2016届山东省枣庄第八中学南校区高三2月教学质量调研考试文数试题解析版

合集下载

高三数学月考试题及答案-枣庄第八中学2016届高三12月月考(理)

枣庄第八中学2016届高三12月月考数学试卷（理）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：(本大题共l0小题．每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的.)1．已知集合{}{}R x y y N x x x M x∈==≥=,2,2，则MN = ( )A ．）（1,0B ．]1,0[C ．)1,0[D ．]1,0( 2．下列说法中正确的是（）A ．若命题:p x R ∀∈有20x >，则:p x R ⌝∀∈有20x ≤； B ．直线a ，b 为异面直线的充要条件是直线a ，b 不相交； C ．若p 是q 的充分不必要条件，则q ⌝是p ⌝的充分不必要条件；D ．方程20ax x a ++=有唯一解的充要条件是12a =±3. 设等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ,已知7863==S S ，，则 =++987a a a ( ) A.81 B. 81- C. 857 D. 8554. 已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（） A ．48cm 3 B ．98cm 3 C ．88cm 3 D ．78cm 35．若直线(1)10a x y +++=与圆2220x y x +-=相切，则a 的值为（）A.1或﹣1B.2或﹣2C.1D.﹣1 6.已知直线l ⊥平面α，直线m⊂平面β，下面有三个命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；则真命题的个数为( )A ．0B ． 1C ．2D ．37．函数()f x 的部分图像如图所示，则()f x 的解析式可以是 ( )A ．()sin f x x x =+B ．cos ()xf x x=C ．()cos f x x x =D ．3()()()22f x x x x ππ=--8．设)(x f 定义如下面数表，{}n x 满足05x =，且对任意自然数n 均有1()n n x f x +=，则2015x 的值为( )x1 2 3 4 5 ()f x4 13 5 2A ．1B ．2C ．5D ．4 9．在中 ,若，,则（）A ．B ．C ．D ．10．设是定义在R 上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式的解集是（）A. (-2,0) ∪(2,+∞)B. (-∞,-2)∪(0,2)C. (-∞,-2)∪(2,+∞)D. (-2,0) ∪(0,2)第Ⅱ卷非选择题（共100分）二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）11. 若13x x k ++->对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围为 . 12. 由直线1,22x x ==，曲线1y x =及x 轴所围成的图形的面积是___________.13．在直角三角形ABC 中，2C π∠=，2AB =，1AC =，若32A D AB =，则C D C B ⋅= ．14．已知x y 、满足约束条件11,22x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_______. 15.定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=-+，当(2,3)x ∈时，2()log (1)f x x =-，则以下结论中正确的是______①()f x 图像关于点(,0)()k k Z ∈对称；②()y f x =是以2为周期的周期函数 ③当(1,0)x ∈-时2()log (1)f x x =-- ④()y f x =在(,1)()k k k Z +∈内单调递增三．解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分12分）已知函数()2sin 223cos 3f x x x a =-++. （I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）设0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值是2-，求()f x 的最大值.17、（本题满分12分）已知点M (1,1)，圆(x +1)2＋(y －2)2＝4，直线l 过点M (1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）求过M 点的圆的切线方程（2）当|MA |2＋|MB |2取得最小值时，求直线l 的方程18. （本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，112D A D D ==，底面A B C D 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB AD ⊥，222AD AB BC ===，O 为AD 中点.（1）求证：1AO ∥平面1ABC ；（2）求锐二面角11A C D C --的余弦值．19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()244,n S n n n N *=-+∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 中，令1,15,22n n n b a n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩， n T =22221231111n b b b b +++⋅⋅⋅+，求证：2n T <.20．（本小题满分13分）某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点A 与圆弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿弧BC 的弧形小路，在路的一侧．．边缘种植绿化带.（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（I ）设BAC θ∠=（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数()s θ；（II ）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大.21.（本小题满分14分）已知二次函数()()221r x ax a x b =--+（,a b 为常数，,0,a R a b R ∈≠∈）的一个零点是12a-.函数()ln g x x =，设函数()()()f x r x g x =-. （I ）求b 的值，当0a >时，求函数()f x 的单调增区间；（II ）当0a <时，求函数()f x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；（III ）记函数()y f x =图象为曲线C ，设点()()1122,,A x y B x y ，是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N .判断曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由.参考答案一． DCABD CCDCB 二．11. (),4-∞ 12. 2ln2，2ln 24ln 21ln 2ln |ln 1221221==-==⎰x dx x 13.9214.7 15.①②③ 三．16. （Ⅰ）()sin 23(1cos2)3f x x x a =-+++sin 23cos2x x a =-+2sin(2)3x a π=-+，令3222232+≤-≤+k x k πππππ，得511,1212+≤≤+∈k x k k Z ππππ，()∴f x 的单调递减区间 511[,]()1212++∈k k k Z ππππ. ……6分（Ⅱ）20,22333x x ππππ≤≤∴-≤-≤，3sin(2)123x π-≤-≤, min ()3f x a ∴=-+； max ()=f x 2a +，令 32,32a a -+=-=-得，所以max ()=f x 232=3+-. ……………12分 17．解：(1)圆心C (-1,2)，半径为r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝1.由圆心C (-1,2)到直线x ＝1的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －1)，即kx －y ＋1－k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.故方程为y －1＝34(x －1)，即3x －4y +1＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝1或3x －4y +1＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k ＜0，直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，则A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，B (0,1－k ), 所以|MA |2＋|MB |2＝⎝⎛⎭⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k )2 ＝2＋k 2＋1k2≥2＋2k 2·1k 2＝4，当且仅当k 2＝1k2，即k ＝－1时， |MA |2＋|MB |2取得最小值4，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0. 18.(1)证明：如图，连接，则四边形为正方形，zyxO DC BAD 1C 1B 1A 1所以，且，………2分故四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面. ……………5分 (2)因为为的中点，所以，又侧面⊥底面，交线为，故⊥底面。

枣庄第八中学南校区2016届高三3月第一次模拟考试文数试题含解析

一、选择题（本大题共10个小题,每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1。

设复数i i z 510)2(-=+⋅（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为( ） A ．i 43+- B ．i 43-- C ．i 43+ D ．i 43- 【答案】C 【解析】试题分析：因为105105234222i i i z i iii---==⋅=-++-，所以34z i =+.考点：复数运算、共轭复数.【易错点晴】复数问题易错点有三个,一个是除法中的分母实数化过程中，分子忘记乘以分母的共轭复数；二个是题目问的是z ，往往有很多同学求出z 就直接选答案，造成丢分；三个是求复数的虚部，注意虚部是b ，不是bi .同时还要注意复数的模的公式有开方. 2.已知集合{}31<≤-=x x M ，集合{}62+--==x x y x N ，则=N M （）A ．MB ．NC ．{}21≤≤-x xD ．{}33<≤-x x【答案】D考点:1、函数定义域；2、集合交集。

3.某校高三（1)班共有48人,学号依次为48,...,3,2,1,现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本.已知学号为43,35,19,11,3的同学在样本中,那么还有一个同学的学号应为（ )A ．27B ．26C ．25D ．24 【答案】A 【解析】试题分析：依题意可知，8个编号抽一个，所以还有一个是19827+=。

考点:系统抽样.4。

已知直线1=+by ax 经过点)2,1(,则b a42+的最小值为（）A ．2B ．22C ．4D ．24【答案】B 【解析】试题分析:因为直线1=+by ax 经过点)2,1(，所以21a b +=，故22422a b a b +=+≥=，当且仅当122a b ==时，等号成立。

考点：基本不等式。

5。

设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若β⊥m n m ,∥，则β⊥n ；②若βα∥∥m m ,，则βα∥； ③若β∥∥m n m ,,则β∥n ；④若βα⊥⊥m m ,，则βα⊥. 其中真命题的个数为（ )A.1 B 。

