空间分析与查询

中心选址问题的实例
其次，求距离矩阵中每行的最大值，即各个顶点的最大服务距离，得
e(v1)=14, e(v2)=15, e(v3)=20, e(v4)=12, e(v5)=15, e(v6)=17, e(v7)=12, e(v8)=20 最后计算最大服务距离的最小值。显然，e(v4) = e(v7) = min{ e(vi)}。所以，消防站应建在v4或v7点所在的乡 镇即可。
最小值问题求解 如：有数组int Array[n]（Array[i]<1000,i=0,n） 如：有数组int Array[n]（Array[i]<1000,i=0,n）, 如何找出它们之中的最小值？
int FindMin(int *array, int bound) { int min=1000; for(int i=0;i<bound;i++) if(array[i]<=min) min=array[i]; return min; } …… int array[7]={789,33,7898,7565,76,22,88}; int result=FindMin(array,7); ASSERT(result = =22) ……
从v0到其它各结点的最短路径 v0到其它各结点的最短路径
∞ ∞ ∞ ∞
例子
起点 v0 终点 v1 v2 v3 v4 v5 最短路径 无 (v0,v2) (v0,v4,v3) (v0,v4) (v0,v4,v3,v5) 路径长 度
10
50 30 60
求最短路径的方法
中心选址问题
中心点选址问题中，最佳选址位置的 判定标准，是使其所在的顶点与图中其它 顶点之间的最大距离达到最小。 这个选址问题实际上就是求网络图的 中心点问题。这类选址问题适宜于医院、 消防站等服务设施的布局问题。
Dijkstra算法（2 Dijkstra算法（2） 2、选择 vj 使得 D[j]=Min{D[i] | vi∈V-S} Vj就是当前求得的一条从vm出发的最短路径的终点。其中j为 这条最短路径的终点，将其加入到终点集合S，令 S=S∪{j}
Dijkstra算法（3 Dijkstra算法（3） 3、修改辅助向量D，即修改从vm出发到集合V-S上任一顶点 vk可达的最短路径长度。 显然，若D[j]+arcs[j][k]<D[k]，则表明从vm 出发，经过vj 到达vk的路径更短。因此，如果D[j]+arcs[j][k]<D[k]，则修改 D[k]为 D[k]=D[j]+arcs[j][k]
中心选址问题的图论描述
设 G=(V,E)是一个无向赋权连通图，其中 V={v1,v2,…,vn}， E={e1,e2,…,en}。连接两个顶点的边的权值代表该两顶点之间 的距离。对于每个顶点vi，它与各顶点之间的最短路径长度为 di1,di2,…,din。顶点vi的最大服务距离是这几个最短路径长度 中的最大值，记为e(vi0)。 e(vi0)=max(di1,di2,…,din) 那么，中心点选址问题，就是求图G的中点vi0，使得该顶点的 最大服务距离达到最小，即 e(vi0)=min{e(vi)}
结点中的特殊类型
障碍（Barrier），禁止网络上流动的点。 障碍（Barrier），禁止网络上流动的点。 拐点（Turn），出现在网络中的分割点上在网络中的分割点上，其状态有属性和阻力， 如拐弯的时间和限制（如在8点到18点不允许左拐）。 如拐弯的时间和限制（如在8点到18点不允许左拐）。 中心（Center），是接受或分配资源的位置，如水库、商业中心， 中心（Center），是接受或分配资源的位置，如水库、商业中心， 电站等，其状态包括资源容量（如总量），阻力限额（中心到链 的最大距离或时间）。 站点（Stop），在路径选择中资源增减的结点，如库房、车站等， 站点（Stop），在路径选择中资源增减的结点，如库房、车站等， 其状态属性有资源需求，如产品数量。
100 V0 10 V1
V5
60
30
10
V4 V3
100 V0 10
V5
30
V4
5
V2
50
V2
Bi={v2,v4,v5}
例子(思路) 例子(思路)
我们用mindist[]这个数组来保存由v0到 其它顶点的最小距离，这些距离按升序 排列。 考虑右图： 第一步，通过比较，我们知道 mindistance[v0][v2]=mindist[0]=10,（v0v2) 这是我们求出的第一个最小距离。 一旦我们得到v2，我们就可以知道：
100 V0 10
V5
30
V4
V2
例子(思路) 例子(思路)
