2018年北京市高考数学理 10专题十 计数原理、统计、概率
2018版高中数学理一轮全程复习课件第十章 计数原理、
6．两个常用结论 (1)均值与方差的关系 D(X)＝E(X2)－E2(X)． (2)超几何分布的均值 nM 若 X 服从参数为 N，M，n 的超几何分布，则 E(X)＝ N .
二、必明 2●个易误点 1．两点分布，二项分布，超几何分布的均值与方差的计算 公式容易记混淆，准确记忆公式是解题的必要条件． 2．在实际问题中注意深刻理解题意，准确判断实际问题是 何种类型的分布是解题的关键．
[授课提示：对应学生用书第 189 页] 考向一 离散型随机变量的均值 [例 1] (2016· 山东卷)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语 活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两 人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一人猜对，则“星队” 得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分．已知甲每轮 3 2 猜对的概率是4，乙每轮猜对的概率是3；每轮活动中甲、乙猜对 与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活 动，求： (1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率； (2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和数学期望 EX.
3.均值与方差的性质 aE(X)＋b a，b 为常数)． (1)E(aX＋b)＝⑤________( (2)D(aX＋b)＝⑥________( a2D(X) a，b 为常数)． 4．两点分布的均值与方差 若 随 机 变 量 X 服 从 两 点 分 布 ， 则 E(X) ＝ p ， D(X) ＝ ⑦ p(1－p) ________. 5．二项分布的均值与方差 若随机变量 X 服从参数为 n， p 的二项分布， 即 X～B(n， p)， np np(1－p) 则 E(X)＝⑧________ ，D(X)＝⑨________.
)
1 2．设随机变量 X 的分布列为 P(X＝k)＝5(k＝2,4,6,8,10)，则 D(X)等于( ) A．5 B．8 C．10 D．16
2018版高中数学理一轮全程复习课件第十章 计数原理、
——[悟· 技法]—— (1)利用分布列中各概率之和为 1 可求参数的值，此时要注 意检验，以保证每个概率值均为非负数． (2)若 X 是随机变量，则 2X＋1，|X－1|等仍然是随机变量， 求它们的分布列可先求出相应随机变量的值， 再根据对应的概率 写出分布列．
C2 2 解析：当 2 球全为白球时C2＝0.1， 5 1 1 C3· C2 6 当 1 红、1 白时 C2 ＝10＝0.6， 5 C2 3 当 2 球全为红球时C2＝0.3. 5 答案：0.1 0.6 0.3
[知识重温] 一、必记 3●个知识点 1．离散型随机变量的分布列 变量 来表示， 如果随机试验的结果可以用一个①______ 那么这样 的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫 离散型随机变量 做②__________________.
解析：1<Y≤5，即 1<2X－3≤5， 所以 2<X≤4，故 P(1<Y≤5)＝P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝ 4)＝0.4＋0.2＝0.6. 答案：0.6
6．从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设 其中有 X 个红球，则随机变量 X 的概率分布为 0 1 2 X P ______ ______ ______
i＝1 n
3．常见离散型随机变量的分布列 0 1 X (1)两点分布： P 1－p p 若随机变量 X 服从两点分布，即其分布列为 P(X＝1) 称为成功概率． ，其中 p＝⑥__________ (2)超几何分布列： 在含有 M 件次品数的 N 件产品中，任取 n 件，其中含有 X n－k Ck MCN－M 件次品数，则事件{X＝k}发生的概率为：P(X＝k)＝ Cn (k＝ N min{M，n} ， 0,1,2，…，m)，其中 m＝⑦____________ n≤N，M≤N，n、M、N∈ N* 且⑧_______________________ ，则称分布列为超几何分布列 . 0 1 X m … n－0 n －1 n－m C0 CN C1 Cm －M M· MCN－M MCN－M P … n n n CN CN CN
2018版高考一轮总复习数学理习题 第10章 计数原理、概率、随机变量及分布列 10-2 含答案 精品