山东省枣庄第八中学南校区2017-2018学年高三2月教学质量调研考试理数试题 Word版含解析

2017-2018学年第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若(1)2z i i +=+（i 是虚数单位），则z =( ) A ．322i + B ．322i - C ．322i -- D ．322i-+ 【答案】B考点：复数的四则运算.2. 设集合{}|13,A x x x R =+<∈，{}0,1,2B =，则AB =（）A ．{}|02x x <<B ．{}|42x x -<<C ．{}0,1,2D ．{}0,1 【答案】D 【解析】试题分析：{}{}|13,|42,A x x x R x x x R =+<∈=-<<∈，{}0,1A B ∴=I .考点：集合的交集运算.3. 在ABC ∆中，“060A ∠=”是“sin A =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：若060A ∠=，则s i n s i n 602A=︒=；若s i n 2A =，则60360,A k k z ∠=︒+⋅︒∈；故“060A ∠=”是“sin A =”的充分不必要条件.考点：充分、必要条件的判断.【方法点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法： ①充分不必要条件：如果p q ⇒，且p q ⇐/，则说p 是q 的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐，则说p 是q 的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐/，则说p 是q 的既不充分也不必要条件. 4. 要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只要将函数sin 2y x =的图象（）A ．向左平移3π个单位B ．向右平移3π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位【答案】D考点：三角函数图像的平移.5. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A ．6π B ．3π C ．2πD ．π 【答案】A 【解析】试题分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的半圆锥，其底面面积21212S ππ=⨯⨯=，高1h =，故半圆锥的体积136V Sh π==，故选：D. 考点：由三视图求面积、体积．6. 已知,x y 满足约束条件40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12 【答案】D考点：简单的线性规划.7. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P ，若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为（）A ．2 D 【答案】A 【解析】试题分析：∵OM PF⊥，且F M P =,∴OP OF=，∴45OFP ∠=︒,∴sin 45OM OF =⋅︒，即2a c =⋅,∴c e a ==故选A.考点：双曲线的简单性质．8. 已知向量,a b 的夹角为60°，且2,1a b ==，当a xb -取得最小值时，实数x 的值为（）A ．2B ．-2C ．1D ．-1 【答案】C考点：平面向量数量积的运算．9. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201620170,0S S ><，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为（）A ．1006B ．1007C ．1008D ．1009 【答案】D 【解析】试题分析：由等差数列的求和公式和性质可得1201620161008192016100802()()a aS a a+==+>， ∴100810090a a +>，同理由20170S <可得100920170a <，可得10090a <，∴1008100900a a ><，，且10081009a a >∵对任意正整数n ，都有n k a a ≥，∴k 的值为1008，故选C ．考点：等差数列的性质．【思路点睛】本题考查等差数列的性质和求和公式，得出数列的最小项是解决问题的关键，由等差数列的求和公式和性质可得20161008100910080()S a a =+>和100920170a <，可得1008100900a a ><，，且10081009a a >，由题意易得结论．10. 已知R 上的奇函数()f x 满足()2f x '>-，则不等式2(1)(32ln )3(12)f x x x x -<-+-的解集是（）A ．1(0,)eB ．(0,1)C ．(1,)+∞D ．(,)e +∞ 【答案】B考点：1.导数在最大值、最小值问题中的应用；2.函数的单调性与导数的关系．【思路点睛】本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．构造函数()()()()2132ln 312g x f x xx x =-----，求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，满分25分．11. 某高校为了了解教研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于35岁的80名教师按年龄分组，分组区间为[)35,40，[)40,45，[)45,50，[)50,55，[)55,60，由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁的教师有________人．【答案】48 【解析】试题分析：这80名教师中年龄小于45岁的教师频率为：()0.040.0850.6+⨯=，这80名教师中年龄小于45岁的教师人数为：0.68048⨯=．考点：频率分布直方图．12. 执行右图的程序框图，则输出的S =________．【答案】2512考点：循环结构.13.二项式6(ax +的展开式中5x 20a x dx =⎰_________．【答案】13考点：1.二项式定理的应用；2.定积分．14.已知,M N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，则BMN ∆的面积为________．【答案】32【解析】试题分析：由题意可知，联立222220240x y x x y x y ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩，可得直线MN 的方程为：0x y -=，所以()1,2B -到直线MN 的距离为2=，线段MN 的长度为=BMN ∆的面积为1322=. 考点：直线与圆的位置关系.【思路点睛】根据点,M N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，将其方程联立可得直线MN 的方程；再根据点到直线的距离公式求出圆心B 到直线MN 的距离，根据勾股定理可求得线段MN 的值，然后再根据面积公式即可求出BMN ∆的面积.15. 对于函数[]sin ,0,2()1(2)(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列5个结论：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有12()()2f x f x -≤；②函数()y f x =在区间[]4,5上单调递增；③()2(2)()f x kf x k k N +=+∈，对一切[)0,x ∈+∞恒成立； ④函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；⑤若关于x 的方程()(0)f x m m =<有且只有两个不同实根12,x x ，则123x x +=．则其中所有正确结论的序号是_________．（请写出全部正确结论的序号）【答案】①④⑤显然有三个零点，所以④正确；根据题意画出()y f x =和2y x=的图像可知④正确;由下图可知，⑤正确.综上正确的序号是：①④⑤.考点：1.分段函数的最值；2.数形结合思想.【思路点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、等比数列的性质、分段函数的性质、函数的零点，考查了推理能力与计算能力；对于含参数的函数在区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅助函数()f x ，利用函数的最值即可求出结果. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos ),m x x n x x x R ==∈，设()f x m n =．（1）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且1,2,()1a b c f A =+==，求ABC ∆的面积．【答案】（1）,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,Z k ∈；（2考点：1.余弦定理；2.三角函数中的恒等变换应用． 17. （本小题满分12分）ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，其中//AB CD ，AB BC ⊥，112CD BC AB ===，点M 在线段EC 上．（1）证明:平面BDM ⊥平面ADEF ；（2）若2EM MC =，求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的大小．π【答案】（1）详见解析；（2）3DN⊥（Ⅱ）在面DAB内过点D作AB,⊥∴,⊥又//面,DNABCDDNED∴EDCDAB⊥CD以D为坐标原点，DN所在的直线为x轴，DC所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立直角坐标系则)0,0,1(),2,0,0(),0,1,0(),0,1,1(N E C B )32,32,0(M …………5分设平面BMD 的法向量为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∴⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙∴=00323200),,,(111y x z y n n z y x n考点：1.面面垂直的判定定理以及性质定理；2.空间向量在立体几何中的应用.【方法点睛】利用空间向量法求二面角的一般方法，设二面角的平面角为θ)0(πθ≤≤，设12,n n 分别为平面,αβ的法向量，二面角l αβ--的大小为θ，向量12,n n 的夹角为ω，则有πωθ=+（图1）或 ωθ=（图2）其中cos 2121=ωω θ βlαn 2n 1图1 图218. （本小题满分12分）某卫视的大型娱乐节目现场，所有参加的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否通过进入下一轮，甲、乙、丙三名老师都有“通过”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率均为13，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该节目获得“通过”，否则该节目不能获得“通过”．（1）求某节目的投票结果获“通过”的概率；（2）记某节目投票结果中所含“通过”和“待定”票票数之和为X ，求X 的分布列和数学期望．【答案】（1）727；（2）2（2）所含 “通过”和“待定”票票数之和X 的所有取值为0，1，2，3，()303110327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()21321613327P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()223211223327P x C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333283327P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，………… 8分 ∴X 的分布列为：01232279927EX =⨯+⨯+⨯+⨯=．………… 12分考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.离散型随机变量及其分布列． 19. （本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且542622,332a S a a -=+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12242nn na a a T =+++，n N +∈，求n T ．【答案】（1）13-=n a n ；（2）3+552nn -【解析】考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前n 项和公式；3.错位相减法.【方法点睛】针对数列{}n n a b ⋅（其中数列{}{},n n a b 分别是等差数列和等比数列（公比1q ≠）），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是:1.112233...n n n S a b a b a b a b =++++…①；2.等式112233...n n n S a b a b a b a b =++++两边同时乘以等比数列{}n b 的公比，得到 112233...n n n qS a b q a b q a b q a b q =++++…②；3.最后①-②，化简即可求出结果.20. （本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，且过点3(1,)2．若点00(,)M x y 在椭圆C上，则点00(,)x y N a b称为点M 的一个“椭点”．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点，且,A B 两点的“椭点”分别为,P Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断AOB ∆的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．【答案】（1）22143y x +=；（2）S ∆=考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系. 21. （本小题满分14分）已知函数21()ln (1)()2f x x ax a x a R =+-+∈．（1）当1a =时，求函数()y f x =的零点个数；（2）当0a >时，若函数()y f x =在区间[]1,e 上的最小值为-2，求a 的值；（3）若关于x 的方程21()2f x ax =有两个不同实根12,x x ，求实数a 的取值范围并证明：212x x e ⋅> .【答案】（1）函数()y f x =有且只有一个零点；（2）2a =；（3）详见解析【解析】试题分析：（1）根据函数的单调性和函数零点的判定定理即可得到结果；（2）函数21()ln (1)2f x x ax a x =+-+的定义域是），（∞+0，对0>a ，110≤<a ，e a <<11，和e a ≥1进行分类讨论即可求出结果；（3）根据题意和函数的单调性，结合函数的图像可知，当111a e -<<-时()212f x ax =有两个不同实根12,x x ，满足()11ln 1x a x =+，()22ln 1x a x =+，两式相加得：()()1212ln 1x x a x x =++，两式相减地()()2211ln1x a x x x =+-，可得12122211ln ln x x x x x x x x +=-．不妨设12x x <，利用分析证明法和换元法即可证明结果.而1e ()112h e=-+<，1(1)12h =<，不合题意； …………7分当e a ≥1即10a e <≤时，)(x f 在[]1,e 上单调递减，所以)(x f 在[]1,e 上的最小值是21()1e (1)e 22f e a a =+-+=-，解得262e 02e e a -=<-，不合题意综上可得2a =． …………8分设()211x t t x =>，令()()214ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++，………………………12分则()()()()2'22114011t F t t t t t -=-=>+-，∴函数()F t 在()1,+∞上单调递增，而()10F =． ∴()0F t >，即()21221ln .1t t x x e t->∴⋅>+．………………………14分考点：1.导数在函数单调性中的应用；2.导数在不等式证明中的应用.。

