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各类微分方程的解法

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各类微分方程的解法

1.可分离变量的微分方程解法

一般形式:g(y)dy=f(x)dx

直接解得∫g(y)dy=∫f(x)dx

设g(y)及f(x)的原函数依次为G(y)及F(x),则G(y)=F(x)+C为微分方程的隐式通解

2.齐次方程解法

一般形式:dy/dx=φ(y/x)

令u=y/x则y=xu,dy/dx=u+xdu/dx,所以u+xdu/dx=φ(u),即du/［φ(u)-u］=dx/x 两端积分,得∫du/［φ(u)-u］=∫dx/x

最后用y/x代替u,便得所给齐次方程的通解

3.一阶线性微分方程解法

一般形式:dy/dx+P(x)y=Q(x)

先令Q(x)=0则dy/dx+P(x)y=0解得y=Ce－

∫P(x)dx,再令y=u e－∫P(x)dx代入原方程解得u=∫Q(x) e∫P(x)dx dx+C,所以y=e－∫P(x)dx［∫Q(x)e∫P(x)dx dx+C］

即y=Ce－∫P(x)dx

+e－∫P(x)dx∫Q(x)e∫P(x)dx dx为一阶线性微分方程的通解

4.可降阶的高阶微分方程解法

①y(n)=f(x)型的微分方程

y(n)=f(x)

y(n-1)= ∫f(x)dx+C1

y(n-2)= ∫［∫f(x)dx+C1］dx+C2

依次类推,接连积分n次,便得方程y(n)=f(x)的含有n个任意常数的通解

②y”=f(x,y’) 型的微分方程

令y’=p则y”=p’,所以p’=f(x,p),再求解得p=φ(x,C1)

即dy/dx=φ(x,C1),所以y=∫φ(x,C1)dx+C2

③y”=f(y,y’) 型的微分方程

令y’=p则y”=pdp/dy,所以pdp/dy=f(y,p),再求解得p=φ(y,C1)

即dy/dx=φ(y,C1),即dy/φ(y,C1)=dx,所以∫dy/φ(y,C1)=x+C2

5.二阶常系数齐次线性微分方程解法

一般形式:y”+py’+qy=0,特征方程r2+pr+q=0

6.二阶常系数非齐次线性微分方程解法

一般形式: y”+py’+qy=f(x)

先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一个特解y*(x)

则y(x)=y0(x)+y*(x)即为微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解

求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:

①f(x)=P m(x)eλx型

令y*=x k Q m(x)eλx［k按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或特征方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,确定Q m(x)的m+1个系数

②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型

令y*=x k eλx［Q m(x)cosωx+R m(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1］再代入原方程,分别确定Q m(x)和

R m(x)的m+1个系数