(时间：40分钟)1．将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A．18种B．24种C．36种D．72种答案 C解析分两类，甲乙在一路口，其余3人中也有两人在一路口，则有C23A33种．当有3人在一路口时只能是甲、乙和其余三人中一个在一起，则有C13A33，所以共有C23A33＋C13A33＝36种，选C.2．某校准备从5位报名参加志愿者的学生中挑选3人，分别担任某运动会田径、游泳和球类3个不同比赛项目的志愿者，已知学生甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有( )A．24种B．36种C．48种D．60种答案 C解析可以先从其余的4位学生中选出1人担任游泳比赛的志愿者，有C14种方法，再从剩余的4人中选出2人分别担任田径和球类比赛的志愿者，有A24种方法，则由分步乘法计数原理可得，不同的安排方法共有C14A24＝48种．3．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案有( )A．36种B．42种C．48种D．54种答案 B解析分两类，第一类：甲排在第一位，共有A44＝24种排法；第二类：甲排在第二位，共有C13A33＝18种排法，所以共有编排方案24＋18＝42种，故选B.4．旅游体验师小李受某旅游网站的邀约，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若甲景区不能最先旅游，乙景区和丁景区不能最后旅游，则小李旅游的方法数为( )A．24 B．18C．16 D．10答案 D解析本题考查分类加法计数原理．第一类，甲在最后一个体验，则有A33种方法；第二类，甲不在最后一个体验，则有A12A22种方法，所以小李旅游的方法共有A33＋A12A22＝10种，故选D.5．某班级举办的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生、2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为( ) A．90 B．60C．48 D．36答案 B解析先排3位女生，3位女生间及两端有4个空，从4个空中选2个排男生，共有A24 A33＝72种排法．若女生甲排在第一个，则3位女生间及一端有3个空，从3个空中选2个排男生，有A23A22＝12种排法，所以满足条件的排法种数为72－12＝60.6．有5个大学保送名额，计划分到3个班级，每班至少一个名额，则不同的分法种数为________种．答案 6解析一共有5个保送名额，分到3个班级，每个班级至少1个名额，即将名额分成3份，每份至少1个(定行数)．将5个名额排成一列产生6个空，中间有4个空(定空位)．即只需在中间4个空中插入2个隔板，隔板不同的方法共有C24＝6种．(插隔板) 7．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数为________．答案12解析若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有C12×3＝6种方法；若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2＝6种方法．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．8．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法种数为________．答案24解析第一步：将2个爸爸排在两端，有2种排法；第二步：将2个小孩视为一人与2个妈妈任意排在中间的三个位置上，有A33种排法；第三步：将2个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A33＝24种．9．把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列．(1)43251是这个数列的第几项？(2)这个数列的第96项是多少？解(1)若首位是1,2,3之一，有C13A44个；若首位是4，第二位为1或2，有C12A33个；若首位是4，第二位是3，第三位是1，有A22个；若首位是4，第二位是3，第三位是2，有1个．∴43251的前面共有C13A44＋C12A33＋A22＋1＝87个．故43251是第88项．(2)由(1)知43251为第88项．首位为4，第二位为3，第三位为5，有A22＝2个．首位为4，第二位是5，有A33＝6个．因此，第96项是45321.10．有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，甲不站在排头也不站在排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起；(5)全体排成一排，男生互不相邻；(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人．解本题考查了有限制条件的排列问题．