山东枣庄八中届高三模拟考试数学理科word含答案

山东省枣庄八中2016届高三模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知i 为虚数单位，则2016=i（）A ．1B ．-1C ．iD ．i -2.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}{}2,4,5,1,3,5A B ==，则()U C A B =（）A ．{}1B ．{}3C ．{}1,3,5,6D ．{}1,33.已知A 与B 是两个事件，()()11,48P B P AB ==，则()|P A B =（） A ．18 B ．14 C ．38 D ．124.函数()f x =）A ．(],1-∞B ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦ C ．[)1，+∞ D ．12，+⎛⎫∞ ⎪⎝⎭5.已知实数,x y 满足01x y x y a y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最大值为3，则实数a 的值为（）A ．1B ．2C ．-1D ．12- 6.设D 为ABC ∆所在平面内一点，1433AD AB AC =-+，若()BC DC R λλ=∈，则λ=（）A ．2B ．3C ．-2D ．-3 7.函数()()()2cos 2sin sin 2f x x x θθθ=+-+（θ为常数，且,2k k Z πθ≠∈）图象的一个对称中心的坐标为（） A ．04，π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．（0,0） C ．02，θ⎛⎫⎪⎝⎭D ．()0，θ8.函数()cos x y xπ=的图象大致为（）9.执行如图所示的程序框图，那么输出的S 的值为（）A ．-1B ．4C ．32 D ．2310.已知函数())||0f x x a =>没有零点，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,1B ．(C ．()()0,12，+∞ D ．(()2，+∞ 第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 11.若“,44x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，tan 1m x ≤+”为真命题，则实数m 的最大值为 . 12.若函数()|1|||f x x x a =+++的最小值为1，则实数a 的值为 .13.从2名语文老师、2名数学老师、4名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文老师、数学老师、英语老师都至少有一人的选派方法种树为 .（用数字作答） 14.圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若1r =，则该几何体的体积为 .三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.(本题满分12分)如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，2BD =，3,45BA AD C ==∠=.(1)求B ∠的大小；(2)求ABD ∆的面积及边AC 的长.17. (本题满分12分)一次测试中，为了了解学生的学习情况，从中抽取了n 个学生的成绩（满分为100分）进行统计.按照的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出得分在的数据）.(1)求样本容量n 和频率分布直方图中,x y 的值；(2)在选取的样本中，从成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名参加志愿者活动，设X 表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)内的学生人数，求X 得数学期望及方差. 18. (本题满分12分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，1120,2,,、ABC AB AA ACBD O E F ︒∠====分别是线段11，A D BC 的中点.延长11D A 到点G ，使得111D A AG =.（1）证明：//GB 平面DEF .（2）求直线GD 与平面DEF 所成角的正弦值. 19. (本题满分12分)数列{}n a 满足{}12111,,2n n a a a a +==是公比为12的等比数列. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设2327,n n n b a n S =+-是数列{}n b 的前n 项和，求n S 以及n S 的最小值.20. (本题满分13分)已知抛物线()2:20C y px p =≠的焦点F 在直线220x y +-=上. (1)抛物线C 的方程；(2)已知点P 是抛物线C 上异于坐标原点O 的任意一点，抛物线在点P 处的切线分别与x 轴、y 轴交于点、B E ，设PE PB λ=，求证：λ为定值；(3)在(2)的条件下，直线PF 与抛物线C 交于另一点A ，请问：PAB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.21. (本题满分14分)已知函数()()()211ln f x x a x x a R =----∈. (1)当0a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()()1g x f x x =-+有一个极小值点和一个极大值点，求a 的取值范围； (3)若存在()1,2k ∈，使得当(]0,x k ∈时，()f x 的值域是()),f k ⎡+∞⎣，求a 的取值范围. 注：自然对数的底数 2.71828e =⋅⋅⋅.2016届高三模拟考试数学（理科）参考答案及评分标准 2016.3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. ACDB ADBA DC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 0 12. 0或2 13. 44 14.5π6注：=.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.解：（1）在ABD △中，由余弦定理，得222cos 2BA BD AD B BA BD+-∠=⋅1.2==………5分又0180B ︒<∠<︒，所以60.B ∠=︒………………………6分（2）11sin 3222ABD S BA BD B =⋅⋅∠=⨯⨯=△………9分在ABC △中，由正弦定理，得sin sin AC ABB C=∠∠，即3.sin 60sin 45AC =︒︒解得AC =…………………………………………………12分17.解：（1）由题意可知，样本容量8400.0210n ==⨯，2100.00540y =÷=，10.020.040.010.005)100.02510x -+++⨯==(．……………………………6分注：（1）中的每一列式与计算结果均为1分.（2）由题意，分数在[)8090，内的有4人，分数在[]90100，内的有2人，成绩是80分以上（含80分）的学生共6人．从而抽取的3名同学中得分在[)8090，的学生人数X 的所有可能的取值为123，，.……………………………………………………………………………7分 124236C C 11C 5P X ===（）；214236C C 32C 5P X ===（）；3436C 13.C 5P X ===（）………………10分所以，131()1232555E X =⨯+⨯+⨯=；2221312()(12)(22)(32)5555D X =-⨯+-⨯+-⨯=.…………………………12分18.（1）证法一：连接1A C 、1B C . 因为CB 与11D A 平行且相等，又111D A AG =, 所以CB 与1A G 平行且相等，所以四边形1BCAG 是平行四边形，故1.GBAC ………………………………3分又GB ⊄平面11A B CD ,1AC ⊂平面11A B CD ，所以GB平面11A B CD .…………………5分又因为点D E F 、、均在平面11A B CD 内，不共线的三点D E F 、、确定一个平面，所以GB平面DEF .…………………………………………………………………6分证法二：连接AG 、1AD .在正方形11AA D D 中，因为E 是线段1A D 的中点，所以E 也是线段1AD 的中点．因为AB 与11C D 平行且相等，所以四边形11ABC D 是平行四边形，又E 、F 分别是线段1AD 、1BC 的中点，所以AB EF .…………………………1分又AB ⊄平面DEF ,EF ⊂平面DEF ，所以AB平面DEF .…………………2分因为DA 与11D A 平行且相等，111D A AG =, 所以DA 与1A G 平行且相等，所以四边形1ADAG 是平行四边形，所以1AGDA ，即AGDE .……………………………………………………3分又AG ⊄平面DEF ,DE ⊂平面DEF ，所以AG 平面.DEF …………………4分又AB平面DEF ，ABAG A = ，AB ⊂平面ABG ，AG ⊂平面ABG ，所以平面ABG 平面DEF .………………………………………………………5分又GB ⊂平面ABG ，所以GB 平面.DEF ………………………………………6分证法三：如图，以O 为坐标原点，分别以,OB OC 的方向为x 轴，y 轴的正方向，建立空间直角坐标O xyz -．在菱形ABCD 中，2AB AD BC ===，120ABC ∠=︒，所以2BD =，AC =O 为AC 和BD 的中点．又1AA ⊥平面ABCD ，12AA =．可得(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，1(0,A，1C ，1(1,0,2)D -．………………………………………2分由E F 、分别是线段11A D BC 、的中点，得1(,2E -，1(2F . 由111D A AG =，求得(1,G -．于是1(1)2ED =--，(1EF =，2)GB =-．………………3分设平面DEF 的一个法向量(,,)x y z =n . 由0,0,ED EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得10,20.x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪+=⎩令1y =-，得x =z =所以1，=-n ……………………5分所以0(1)(2)(0GB ⋅=-+-⨯=n ，所以.GB ⊥n 又GB ⊄平面DEF ，所以GB平面DEF ．……………………………………6分（2）如图，以O 为坐标原点，分别以,OB OC 的方向为x 轴，y 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -．菱形ABCD 中，2AB AD BC ===，120ABC ∠=︒，所以2BD =，AC =O 为AC 和BD 的中点．又1AA ⊥平面ABCD ，12AA =．可得(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，1(0,A，1C ， 1(1,0,2)D -．……………………………8分由E F 、分别是线段11A D BC 、的中点，得1(,2E -，1(2F . 由111D A AG =，求得(1,G -．于是1(1)2ED =--，(1EF =．设平面DEF 的一个法向量(,,)x y z =n . 由0,0,ED EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得10,20.x y z x ⎧-+-=⎪⎨⎪+=⎩令1y =-，得x =z =所以1=-n …………………………10分而GD=(2)--，设直线GD 与平面BEF 所成的角为θ，则 sin cos ,GD GD GDθ⋅=<>=⋅n n n==………………………………12分19.解：(1)由1{}n n a a +是公比为12的等比数列，得1211=2n n n n a a a a +++，即21.2n n a a +=……………2分所以1a ,3a ,5a ,7a ,…,21k a -,…是公比为12q =的等比数列； 2a ,4a ,6a ,8a ,…,2k a ,…是公比为12q =的等比数列. 当n 为奇数时，设*21()n k k =-∈N ，112111()2k k n k a a a q ---===………………………………………3分1112211()()22n n +--==……………………………4分当n 为偶数时，设*2()n k k =∈N ，1221()2k k n k a a a q -===……………………………………………5分21()2n=综上，1221(),21()2n n n n a n -⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数，，为偶数.…………………………………………………………6分(2)222133273()2727.22n n n n b a n n n =+-=⋅+-=+-……………………………………7分123n n S b b b b =++++233333()2(123)72222nn n =+++++++++-1112223(1)7112n n n -⋅=⋅++--…………………………………9分 23632nn n =-+-………………………………………………10分 23(3)6.2n nS n =---当3n …时，因为2(3)6n --和32n-都是关于n 的增函数，所以，当3n …时，n S 是关于n 的增函数，即345S S S <<<.……………………11分因为172828S =-=-，2234648S =-=-，3518S =-，所以123S S S >>；于是min 351()8n S S ==-.………………………………………………………………12分 20.（1）由题意，抛物线C 的焦点(,0)2pF 在x 轴上.……………………………………1分在方程220x y +-=中，令0y =，得 1.x =………………………………………2分于是，12p=.解得 2.p = 所以，抛物线C 的方程为24.y x =……………………………………………………3分（2）由点P 是C 上异于坐标原点O 的任意一点，设2(,)(0).4t P t t ≠设切线BP 的斜率为k ，则切线BP 的方程为2().4t y t k x -=-由22(),44t y t k x y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩消去x 并整理得 22440.ky y kt t --+=……………………4分由0k ≠，考虑到判别式2164(4)0.k kt t ∆=--+=可得24(2)0.kt -= 所以20.kt -=故切线BP 的斜率2.k t =……………………5分切线BP 的方程为22()4t y t x t -=-，即2.2t y x t =+在22t y x t =+中，令0x =，得.2t y = 所以点E 的坐标为(0,)2t；在22t y x t =+中，令0y =，得2.4t x =-所以点B 的坐标为2(,0)4t -.……………7分所以22(0,)(,)(,)2442t t t t PE t =-=--， 222(,0)(,)(,).442t t t PB t t =--=--所以1.2PE PB =故12λ=，为定值.……………8分（3）由直线FP 过点(1,0)F ，设直线FP 的方程为 1.x my =+ 由21,4x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 得210.4y my --=由韦达定理，得 4.A P y y =- 所以44.A P y y t=-=-…………………………………9分于是2114||||(1)||224PAB A P t S BF y y t t=⨯⨯-=⨯+⨯--△214(4)||8t t t=⨯+⨯+……………………………10分令214()(4)||(0)8f t t t t t =+⨯+≠，显然()f t 为偶函数，只需研究函数()f t 在0t >时的最小值即可.当0t >时，2314116()(4)()(8)88f t t t t t t t=+⨯+=++，2422222211611()(38)(3816)(34)(4).888f t t t t t t t t t '=+-=+-=-+当0t <时，()0f t '<，()f t 为减函数；当t >时，()0f t '>，()f t 为增函数.………………………………………………11分所以，当0t >时，函数()f t 在t =时取最小值f =因为()f t 为偶函数，当0t <时，函数()f t 在t =时取最小值(f =…12分当t =时，点P 的坐标为1(3；当t =时，点P 的坐标为1(,3.综上，PAB △P 的坐标为1(3或1(,3…13分21.解：(1) ()f x 的定义域为(0,).+∞ 当0a =时，11()1.x f x x x-'=-=…………………………………………………1分 ()0f x '<01x ⇔<<； ()0f x '> 1.x ⇔>所以，函数()f x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1).………………………………3分(2)2()(1)ln g x a x x =---，则21221()2(1)ax ax g x a x x x-+'=---=-.………………4分令2()221(0)h x ax ax x =-+>，若函数()g x 有两个极值点，则方程()0h x =必有两个不等的正根，设两根为12,.x x 于是2121220480,10,10.2a a a x x x x a ≠⎧⎪∆=->⎪⎪⎨+=>⎪⎪=>⎪⎩…………………………………………6分解得2a >.………………………………………………………………………………7分当2a >时， ()0h x =有两个不相等的正实根，设为12,x x ，不妨设12x x <，则122()()()()a x x x x h x g x x x--'=-=-. 当10x x <<时，()h x >0，()0g x '<，()g x 在1(0,)x 上为减函数；当12x x x <<时，()h x <0，()0g x '>，()g x 在12(,)x x 上为增函数；当2x x >时，()h x >0，()0g x '<，函数()g x 在2(,)x +∞上为减函数.由此，1x x =是函数()g x 的极小值点，2x x =是函数()g x 的极大值点.符合题意. 综上，所求实数a 的取值范围是(2,).+∞………………………………………………8分(3)212(21)1(1)(21)()12(1)=ax a x x ax f x a x x x x-++--'=---=--.…………………9分① 当0a …时，210ax x-<. 当01x <<时，()0f x '<，()f x 在(0,1)上为减函数；当1x >时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上为增函数.所以，当(0,]x k ∈(12)k <<时，min ()(1)0()f x f f k ==<，()f x 的值域是[0,)+∞. 不符合题意.……………………………………………………………………………10分② 当0a >时，12(1)()2()a x x a f x x--'=-.（i ）当112<，即1a >时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下：若满足题意，只需满足1()(2)2f f a >，即21111(1)ln 1ln 2.222a a a a a---->-- 整理得1ln 2ln 2104a a++->.………………………………………………………11分令11()ln 2ln 21()42F a a a a =++-…，当12a >时，221141()044a F a a a a -'=-=>，所以()F a 在1(,)2+∞上为增函数，所以，当12a >时，111()()ln 20222F a F >=->=.所以12a >满足题意.…………………………………………………………………12分（ⅱ）当112a =，即12a =时，2(1)()0x f x x-'=-…，当且仅当1x =时取等号.所以()f x 在(0,)+∞上为减函数.从而()f x 在(0,]k 上为减函数.符合题意.………13分（ⅲ）当11>，即10a <<时，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：若满足题意，只需满足(2)(1)f f<，且122a<（若122a…，不符合题意），即1ln2a>-，且14a>.又11ln24->，所以1ln2.a>-此时，11ln22a-<<.综上，1ln2a>-.所以实数a的取值范围是(1ln2,).-+∞……………………………………………14分。

