解：(1) 220000(0)lim 0,(0)lim 0(0)0;00

-+-+→→---'''====⇒=--x x x x y y y x x (2)11000000(0)lim lim ,(0)lim lim ,00

αααα--++++-+→→→→---''==-==--x x x x x x y x y x x x 因此，只有当为有理数且2α≠n m

时0(0)lim 0α→'==x y x 成立。 6．解：由于得f (x )在x =0和x =1点处可导，则必然在x =0和x =1点处连续，因此

(1) 00(0)(0),lim (e 1)lim ()0;-+-+→→=-=+⇒=x

x x f f x a a 即 (2) 111sin(1)11(1)(1),lim lim 1.11

-

+-+→→--+-''==⇒=--x x x b x f f b x x 即

7．设f (x )在x =0点连续，且0()1lim 1x f x x →-=-，(1)求f (0); (2) 问f (x )在x =0点是否可导？

解：由于得f (x )在x =0点连续，则0

lim ()(0).→=x f x f 由0()1lim

1x f x x

→-=-有： (1) []00000()1()1lim lim lim 0lim ()10lim ()1→→→→→--⋅=⋅=⇒-=⇒=x x x x x f x f x x x f x f x x x ，即f (0)=1;

(2) 00()1()(0)lim lim 1(0) 1.0

→→--'==⇒=-x x f x f x f f x x 8．解:函数g (x )在x =0点连续,则当x 0时, 存在某个领域U (0),在此领域内g (x )是有界量。

因此

000()(0)()sin (0)sin0()sin (0)lim lim lim (0).0→→→--'====-x x x f x f g x x g g x x f g x x x

9．设(0)1,(1)2,(0)1,(1)2,f g f g ''===-=-求

(1)00cos ()(cos 1)(()1)lim lim →→----=x x x f x x f x x x 00cos 1()(0)1lim lim (0);2

→→--'=-=--x x x f x f f x x (2)002()12()()()1lim lim →→--+-=x x x x f x f x f x f x x x

0021()1lim ()lim (0)ln 2(0);→→--'=+=+x x x f x f x f f x x

(3)11()2()222lim lim 11

→→--+-=--x x xg x xg x x x x x 1111()21()(1)1lim 2lim lim 2lim (1)1;1111

→→→→---'=+=+=+---+x x x x g x x g x g x x g x x x x 10．设(0)1,(0)1,f f '==-求极限1(ln )1lim

.1x f x x

→-- 解: 100(ln )1()1()(0)ln lim lim lim (0);11e →→→---='==----t x t t f x f t f t f t x f x t 11．设(0)1,(0)1,f f '==-(1)求当x 0时,()1f x -的主部； (2)求极限22(2)1lim .2→---x f x x x

解：(1) 求当x

0时,()1(0)(1)(1),'-=-+-f x f x o x 因此f (x )-1的主部为1-x ; (2) 2220(2)1(2)1()(0)2lim lim lim 2(2)(2)

→→→-----=-=---+x x t f x f x f t f t x x x x x t t 0001()(0)11lim lim lim (0);222

→→→-'=-=-=-+t t t f t f f t t 17．解: (1) 由()f x 在(,)-∞+∞内可导，有

100()(0)1lim lim sin ,0α-→→-=-x x f x f x x x

当>1时,上述极限存在； (2) 当x 0时, 12111()sin

sin cos αααα--'==-f x x x x x x x , 由0lim ()→'x f x 存在可知 >2，且有

1211sin cos ,0()0,0ααα--⎧-≠⎪'=⎨⎪=⎩

x x x f x x x x

18．解: 已知2ln(12)y x a y b x =+=+与在x =1点相切，即

[]21ln(12)=''

⎡⎤+=+⎣⎦x x x a b x =1223;3

⇒=⇒=b b 在切点处函数值相等，则

[]213ln(12)13ln33ln3 1.=⎡⎤+=+⇒+=⇒=-⎣⎦x x x a x a a =1