(1)从7个人中选5个人来排列，有A57＝2520种．(2)分两步完成，先选3人排在前排，有A37种方法，余下4人排在后排，有A44种方法，故共有A37·A44＝5040种．事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件．(3)(优先法)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3600种．(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，也有A44种方法，故共有A44×A44＝576种．(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，∴应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有A44×A35＝1440种．(6)把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有A22种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有A35种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人排列，有A33种方法，故共有A22×A35×A33＝720种．(时间：20分钟)11．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．18C．12 D．6答案 B解析根据所选偶数为0和2分类讨论求解．①当选数字0时，再从1,3,5中取2个数字排在个位与百位．∴排成的三位奇数有C23A22＝6个．②当选数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C23种方法．然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列．∴排成的三位奇数有C23C12A22＝12个．∴由分类加法计数原理，共有18个符合条件的三位奇数．12．某高校从4名男大学生志愿者和3名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校1名志愿者)，要求这3名志愿者中男、女大学生都有，则不同的选派方案共有( )A．210种B．180种C．150种D．120种答案 B解析从这7名大学生志愿者中任选3名派到3所学校支教，有A37种选派方案，3名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有A34＋A33种，故符合条件的选派方案有A37－(A34＋A33)＝180种．13．将除颜色外完全相同的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友至少分得一个球的分法有________种．( )A．15 B．21C．18 D．24答案 B解析分四类，第一类：两个红球分给其中一个人，有A33种分法；第二类：白球和黄球分给一个人，有A13种分法；第三类：白球和一个红球分给一个人，有A33种分法；第四类：黄球和一个红球分给一个人，有A33种方法，总共有A33＋A13＋2A33＝21种分法，故选B.14．有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)共有多少种放法？(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？(3)恰有一个盒内放2个球，有多少种放法？(4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？解(1)一个球一个球的放到盒子里去，每只球都有4种独立的放法，由分步乘法计数原理知，放法共有44＝256种．(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2,1,1的三组，有C24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计数原理知，共有放法C14C24C13A22＝144种．(3)“恰有一个盒子内放2个球”，即另外的三个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故也有144种放法．(4)先从四个盒子中任取两个有C24种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类．第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C34·C12种放法；第二类：有C24种放法．因此共有C34 C12＋C24＝14种．由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有C24·14＝84种．。
全国通用2018高考数学大一轮复习第十篇计数原理概率随机变量及其分布第2节排列与组合习题理