山东省枣庄第八中学南校区2016届高三3月第一次模拟考

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设复数i i z 510)2(-=+⋅（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为（） A ．i 43+- B ．i 43-- C ．i 43+ D ．i 43- 【答案】C 【解析】试题分析：因为105105234222i i iz i i i i---==⋅=-++-，所以34z i =+. 考点：复数运算、共轭复数.【易错点晴】复数问题易错点有三个，一个是除法中的分母实数化过程中，分子忘记乘以分母的共轭复数；二个是题目问的是z ，往往有很多同学求出z 就直接选答案，造成丢分；三个是求复数的虚部，注意虚部是b ，不是bi .同时还要注意复数的模的公式有开方. 2.已知集合{}31<≤-=x x M ，集合{}62+--==x x y x N ，则=N M （） A ．M B ．N C ．{}21≤≤-x x D ．{}33<≤-x x 【答案】D考点：1、函数定义域；2、集合交集.3.某校高三（1）班共有48人，学号依次为48,...,3,2,1，现用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本.已知学号为43,35,19,11,3的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为（）A ．27B ．26C ．25D ．24 【答案】A 【解析】试题分析：依题意可知，8个编号抽一个，所以还有一个是19827+=. 考点：系统抽样.4.已知直线1=+by ax 经过点)2,1(，则ba42+的最小值为（） A ．2 B ．22 C ．4 D ．24 【答案】B 【解析】试题分析：因为直线1=+by ax 经过点)2,1(，所以21a b +=，故22422a b a b +=+≥=，当且仅当122a b ==时，等号成立. 考点：基本不等式.5.设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若β⊥m n m ,∥，则β⊥n ；②若βα∥∥m m ,，则βα∥； ③若β∥∥m n m ,，则β∥n ；④若βα⊥⊥m m ,，则βα⊥. 其中真命题的个数为（） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A考点：空间点线面的位置关系. 6.已知命题R x p ∈∃0:，使25sin 0=x ，命题x x x q sin ),2,0(:>∈∀π，则下列判断正确的是（）A ．p 为真B ．q ⌝为假C ．q p ∧为真D ．q p ∨为假【答案】B 【解析】试题分析：因为sin 1x ≤，所以命题p 为假命题；令()sin f x x x =-，()'1cos 0f x x =-≥，所以()()0f x f >，即sin x x >成立，q 为真命题，q ⌝为假命题. 考点：1、全称命题与特称命题；2、含有逻辑连接词命题真假性的判断. 7.函数)2,0)(sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图象如图所示，则)1217()0(πf f +的值为（）A ．32-B ．32+C ．231-D ．231+【答案】A考点：三角函数图象与性质.8.已知y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x ，则11++=x y z 的范围是（）A ．]2,31[B ．]21,21[-C ．]23,21[D ．]25,23[ 【答案】C 【解析】试题分析：z 表示的是可行域内的点(),x y ，与点()1,1--连线的斜率的取值范围，作出函可行域如图所示，由图可知，z 的取值范围是[]13,,22AC AB k k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.考点：线性规划. 9.已知函数x bx ax x f +-=232131)(，连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是b a ,，则函数)(x f '在1=x 处取得最值的概率是（）A ．361 B ．181 C ．121D ．61【答案】C考点：1、函数导数；2、古典概型.【思路点晴】本题巧妙地结合了函数导数与古典概型这两个知识点，对()f x 求导后可发现()'f x 为二次函数，且二次项系数大于零，开口向上，有最小值，二次函数最小值是在对称轴的位置取得，这样就可以确定,a b 的关系，进而列举出符合题意得事件.二次函数最值是初中的知识，在高中作用很大.10.已知抛物线)0(22>=p px y ，ABC ∆的三个顶点都在抛物线上，O 为坐标原点，设ABC∆三条边AC BC AB ,,的中点分别为Q N M ,,，且Q N M ,,的纵坐标分别为321,,y y y .若直线AC BC AB ,,的斜率之和为1-，则321111y y y ++的值为（） A ．p 21-B ．p 1-C ．p 1D ．p21【答案】B考点：圆锥曲线------抛物线.【思路点晴】本题是一个好题，巧妙地利用的点差法，设而不求，设出,,A B C 三点坐标之后，代入抛物线的方程，然后两两作差，将作差之后得到的式子进行因式分解，配出斜率和中点，然后将斜率和代入，就可以求出最后的结果.对式子的变形能力，是解这类中点弦问题的关键.第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．）11.设b a ==7ln ,3ln ，则=+ba e e _____.（其中e 为自然对数的底数）【答案】10 【解析】试题分析：ln3ln73710abe e ee +=+=+=.考点：对数和指数运算.12.已知向量,2,3==，且⊥-)(，则向量和的夹角是______. 【答案】6π 【解析】试题分析：设向量a 和b 的夹角为θ，a b a ⊥-)(，∴()22()32cos 0a b a a a b θ-⋅=-⋅=⋅=，即cos 6πθθ==. 考点：向量的数量积、夹角公式.13.已知过点)4,2(的直线l 被圆0542:22=---+y x y x C 截得的弦长为6，则直线l 的方程为_____.【答案】02=-x 或01043=+-y x考点：直线和圆的位置关系.【易错点晴】直线和圆相交所得弦长问题第一必须牢记直线和圆相交所得弦长公式：AB =，第二因为题目没有说明直线的斜率是否存在，故必须注意斜率不存在的情况，因此，解题时就必须分成两种情况来讨论.本题容易漏掉的结果是直线斜率不存在的情况.14.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值14.3，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为______.（参考数据：1305.05.7sin ,2588.015sin ,732.13≈≈≈ ）【答案】24考点：算法与程序框图.15.已知函数1)(,1),1(1,)(+=⎩⎨⎧>-≤=kx x g x x f x e x f x ，若方程0)()(=-x g x f 有两个不同实根，则实数k 的取值范围是_____. 【答案】]1,1()1,21(--e e 【解析】试题分析：分别作出()(),f x g x 的图象如图所示，由图象可知，当1k =时，直线1y x =+与x y e =相切，只有一个交点；当1k >增大时，()(),f x g x 有两个不同的交点，最大值为1110e e -=--；当当1k <变小时，()(),f x g x 有两个不同的交点，最小值为11202e e --=-，故k 的取值范围为]1,1()1,21(--e e .考点：1、函数零点问题；2、数形结合与分类讨论的数学思想.【方法点晴】本题是一个函数中典型的属性结合与分类讨论的题目.通过本题，我们要学会画分段周期函数的图象，()()1f x f x =-说明函数的周期为1，通过向右平移1个单位，就可以得到函数在区间[]1,2上的图象，以此类推，得出函数()f x 的图象，对函数()g x 的图象，要注意到它经过定点()0,1，再结合图象，就可以快速解决.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.（本小题满分12分）近日，济南楼市迎来去库存一系列新政，其中房产税收中的契税和营业税双双下调，对住房市场持续增长和去库存产生积极影响.某房地产公司从两种户型中各拿出9套进行促销活动，其中A 户型每套面积为100平方米，均价1.1万元/平方米，B 户型每套面积80平方米，均价2.1万元/平方米.下表是这18套住宅每平方米的销售价格：（单位：万元/平方米）.（1）求b a ,的值；（2）张先生想为自己和父母买两套售价小于100万元的房子，求至少有一套面积为100平方米的概率.【答案】（1）17.1,16.1==b a ；（2）53.考点：古典概型. 17.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知b a A c 2cos 2=+. （1）求角C 的值；（2）若2=c ，且ABC ∆的面积为3，求b a ,. 【答案】（1）3π=C ；（2）2==b a .【解析】试题分析：（1）用正弦定理把边化为角，然后化简，得到21cos =C ，求得3π=C ；（2）由（1）,23C c π==由余弦定理得C ab b a c cos 2222-+=，再结合三角形的面积公式33s i n 21=πab ，联立方程组可求得,a b .考点：解三角形——正余弦定理，面积公式. 18.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -的底面为正方形，侧面⊥PAD 底面ABCD ，AD PA ⊥，H F E ,,分别为BC PC AB ,,的中点.（1）求证：∥EF 面PAD ；（2）求证：平面⊥PAH 平面DEF .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）利用中位线构造平行四边形证明线面平行；（2）要证明面面垂直，通过线面垂直证明，通过分析直观图，目标定在DE ，只需证明DE PAH ⊥平面.考点：1、立体几何证明线面平行；2、立体几何证明面面平行. 19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，满足25225=-a S ，且1341,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设n T 是数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n n a a 的前n 项和，是否存在*∈N k ，使得等式k kb T 121=-成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.【答案】(1) 12+=n a n ，n n b 3=；(2) 不存在，理由见解析. 【解析】考点：1、等差等比数列基本元思想；2、裂项求和法. 20.（本小题满分13分）设椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C ，定义椭圆C 的“相关圆”方程为222222b a b a y x +=+.若抛物线x y 42=的焦点与椭圆C 的一个焦点重合，且椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形. （1）求椭圆C 的方程和“相关圆”E 的方程；（2）过“相关圆”E 上任意一点P 作相关圆”E 的切线l 与椭圆C 交于B A ,两点，O 为坐标原点.若OB OA ⊥，证明原点O 到直线AB 的距离是定值，并求m 的取值范围.【答案】（1）椭圆C 的方程为1222=+y x ，“相关圆”E 的方程为3222=+y x ；(2) 36≥m 或36-≤m . 【解析】试题分析：（1）抛物线焦点为()1,0，故1=c ，椭圆C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，即1b c ==，从而求出椭圆方程与相关圆方程；（2）设出直线l 的斜截式方程，联立直线的方程和椭圆的方程求出,A B 两点横坐标的韦达定理表达式，利用OB OA ⊥得到一个关系式022322=--k m ，利用直线和圆相切得到另一个关系式22211k m kmd +=+=，由着两个关系式得出m 的取值范围.此时要满足0>∆，即01222>+-m k ，又022322≥-=m k ，即⎩⎨⎧≥>231222m m ，所以322≥m ，即36≥m 或36-≤m .考点：1、直线和椭圆的位置关系；2、直线和圆的位置关系；3、抛物线的概念.【思路点晴】第一问是基本的抛物线定义和椭圆基本量分析.一个抛物线方程给出来，可以求出焦点和准线，相应的性质也可以知道；椭圆的短轴端点和焦点所对应的,,b c a 的关系，易得椭圆的方程；第二问有两个关键点，一个是直线和圆相切，转化为圆心到直线的距离等于半径，另一个关键点是直线和椭圆相交得到,A B ，OB OA ⊥，根据这两点，设出直线方程，列出方程组来求解.最后注意直线和椭圆相交，判别式要大于零. 21.（本小题满分14分）设函数)(ln )(2x x b ax x f -+=，x b x x g )1(21)(2-+-=.已知曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线与直线01=+-y x 垂直. （1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的极值点；（3）若对于任意),1(+∞∈b ，总存在],1[,21b x x ∈，使得m x g x g x f x f +->--)()(1)()(2121成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）21-=a ；（2）证明见解析；（3）1-≤m .①当04≤≤-b 时，042≤+=∆b b ，有0)(≤x h ，即0)(≤'x f ，所以)(x f 在区间),0(+∞上单调递减，故)(x f 在区间),0(+∞无极值点.（3）令],1[),()()(b x x g x f x F ∈-=，则x x b x b x x x b x x F -=-+---+-=ln ])1(21[)(ln 21)(22，若总存在],1[,21b x x ∈，使得m x g x g x f x f +->--)()(1)()(2121成立，即总存在],1[,21b x x ∈，使得1)()()()(2211++->-m x g x f x g x f 成立，即总存在],1[,21b x x ∈，使得1)()(21+>-m x F x F 成立，即1)()(min max +>-m x F x F ，xx b x b x F -=-='1)(，因为],1[b x ∈，所以0)(≥'x F ，即)(x F 在],1[b 上单调递增，考点：1、函数与导数；2、分类讨论的数学思想.【思路点晴】第一问切线和另一条直线垂直，转化为斜率乘积等于1-，这种形式的问法高考中出现频率很高；第二问对()f x 求导后通分，对分子),0(,)(2+∞∈+--=x b bx x x h 的分类讨论是本题的难点.对于二次函数分类的标准，由于题目只需要考虑零点个数，所以这里用的是判别式来制定分类标准，有的题目需要对二次项系数进行分类，有的需要对对称轴或者区间进行分类；第三问是一个存在性问题，构造函数，转化为最值问题来解决.。