V0跟 v2直接连通到的点v3 之间的最小 距离不再是无穷大，它应当是 mindistance[v0][v2]+dis[v2][v3], 这样我们应当把v3放入前面的集合Bi中 。 （注意：有多少v2直接连通到的点都应 当考虑进来。）
100 V0 10
Vm
D[j] S
D[k]=
15
V-S
Vk
arcs[j][k]=
=5 Vj
8
Dijkstra算法（4 Dijkstra算法（4）
4、重复操作第二步、第三步共n-1次。由此求得从v到图上 其余各顶点的最短路径是依路径长度递增的序列。
例子
100 V0 V1 5 V2 50
邻接矩阵
V5
60
30
10 10
100 V0 10
V5
30
V4 V3
V2
50
例子(思路) 例子(思路) 100
不可能存在这样一个点Vn，使得 10<mindistance[0][n]<30. 原因如前所述。
V5
Bi
V4 V3 50
V0
30
10 V2 Vn
例子(思路) 例子(思路)
这样我们得到我们的第二个最小距离 ： Mindistance[v0][v4]=mindist[1]=30 ,(v0-v4)
V4 20 V3
带权有向图
例子(思路) 例子(思路)
如图所示，A为所求最短距离的 起点，其他Bi, Ci 为终点。 我们要求的是一系列最短距离。 我们先假定这些最短距离互不相等。那么 我们可以把这些最短距离按升序（从小到 大）排列。 我们把所有顶点分为两类C和B. 令A到Bi这些顶点的最短距离不为无穷大 。 A到Ci这些顶点的最短距离为无穷大。 这就说明A到Ci中的点要么不通 ，要么通过Bi中的点与之连接。
V5
30
V4 V3
V2
50
Bi={v2,v4,v5,v3}
例子(思路) 例子(思路)
第二步，我们把与v2直接连通的点v3 考虑进来。 dis[0][5]=100; dis[0][4]=30; dis[0][2]=10; dis[0][3]=60; 除10以外，30是最小的。 我们可以证明30是v0到其它顶点 除10以外最小的。
最佳路径求解
最佳路径求解有多种不同的方法，其中Dijkstra算法适 最佳路径求解有多种不同的方法，其中Dijkstra算法适 合于求解某个起点（源点）到网络中的其它各个结点 的最佳路径。
Dijkstra算法（1 Dijkstra算法（1） 1、引进一个辅助向量D，它的每个分量D[i]表示当前所找到 的从起点 vm 到每个终点vi的最短路径的长度。 假设用带权的邻接矩阵arcs来表示带权有向图，arcs[i][j] 表示弧 <vi, vj >上的权值。 若 <vi, vj >不连通，则arcs[i][j]=∞。 那么D[i]的初值为： D[i]=arcs[m][i] vi∈V 此外，将已找到的从vm 出发的最短路径的终点的集合记为S ，它的初始状态为空集。
A
Bi
Ci
例子(思路) 例子(思路)
这样，对于A到Ci中任何一
A
Bi
个点的最小距离，我们总可以 在Bi中找到一点，使得A到这一 点的最小距离小于前一个距离 。（因为：A到Ci中的点要么不通，要么
通过Bi中的点与之连通。 ）
因此，我们可以先不考 虑Ci中的点。
Ci
例子(思路) 例子(思路)
于是，对于右图，我们第一步只 考虑下图：
路径分析
静态求最佳路径：在给定每条链上的属性后，求最佳路径。 N条最佳路径分析：确定起或终点，求代价最小的N条路径，因为 条最佳路径分析：确定起或终点，求代价最小的N 在实际中最佳路径的选择只是理想情况，由于种种要素而要选择 近似最佳路径。 最短路径或最佳耗费路径：确定起点终点和要经过的中间点、中 间连线，求最短路径或最佳耗费路径。 动态最佳路径分析：实际网络中权值是随权值关系式变化的，可 能还会临时出现一些障碍点，需要动态的计算最佳路径。
中心选址问题的实例
例如，某县要在其所辖的8个乡镇之一修建一个消防站，为8个 乡镇服务，要求消防站至最远乡镇的距离达到最小。假设该8 个乡镇之间的交通网络被抽象为图4-10所示的无向赋权连通图 ，权值为乡镇之间的距离。下面求解消防站应设在哪个乡镇， 即哪个顶点？
中心选址问题的实例
v8 8 3 v6 2 v5 6 v7 5 7 3 v4 v1 3 7 5 v3 9 v2
另外一种求最短路径的方法
mk[i][j]可以理解为从顶点i到顶点j的中间顶点序号小于k的最短 路径长度组成的矩阵。 (m0[i][j]=m[N][N])
100 V0 10
V5
Bi
V4 V3 50
30
V2
接下来，我们把v4与之直接连通的点 考虑进来。。。
例子
以v0 为起点，计算它到其它各顶点的最短路径，计 算过程中最短路径长度向量D的变化见D0-D4，计算出的各 条最短路径见表4-4。
∞ ∞ 10 Χ D0 = ∞ D1 = 60 30 30 100 100