第2节排列与组合1.某段铁路中的所有车站共发行132种普通车票,那么这段铁路共有车站数是( B )(A)8 (B)12 (C)16 (D)24解析: 设有n个车站,则=n(n-1)=132,解得n=12.2.用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( B )(A)324 (B)328 (C)360 (D)648解析:当0排在个位时,有=9×8=72(个);0不排在个位时,有··=4×8×8=256(个).于是由分类加法计数原理,得符合题意的偶数共有72+256=328(个).故选B.3. 某校为了提倡素质教育,丰富学生们的课外活动分别成立绘画,象棋和篮球兴趣小组,现有甲、乙、丙、丁四名同学报名参加,每人仅参加一个兴趣小组,每个兴趣小组至少有一人报名,则不同的报名方法有( C )(A)12种 (B)24种 (C)36种 (D)72种解析:4人分为三组,再分配到三个项目组中,方法数为·=36.(A)474种(B)77种(C) 462种(D) 79种解析:总的排法为=9×8×7=504(种),三节连上的情况为5=30(种),故所有不同排法为504-30=474(种).(A)48 (B)24 (C)36 (D)64解析:采用间接法.由于“参观工厂”与“环保宣传”相邻,故总的安排方法为=48(种),其中“民俗调查”排在周一时,其他的排法为=12(种).符合要求的安排方法为48-12=36种.6. 分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道,要求4名水暖工都分配出去,并每个水暖工只去一个居民家,且每个居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有( D )(A)种 (B)·种(C)·种 (D)·种解析:先把4名水暖工分为3组,方法数为,再分配到3个居民家方法数为.根据分步乘法计数原理得分配方案共有·种.7.(2016·贵州贵阳模拟)现有2门不同的考试要安排在5天之内进行,每天最多进行一门考试,且不能连续两天有考试,那么不同的考试安排方案种数是( A )(A)12 (B)6 (C)8 (D)16解析:若第一门安排在开头或结尾,则第二门有3种安排方法,这时,共有×3=6种方法;若第一门安排在中间的3天中,则第二门有2种安排方法,这时,共有3×2=6种方法.综上可得,不同的考试安排方案共有6+6=12(种).8.6人参加一项活动,要求是:必须有人去,去几个人,谁去,自己定,则不同的去法种数为.去法有+++++=63(种).答案:639.(2016·北京丰台模拟)将6位志愿者分配到甲、乙、丙3个志愿者工作站,每个工作站2人,由于志愿者特长不同,A不能去甲工作站,B只能去丙工作站,则不同的分配方法共有种.解析:先安排甲工作站,方法数为=6,再安排乙工作站,方法数为=3,余下一人去丙工作站,方法数是1,故总的分配方法数是6×3=18.答案:1810.4位同学参加某种形式的竞赛,竞赛规则规定:选甲题答对得100分,答错得-100分,选乙题答对得90分,答错得-90分,若4位同学的总分为0分,则这4位同学不同得分情况的种数是.解析:由于4位同学的总分为0分,故4位同学选甲、乙题的人数有且只有三种情况:①甲:4人,乙:0人;②甲:2人,乙:2人;③甲:0人,乙:4人.对于①,须2人答对,2人答错,共有=6种情况;对于②,选甲题的须1人答对,1人答错,选乙题的也如此,有=24种情况;对于③,与①相同,有6种情况,故共有6+24+6=36种不同的情况.答案:36一排,要求2盆黄菊花必须相邻,2盆白菊花不能相邻,则这5盆花不同的摆放种数是( B ) (A)12 (B)24 (C)36 (D)48解析:黄菊花的排法有种,把其与红菊花排列的方法数是,在隔开的3个空位排白菊花的方法数是,根据分步乘法计数原理得不同的摆放种数为··=24.“C,B,A”(可以不相邻),这样的排列有( C )(A)12种 (B)20种(C)40种 (D)60种解析:五个元素没有限制全排列为,由于要求A,B,C的次序一定(按A,B,C或C,B,A),故除以这三个元素的全排列,可得这样的排列有×2=40(种).13.(2016·山西太原模拟)有5本不同的教科书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其并排摆放在书架的同一层上,则同一科目书都不相邻的放法种数是( B )(A)24 (B)48 (C)72 (D)96解析:据题意可先摆放2本语文书,当1本物理书在2本语文书之间时,只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可,此时共有种摆放方法;当1本物理书放在2本语文书一侧时,共有种不同的摆放方法,由分类加法计数原理可得共有+=48种摆放方法.解析:+<,即12+4(n-2)<(n-2)(n-3),即n2-9n+2>0,n>,或者n<<1(舍去),由于8<<9,所以n≥9,即n的取值是不小于9的正整数.答案:n≥9,n∈N*15.