2016届山东省枣庄第八中学南校区高三1月月考数学(理)试题

2016届山东省枣庄第八中学南校区高三1月月考数学（理）试题2016.1一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设全集为R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则A∩（CRB）=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．下列命题中，假命题是（）A．∀x∈R，3x﹣2＞0 B．∃x0∈R，tanx=2C．∃x0∈R，log2x＜2 D．∀x∈N*，（x﹣2）2＞03．已知tanα=2，且α∈（﹣π，0），则sinα﹣cosα的值是（）A．B．﹣C．﹣D．4．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件5．已知向量，，其中=（﹣1，），且⊥（﹣3），则在上的投影为（）A．B．﹣C．D．﹣6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．函数y=的图象大致为（）A．B．C．D．8．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为8，则ab的最大值为（）A．1 B．2 C．D．49．已知函数f（x）=sin（x﹣φ），且f（x）dx=0，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．x=D．x=10．已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k（x+1）有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，1）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点，那么异面直线OE与AD1所成角的余弦值等于．12．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n=2S n﹣1（n≥2），a n= ．13．若对任意实数x，不等式|x+3|+|x﹣1|≥a2﹣3a恒成立，则实数a的取值范围为．14．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则该抛物线的标准方程是．15．如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB的长为．三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题12）分在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）若，b=5，求角B、边c的值．17.（本题12）某大学准备在开学时举行一次大学一年级学生座谈会，拟邀请20名来自本校机械工程学院、海洋学院、医学院、经济学院的学生参加，各学属于同一学院的概率；（Ⅱ）从这20名学生中随机选出3名学生发言，设来自医学院的学生数为ξ，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．18．（本题12）已知公比为q的等比数列{a n}是递减数列，且满足（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）•an }的前n项和Tn．19．（本题12）如图，四棱锥P﹣ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：AB⊥PD；（Ⅱ）若∠BPC=90°，PB=PC=2，问AB为何值时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大？并求此时直线PB与平面PDC所成角的正弦值．20．（本题13）已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1（﹣c，0）与F2（c，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M（﹣4，0）作斜率为k（k≠0）的直线l，交椭圆C于B、D两点（B在M、D之间），N为BD中点，并设直线ON 的斜率为k1．（i）证明：1k k 为值；（ii）是否存在实数k，使得F1N⊥AD？如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明理由．21．（本题14）设a∈R，函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx．（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；（Ⅱ）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．PCA BD高三数学阶段性检测（理科）参考答案 2016.1一、1.B．2.D．3 B 4．A．5．C．6．B．7 D 8 C．9．A．10．C．二、 11．12．13． [﹣1，4]．14．y2=4x．15.．三、解答题：16解：（I）由，得，…（3分）即，可得，即．…（6分）（II）由，得，根据正弦定理，得．由题意a＞b，则A＞B，故．…（9分）再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得，解之得c=1（c=﹣7舍去）．…（12分）17.解答：解：（Ⅰ）从20名学生随机选出3名的方法数为，选出3人中任意两个均不属于同一学院的方法数为：所以（Ⅱ）ξ可能的取值为0，1，2，3，，所以ξ的分布列为0 1 2 3P所以18．解：解：由a1a2a3=，及等比数列性质得=，解得a2=，由a1+a2+a3=得a1+a3=由以上得，∴=，即3q2﹣10q+3=0，解得q=3，或q=．∵{a n}是递减数列，故q=3舍去，∴q=，由a2=，得a1=1．故数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*）．（II）由（I）知（2n﹣1）•a n=，∴T n=1+++…+①，T n=+++…++②．①﹣②得：T n=1++++…+﹣=1+2（+++…+）﹣=1+2•﹣=2﹣﹣，∴T n=3﹣．19．解答：（Ⅰ）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，∴AB⊥PD．（Ⅱ）解：由题意得AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴在Rt△PAB与Rt△PDC中，PB=PC=2，AB=DC，∴PA=PD，∴△PAD为等腰三角形，取线段AD的中点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，取BC中点M，连结OM，则OM⊥AD，设AB=x，则OM=AB=x，在△BPC中，∠BPC=90°，PB=PC=2，∴BC=2，PM=，∴在Rt△POM中，PO=，∴V P﹣ABCD====，当且仅当x2=1，即x=1时，四棱锥P﹣ABCD的体积最大，此时以O为原点，OA为x轴，OP 为z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（），C（﹣，1，0），D（﹣，0，0），P（0，0，1），∴，=（0，﹣1，0），设平面PDC的一个法向量=（x，y，z），由，令x=1，解得=（1，0，﹣），又=（），设直线PB与平面PDC所成角为θ，sinθ=|cos＜＞|=||=．∴直线PB与平面PDC所成角的正弦值为．20．解答：解：（I）∵椭圆经过点（0，），离心率为，∴，解得a=2，c=1，b=．∴椭圆C的方程为．（II）（i）证明：设B（x1，y1），D（x2，y2），线段BD的中点N（x0，y0）．由题意可得直线l的方程为：y=k（x+4），联立，化为（3+4k2）x2+k2x+64k2﹣12=0，由△＞0，可得，且k≠0．∴x1+x2=，．∴=，y0=k（x0+4）=，∴=，即k1.k=﹣为定值．（ii）假设存在实数k，使得F 1N⊥AD，则=﹣1，∵===，k AD==，∴=﹣1，化为x2=﹣8k2﹣2＜﹣2，与x2≥﹣2矛盾，∴直线l不存在．21．解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，．令f'（x）=0得：当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x 1 （1，+∞）f'（x） + 0 ﹣ 0 +f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增因此，当时，f（x）有极大值，且；当x=1时，f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣2．（Ⅱ）由g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1，令g'（x）＞0，解得x＞0；令g'（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，即g（x）最小值=g（0）=0．对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．（1）当a=0时，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，∴a=0符合题意．（2）当a＜0时，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得x＞1．∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，得﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0符合题意．（3）当a＞0时，，f'（x）=0得，时，0＜x1＜1，令f'（x）＞0，解得或x＞1；令f'（x）＜0，解得．∴f（x）在（1，+∞）是增函数，而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．同理时也不成立．综上所述：a的取值范围为[﹣1，0]．。

山东省枣庄八中南校区2016届高三上学期1月月考数学试卷(文科)Word版含解析

2015-2016学年山东省枣庄八中南校区高三（上）1月月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{1，2}B．{5}C．{1，2，3}D．{3，4，6}2．若，则f（x）的定义域为（）A．B．C．D．3．在等比数列{a n}中，若a2+a3=4，a4+a5=16，则a8+a9=（）A．128 B．﹣128 C．256 D．﹣2564．已知a，b为正实数，函数y=2ae x+b的图象经过点（0，1），则+的最小值为（）A．3+2B．3﹣2C．4 D．25．设a=20.1，b=lg，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c6．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β7．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）A．B．C．D．8．函数f（x）=2x﹣tanx在（﹣，）上的图象大致是（）A．B．C．D．9．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．3C．5D．510．已知函数f（x）=，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（0，1）D．[0，+∞）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中横线上.11．已知||=1，||=6，（﹣）=2，则向量与的夹角为．12．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=x上，则它的边长为．13．已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为．14．已知a＞0，x，y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1，则a=．15．若函数y=f（x）是奇函数，则：①y=|f（x）|的图象关于y轴对称；②若函数f（x）对任意x∈R满足f（x+2）=，则4是函数f（x）的一个周期；③若log m3＜log n3＜0，则0＜m＜n＜1；④若f（x）=e|x﹣a|在[1，+∞）上是增函数，则a≤1．其中正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6个小题.共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求A1被选中的概率；（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．17．已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．18．在数列{a n}中，已知a1=1，a2=3，a n+2=3a n+1﹣2a n．（Ⅰ）证明数列{ a n+1﹣a n}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=log2（a n+1），{b n}的前n项和为S n，求证＜2．19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F 为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为，焦点与短轴两端点构成等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程．（Ⅱ）过点P（﹣2，0）作直线l与椭圆C交于A、B两点，求△AF1B的面积的最大值．21．已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx．（Ⅰ）函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与x+y+3=0平行，求a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）对于任意x1，x2∈（0，+∞），x1＞x2，有f（x1）﹣f（x2）＞x2﹣x1，求实数a的范围．2015-2016学年山东省枣庄八中南校区高三（上）1月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，2，5}，∁U B={4，5，6}，则集合A∩B=（）A．{1，2}B．{5}C．{1，2，3}D．{3，4，6}【考点】交集及其运算．【分析】由题意全集U={1，2，3，4，5，6}，C U B={4，5，6}，可以求出集合B，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6}，又∵∁U B={4，5，6}，∴B={1，2，3}，∵A={1，2，5}，∴A∩B={1，2}，故选：A．【点评】此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题．2．若，则f（x）的定义域为（）A．B．C．D．【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【分析】根据分式函数的分母不能为0，再由对数函数的真数要大于零使得对数函数有意义，可得不等式组，最后两个不等式的解集取交集可得答案．【解答】解：根据题意有：解得：﹣＜x≠0，所以其定义域为：故选C．【点评】本题主要考查给出解析式的函数的定义域的求法，常见的有分母不能为零，负数不能开偶次方根，零次幂及真数要大于零等．3．在等比数列{a n}中，若a2+a3=4，a4+a5=16，则a8+a9=（）A．128 B．﹣128 C．256 D．﹣256【考点】等比数列的性质．【分析】将已知两等式相除，利用等比数列的性质化简，求出q2的值，将所求式子提取q4，利用等比数列的性质变形后，将q2的值及a4+a5=16代入计算，即可求出值．【解答】解：∵a2+a3=4①，a4+a5=16②，∴===q2=4，则a8+a9=q4（a4+a5）=16×16=256．故选C【点评】此题考查了等比数列的性质，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．4．已知a，b为正实数，函数y=2ae x+b的图象经过点（0，1），则+的最小值为（）A．3+2B．3﹣2C．4 D．2【考点】基本不等式；指数函数的单调性与特殊点．【分析】将点（O，1）的坐标代入y=2ae x+b，得到a，b的关系式，再应用基本不等式即可．【解答】解：∵函数y=2ae x+b的图象经过点（O，1），∴1=2ae0+b，即2a+b=1（a＞0，b＞0）．∴=（）1=（）（2a+b）=（2+1++）≥3+2（当且仅当b=a=﹣1时取到“=”）．故选A．【点评】本题考查基本不等式，将点（O，1）的坐标代入y=2ae x+b，得到a，b的关系式是关键，属于基础题．5．设a=20.1，b=lg，c=log3，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞c＞a B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用幂函数，指数函数，以及对数函数的性质判断即可．【解答】解：∵20.1＞20=1=lg10＞lg＞0＞log3，∴a＞b＞c，故选：D．【点评】此题考查了对数值大小的比较，熟练掌握幂、指数、对数函数的性质是解本题的关键．6．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【解答】解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A错误；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故B正确；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．7．已知tan （α+β）=，tan （β﹣）=，那么tan （α+）等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】把已知的条件代入=tan [（α+β）﹣（β﹣）]=，运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴=tan [（α+β）﹣（β﹣）]= ==，故选C ．【点评】本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于中档题．8．函数f （x ）=2x ﹣tanx 在（﹣，）上的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】先看函数是否具备奇偶性，可排除一些选项；再取一些特殊值验证求得结果．【解答】解：定义域（﹣，）关于原点对称，因为f （﹣x ）=﹣2x +tanx=﹣（2x ﹣tanx ）=﹣f （x ），所以函数f （x ）为定义域内的奇函数，可排除B ，C ；因为f （）=﹣tan ＞0，而f （）=﹣tan （）=﹣（2+）＜0，可排除A ．故选：D ．【点评】本题考查函数图象的识别．求解这类问题一般先研究函数的奇偶性、单调性，如果借助函数的这些性质还不能够区分图象时，不妨考虑取特殊点（或局部范围）使问题求解得到突破．9．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A ．2B ．3C ．5D ．5【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是正三棱柱与一球体的组合体，结合数据求出它的体积．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底部为正三棱柱，上部为一球体的组合体；且正三棱柱的底面三角形的边长为2，高为5，球的半径为×=；∴该组合体的体积为V=V 三棱柱+V 球=×2××5+π×=5+π．故选：D ．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．10．已知函数f（x）=，若方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（0，1）D．[0，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】我们在同一坐标系中画出函数f（x）=的图象与函数y=x+a的图象，利用数形结合，我们易求出满足条件实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，将方程f（x）=x+a根的个数，转化为求函数零点的个数，并用图象法进行解答是本题的关键．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中横线上.11．已知||=1，||=6，（﹣）=2，则向量与的夹角为．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】由（﹣）=2，得，利用向量夹角公式可求得＜＞．【解答】解：由（﹣）=2，得﹣=2，即=3，cos＜，＞==，所以＜＞=，故答案为：．【点评】本题考查利用向量的数量积求两向量的夹角，属基础题．12．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y2=x上，则它的边长为2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的对称性知：另外两顶点关于x轴对称．进而设出边长为a，求出另外两点坐标，代入抛物线方程，即可得出结论．【解答】解：由抛物线的对称性知：另外两顶点关于x轴对称．设边长为a，则另外两点分别为（a，±），代入抛物线方程得a=2．故答案为：．【点评】本题主要考查了抛物线的应用．解题的关键是利用抛物线的对称性．13．已知长方形ABCD中，AB=4，BC=1，M为AB的中点，则在此长方形内随机取一点P，P与M的距离小于1的概率为．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积．欲求取到的点P到M的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可．【解答】解：根据几何概型得：取到的点到M的距离小1的概率：p====．故答案为：．【点评】本题主要考查几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．14．已知a＞0，x，y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1，则a=．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时，从而得到a值即可【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=2x+y，将最大值转化为y轴上的截距，当直线z=2x+y经过点B时，z最小，由得：，代入直线y=a（x﹣3）得，a=；故答案为：【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．15．若函数y=f（x）是奇函数，则：①y=|f（x）|的图象关于y轴对称；②若函数f（x）对任意x∈R满足f（x+2）=，则4是函数f（x）的一个周期；③若log m3＜log n3＜0，则0＜m＜n＜1；④若f（x）=e|x﹣a|在[1，+∞）上是增函数，则a≤1．其中正确命题的序号是①②④．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】①结合函数y=|f（x）|为偶函数，从而得到该函数的图象特征；②直接利用周期函数的定义进行判断即可；③利用对数的运算性质进行判断；④利用复合函数的单调性的判断方法进行求解即可．【解答】解：①设函数g（x0=|f（x）|，则g（﹣x）=|f（﹣x）|=|﹣f（x）|=|f（x）|=g（x），∴函数g（x0=|f（x）|为偶函数，∴函数g（x0=|f（x）|的图象关于y轴对称，故①正确；②∵函数f（x）对任意x∈R满足f（x+2）=，∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=，∴f（x+4）=f（x），∴4是函数f（x）的一个周期，故②正确；③∵log m3＜log n3＜0，则，∴lgn＜lgm＜0，∴0＜n＜m＜1，故③错误；④∵f（x）=e|x﹣a|在[1，+∞）上是增函数，则函数y=|x﹣a|，在在[1，+∞）上是增函数，∴a≤1，故④正确；故答案为：①②④．【点评】本题重点考查函数的基本性质，函数的单调性和奇偶性及其灵活运用，注意复合函数的单调性的处理思路和方法，遵循“同增异减”的原则进行判断．三、解答题：本大题共6个小题.共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．（Ⅰ）求A1被选中的概率；（Ⅱ）求B1和C1不全被选中的概率．【考点】等可能事件的概率；互斥事件与对立事件．【分析】（Ⅰ）先用列举法，求出从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，所有一切可能的结果对应的基本事件总个数，再列出A1恰被选中这一事件对应的基本事件个数，然后代入古典概型公式，即可求解．（Ⅱ）我们可利用对立事件的减法公式进行求解，即求出“B1，C1不全被选中”的对立事件“B1，C1全被选中”的概率，然后代入对立事件概率减法公式，即可得到结果．【解答】解：（Ⅰ）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}事件M由6个基本事件组成，因而．（Ⅱ）用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，由于={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，事件有3个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得．【点评】本题考查的知识点是古典概型，古典概型要求所有结果出现的可能性都相等，强调所有结果中每一结果出现的概率都相同．弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解决问题的前提，正确把握各个事件的相互关系是解决问题的关键．解决问题的步骤是：计算满足条件的基本事件个数，及基本事件的总个数，然后代入古典概型计算公式进行求解．17．已知向量（ω＞0），函数f（x）=，若函数f（x）的图象的两个相邻对称中心的距离为．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若将函数f（x）的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调增区间．（2）由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用张弦函数的定义域和值域，求得g（x）的值域．【解答】解：（1）f（x））==2cosωx（sinωx﹣cosωx）﹣2+3=sin2ωx﹣cos2ωx=，∵，∴．令，求得f（x）的增区间为．（2）将函数f（x）的图象先向左平移个单位，得到y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）的图象；然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数g（x）=sin（4x+）的图象，故，∵，、∴，故函数g（x）的值域是．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，正弦函数的单调性、定义域和值域，函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，属于基础题．18．在数列{a n }中，已知a 1=1，a 2=3，a n +2=3a n +1﹣2a n ．（Ⅰ）证明数列{ a n +1﹣a n }是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 2（a n +1），{b n }的前n 项和为S n ，求证＜2．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质．【分析】（Ⅰ）由a n +2=3a n +1﹣2a n 得：a n +2﹣a n +1=2（a n +1﹣a n ），结合a 1=1，a 2=3，即a 2﹣a 1=2，可得：{ a n +1﹣a n }是首项为2，公比为2的等比数列，进而利用叠加法可得数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =log 2（a n +1）=n ，则，利用裂项相消法，可得=2＜2．【解答】证明：（Ⅰ）由a n +2=3a n +1﹣2a n 得：a n +2﹣a n +1=2（a n +1﹣a n ），又∵a 1=1，a 2=3，即a 2﹣a 1=2，所以，{ a n +1﹣a n }是首项为2，公比为2的等比数列．…a n +1﹣a n =2×2n ﹣1=2n ，…a n =a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）=1+2+22+…+2n ﹣1==2n ﹣1；…（Ⅱ）b n =log 2（a n +1）=log 22n =n ，…S n =，…，所以=2＜2．…【点评】本题考查数列的概念及简单表示法，考查等比关系的确定及等比数列的求和，考查转化与分析推理能力，属于中档题．19．已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F 为AD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE 为平行四边形，进而得到EF∥BG，再结合线面平行的判定定理得到EF∥面ABC；（Ⅱ）根据已知中△ABC为等边三角形，G为AC的中点，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根据线面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，则EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；（Ⅲ）方法一：四棱锥四棱锥A﹣BCDE分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC，分别求出三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC的体积，即可得到四棱锥A﹣BCDE的体积．的高，方法二：取BC的中点为O，连接AO，可证AO⊥平面BCDE，即AO为V A﹣BCDE求出底面面积和高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥A﹣BCDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG∥CD，且FG=DC=1．∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．EF⊄面ABC，BG⊂面ABC∴EF∥面ABC…（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC又∵DC⊥面ABC，BG⊂面ABC∴DC⊥BG∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，∴BG⊥面ADC．…∵EF∥BG∴EF⊥面ADC∵EF⊂面ADE，∴面ADE⊥面ADC．…解：（Ⅲ）方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC．．…方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，的高，，∴∴AO为V A﹣BCDE．【点评】本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线面平行或垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），过焦点垂直于长轴的弦长为，焦点与短轴两端点构成等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程．（Ⅱ）过点P（﹣2，0）作直线l与椭圆C交于A、B两点，求△AF1B的面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）利用过焦点垂直于长轴的弦长为，焦点与短轴两端点构成等腰直角三角形，建立等式，求出a，b，可得椭圆C的标准方程．（Ⅱ）设直线l：my=x+2（m≠0），代入椭圆方程，表示出△AF1B的面积，利用基本不等式，即可求出△AF1B的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵过焦点垂直于长轴的弦长为，焦点与短轴两端点构成等腰直角三角形，∴b=c，=，∴a=，b=1，∴椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）设直线l：my=x+2（m≠0），代入椭圆方程可得（m2+2）y2﹣4my+2=0，△=（4m）2﹣8（m2+2）＞0，可得m2＞2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，∴△AF1B的面积为=|PF1||y2﹣y1|=|y2﹣y1|，|y2﹣y1|==2=2≤2=，当且仅当m2=6时，取等号，满足m2＞2，∴△AF1B的面积的最大值为=．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx．（Ⅰ）函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与x+y+3=0平行，求a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）对于任意x1，x2∈（0，+∞），x1＞x2，有f（x1）﹣f（x2）＞x2﹣x1，求实数a的范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求解；（Ⅱ）求导数，分类讨论，确定导数的正负，即可讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）令F（x）=f（x）+x，则对于任意x1，x2∈（0，+∞），x1＞x2，有f（x1）﹣f（x2）＞x2﹣x1，等价于F（x）在（0，+∞）上是增函数，分类讨论，可得实数a的范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2﹣ax+（a﹣1）lnx，∴f′（x）=x﹣a+，∵函数f（x）在点（2，f（2））处的切线与x+y+3=0平行，∴2﹣a+=﹣1，∴a=5；（Ⅱ）f′（x）=，∴x=1或a﹣1．a＞2时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，a﹣1）上单调递减，在（a﹣1，+∞）上递增；a=2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；1＜a＜2时，f（x）在（0，a﹣1）上单调递增，在（a﹣1，1）上单调递减，在（1，+∞）上递增；a≤1时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上递增．（Ⅲ）∵f（x1）﹣f（x2）＞x2﹣x1，∴f（x1）+x1＞f（x2）+x2，令F（x）=f（x）+x，则对于任意x1，x2∈（0，+∞），x1＞x2，有f（x1）﹣f（x2）＞x2﹣x1，等价于F（x）在（0，+∞）上是增函数．∵F（x）=f（x）+x，∴F′（x）= [x2﹣（a﹣1）x+a﹣1]，令g（x）=x2﹣（a﹣1）x+a﹣1a﹣1＜0时，F′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则g（0）≥0，∴a≥1，不成立；a﹣1≥0，则g（）≥0，即（a﹣1）（a﹣5）≤0，∴1≤a≤5，综上1≤a≤5．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，难度中等．。