(2016·山西考前质检)5名工人分别要在某3天中选择1天休息,且每天至少有一人休息,则不同的安排方式有种(用数字填写).解析:由题意可知5名工人分别要在某3天中任选1天休息,且每天至少有一人休息,则不同的安排方式共分两类:第一类,有两天中只有一人休息,另外一天有三人休息,共有=60种方法;第二类,有两天中分别有两人休息,另外一天只有一人休息,共有·=90种方法.综上所述,共有60+90=150种方法.答案:15016.(2016·江苏卷)(1)求7-4的值;(2)设m,n∈N*,n≥m,求证:(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+n+(n+1)=(m+1).(1)解:7-4=7×-4×=0.(2)证明:当n=m时,结论显然成立.当n>m时,(k+1)==(m+1)·=(m+1),k=m+1,m+2,…,n.又因为+=,所以(k+1)=(m+1)(-),k=m+1,m+2,…,n.因此,(m+1)+(m+2)+(m+3)+…+(n+1)=(m+1)+[(m+2)+(m+3)+…+(n+1)]=(m+1)+(m+1)[(-)+(-)+…+(-)]=(m+1).好题天天练1.在正方体中,过任意两个顶点的异面直线的对数是.解题关键:异面直线的概念、正方体中线线的位置关系,从排除方面考虑.解析:连成两条异面直线需要4个点,因此在正方体8个顶点中任取4个点有种取法.每4个点可分共面和不共面两种情况,共面的不符合条件得去掉.因为在6个表面和6个体对角面中都有四点共面,故有(-12)种.但不共面的4点可构成四面体,而每个四面体有3对异面直线,故共有3(-12)=174对.答案:1742.将7个不同的小球全部放入编号为2和3的两个小盒子里,使得每个盒子里的球的个数不小于盒子的编号,则不同的放球方法共有种.(用数字作答)解题关键:只要考虑放入2号盒子的小球情况即可.解析:++=21+35+35=91.答案:91。
全程复习方略2018版高考数学理一轮复习课件全国版：第十章 计数原理、概率、随机变量 10.6 精品
【解析】要使该方程有一正一负根,只需x1x2=3p-
2<0,
2
20
即p<3
,又x∈[0,5],所以有一正一负根的概率P= 3
5
=2 .
15
【规律方法】 1.与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示, 则其概率的计算公式为
PA
构成事件A的区域长度 试验的全部结果所构成的区域长度
那么事件A发生的概率是 ( )
A.1 B. 3 C.1 D. 2
4
4
3
3
【解题导引】(1)根据复数的模及解析几何的知识构造 出基本事件空间和随机事件对应的几何图形,转化为面 积的比值. (2)确定不等式组表示的区域,求出面积,求出满足 y0<2x0的区域的面积,利用几何概型概率公式,可得结 论.
【规范解答】(1)选C.因为复数z=(x-1)+yi(x,y∈R)且
.
2.与角度有关的几何概型 当涉及射线的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以 角的大小作为区域度量来计算概率,且不可用线段的长 度代替,这是两种不同的度量手段.
【变式训练】1.(2016·南阳模拟)在区间[-1,1]上随
机取一个数x,使cos x的值介于0到 1 之间的概率为
2
2
()
A.1 B. 2 C.1 D. 2 3 23
3
BC=1,以A为圆心,1为半径作四分之一个
圆弧DE,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC有公
共点的概率为
.
【解析】因为在∠DAB内任作射线AP,则等可能基本事 件为“∠DAB内作射线AP”,所以它的所有等可能事件
所在的区域H是∠DAB,当射线AP与线段BC有公共点
全国通用2018高考数学大一轮复习第十篇计数原理概率随机变量及其分布第3节二项式定理课件理
k 叫做二项式
n
系数 ,Tk+1=
C
k n
a
n
k
b
k
(其中0≤k≤n,k∈N,
n∈N*)称为二项展开式的通项公式.
2.二项式系数的性质
性质
1:与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即
C
k n
=
C nk n
.
性质 2:当 n 为偶数时,展开式的项数为奇数,此时,中间一项的二项式系数最
大;当 n 为奇数时,展开式的项数为偶数,此时, 中间两项 的二项式系数
相等且最大.
性质
3:由(1+x)n=
C0n
+
C1n
x+
C
2 n
x2+…+
C
k n
xk+…+
C
n n
xn,
令
x=1,得
C
0 n
+
C1n
+…+
C
k n
+…+
C
n n
=
2n
,二项式系数的和为 2n.
3.杨辉三角:下面的数表称为杨辉三角 其中第n行是 1,C1 n,Cn 2， ,Cn n2,Cn n1,1 .
C
3 5
=11.
(2)Tr+1= C6r
x
6r
2 x
r
=
C6r
2 r
3 3 r
x2
,故
r=2
时,
C
2 6
(-2)2=60.