山东省枣庄八中南校区高二数学下学期2月质检试卷文(含解析)-人教版高二全册数学试题

2015-2016学年某某省枣庄八中南校区高二（下）2月质检数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，50分）1．若命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（）A．∀x∈R，2x2﹣1＜0 B．∀x∈R，2x2﹣1≤0 C．∃x∈R，2x2﹣1≤0 D．∃x∈R，2x2﹣1＞0 2．抛物线y=x2的焦点坐标为（）A．（0，）B．（，0）C．（0，4）D．（0，2）3．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．74．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．5．为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是（）A．10 m B．10 m C．10 m D．10 m6．公差不为0的等差数列{a n}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于（）A．2 B．3 C．D．7．已知a，b，c∈R，则下列推证中正确的是（）A．a＞b⇒am2＞bm2B．C．D．8．若双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．9．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b二、填空题（本大题共5小题，25分）11．已知双曲线（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b=．12．函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为．13．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为．14．数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣3（n∈N*），则a5=．15．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为米．三、解答题（本大题共6小题，75分）16．给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：a2+8a﹣20＜0．如果P ∨Q为真命题，P∧Q为假命题，某某数a的取值X围．17．△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．18．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？19．已知数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2S n=3a n ﹣3．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的通项公式是b n=，前n项和为T n，求证：对于任意的n∈N*总有T n＜1．20．设函数f（x）=x2﹣lnx，其中a为大于0的常数（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值X围．21．已知直线的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；（2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求λ1+λ2的值．2015-2016学年某某省枣庄八中南校区高二（下）2月质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，50分）1．若命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则该命题的否定是（）A．∀x∈R，2x2﹣1＜0 B．∀x∈R，2x2﹣1≤0 C．∃x∈R，2x2﹣1≤0 D．∃x∈R，2x2﹣1＞0 【考点】命题的否定．【分析】根据命题否定的定义进行求解，注意对关键词“任意”的否定；【解答】解：命题p：∀x∈R，2x2﹣1＞0，则其否命题为：∃x∈R，2x2﹣1≤0，故选C；2．抛物线y=x2的焦点坐标为（）A．（0，）B．（，0）C．（0，4）D．（0，2）【考点】抛物线的简单性质．【分析】把抛物线的方程化为标准形式，即可得出结论．【解答】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，∴焦点坐标为（0，2）．故选：D．3．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．4 C．6 D．7【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2x+y，则y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，2），此时z=2×2+2=6，故选：C．4．设曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．﹣ D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，切线的斜率，由两直线垂直的条件，即可得到a的值．【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲线y=在点（3，2）处的切线的斜率k=﹣，∵曲线y=在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，∴直线ax+y+1=0的斜率k′=﹣a×=﹣1，即a=﹣2．故选：B．5．为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC=45°，则塔AB的高是（）A．10 m B．10 m C．10 m D．10 m【考点】解三角形的实际应用．【分析】现在△BCD中使用正弦定理解出BC，再利用锐角三角函数定义解出AB．【解答】解：由题意可得∠BCD=90°+15°=105°，CD=10，∠BDC=45°，∴∠CBD=30°．在△BCD中，由正弦定理得，即，解得BC=10．∵∠ACB=60°，AB⊥BC，∴AB=BCtan∠ACB==10．故选：D．6．公差不为0的等差数列{a n}中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于（）A．2 B．3 C．D．【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），可得，故，进而可得a2，a3，代入可得比值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由题意可得，解得，故a2=a1+d=，a3=a1+2d=，故公比等于==3，故选B7．已知a，b，c∈R，则下列推证中正确的是（）A．a＞b⇒am2＞bm2B．C．D．【考点】不等关系与不等式．【分析】根据不等式两边同乘以0、负数判断出A、B不对，再由不等式两边同乘以正数不等号方向不变判断C对、D不对．【解答】解：A、当m=0时，有am2=bm2，故A不对；B、当c＜0时，有a＜b，故B不对；C、∵a3＞b3，ab＞0，∴不等式两边同乘以（ab）3的倒数，得到，故C正确；D、∵a2＞b2，ab＞0，∴不等式两边同乘以（ab）2的倒数，得到，故D不对．故选C．8．若双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（）A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题设知，因此，所以，由此可求出其渐近线方程．【解答】解：对于双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为b，而，因此，∴，因此其渐近线方程为．故选C．9．函数f（x）的定义域为开区间（a，b），导函数f′（x）在（a，b）内的图象如图所示，则函数f（x）在开区间（a，b）内有极小值点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据当f'（x）＞0时函数f（x）单调递增，f'（x）＜0时f（x）单调递减，可从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，然后得到答案．【解答】解：从f′（x）的图象可知f（x）在（a，b）内从左到右的单调性依次为增→减→增→减，根据极值点的定义可知在（a，b）内只有一个极小值点．故选：A．10．已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解答】解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．二、填空题（本大题共5小题，25分）11．已知双曲线（b＞0）的一条渐近线的方程为y=2x，则b= 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的标准方程写出其渐近线方程是解决本题的关键，根据已知给出的一条渐近线方程对比求出b的值．【解答】解：该双曲线的渐近线方程为，即y=±bx，由题意该双曲线的一条渐近线的方程为y=2x，又b＞0，可以得出b=2．故答案为：2．12．函数f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2在x=1处有极值10，则点（a，b）为（﹣4，11）．【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】首先对f（x）求导，然后由题设在x=1时有极值10可得，f′（1）=0，f（1）=10．，解之即可求出a和b的值．【解答】解：对函数f（x）求导得f′（x）=3x2﹣2ax﹣b，又∵在x=1时f（x）有极值10，∴f′（1）=3﹣2a﹣b=0，f（1）=1﹣a﹣b+a2=10，解得，a=﹣4，b=11，或a=3，b=﹣3，验证知，当a=3，b=﹣3时，在x=1无极值，故答案为：（﹣4，11）13．设x、y∈R+且=1，则x+y的最小值为16 ．【考点】基本不等式．【分析】将x、y∈R+且=1，代入x+y=（x+y）•（），展开后应用基本不等式即可．【解答】解：∵=1，x、y∈R+，∴x+y=（x+y）•（）==10+≥10+2=16（当且仅当，x=4，y=12时取“=”）．故答案为：16．14．数列{a n}的前n项和S n=2a n﹣3（n∈N*），则a5= 48 ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】把a n=s n﹣s n﹣1代入s n=2a n﹣3化简整理得2（s n﹣1+3）=s n+3进而可知数列{s n+3}是等比数列，求得s1+3，根据等比数列的通项公式求得数列{s n+3}的通项公式，进而根据a5=求得答案．【解答】解：∵a n=s n﹣s n﹣1，∴s n=2a n﹣3=2（s n﹣s n﹣1）﹣3整理得2（s n﹣1+3）=s n+3∵s1=2s1﹣3，∴s1=3∴数列{s n+3}是以6为首项，2为公比的等比数列∴s n+3=6•2n﹣1，∴s n=6•2n﹣1﹣3，∴s5=6•24﹣3∴a5==48故答案为4815．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽为2米．【考点】抛物线的应用．【分析】先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=﹣3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．【解答】解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，将A（2，﹣2）代入x2=my，得m=﹣2∴x2=﹣2y，代入B（x0，﹣3）得x0=，故水面宽为2m．故答案为：2．三、解答题（本大题共6小题，75分）16．给定两个命题，P：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；Q：a2+8a﹣20＜0．如果P ∨Q为真命题，P∧Q为假命题，某某数a的取值X围．【考点】复合命题的真假．【分析】由ax2+ax+1＞0恒成立可得，可求P的X围；由a2+8a﹣20＜0解不等式可求Q的X围，然后由P∨Q为真命题，P∧Q为假命题，可知P，Q为一真一假，可求【解答】（本小题满分12分）解：命题P：ax2+ax+1＞0恒成立当a=0时，不等式恒成立，满足题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣当a≠0时，，解得0＜a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴0≤a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣命题Q：a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵P∨Q为真命题，P∧Q为假命题∴P，Q有且只有一个为真，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图可得﹣10＜a＜0或2≤a＜4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣17．△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且（1）求∠B的大小；（2）若a=4，，求b的值．【考点】正弦定理．【分析】（1）根据正弦定理化简已知的等式，然后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，提取sinA，可得sinA与1+2sinB至少有一个为0，又A为三角形的内角，故sinA 不可能为0，进而求出sinB的值，由B的X围，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由第一问求出的B的度数求出sinB和cosB的值，再由a的值及S的值，代入三角形的面积公式求出c的值，然后再由cosB的值，以及a与c的值，利用余弦定理即可求出b 的值．【解答】解：（1）由正弦定理得： ===2R，∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入已知的等式得：，化简得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=2sinAcosB+sin（C+B）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0，又A为三角形的内角，得出sinA≠0，∴2cosB+1=0，即cosB=﹣，∵B为三角形的内角，∴；（2）∵a=4，sinB=，S=5，∴S=acsinB=×4c×=5，解得c=5，又cosB=﹣，a=4，根据余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB=16+25+20=61，解得b=．18．某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4800立方米，深度为3米．池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x米．（Ⅰ）求底面积并用含x的表达式表示池壁面积；（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）分析题意，本小题是一个建立函数模型的问题，可设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，由题中所给的关系，将此两者用池底长方形长x表示出来．（Ⅱ）此小题是一个花费最小的问题，依题意，建立起总造价的函数解析式，由解析式的结构发现，此函数的最小值可用基本不等式求最值，从而由等号成立的条件求出池底边长度，得出最佳设计方案【解答】解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，则有（平方米），可知，池底长方形宽为米，则（Ⅱ）设总造价为y，则当且仅当，即x=40时取等号，所以x=40时，总造价最低为297600元．答：x=40时，总造价最低为297600元．19．已知数列{a n}的各项均为正数，S n为其前n项和，对于任意的n∈N*，满足关系式2S n=3a n ﹣3．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}的通项公式是b n=，前n项和为T n，求证：对于任意的n∈N*总有T n＜1．【考点】数列的应用；数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由已知得，故2（S n﹣S n﹣1）=2a n=3a n﹣3a n﹣1．由此可求出a n=3n（n∈N*）．（Ⅱ），所以T n=b1+b2+…+b n=1﹣．【解答】解：（I）由已知得故2（S n﹣S n﹣1）=2a n=3a n﹣3a n﹣1即a n=3a n﹣1，n≥2故数列a n为等比数列，且q=3又当n=1时，2a1=3a1﹣3，∴a1=3，∴a n=3n，n≥2．而a1=3亦适合上式∴a n=3n（n∈N*）．（Ⅱ）所以T n=b1+b2+…+b n==1﹣．20．设函数f（x）=x2﹣lnx，其中a为大于0的常数（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值（2）当x∈[1，2]时，不等式f（x）＞2恒成立，求a的取值X围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）将a=1代入函数f（x）的解析式，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；（2）先求出函数的导数，问题转化为求函数f（x）在[1，2]上的最小值f（x）min＞2，通过讨论a的X围，得到函数的单调区间，得到关于函数最小值的解析式，求出a的值即可．【解答】解：（1）当a=1时，，即∵x＞0，令f'（x）=0，得x=1．当x变化时，f'（x），f（x）变化状态如下表：x （0，1） 1 （1，+∞）f'（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗故f（x）的单增区间为（1，+∞），单减区间为（0，1），f（x）的极小值为，无极大值；（2）由不等式f（x）＞2恒成立得，即f（x）min＞2易知，∵a＞0，x＞0，∴令f'（x）＞0得；∴令f'（x）＜0得；故f（x）的单减区间为，单增区间为又x∈[1，2]，①当，即a≥4时，x∈[1，2]单减，即舍②当，即1＜a＜4时单减，单增，即lna＜﹣3，∵lna＞0，故舍去．③当，即0＜a≤1时，x∈[1，2]单增，即，适合综上：．21．已知直线的右焦点F，且交椭圆C于A，B两点．（1）若抛物线的焦点为椭圆C的上顶点，求椭圆C的方程；（2）对于（1）中的椭圆C，若直线L交y轴于点M，且，当m变化时，求λ1+λ2的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程．【分析】（1）根据抛物线的焦点为（0，），且为椭圆C的上顶点，可得b2=3，又F（1，0），可得c=1，从而可得a2=b2+c2=4，故可求椭圆C的方程；（2）l与y轴交于，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由可得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，故△=144（m2+1）＞0，利用韦达定理可得，根据，可得，同理，从而可求λ1+λ2的值．【解答】解：（1）抛物线的焦点为（0，），且为椭圆C的上顶点∴，∴b2=3，又F（1，0），∴c=1，a2=b2+c2=4．∴椭圆C的方程为．（2）l与y轴交于，设A（x1，y1），B（x2，y2），则由可得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，故△=144（m2+1）＞0．∴，∴．又由，得．∴．同理．∴．。

山东省枣庄第八中学南校区2015-2016学年高二上学期10月月考数学(文)试题 Word版含答案[ 高考]