50 r
r
(3)展开式的通项公式为 Tr+1= C5r0 2 2 · 34 ,展开式中有理项应使得
全程复习方略2018版高考数学理一轮复习课件全国版：第十章 计数原理、概率、随机变量 10.7 精品
P(η=0)=P(X=1)=0.1,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3
)=
P(X=4)=0.3.
因此η=|X-1|的分布列为
η0
1
2
3
P 0.1 0.3 0.3 0.3
【母题变式】 1.在本例题(2)的条件下,求P(1<X≤4). 【解析】由例题(2)解析知m=0.3, 所以P(1<X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)= 0.1+0.3+0.3=0.7.
C35 C83
10 56
5, 28
概率分布列如下:
ξ
3456
P 5 15 15 1 28 28 56 56
考向三 求离散型随机变量的分布列 【考情快递】
命题方向
以某对象当选“个 数”为随机变量
以实际生产、生活 中的“量”为随机 变量
命题视角
主要考查求以某人、物、地点等对 象当选的“个数”为随机变量的分 布列,属中低档题
布列为
X -1
0
1
P
1
1-2q
q2
则q等于( )
2
A．1 B．1 2 2
C．1 2 2
D．1 2 2
【解析】选C.由分布列的性质知
1 2q 0, q2 0, 所以
1 1 2q q2 1, 2
q 1 2 . 2
2.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=a( 1 )k，k=1，2， 3
3，则a的值为( )
【解题导引】(1)由于每个粽子被取到的机会均等,且所 有选法是一定的,因此可直接用古典概型的概率计算公 式计算. (2)该问题符合超几何分布的定义,利用超几何分布求出 分布列即可.
2018届北师大版 计数原理、概率与统计(理) 检测卷
1．【2017广东佛山教学质量检测（一），5】在考试测评中，常用难度曲线图来检测题目的质量．一般来说，全卷得分高的学生，在某道题目上的答对率也应较高，如图是某次数学测试压轴题的第1、2问得分难度曲线图.第1、2问满分均为6分.图1中横坐标为分数段，纵坐标为该分数段的全体考生在第1、2问的平均难度，则下列说法正确的是（ ）A ．此题没有考生得12分；B ．此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏；C.分数在[)40 50，的考生此大题的平均得分大约为4.8分； D ．全体考生第1问的得分标准差小于第2问的得分标准差. 【答案】B【解析】由图知，得分高的学生在第一问中答对率较高，所以此题第1问比第2问更能区分学生数学成绩的好与坏，故选B ． 【要点回扣】统计图2.【2017湖南省五市十校教研教改共同体高三12月联考，4】在矩形中ABCD 中，2AB AD =，在CD 上任取一点P ，ABP ∆的最大边是AB 的概率是（ ）．A B 1 D 1 【答案】D【要点回扣】几何概型概率．3．已知研究x 与y 之间关系的一组数据如下表所示，则y 对x 的回归直线方程a bx y+=ˆ必过点（ ）A ． (2,2)B ． 3(,0)2 C ．(1,2) D ．3(,4)2【答案】D【解析】由题可知，y 对x 的回归直线方程a bx y+=ˆ必过定点),(y x ，由表格可知，234321=++=x ，447531=+++=y ，所以a bx y+=ˆ必过点3(,4)2。
【要点回扣】线性回归方程的定义4．【2017贵州遵义市高三第一次联考，3】某校高三年级有1000名学生，随机编号为0001,0002，．．．，1000，现按系统抽样方法，从中抽出200人，若0122号被抽到了，则下列编号也被抽到的是（ ）A ．0927B ．0834C ．0726D ．0116 【答案】A 【解析】试题分析：系统抽样就是等距抽样，编号满足01225,k k Z +∈，因为092701225161=+⨯，所以选A.【要点回扣】系统抽样5.【2017广东高三上学期阶段测评（一），4】在区间[]0 1，上随机选取两个数x 和y ，则2y x>的概率为（ ） A.14 B ．12 C.34 D ．13【答案】A【解析】2y x >的概率为11112214⨯⨯=.选A.【要点回扣】几何概型概率．6．【2017广西南宁、梧州高三毕业班摸底联考，14】在[]4 3-，上随机取一个数m ，能使函数()22f x x =++在R 上有零点的概率为 ． 【答案】37【要点回扣】几何概型7．【2017安徽省“皖南八校”高三第二次联考，15】设(){},|0,01A x y x e y =<<<<（e为自然对数的底数），任取(),a b A ∈，则满足1ab >的概率是 （结果用e 表示）． 【答案】21e-【解析】样本空间为一个矩形，面积为e ，而满足1ab >的面积为11(1)(ln )21ee dx x x e x-=-=-⎰，所以概率是2e e- 【要点回扣】几何概型概率8.【2017湖南长沙一模】空气质量指数（错误！未找到引用源。
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第十篇：计数原理、统计、概率 一、选择题
1.【2018全国一卷3】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻
番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少 B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 2.【2018全国一卷10】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个
半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III．在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则
A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3 3.【2018全国二卷8】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥
德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A．112 B．114 C．115 D．118
4.【2018全国三卷5】522
xx
的展开式中4x的系数为 A．10 B．20 C．40 D．80 5.【2018全国三卷8】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，2.4DX，46PXPX，则p
A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 6.【2018浙江卷7】设0ξ 0 1 2 P 12p 12 2p
则当p在（0，1）内增大时， A．D（ξ）减小 B．D（ξ）增大 C．D（ξ）先减小后增大 D．D（ξ）先增大后减小
二、填空题 1.【2018全国一卷15】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
2.【2018天津卷10】在51()2xx的展开式中，2x的系数为 . 3.【2018江苏卷3.】已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ．
4.【2018江苏卷6】某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ． 5.【2018浙江卷14】二项式831()2xx的展开式的常数项是___________． 6.【2018浙江卷16】16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 7.【2018上海卷3】在7)1(x的二项展开式中，2x项的系数为 .（结果用数值表示） 8.【2018上海卷9】9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）
三、解答题 1.【2018全国一卷20】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为)10(pp，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(pf,求)(pf的最大值点0p． （2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
2.【2018全国二卷18】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿
元）的折线图． 为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1217，，…，）建立模型①：ˆ30.413.5yt；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为127，，…，）建立模型②：ˆ9917.5yt． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
3.【2018全国三卷18】某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人。第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：22nadbcKabcdacbd， 2PKk≥ 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
4.【2018北京卷17】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立． （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1k”表示第k类电影得到人们喜欢，“0k”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差1D，2D，3D，4D，5D，6D的大小关系．
5.【2018天津卷16】已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. （i）用X表示抽取的3人中睡眠不足．．的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
6.【2018江苏卷23(附加题)】设*nN，对1，2，···，n的一个排列12niii，如果当s有stii，则称(,)stii是排列12niii的一个逆序，排列12niii的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()nfk为1，2，···，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数． （1）求34(2),(2)ff的值； （2）求(2)(5)nfn的表达式(用n表示)． 参考答案 一、选择题 1.A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.D 7. 8. 9. 10.
二、填空题
1. 16 2.25 3.90 4.103 5.7 6.1260 7.21 8.51 三、解答题 1.解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为221820()C(1)fppp.因此 2182172172020()C[2(1)18(1)]2C(1)(110)fpppppppp.
令()0fp，得0.1p.当(0,0.1)p时，()0fp；当(0.1,1)p时，()0fp. 所以()fp的最大值点为00.1p. （2）由（1）知，0.1p. （i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知(180,0.1)YB:，20225XY，即4025XY.
所以(4025)4025490EXEYEY. （ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于400EX，故应该对余下的产品作检验. 2.解：（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为