八中南校高二年级10月质量检测数学试题（文）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在ABC ∆中453010A C ===，，c ，则a 等于（）A ． 10B ．C ．．32．在A B C ∆中，角C B A ,,的对应边分别为c b a ,,，若ac b c a 3222=-+，则角B 为（）A ．6πB ．3π C ．6π或65πD ．3π或32π3．在ABC ∆中，若cos cos a B b A =，则ABC ∆的形状一定是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形 4．若ABC ∆中，sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cos C =（）A. 1-4—B. 14C.2-3D. 23 5．ABC ∆中，3=AB ，1=AC ，︒=30B ，则ABC ∆的面积等于（）A ．23 B ．43 C ．23或3 D ．23或43 6．已知{}n a 是等比数列，152,8a a ==，则3a =（）A ．4B ．-4C ．4±D ．7. 在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S 等于（） A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 8．设{}n a 是等比数列，且233=a ，299=S ，则=q （） A ．1 B ．21- C ．1或21- D ．1或219．在等差数列}{n a 中，a n ＝41－2n .，则当数列}{n a 的前n 项和n S 取最大值时n 的值等于（）A ．21B ．20C ．19D ．18 10. 已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝41，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )．A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )C ．332(1－4－n )D ．332(1－2－n )第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}0,1,2A =，{}2|20B x x x =--<，则A B = （） A ．{}0,1,2 B ．{}1,2 C ．{}0,1 D ．{}0【答案】C考点：集合的交集运算.2．复数3(73)z i i =+（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】试题分析：因为3(73)z i i =+，所以()7337z i i =--=-，所以复数3(73)z i i =+（i 是虚数单位）在复平面上对应的点为()3,7-，其位于第四象限.考点：复数的运算.3. 下列函数中，既是奇函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（）A ．1ln y x= B ． 1y x -= C ．1()2x y = D ．3y x x =+ 【答案】B【解析】试题分析：A 中函数为偶函数，不合题意；B 中函数是函数且在区间()0,+∞上是单调递减函数，符合题意；C 中函数为非奇非偶函数，不合题意；D 中函数为奇函数但其在()0,+∞上为单调递增函数，不合题意，故选B ．考点：函数的奇偶性及单调性．4. 已知向量(1,2),(4,)a b m ==- ，若2a b + 与a 垂直，则m =（）A ．-3B ．3C ．-8D ．8【答案】A考点：1、平面向量的坐标运算；2、向量垂直的充要条件．5. 已知,x y 满足约束条件40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值为（）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D【解析】试题分析：作出可行域，如下图：可知在点()4,0A 处取到最大值，最大值为12，故选D.考点：简单的线性规划.6．下列说法错误的是（）A ．若,a b R ∈，且4a b +>，则,a b 至少有一个大于2B ．“00,21x x R ∃∈=”的否定是“,21x x R ∀∈≠”C ．1,1a b >>是1ab >的必要条件D ．ABC ∆中，A 是最大角，则222sin sin sin A B C >+是ABC ∆为钝角三角形的充要条件．【答案】C 考点：1、命题真假的判定；2、充分条件与必要条件；3、特称命题的否定；4、正余弦定理．【易错点睛】对含有存在（全称）量词的命题进行否定需两步操作：（1）将存在（全称）量词改写成全称（存在）量词；（2）将结论加以否定．这类问题常见的错误是没有变换量词，或者对于结论没给予否定．有些命题中的量词不明显，应注意挖掘其隐含的量词．7. 已知函数(2),2()1(),23x f x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则3(1log 5)f -+的值为（） A ．115 B ．53 C ．15 D ．23【答案】A考点：1.对数运算；2.分段函数.8. 将函数22cos ()4y x π=-的图象沿x 轴向右平移(0)a a >个单位后，所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值为（）A ．34πB ．2πC ．4πD ．8π 【答案】C【解析】试题分析：因为22cos cos[2()]1cos(2)1sin 21442y x x x x πππ⎛⎫=-=-+=-+=+ ⎪⎝⎭，所以将其图沿x 轴向右平移a 个单位后，得sin[2()]1sin(22)1y x a x a =-+=-+．又因为所得图象关于y 轴对称，则有22a k ππ=+（k Z ∈），即24k a ππ=+（k Z ∈），所以a 的最小值为4π，故选C ．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、三角函数的图象与性质；3、二倍角．9. 已知点12,F F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,M N 两点，若110MF NF ⋅> ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是（）A ．1)B ．(11)C ．D ．)+∞【答案】B考点：双曲线的离心率.【思路点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，根据题意可得()4224222222112404040b MF NF c b a c c a a c a⋅=->∴-<∴--< ，两边同时除以4a ，可得()222140e e --<，再根据双曲线的性质即可求出双曲线的离心率的取值范围.10. 已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，()f x '为其导函数，若对于任意实数x ，有()()0f x f x '->，则（）A ．(2015)(2016)ef f >B ．(2015)(2016)ef f <C ．(2015)(2016)ef f =D ．(2015)(2016)ef f 与大小不能确定【答案】A【解析】试题分析：令()()x f x g x e =，则2()()()()()0x x x xe f x e f x f x f x g x e e ''--'==<，所以函数()g x 在R 上单调递减，所以(2015)(2016)g g >，即20152016(2015)(2016)f f e e >，所以20162016(2015)(2016)f f e e e> ，即()()20152016ef f >，故选A ．考点：利用导数研究函数的单调性．【思路点睛】首先根据题意，构造辅助函数()()x f x g x e =，利用导数的除法公式对其求导()()()0xf x f xg x e '-'=<，可知函数()g x 是R 上单调递减，所以(2015)(2016)g g >，即可得到20152016(2015)(2016)f f e e >，整理化简即可求出结果．第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，满分25分．11. 执行右图的程序框图，则输出的S =________．【答案】2512考点：循环结构.12．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为________．【解析】试题分析：由题意，得圆锥底面周长为2323ππ⨯=，所以圆锥的底面半径为1．又圆锥的高h =2113V π=⨯⨯⨯=．考点：圆锥的体积． 13.如图茎叶图记录了甲、乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 _________．【答案】2考点：1.平均数；2.方差.14. 已知,M N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，则BMN ∆的面积为________．【答案】32【解析】试题分析：由题意可知，联立222220240x y x x y x y ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩，可得直线MN 的方程为：0x y -=，所以()1,2B -到直线MN 的距离为2=，线段MN 的长度为=BMN ∆的面积为13222⨯=. 考点：直线与圆的位置关系.【思路点睛】根据点,M N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，将其方程联立可得直线MN 的方程；再根据点到直线的距离公式求出圆心B 到直线MN 的距离，根据勾股定理可求得线段MN 的值，然后再根据面积公式即可求出BMN ∆的面积.15. 已知ABC ∆的重心为O ，过O 任做一直线分别交边,AB AC 于,P Q 两点，设,AP mAB AQ nAC == ，则49m n +的最小值是________．【答案】25 3考点：1、共线定理；2、平面向量的加减运算；3、基本不等式．【方法点睛】向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16. （本小题满分12分）根据我国分布的《环境空气质量指数（AQI）技术规定》：空气质量指数划分为0~5051~100101~150151~200201~300、、、、和大于300六级，对应于空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于150时，可以户外运动；空气质量指数151及以上，不适合进行旅游等户外活动，以下是济南市2015年12月中旬的空气质量指数情况：（1）求12月中旬市民不适合进行户外活动的概率；（2）一外地游客在12月中旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合旅游的概率．【答案】（1）25；（2）49（2）该实验的基本事件空间11,1212,1313,1414,1515,1616,1717,1818,1919,20⎧⎫Ω=⎨⎬⎩⎭（），（），（），（）（），（），（），（）（），基本事件9n =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设事件B =“适合旅游的日期”，则{}11,1215,1616,1717,18B =（），（），（），（），包含基本事件数4m =，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以4()9P B =，即：适合连续游玩两天的概率为49．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分. 考点：1. 基本事件；2.古典概型.17．（本小题满分12分）已知向量,cos ),(cos ,cos ),m x x n x x x R ==∈ ，设()f x m n =．（1）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为ABC ∆内角,,A B C 的对边，且1,2,()1a b c f A =+==，求ABC ∆的面积．【答案】（1）,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,Z k ∈；（2）4（Ⅱ）21)62sin(,1)(=+∴=πA A f 3,6562613626,0πππππππ=∴=+∴<+<∴<<A A A A ………… 9分由,cos 2222A bc c b a -+=可得1,343cos 2122=∴-=-+=bc bc bc c b π………… 10分43sin 21==∴∆A bc S ABC ………… 12分考点：1.余弦定理；2.三角函数中的恒等变换应用．18. （本小题满分12分）直三棱柱111ABC A B C -中，0190,ABC AB BC BB ∠===，M 为11A B 的中点，N 是1AC 与1AC 的交点．（1）求证：//MN 平面11BCC B ；（2）求证：MN ⊥平面ABC ．【答案】（1）见解析；（2）见解析．考点：1、空间直线与平面平行的判定定理；2、空间直线与平面垂直的判定．19. （本小题满分12分）已知单调递增的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n n b a a =⋅，其前n 项和为n S ，若2(1)(1)n n m S n -≤--对于2n ≥恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）n n a 2=；（2）1,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（2）由（1）知，n n n b 2⋅=，23122232...2n n S n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅3412222232...2n n S n +=⋅+⋅+⋅++⋅①-②得13222...222+⋅-++++=-n n n n S22)1()22122(111+-=⋅----=∴+++n n n n n n S若)1()1(2--≤-n S m n n 对于2≥n 恒成立，则]122)1[()1(12--+-≤-+n n m n n121),12)(1()1(112--≥∴--≤-++n n n m n m n ，令121)(1--=+n n n f ，则当2≥n ，()0)12)(12(12212112)()1(12112<--+-=----=-++++++n n n n n n n nn f n f 当2≥n ，)(n f 单调递减，则)(n f 的最大值为71，故实数m 的取值范围为1,7⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．考点：1、等比数列的通项公式；2、等比数列的前n 项和；3、错位减法求数列的和；20. （本小题满分13分）设函数21()ln ()2a f x x ax x a R -=+-∈．（1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）当1a >时，讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）()()12f x f 极大值＝＝，15()==+ln 224f x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭极小值；（2）当2a =时，()f x 在定义域上是减函数；当2a >时，()f x 在1(0,)1a -和(1,)+∞单调递减，在1(,1)1a -上单调递增；当12a <<时，()f x 在(0,1)和1(,)1a +∞-单调递减，在1(1,)1a -上单调递．考点：导数的应用求单调区间、极值、最值，以及不等式恒成立问题．【方法点睛】一、利用导数求含参数的函数单调区间的分类讨论讨论点大体可以分成以下几类：1、根据判别式讨论；2、根据二次函数的根的大小；3、定义域由限制时，根据定义域的隐含条件；4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论；5、多次求导求解等．二、导数中的恒成立问题常见题型有：1、注意变量的选择，问题中常出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，这时习惯上已知谁的范围视为谁的函数，求谁的范围视作另一个变量的函数；2、函数思想的灵活运用，可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解．两个基本思想解决“恒成立问题”，做题思路1、max ()[()]m f x x D m f x ≥∈⇔≥在上恒成立；思路2、min ()[()]m f x x D m f x ≤∈⇔≤在上恒成立或者通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，再求函数最值．21. （本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为2，过点F （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点,A B 分别是椭圆的左、右顶点，若过点(2,0)P -的直线与椭圆相交于不同两点,M N ．①求证：AFM BFN ∠=∠；②求MNF ∆面积的最大值．【答案】（Ⅰ）1222=+y x ；（Ⅱ）（ⅰ）见解析；．（II ）（i ）当AB 的斜率为0时，显然=0AFM BFN ∠=∠，满足题意当AB 的斜率不为0时，设()()1122,,,A x y B x y ，AB 方程为2-=my x 代入椭圆方程整理得024)2(22=+-+my y m ,则()01682816222>-=+-=∆m m m ，所以.22>m方法二（i ）由题知，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为： )2(+=x k y ，设()()1122,,,A x y B x y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=12)2(22y x x k y ，整理得0288)21(2222=-+++k x k x k , 则()()016828214642224>-=-+-=∆k k k k ，所以.2102<≤k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=⋅+-=+222122212128218k k x x k k x x ， ………………………………（6分） ()121)2(1122112211+++++=+++=+∴x x k x x k x y x y k k NF MF )1)(1(4)(32212121+++++=x x k x x k x kx021482441642183212824)(32233322222121=+++--=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++k k k k k k k k k k k k k k x x k x kx0=+∴NF MF k k ，即AFM BFN ∠=∠………………………………（9分）考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、直线方程；4、基本不等式．【方法点睛】求解圆锥曲线中的最值问题，主要围绕直线与圆锥曲线的位置关系问题进行设计，解答时可考两为两个方向：（1）几何法，就是根据圆锥曲线的定义及几何性质，利用图形直观解决；（2）函数法，即通过建立函数，求其最值即可．。